《计量经济学》博士研究生入学试题（A ）解答
一、简答题
1、 指出稳健标准误和稳健t 统计量的适用条件。
答：稳健标准误和稳健t 统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健t 统计量不那么接近t 分布，从而可能导致推断失误。
2、 若回归模型的随机误差项可能存在q （1>q ）阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验
统计量是什么？ 答：如果模型：
t pt t t t x x y εαααα+++++= 22110的误差项满足：
t q t q t t t v ++++=---ερερερε 2211，其中t v 是白噪声。
原假设0H : 01=ρ,02=ρ,…，0=q ρ 那么，以下两种回答都可以。
1）、(1). t y 对t x 1,t x 2,…,pt x ( T t ,,2,1 =)做OLS 回归,求出OLS 残差t ε
?； (2). t ε?对t x 1,t x 2,…,pt x , 1?-t ε,2?-t ε,…，q t -ε?做OLS 回归, ( T q q t ,,2,1 ++=),得到
2R ；
(3). 计算(2)中的1?-t ε
,2?-t ε,…，q t -ε?联合F 检验统计量。若F 检验统计量大于临界值，则判定回归模型的随机误差项存在q （1>q ）阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机误差项不存在q （1>q ）阶自相关。
2）、 完成了1）中的（1）、（2）两步以后，运用布劳殊—戈弗雷检验（Bresch Goldfery test ）
()2R q T LM -=，由于它在原假设0H 成立时渐近服从2
2?q χσ?分布。当LM 大于临界值，
则判定回归模型的随机误差项存在q （1>q ）阶自相关；否则，判定回归模型的随机误差项不存在q （1>q ）阶自相关。
3、 谬误回归的主要症状是什么？检验谬误回归的方法主要有哪些？在回归中使用非平稳的时间序
列必定会产生伪回归吗？
答：格兰杰（Granger ）和纽博尔德（Newbold ）认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果2R 在数值上大于德宾—沃特森统计量，则我们应当怀疑有谬误回归存在。
检验谬误回归的方法主要是用DF 和ADF 检验考察回归的残差是否服从I(0)，进而判定变量之间的关系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性。
回归中使用非平稳的时间序列不一定会产生谬误回归，比如两个协积的变量，虽然它们可以非平稳，但是不会产生谬误回归。
4、一般的几何滞后分布模型具有形式：()∑∞
=-+-+=0
1i t i
t i
t x
y ελβλ
α， ()0=t E ε，
()s t s t ,2,cov δσεε=， 10<<λ 。
如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量？
答：对一般的几何滞后分布模型 ()∑∞
=-+-+=0
101i t i t i
t x y ελλαα，有限的观测不可能估计无限的参数。为此，必须对模型形式进行变换：
注意到： ()
101110
1i
t t i t i y x ααλ
λε∞
----==+-+∑， 从而：
()()101111t t t t t y y x λαλαλελε----=++--
()()011111t t t t t y x y αλαλλελε--=++-+--
由于1t y -与1t ε-相关，所以该模型不能用OLS 方法进行估计，必须采用诸如工具变量等方法进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。
5、假定我们要估计一元线性回归模型：
t t t x y εβα++=， ()0=t E ε， ()s t s t ,2,cov δσεε=
但是担心t x 可能会有测量误差，即实际得到的t x 可能是t t t x x ν+=*
，t ν是白噪声。如果已经知道
存在与*
t x 相关但与t ε和t ν不相关的工具变量t z ，如何检验t x 是否存在测量误差？
答：已知存在与*
t x 相关但与t ε和t ν不相关的工具变量t z ，用最小二乘法估计模型
t t t v z a a x ++=*10，得到残差t t t z a a x v
10???--=*。把残差t ν?作为解释变量放入回归方程t t t t u v
x y +++=?δβα，用最小二乘法估计这个人工回归，对显著性假设运用通常的-t 检验。 0H ：0=δ （t x 与t ε之间没有相关性） 1H ：0≠δ （t x 与t ε之间有相关性）
注意，由t t t t u v
x y +++=?δβα可推得t t t t u v x y +=--?δβα，即：t t t u v +=?δε。 利用对t t t x y εβα++=*
所做回归得到的残差t ε
?替代t ε，对系数δ作OLS 估计，当-t 检验显著时就表明t x 与t ε之间有相关性，即t x 存在测量误差。否则就没有。
6、考虑一个单变量平稳过程
t t t t t x x y y εββαα++++=--110110 （1）
这里，()
2
,0σεIID t ? 以及 11<α 。
由于（1）式模型是平稳的，t t x y 和都将达到静态平衡值，即对任何t 有：
()t y E y =*
， ()t x E x =*
于是对（1）式两边取期望，就有
*
***+++=x x y y 1010ββαα ( 2)
也就是
()***
+=-++-=
x k k x y 101
1010
11αββαα (3) 这里1k 是*y 关于*
x 的长期乘数， 重写(1)式就有：
()()t t t t t x x y y εβββαα+++?+-+=?--11001101
()()t t t t x x k k y εβαα+?+---+=--01101101 (4)
我们称(4)式为(1)式的误差修正机制（Error-correction Mechanism ）表达式（ECM ）。在（4）
式中我们可以发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是对称的。假如这种正、负偏离 对短期波动的作用不是对称的，那么模型应该如何设计与估计？
答：若对误差修正（ECM ）模型，假如发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是非对称的话，
模型可以设计如下：
()()t t t t t t x k k y x y εγδδβ+--++?=?---1101121
()()t t t t t t t x k k y x k k y x εγδδβ+--+--+?=-----11011211011 其中()()
??
?≤>=t t t t t x f y x f y 0
1γ为虚拟变量，表示Y 偏离的方向。
当t y 正偏离时，1=t γ，误差修正项系数为21δδ+； 当t y 为负偏离时，0=t γ，误差修正项系数为1δ。 参数估计的方法可用MLE ，也可用OLS 。
7、检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇—帕甘检验（Breusch Pagan ）和怀 特（White ）检验，请说明这二种检验的差异和适用性。
答：当人们猜测异方差只取决于某些解释变量时，布罗歇—帕甘检验（Breusch Pagan ）比较适合使
用；当人们猜测异方差不仅取决于某些解释变量，还取决于这些自变量的平方和它们的交叉乘积项时，怀特（White ）检验比较适合使用。虽然，有时使用布罗歇—帕甘检验无法检验出异方差的存在，但用怀特（White ）检验却能检测出来。不过，怀特（White ）检验要用掉很多自由度。 8、在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS 估计是无 偏和一致的吗？请举简例说明。
答：在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS 估计通常是有偏和
不一致的。例如，假定工资模型为：
i i i i i abil er educ wage εββββ++++=3210ex p 如果估计时遗漏了变量i abil ，得到如下估计模型：
i
i i er educ e wag exp ~
~~~210βββ++= 即使假定 er educ exp ,无关，我们也容易证明1~β与2~
β也都是有偏和不一致的，且有：
()
()
∑∑==--+=n i i
n
i i
i
educ
educ
abil educ educ
E 1
2
1
3
11]~
[βββ
由于03>β，并且变量educ 与abil 正相关，因此，1~
β是正偏误和不一致的。
二、综合题
1、为了比较A 、B 和C 三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的绩效差异，从这三个城市总计C B A N N N ++个企业中按一定规则随机抽取C B A n n n ++个样本
企业，得到这些企业的劳动生产率y 作为被解释变量,如果没有其它可获得的数据作为解释变量，并且A 城市全面实施这项经济改革政策，B 城市部分实施这项经济改革政策，C 城市没有实施这项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A 、B 和C 这三个城市之间由于不同程度实施某项经济改革政策后存在的绩效差异？
解：把A 、B 两个城市中第i 企业的劳动生产率i y 写成如下模型： i Bi Ai i
D D y εγβα+++= ，
()2,0~σεN i
C B A B A B A A A n n n n n n n n n i ++++++=,,1,,,1,,,2,1 （1）
这里，虚拟变量Ai D 可表示为： ???=其它个企业来自于城市第,
0,
1A i D Ai
（2）
???=其它个企业来自于城市第,
0,1B i D Bi
（3）
于是，参数α表示城市C 企业的期望劳动生产率，而参数β表示城市A 企业的期望劳动生产率与城市C 企业的期望劳动生产率之间的差异，即α+β表示城市A 企业的期望劳动生产率；参数γ表示城市B 企业的期望劳动生产率与城市C 企业的期望劳动生产率之间的差异，即α+γ表示B 城市企业的期望劳动生产率，即：
??
???====+==+=0,0,1,0,0
,1,)(Bi Ai Bi Ai Bi Ai i D D D D D D y E αγαβα （4）
要检验城市A 企业的期望劳动生产率与城市B 企业的期望劳动生产率之间的有无显著差异，改
写模型为：
i Ai Bi Ai i D D D y εγδα++++=)( ，
其中，γ
βδ
-=；()2,0~σεN i
；
此时，有：
??
???====+==++=0,0,1,0,0,1,)(Bi Ai Bi Ai Bi Ai i D D D D D D y E αγαδγα （5） 运用t 检验看参数δ是否显著地不为0，否则就认为城市A 企业的期望劳动生产率与城市B 企业的期望劳动生产率之间无显著差异
2、用观测值201,,y y 和2010,,,x x x 估计模型
t t t t e x x y +++=-110ββα
得到的OLS 估计值为
()23.20.5?=α ()21.28.0?0
=β ()86.13.0?1=β 86.02=R 和 25?2=σ
括号为t 统计量。由于1?β的t 值较小，去掉滞后回归自变量1
-t x 重新估计模型，这时，R 2
为多少？ 解：去掉滞后回归自变量1-t x 后所估计的模型可以看作是无约束模型：
t t t t e x x y +++=-110ββα
在约束条件：0=βR 之下所得到的估计。这里，()1,0,0=R ，()10,,ββαβ=' 。 设无约束模型的OLS 残差向量为e ，带约束模型的OLS 残差向量为R e ，则有：
2520
1
?2
='=e e σ
，从而可得到：500252?202=?=='σ
e e 令()
()331
?-='=ij c X X C ， 则有 22
1?0?1
c t -=
ββ，从而可得到：0256.0?2
?122
1=???
?
??=ββt c 注意到带约束模型的OLS 残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系：
()()[]()
47.50347.35001???22
21
11=+=+'='''+'='--c e e R R X X R R e e e e R R βββ 由 SST e e SST SSE R '-=-
=112
， 可推得：2
1R
e
e SST -'= 同理，由SST
e e R R
R R '-
=12
可推得：()
22111R e e e e SST e e R R R R R R -''-='-=
所以，()
86.024.0500
47.50311122
=?-=-''-=R e e e e R R
R R
3、对线性回归模型：
'i i i y x βε=+ ， （n i ,,2,1 =） ------------ （1）
满足 0≠i i Ex ε。假定 i z 可以作为i x 合适的工具变量，且2
(|)Var Z I εσ=，请导出工具变量估计量，并给出它的极限分布。
解：由于0≠i i Ex ε，所以参数向量β的OLS 估计将是不一致的。假定 i z 可以作为i x 合适的工具变量，对模型进行变换：
i i i i i i z x z y z εβ+'= ----------------- （2） 从而有：
∑∑∑===+'=T
i i i T i i i T
i i
i z x z y
z 1
1
1
εβ ----------------- （3）
根据： 0]1
[
1
=∑=T
i i
i z T
E ε， ∑∑=='=T
i i
i T
i i
i z z T z T
V 1
2
1
]1
[σε -------- （4） 并且 00)1lim()1lim(1
1=?='∑∑==zx T
i i i T i i i M z T p x z T p ε
所以运用OLS 估计方法，可得： ??
?
?????????'=∑∑=-=T i i i T i i i IV y z x z 11
1?β ----------------（5） 注意到：(
)
??
?
?
????????'=-∑∑=-=T
i i i T i i i IV
z T
x z T T 11
11
1?εββ 由（4）和中心极限定理，可得：
()
ββ-IV T ? 的极限分布为正态()ZZ M N 2,0σ分布，其中：∑='=T i i i zz z z T p M 1
1lim
也就是，：???
? ??zz a
IV M T N 2
,~?σββ
4、考虑如下受限因变量问题：
1）、二元离散选择模型中的Logit 模型，在给定i x ，N i ,,2,1 =条件之下1=i y 的条件概率为：
{}()()
exp Pr 1|1exp i i i i i x p y x x ββ'==='+