一、气体动理论
1、理想气体状态方程
例1：（15 分）每边长76cm 的密封均匀正方形导热细管按图1 所示直立在水平地面上，稳定后，充满上方AB 管内气体的压强76cmHg AB p =，两侧BC 管和AD 管内充满水银，此时下方DC 管内也充满了该种气体。不改变环境温度，将正方形细管按图2 所示倒立放置，稳定后试求AB 管内气体柱的长度AB l 。（用计算器作数值近似计算，给出3 位有效数字答案。） （第26届全国部分地区大学生物理竞赛）
解：初始状态AB 内气体压强 176cmHg p = 体积 10V l S = 其中 076cm l =
初始状态CD 内气体压强
2176cmHg=152cmHg p p =+ 体积 20V l S =
倒立稳定后设竖直管内水银柱下降x cm 则AB 内气体压强与CD 内气体压强关系为
1
20p p l x ''=+- 两管内气体的体积分别为 ()102V l x S '=- ()202V l x S '=+ 由玻意耳－马略特定律知
111
1p V p V ''= 222
2p V p V ''= 因而
102000022p l p l
l x l x l x
=+--+
解得 19.6cm x =
所以 76236.8cm AB l x =-=
2、压强公式、能量按自由度均分定理
例２： 将温度为1T 的1mol 2H 和温度为2T 的1mol He 相混合，在混合过程中与外界不发生任何能量交换，若这两种气体均可视为理想气体，则达到平衡后混合气体的温度为______________。 （湖南省第一届大学生物理竞赛） 解：混合前后内能不变
125353
2222
RT RT RT RT +=+ 所以 ()121
538
T T T =+
例3：求常温下质量为 21 3.010M =? kg 的水蒸气与 22 3.010M =? kg 的氢气的混和气体的定体比热。
解：常温下水蒸气和氢气分子都是刚性分子
13V C R = ， 25
R 2
V C =
混合气体的热容
121212
total V V M M
C C C μμ=+
混合气体的顶替比热 12121212300300530.0180.0022300300V V M M R C C R c M M μμ++==++ 35.8610=? 11J kg K --??
3、速率分布函数
例4：由N 个粒子组成的热力学系统，其速率分布函数为
()()00
0,00,C v v v v v f v v v ?-<≤=?>?
求：（1）常数C ；
（2）作出速率分布示意图；
（3）速率在1v （0v <）附近单位速率范围内的粒子数；
（4）速率在0
0~3
v v 间隔内的粒子数及这些粒子的平均速率； （5）粒子的最概然速率、平均速率、方均根速率。
解：
（1） 由速率分布函数的归一化条件 ()0
1f v dv ∞
=?
即
()0
00
1v C v v v dv -=?
30
6C v =-
（2） 速率分布函数为
()()00
3006
,00,v v v v v v f v v v ?-<≤?=??>?
速率分布曲线如图所示。
（3）速率在1v （0v <）附近单位速率范围内的粒子数为
()()101130
6
Nf v v v v v =
- （4）速率在0
0~3
v v 间隔内的粒子数为 ()0
03
v v N Nf v dv ?=
?
()0
003306v v N v v v dv v =-?
2027
N = 这些分子的平均速率为
()()()()0
000000
00333
3
3
v v v v v v v v v v vNf v dv vf v dv v Nf v dv
f v dv
=
=
?
?
?
?
:
()()0
00
02
3000
3
13
0.6520
v v v v v v v dv v v v
v v dv
-==
=-?? （5）由
()
0p
v v
df v dv == 01
2
p v v =
平均速率为 ()()0
2
03
000
6
1
2
v v vf v dv v v v dv v v ∞
==-=?? 由 ()()0
2
2
32
03
00
6
0.3v v v f v dv v v v dv v v ∞
=
=-=?
? 得方军跟速率为
000.55v ==
4、麦克斯韦速率分布律、玻耳兹曼分布律
例5：理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分布函数
()232
2/242mv kT
m f v v e
kT ππ-??= ???
，可导得分子平动动能在ε到d εε+区间的概率为()f d εε= , 其中
212
mv ε=。再根据这一分布式，可导得分子平动动能的最可几值p ε= 。
（第24届全国部分地区大学生物理竞赛）
解：气体分子速率在v —v dv +范围内的概率为
()232
2
/242mv kT
m f v dv v e
dv kT ππ-??= ???
对应的平动动能范围为 ε—d εε+
对应关系为
12
2v m ε??= ???
，
12
dv ε-==
可得分子平动动能在ε到d εε+区间的概率
(
)32
242m f d e m
kT ε
εεπεπ??= ?
??
)
13
2
2
kT
kT e
d ε
εε-
-=
由
()
0p
df d εε
εε== 得平动动能的最可几值为 12
p kT ε=
5、平均碰撞频率、平均自由程、输运现象
例6：分子有效直径为0.26 nm 的某种气体，在温度为0oC ，压强为51.0110?帕时，它的分子热运动平均自由程为 nm ，一个分子在1.0 m 的路程上与其他分子碰撞 次。（玻耳兹曼常量为2311.3810J K --??） （第18届全国部分地区大学生物理竞赛）
解：分子的平均自由程为
124.3nm λ=
== 一个分子在1.0 m 的路程上与其他分子碰撞次数为
61
8.0510nm λ
=?
6、范德瓦尔斯气体的性质
例7： (本题 4分)(4870)
一定量的理想气体在真空中绝热膨胀后，其 温度___________（ 升高、降低或不变）．
一定量的范德瓦尔斯气体在真空中绝热膨胀后，其温度__________（升高、降低或不变）．
（参加湖南省第五届大学生物理竞赛集训考查试卷二） 解：自由膨胀 0A =
吸收热量 0Q =
自由绝热膨胀前后内能不变
（1）对理想气体来说， ()E E T =内能只是温度的函数，温度不变 （2）对范德瓦耳斯气体来说，其摩尔内能 0,V m m
a E C T V =-
因而温度降低。
例8：真实气体在气缸内以温度 1T 等温膨胀，推动活塞作功，活塞移动距离为L 。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考虑时为 ( )；若仅考虑分子之间存在吸引力去计算功，比不考虑时为 ( )。
(a)大；(b)小；(c)一样。
解：可以以范德瓦耳斯气体为例进行分析 2m m
RT a
p V b V =
--
1摩尔范氏气体等温膨胀过程中对外做功为
2
2
11
12m m m m V V m m V
V m m RT a A pdV dV V b V ??
==- ?-????
21
12
111ln m m m m V b RT a V b V V ??
-=+- ?-?? 1moer 理想气体等温膨胀过程中对外做功为 2
11
ln m m V RT V
（1）仅考虑分子占有体积时，可取0a = 221111
ln
ln m m m m V b V
RT RT V b V ->-
（2）仅考虑分子之间存在吸引力时，可取0b =
2211
12
1111ln ln m m m m m m V V RT a RT V V V V ??+-< ???
二、热力学基础
1、热力学第一定律在理想气体典型过程中的应用
例9：(本题14 分)
如图，体积为30L 的圆柱形容器内，有一能上下自由滑动的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有1摩尔、温度为127℃的单原子分子理想气体．若容器
外大气压强为1 标准大气压，气温为27℃，求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少？（普适气体常量-118.31J mol K R -=??） （2012年长沙理工大学第七届大学生物理竞赛）
解：首先确定气体的初末状态 初始状态的温度 1400K T =
若假设初始状态的体积为 23
1310m V -=?
则其压强为 51
101
1.10810Pa RT p p V =
=?> 可见开始时活塞位于顶部。
终态时气体的温度为 2300K T =
压强为 5
20 1.01310Pa p p ==? 体积为 232
22
2.4610m RT V p -==? 解法一：
氮原子分子气体的等体摩尔热容为 ,32
V m C R = 整个过程中气体对外做功
()021547.0J A p V V =-=- 气体内能增量为
()()3,21213
1.2510J 2
V m E C T T R T T ?=-=
-=-? 根据热力学第一定律，气体吸收的热量为
()3
,21 1.7910J V m Q E A C T T =?+=-=-? 所以整个过程中气体向外放热3
1.7910J ?
解法二：
整个过程分为两个阶段：先等体降温至 5
20 1.01310Pa p p ==?，此时温度为
3T ，再等压降温至 2300K T =
2
3
11
365.7K p T T p ==
等体过程中吸收热量为
()()1,31313
428J 2
V m Q C T T R T T =
-=-
=-
等压过程中吸热为
(
)
()
2,23235
1365J 2
p m Q C T T R T T =-=-=-
整个过程中气体吸收的热量为 3
12 1.7910J Q Q Q =+=-?
所以整个过程中气体向外放热3
1.7910J ?
例10：有一个两端封闭的气缸，其中充满空气。缸中有一个活塞，把空间分成相等的两部分，这时两边空气的压强都是 501001.1?=p Pa 。令活塞稍偏离其平衡位置而开始振动，求振动周期。设气体进行的过程可认为是绝热的，空气的4.1=γ，活塞的摩擦可不计，并已知活塞质量 5.1=m kg ，活塞处于平衡位置时离缸壁的距离 200=l cm ，活塞面积 100=S cm 2 （提示：活塞位移与 l 之比的高次方可以忽略。） （热学习题）
解一：以活塞平衡位置为坐标原点，向右为证方向，建立坐标系。 设活塞向右移动一个微小量 x 根据绝热过程方程 const pV =γ
V
p
dV dp γ-= ? V
dV
p dp γ-=
因而 00011l x p Sx V x S p V Sx
p dp γγγ-≈+-=-= 0
0022l x
p Sx V x S p V x S p dp γγγ≈-== 活塞受力 ()()()120102F p p S p dp p dp S =-=+-+???? 00
2x
p S
l γ≈-
根据牛顿第二定律
20202x d x
p S m l dt γ-=
202
20p S
d x x dt ml γ+= 22
20d x x dt
ω+= （圆频率 ） 0
02ml S
p γω=
S
p ml T 00
222γπ
ω
π
=== 0.065 秒
解二：左边气体
()γγV V p V p ?+=0100
00000
1p x l l p V
V V p γ
γ
???
? ??+=???? ???+= 右边气体
()γ
γV V p V p ?-=0200
000
0002p x l l p V V V p γ
γ
???
?
??-=????
???-=
()0012000l l F p p S p S l x l x γγ??
??????=-=- ? ?+-????????
令 γ
γ
???
?
??+-???? ??-=x l l x l l x f 0000)(
00001
11111x x x x l l l
l γγ
γγ
--????
? ?????
? ?=-=+-- ? ? ? ?????
+- ? ?
?
??
?
()()000112x x l l x
l γγγ?
?????≈+--+--??
?????????≈- 00
2p S
F x l γ≈- 以下同解法一。
例11：有n mol 的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图中0p ，0V 是已知量，ab 是直线，求：
ω
（1）气体在该过程中对外界所作的功和吸收的热量；
（2）在该过程中，温度最高值是什么？最低值是什么？并在p V -图上指出其位置。
解：
（1）气体初态和末态的状态分别为 03a p p =， 0a V V = 0b p p =， 03b V V = 由于 a a b b p V p V =
所以 00
3a b p V T T nR
==
内能增量
0E ?= 气体对外做功
A =曲线ab 下的面积
()()0000001
3342
p p V V p V =+-= 根据热力学第一定律，吸收热量为 004Q E A p V =?+= （2）过程方程为
00
4p p V p V =-+ 过程中某一状态(),p V 的温度为
2
0004p p pV T V V nR nRV nR
==-+ 极值满足条件
000240p p dT V dV nRV nR
=-+=
可得 02V V =
0000
242p p V p p V =-+= 因为 202
20p d T dV nRV =-< 此状态温度为极大值 所以 00
max 4p V T nR
=
极小值点在端点a 或b 00min
3p V T nR
=
例12： 摩尔质量为 mol M ，摩尔数为 ν 的单原子理想气体进行了一次x 过程，在p V -图上过程曲线向下平移0p 后恰好与温度为0T 的等温曲线重合，则x 过程的方程V T -关系式是什么？x 过程的比热c 与压强p 的关系为 。
解：（1）x 过程的过程曲线向下平移0p 后恰好与温度为0T 的等温曲线重合，由此可得过程方程为 ()00p p V RT ν-=
即
00pV p V RT ν-= 00RT p V RT νν-= 所以该过程的V T -关系式为 ()00
R
V T T p ν=-
两边微分得 0
R
dV dT p ν=
（2）考虑x 过程中的一个元过程，温度改变dT ，体积改变dV 根据热力学第一定律 dE dQ dA =- 可得
,V m C dT dQ pdV ν=-
32R
RdT dQ p
dT p νν=- 032p dQ R dT p ν??
=+ ???
根据x 过程比热的定义 1x
dQ c M
dT ??= ??? 可得 003
322mol R p R p c M p M p ν????=+=+ ? ?????
2、循环过程功、热、效率计算
例13：定体摩尔热容量V C 为常量的某理想气体，经历如图所示的pV 平面上的两个循环过程1111A C B A 和2222A C B A ，相应的效率分别为1η和2η，试证1η与2η相等。
（湖南省第四届大学生物理竞赛）
证明：
11B A 是过原点的直线，方程为
kV p =（k 为常数），即常数1
=-pV
因此直线过程11B A 是多方指数1-=n 的多方过程。
考虑到 )()(121
1
V V k p p A B -=-，循环过程1111A C B A
对外做功为
21212121)(2
1
))((21))((211111V V k V V p p V V p p W A B C B -=--=--=
11C B 为等体降压过程，温度降低，气体放热；11A C 为等压压缩过程，温度降低，气体放热。循环过程1111A C B A 的吸热就是11B A 过程的吸热量：
)
(1)
(11)(1)
(11)(212
211211111111V V R k n n C V p V p R n n C T T n n C M T T R M
n T T C M W E Q V A B V A B V A B A B V ---=---=---=--+-=+?=γγγμμ
μ 其中V
P C C
=γ为气体绝热指数。
因此， 1111A C B A 循环过程的效率为 )
)(()
)(1(21212111V V n V V n C R Q W V +---==γη
由上可知，1η与11B A 直线过程的斜率无关，只与1V 、2V 有关。因此，只要1V 、2V 相同，则效率相同。于是，2222A C B A 循环过程的效率2η也应为
))(()
)(1(212122V V n V V n C R V +---=γη
12ηη=
例14：如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住．图中K 为用来加热气体的电热丝，MN 是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为 3101-? m 3．开始时活塞在位置Ⅰ，系统与大气同温、同压、同为标准状态．现将小砝码逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达位置Ⅲ时停止加砝码；然后接通电源缓慢加热使活塞至Ⅱ；断开电源，再逐步移去所有砝码使气体继续膨胀至Ⅰ，当上升的活塞被环M 、N 挡住后拿去周围绝热材料，系统逐步恢复到原来状态，完成一个循环． (1) 在p －V 图上画出相应的循环曲线； (2) 求出各分过程的始末状态温度； (3) 求该循环过程吸收的热量和放出的热量． （2010年湖南大学大学生物理竞赛）
（2012年浙江省大学生物理创新竞赛）
解：
（1）共四个过程：绝热压缩、等压膨胀、绝热膨胀和等体降温降压过程 循环过程曲线如图所示
2T
（2）根据题意知开始时即状态1的压强、温度和体积分别为 51 1.01310Pa p =?， 1273K T =， 331310m V -=?
状态2的体积 2113V V =，状态3的体积 312
3
V V =
刚性双原子分子的等体摩尔热容 ,52V m C R =， 比热比 7
5
γ=
由12→是绝热过程，可得
1
111
22TV T V γγ--= 所以 1
1212424K V T T V γ-??
== ???
由23→是等压过程
3322
848K V
T T V ==
由34→是绝热过程，可得 113344T V T V γγ--=
所以 1
3434721K V T T V γ-??
== ???
（3）完成一个循环吸收的热量为 ()112,32p m Q Q C T T ν==-
()()3211
321
37
2721.6510J
R T T p V T T T ν=-=-=?
P
V 1
V 2 V 3
放出的热量为
()241,41V m Q Q C T T ν==-
()()4111
411
35
2521.2410J
R T T p V T T T ν=-=-=?
例15：如图所示，一金属圆筒中盛有1 mol 刚性双原子分子的理想气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中，迅速推动活塞，使气体从标准状态（活塞位置I ）压缩到体积为原来一半的状态（活塞位置II ），然后维持活塞不动，待气体温度下降至0 oC ，再让活塞缓慢上升到位置I ，完成一次循环。 （1）试在P V -图上画出相应的理想循环曲线；
（2）若被100次循环放出的总热量全部用来熔解冰，则有多少冰被熔化？ （已知冰的熔解热5-13.3510J kg λ=??，普适气体常量-118.31J mol K R -=??） （
2011年长沙理工大学第六届大学生物理竞赛）
解：
（1）整个循环由绝热压缩、等体降温降压和等温膨胀三个过程组成，循环曲线如图所示
P V 1 V 2
（2）刚性双原子分子的等体摩尔热容 ,52V m C R =
， 比热比 75
γ= 初始状态1的温度 1273K T =，状态2的体积 211
2
V V =
由12→是绝热过程，可得
1
111
22TV T V γγ--= 所以 1
0.4121122360.2K V T T T V γ-??
=== ???
等体过程放出热量为
()23,23V m Q C T T ν=- ()
2135
21.8110J
R T T =
-=?
等温膨胀过程吸热
131113
ln ln 2V
Q RT RT V ==
31.5710J =?
一个循环过程中净放出的热量为 2331239.6J Q Q Q =-=
所以100次循环中，熔化的冰的质量为
21007.1610kg Q
M λ
-==?
例16：（15 分）n 摩尔单原子分子理想气体所经循环过程ABCA 和相关状态量如图所示，其中AB 是斜直线，BC 是等温线，CA 是等压线。 （1）计算三段过程的每一段过程中，系统对外作功量； （2）计算每一段过程中，系统内能的增加量； （3）计算每一段过程中，系统的吸热量； （4）计算此循环过程的效率。
（注：如需要可参考下列数据：ln 20.6931=，
ln3 1.099=， ln5 1.609=） （第27届全国部分地区大学生物理竞赛）
3、卡诺循环的效率和制冷系数
例17：（本题6分）如图所示，123415641 为某种一定量的理想气体进行的一个循环过程，它是由一个卡诺正循环12341 和一个卡诺逆循环15641 组成．已知等温线温度比T1 / T2 = 4，卡诺正逆循环曲线所包围面积大小之比为S1 / S2 = 2．求循环123415641的效率 ．
（大学物理竞赛选拔试卷）
解：
由于S 1 / S 2 = 2，完成一个循环对外做了净功，净吸收了热量。 对于正循环
1213424Q T
Q T ==
12344Q Q =
正循环中对外做功
11234343A Q Q Q =-= 对于逆循环
1516424Q T
Q T ==
15644Q Q =
逆循环中外界对系统做功
21564643A Q Q Q =-= 由
1122
2A S
A S == 126426A A Q == 34642Q Q = 12648Q Q =
完成一个完整的循环，系统吸收的总热量为 11264649Q Q Q Q =+=
循环的效率为
126411643193
A A Q A
Q Q Q η-====
例18：四个恒温热源的温度之间关系为T 1 = αT 2 = α2T 3 = α3
T 4，其中常数α > 1。工作于其中两个任选热源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可取值ηmax =__________。由这四个热源共同参与的某个可逆循环如图所示，图中每一条实线或为T 1、T 2、T 3、T 4等温线，或为绝热线，中间两条实线与其间辅助虚线同属一条绝热线。此循环过程效率η=______________。
（第25届全国部分地区大学生物理竞赛）
解：
（1） 3min 4max max 1
111T T
T T ηα-=-
=-=- （2）工作于T 1和T 3之间卡诺循环的效率
232111
111T Q
Q T ηα-=-=-=-
工作于T 2和T 4之间卡诺循环的效率
224212
111Q T
Q T ηα-'=-=-=-'
整个循环的效率为
()()21222
1111111Q Q Q Q Q Q Q Q αηα--'-+'+=-=-=-''
++
4、应用热力学第二定律证明或判断
例19：将系统的等温线简称为T 线，绝热线简称为S 线。图1、2 中T 线与S 线都有两个交点，这两幅图中违反热力学第一定律的是 （填“图1”或“图2”或“图
1
和图2”），违反热力学第二定律的是 （同上）。 （第27届全国部分地区大学生物理竞赛）
解：
（1）完成一个正循环过程中系统对外做功 0A > 从温度为T 的单一热源吸收热量 0Q < 违反热力学第一定律和热力学第二定律
（2）完成一个正循环过程中系统对外做功 0A > 从温度为T 的单一热源吸收热量 0Q > 违反热力学第二定律
5、熵增的计算、热二律的数学表达式与最大功
例20：如图，一内壁光滑的绝热圆筒，A 端用导热壁封闭，B 端用绝热壁封闭，筒内由一不漏气的绝热活塞隔开。开始时，活塞位于圆筒中央，由活塞分隔开的两部分气体1和2完全相同，每部分气体的摩尔数为n ，温度为0T ，体积为0V ，气体的定体摩尔热容V C 、比热容比γ均可视为常量。现在从A 端的导热壁徐徐加热，活塞缓慢右移，直至气体2的体积减半。求此过程中： （1）气体1吸收的热量；
（2）气体1的体积1V 和压强1P 的关系； （3）整个系统熵的改变量。
（湖南省第一届大学生物理竞赛）
解：
（1）11Q E A =?+
其中1A 为1压缩2的功，等于气体2内能的增量 ()120V A nC T T =-
又1
102002V T T V γγ--??= ?
??
，得 1202T T γ-=
所以 ()
11021V A nC T γ-=-
气体1、2体积改变后压强相等，有1002000
0002V V P PV nRT nRT V V γ
γγ
γ-??=== ???
得 0
202nRT P V γ=
对气体1， 111PV nRT =，且121032P P V V ==，， 可得110
032232
T T T γ
γ-==? 所以 ()()1
1100023V V E nC T T nC T T γ-?=-=?-
得 (
)
110221V Q E A nC T γ
=?+=-
A9\A10A 班初中物理竞赛热学训练试题 班级________学号_________姓名_________得分________ （时间：60分 满分100分） 1.液体表面分界线单位长度上的表面张力叫作表面张力系数，用下面方法可以测量液体的表面张力从而 求得液体的表面张力系数.如图所示，容器内盛有肥皂液，AB 为一杠杆，AC=15cm ，BC=12cm.在其A 端 挂一细钢丝框，在B 端加砝码使杠杆平衡.然后先将钢丝框浸于肥皂液中，再慢慢地将它拉起一小段距 离(不脱离肥皂液)，使钢丝框被拉起的部分蒙卜一层肥皂膜，这时需将杠杆B 端砝码的质量增加5.0×10 －4 kg ，杠杆才重新平衡(钢丝框的钢丝很细，在肥皂中受到的浮力可不计).则肥皂液的表面张力为( ).c (A)6×10－3N (B)14×10－3N (C)4×10－3N (D)3×10－3N 2.如图所示，若玻璃在空气中重为G 1，排开的水重为G 2，则图中弹簧秤的示数为( ). (A )等于G 1 (B )等于G 2 (C )等于(G 1－G 2) (D )大于(G 1－G 2) 3. 两个相同的轻金属容器里装有同样质量的水。一个重球挂在不导热的细线上。放入其中一个容器内，使球 位于容器内水的体积中心。球的质量等于水的质量，球的密度比水的密度大得多。两个容器加热到水的沸点，再冷却。已知：放有球的容器冷却到室温所需时间为未放球的容器冷却到室温所需时间的k 倍。试求制作球的物质的比热与水的比热之比c 球:c 两个完全相同的金属球a 、b,其中a 球放在不导热的水平面上,b 球用不导热的细线悬挂起来。现供给两球相同的热量，他们的温度分别升高了△ta 、△tb ，假设两球热膨胀的体积相等，则 A.△ta>△tb B.△ta<△tb C.△ta=△tb D.无法比较 4.水和油边界的表面张力系数为σ=1.8×10-2N ／m ，为了使1.0×103kg 的油在水内散成半径为r =10－ 6m 的小油滴，若油的密度为900kg ／m 3，问至少做多少功? 5.炎热的夏季，人们通过空调来降低并维持房间较低的温度，在室外的温度为1T 时，要维持房间0T 的温度，空调每小时工作0n 次。已知一厚度d ，面积为S 的截面，当两端截面处的温度分别为a T 、b T ，且b a T T >，则热量沿着垂直于截面方向传递，达到稳定状态时，在t ?时间内通过横截面S 所传递的热量为： t S d T T K Q b a ?-= （其中K 为物质的导热系数。） 求：（1）当室外的温度升高到2T 时，如房间的温度仍然维持为0T ，则空调平均每小时工作多少次？ （2）设房屋墙壁以及顶部的厚度均为L 、导热系数为1K ，如房间内再增加一厚度均为l 、导热系数为2K 的保温涂层，在室外的温度为1T ，房间的温度仍然维持为0T ，那么空调平均每小时工作多少次？（不考虑门窗及地面的热传导） 6.一个老式的电保险丝，由连接在两个端纽之间的一根细而均匀的导线构成。导线按斯特藩定律从其表面散热。斯特藩定律指出:辐射功率P 跟辐射体表面积S 以及一个与温度有关的函数成正比，即 () ,44外辐T T S P -∞ 试说明为什么用保险丝时并不需要准确的长度。
高中物理竞赛热学教程 第五讲机械振动和机械波 第一讲 温度和气体分子运动论 第一讲 温度和气体分子运动论 §1。1 温度 1．1．1、平衡态、状态参量 温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。 热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。 系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P 、V 、T 就是气体的状态参量。 气体的体积V 是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m 3 。 1m 3 =103L=106 cm 3 气体的压强P 是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p a 。 1atm=76cmHg=1.013?105 p a 1mmHg=133.3p a 1．1．2、 温标 温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是： 1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。 2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K 。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。 3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。 1．1．3、理想气体温标 定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。 T(P)=αP α是比例系数，对水的三相点有 T 3= αP 3=273.16K P 3是273.16K 时定容测温泡内气体的压强。于是 T(P)=273.16K 3P P (1) 同样，对于定压气体温度计有 T(V)=273.16K 3V V (2) 3V 是273.16K 时定压测温泡内气体的体积。 用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有)()(V T P T ≠。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K ，定义式为 T=lim 0 →p T(V)=lim 0 →p T(P) =273.16K lim →p 3V V =273.16K lim 0→p 3P P (3) 1．1．4、热力学温标 理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K ～1000℃)，T ＜1K ，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。 国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。 国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是： t=T-273.15o (4) 这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为5?108 -K ， 但是绝对零度是不可能达到的。 例1、定义温标t *与测温参量X 之间的关系式为t * =ln(kX),k 为常数 试求：(1)设X 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点 16.273*3=T ，试确定t *与热力学温标之间的关系。(2)在温标t * 中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t * 中，是否存在零度？ 解：(1)设在水三相点时，X 之值是3X ，则有273．16o =In(kX 3)将K 值代入温标t * 定义式，有 3316.273*16.273X X In X X e In t +=? ???? ?= (2) 热力学温标可采用理想气体温标定义式，X 是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有 30 lim 16.273X X K T x →= (3) 因测温物质是定容稀薄气体，故满足X →0的要求，因而(2)式可写成 ) lim ln(16.273lim 30 *X X t x x →→+= (4) 16.27316.273*T In t += 这是温标* t 与温标T 之间关系式。 (2)在热力学温标中，冰点K T i 15.273=，汽点K T s 15.373=。在温标* t 中其值分别为 16.27316.27315 .27316.273*=+=In t 47.27315.27315 .37316.273*=+=In t (3)在温标*t 中是否存在零度？令* t =0，有 K e T 116.27316.273<<=- 低于1K 任何气体都早已液化了，这种温标中* t =0的温度是没有物理意义的。 §1-2 气体实验定律 1．2．1、玻意耳定律
物理竞赛热学专题40题刷题练习（带答案详解) 1．潜水艇的贮气筒与水箱相连，当贮气筒中的空气压入水箱后，水箱便排出水，使潜水艇浮起。某潜水艇贮气简的容积是2m 3，其上的气压表显示内部贮有压强为2×107Pa 的压缩空气，在一次潜到海底作业后的上浮操作中利用简内的压缩空气将水箱中体积为10m 3水排出了潜水艇的水箱，此时气压表显示筒内剩余空气的压强是9.5×106pa ，设在排水过程中压缩空气的温度不变，试估算此潜水艇所在海底位置的深度。 设想让压强p 1=2× 107Pa 、体积V 1=2m 3的压缩空气都变成压强p 2=9.5×106Pa 压缩气体，其体积为V 2，根据玻-马定律则有 p 1V 1=p 2V 2 排水过程中排出压强p 2=9.5× 106Pa 的压缩空气的体积 221V V V '=-， 设潜水艇所在处水的压强为p 3，则压强p 2=9.5×106Pa 、体积为2V '的压缩空气，变成压强为p 3的空气的体积V 3=10m 3。 根据玻马定律则有 2233p V p V '= 联立可解得 p 3=2.1×106Pa 设潜水艇所在海底位置的深度为h ，因 p 3=p 0+ρ gh 解得 h =200m 2．在我国北方的冬天，即便气温很低，一些较深的河 流、湖泊、池塘里的水一般也不会冻结到底，鱼类还可以在水面结冰的情况下安全过冬，试解释水不会冻结到底的原因？ 【详解】 由于水的特殊内部结构，从4C ?到0C ?，体积随温度的降低而增大，达到0C ?后开始结冰，冰的密度比水的密度小。 入秋冬季节，气温开始下降，河流、湖泊、池塘里的水上层的先变冷，密度变大而沉到水底，形成对流，到达4C ?时气温如果再降低，上层水反而膨胀，密度变小，对流停止，“漂浮”在水面上，形成一个“盖子”，而下面的水主要靠热传导散失内能，但由于水
全国中学生物理竞赛真题汇编---热学 1.（19Y4） 四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol 的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为 31He 4.00310kg mol μ--=?? 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量． 2．（20Y3）（20分）在野外施工中，需要使质量m ＝4.20 kg 的铝合金构件升温；除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0oC 的1.200kg 的热水外，无其他热源。试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t 0＝10.0oC 升温到66.0oC 以上(含66.0oC)，并通过计算验证你的方案． 已知铝合金的比热容c ＝0.880×103J ·(k g·oC)－1 ， 水的比热容c ＝ 4.20×103J ·(kg ·oC)－1 ，不计向周围环境散失的热量． 3．（22Y6）(25分)如图所示。两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中。 磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m 的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂 直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为 尺0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S 的小液柱(质量不计)，液柱将l mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中．已知温度升高1 K 时，该气体的内能的增加量为5R ／2(R 为普适气体常量)，大气压强为po ，现令细杆沿导轨方向以初速V 0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移． 4．（16F1）20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1.汽缸中气体的温度； 2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 5．（17F1）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管 的长度ｌ＝76ｃｍ，管内封闭有ｎ＝1．0×10－3 ｍｏｌ的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76ｃｍＨｇ，每摩尔空 气的内能Ｕ＝ＣＶＴ，其中Ｔ为绝对温度，常量ＣＶ＝20．5Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1 ，普适气体常量Ｒ＝8．31Ｊ·（ｍ ｏｌ·Ｋ）－1 31Kr 83.810kg mol μ--=??31Xe 131.310kg mol μ--=??
高中物理竞赛练习7 热学一08.5 1．证明理想气体的压强p ＝ k n ε32，其中n 为单位体积内的分子数，k ε是气体分子的平均动能． 2．已知地球和太阳的半径分别为R 1＝6×106m 、R 2＝7× 108m ，地球与太阳的距离d ＝1．5×1011m ．若地球与太阳均可视为黑体，试估算太阳表面温度． 3．如图所示，两根金属棒A 、B 尺寸相同，A 的导热系数是B 的两倍，用它们来导热，设高温端和低温端温度恒定，求将A 、B 并联使用与串联使用的能流之比．设棒侧面是绝热的． 4．估算地球大气总质量M 和总分子数N ． 5．一卡诺机在温度为27℃和127℃两个热源之间运转．(1)若在正循环中，该机从高温热源吸热1．2×103 cal ， 则将向低温热源放热多少?对外作功多少?(2)若使该机反向运转(致冷机)，当从低温热源吸热1．2×103cal 热量，则将向高温热源放热多少?外界作功多少? 6．一定质量的单原子理想气体在一密闭容器中等压膨胀到体积为原来的1．5倍，然后又被压缩，体积和压强均减为1／3，且过程中压强与体积始终成正比，比例系数不变，在此压缩过程中气体向外放热Q o ，压缩后气体重新等压膨胀到原体积(气体在第一次等压膨胀前的状态)，为使气体等容回到上面提到的原状态(第一次膨胀前的状态)，需要传递给气体的热量Q 1是多少?
7．1 moI单原子理想气体初始温度为T o，分别通过等压和绝热(即不吸热也不放热)两种方式使其膨胀，且膨胀后末体积相等．如果已知两过程末状态气体的压强相比为1．5，求在此两过程中气体所做的功之和． 8．如图所示，两块铅直的玻璃板部分浸入水中，两板平行，间距d＝0．5 mm，由于水的表面张力的缘故，水沿板上升一定的高度h，取水的表面张力系数σ =7．3×10-2N·m-1，求h的大小． 9．内径均匀的U形玻璃管，左端封闭，右端开口，注入水银后；左管封闭的气体被一小段长为h1＝3．0cm 的术银柱分成m和n两段．在27℃时，L m＝20 cm，L n＝10 cm，且右管内水银面与n气柱下表面相平，如图所示．现设法使n上升与m气柱合在一起，并将U形管加热到127℃，试求m和n气柱混合后的压强和长度．（p o＝75cmHg） 10．在密度为ρ＝7．8 g·cm-3的钢针表面上涂一薄层不能被水润湿的油以后，再把它轻轻地横放在水的表面，为了使针在0℃时不掉落水中，不考虑浮力，问该钢针的直径最大为多少? 11．已知水的表面张力系数为σ1=7．26×10-2N·m-1，酒精的表面张力系数为σ2=2．2×10-2N·m-1．由两个内径相等的滴管滴出相同质量的水和酒精，求两者的液滴数之比．
大学物理竞赛训练题 热学(2) 一、选择题 1. 一定量的理想气体分别由初态a 经①过程ab 和由初态a ′经②过程a′cb 到达相同的终态b ，如p －T 图所示，则两个过程中气体从外界吸收的热量 Q 1，Q 2的关系为： (A) Q 1<0，Q 1 > Q 2． (B) Q 1>0，Q 1> Q 2． (C) Q 1<0，Q 1< Q 2． (D) Q 1>0，Q 1< Q 2． ［ ］ 2. 有两个相同的容器，容积固定不变，一个盛有氨气，另一个盛有氢气（看成刚性分子的理想气体），它们的压强和温度都相等，现将5J 的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氨气也升高同样的温度，则应向氨气传递热量是： ［ ］ (A) 6 J. (B) 5 J. (C) 3 J. (D) 2 J. 3. 某理想气体状态变化时，内能随体积的变化关系如图中AB 直线所示．A →B 表示的过程是 ［ ］ (A) 等压过程． (B) 等体过程． (C) 等温过程． (D) 绝热过程． 4.在所给出的四个图象中，哪个图象能够描述一定质量的理想气体，在可逆绝热过程中，密度随压强的变化？ ［ ］ 5. 气缸中有一定量的氦气(视为理想气体)，经过绝热压缩，体积变为原来的一半，则气体分子的平均速率变为原来的 ［ ］ (A) 24/5倍． (B) 22/3倍． (C) 22/5倍． (D) 21/3倍． 6. 对于室温下的双原子分子理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外所作的功与从外界吸收的热量之比W / Q 等于 ［ ］ (A) 2/3． (B) 1/2． (C) 2/5． (D) 2/7． 7. 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小(图中阴影部分)分别为S 1和S 2，则二者的大小关系是： (A) S 1 > S 2． (B) S 1 = S 2． (C) S 1 < S 2． (D) 无法确定． ［ ］ p ρ p (A) ρ p (C) ρ p (B)ρ p (D)
第16讲比热容 16.1 学习提要 16.1.1 燃料的热值 1.热值的概念 燃料燃烧时能放出热量，相同质量的不同燃料完全燃烧时放出的热量不一样。1千克某种燃料完全燃烧时放出的热量叫做这种燃料的热值，用字母q表示。 2.热值的定义 热值的定义式为q=Q/m 3.热值的单位 在国际单位制中，热值的单位是焦/千克（J/Kg），读作“焦每千克”。 16.1.2 比热容 1.比热容的概念 比热容简称比热，用字母c表示，是物质的特性之一，每种物质都有自己的比热容。比热容是指单位质量的某种物质，温度升高（或降低）1℃吸收（或者放出）的热量。 2.比热容的定义式 比热容的定义式为 c = Q/m△t 3.比热容的单位 比热容的单位是一个组合单位，在国际单位制中，比热容的单位是焦/（千克.℃），读作“焦每千克摄氏度”。 4. 比热容的测定 比热容是物质的特性之一，在许多热学问题上都要用到，所以测定物质的比热容很重要。在热传递过程中，如果没有热量的损失，那么低温物体吸收的热量应该等于高温物体放出的热量。 （1）实验原理：热平衡方程式Q 吸= Q放
（2）实验方法：实验室一般采用混合法来测定物质的比热容。 （3）实验器材：量热器、天平、温度计、待测金属块、适量的常温下的水和沸水。 （4）实验步骤：①用天平分别测量小桶、搅动器、适量的常温下的水、待测金属块的质量； ②将金属块放入沸水（100℃）中加热一段时间； ③在量热器小筒内装入适量的常温下的水，并用温度计测出水的温度t1； ④将金属块从沸水中取出，投入量热器的小筒内，合上盖子，用搅拌器上下搅 动，直到量热器中温度达到稳定为止。 ⑤用温度计测出混合温度t2. （5）实验结果：设量热器和搅拌器是由比热容为c的同种物质做成，总质量为m； 适量的常温下的水质量为m水，比热容为c水；待测金属块的质量为m金，比热 容为c金。 由于量热器、搅拌器、常温下的水的初温均为t1，待测金属块的初温为t2=100℃， 混合后温度为t2。由热平衡方程式Q吸= Q放。可得 cm(t1-t2)+c水m水（t2-t1）= c金m金（t0-t2） c金=[(cm+c水m水)（t2-t1）]/[m金(t0-t2)] 16.2 难点释疑 16.2.1 温度和热量 温度表示物体的冷热程度。不论物体处于哪一种状态，总有某一个确定的温度。物体在热传递过程中温度会发生变化，物体从外界吸收热量，其温度一般会上升；物体向外界放出热量，其温度一般会下降。当吸收热量和放出热量的过程结束后，物体的温度仍然有一个确定的值。 热量是物体在热传递过程中，吸收或放出热的多少。一个物体有某一个确定的温度值，并不能说一个物体就具有多少热量。所以不能说温度高的物体热量大，也不能说同一温度质量大的物体热量大。热量的多少只有在热传递过程中才具有意义。说的明确一点，热量只有在物体的温度发生变化或内能发生变化时才具有意义。 物体的温度是某一个确定的值，对应于物体处于某一种状态。物体吸收（或者放出）的热量是某一个确定的值，对应于物体一定的温度变化（或物态变化）。在热传度过程中，物
高中物理竞赛热学习题 热学2 姓名： 班级： 成绩： 1. 如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的p-V 图中的状态A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态B ，已知状态B 的压强与状态A 的压强之比为1/2 ，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，则状态B 与状态A 的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为 23RT ，R 为普适气体常量，T 为热力学温度. 2.有一气缸，除底部外都是绝热的，上面是一个不计重力的活塞，中间是一块固定的导热隔板，把气缸分隔成相等的两部分A 和B ，上、下各有1mol 氮气（52 U RT = ），现由底部慢慢地将350J 热量传送给缸内气体，求 （1）A 、B 内气体的温度各改变了多少？ （2）它们各吸收了多少热量。 3. 使1mol 理想气体实行如图所示循环。求这过程气体做的总功。仅用T 1，T 2和常数R 表示。 （在1-2过程，12P T α= ）
4.如图所示，绝热的活塞S 把一定质量的稀薄气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内．活塞可在气缸内无摩擦地滑动．气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热．气缸处在大气中，大气压强为p0．初始时，气体的体积为V0、压强为p0．已知1 摩尔该气体温度升高1K 时其内能的增量为一已知恒量。，求以下两种过程中电热丝传给气体的热量Q1与Q2之比． 1 ．从初始状态出发，保持活塞S 位置固定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为p1 . 2 ．仍从初始状态出发，让活塞处在自由状态，在电热丝中通以弱电流，也持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V 2 ． 5. 图示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔和大气相通，大气的压强为p0。用一热容量可忽略的导热隔板N和一绝热活塞M将气缸分为A、B、C三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气，气缸的左端A室中有一电加热器Ω。已知在A、B室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A、B两室中气体的温度均为T0，A、B、C三室的体积均为V0。现通过电加热器对A室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q0，试求B室中气体末态体积和A室中气体的末态温度。设A、B 两室中气体1摩尔的内能 5 2 U RT 。R为普适恒量，T为热力学温度。
第一讲电场 §1、1 库仑定律和电场强度 1．1．1、电荷守恒定律 大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持 k 数， 0ε q F E = 式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。 借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为 2 2r Q k q r Qq k q F E === 式中r 为该点到场源电荷的距离，Q 为场源电荷的电量。
1．1．4、场强的叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强，等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。 原则上讲，有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例1、如图1-1-1（a ）所示，在半径为R 、体电荷密度 为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为R '的一个小球，小球球心O '与大球球心O 相距为a ，试求O '的电场强度，并证明空腔内电场均匀。 ρ,R O 1．1．5．电通量、高斯定理、 （1）磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数，其大小为θsin BS =Φ，其中θ 为截面与磁感线的夹角。与此相似，电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为 θ?sin ES = θ为截面与电场线的夹角。 高斯定量：在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为 ∑=i q k π?4 （ 041πε= k ） Nm C /1085.82120-?=ε为真空介电常 数 O O ' P B r a ）
式中k是静电常量，∑i q为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识，因此选取的高斯面即闭合曲面，往往和电场线垂直或平行，这样便于电通 量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求，但笔者认为简单了解高斯定律的内容，并 利用高斯定律推导几种特殊电场，这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 （2）利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场 一无限长直线均匀带电，电荷线密度为η，如图1-1-2（a）所示。考察点P到直线的 距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电，因此直线周围的电场在竖直方向分量为零， 即径向分布，且关于直线对称。取以长直线为主轴，半径为r，长为l的圆柱面为高斯面， E 图1-1-5
高中物理竞赛热学部分题选 1．一个老式的电保险丝，由连接在两个端纽之间的一根细而均匀的导线构成。导线按斯特藩定律从其表面散热。斯特藩定律指出:辐射功率P 跟辐射体表面积S 以及一个与温度有关的函数成正比，即 () ,4 4外辐T T S P -∞ 试说明为什么用保险丝时并不需要准确的长度。 解：设l 为保险丝长度，r 为其半径，P 为输至整个保险丝上的功率。若P 增大，保险丝的温度将上升， 直到输入的电功率等于辐射的功率。 所以当P 超过某一值max P 时，在一定的时间内，保险丝将烧毁，而 ( ) ,2144 max l r c T T kS P ??=-=π外熔 式中k 为一常数，S 为表面积，1c 为一常数。 由于P=I 2R ，假设保险丝的电阻R 比它所保护的线路电阻小很多，则I 不依赖于R ，而 ρρ ,S l R =为 常数，2 r S π=为保险丝的横截面积。 ,/22 r l I P πρ= 当rl c r l I 22 2/=时(这里2c 为另一常数)，保险丝将熔化。 .3 22 r c I = 可见，保险丝的熔断电流不依赖于长度，仅与其粗细程度(半径r)有关。 2．有两根长度均为50cm 的金属丝A 和B 牢固地焊在一起，另两端固定在牢固的支架上（如图21-3）。 其线胀系数分别为αA =1.1×10-5/℃，αB =1.9×10-5/℃，倔强系数分别为K A =2×106N/m ，K B =1×106 N/m ；金属丝A 受到450N 的拉力时就会被拉断，金属丝B 受到520N 的拉力时才断，假定支架的间距不随温度改变。问：温度由+30°C 下降至-20°C 时，会出现什么情况？（A 、B 丝都不断呢，还是A 断或者B 断呢，还是两丝都断呢？）不计金属丝的重量，在温度为30°C 时它们被拉直但张力为零。 解：金属A 和B 从自由状态降温，当温度降低t ?时的总缩短为 t l l l l B A B A ?+=?+?=?0)(αα （1） 而在-20°C 时，若金属丝中的拉力为F ，则根据胡克定律，A 、B 的伸长量分别为F/K A 和F/K B ， 所以 l K E K E B A ?=+ （2） t l K K F B A B A ?+-? ??? ??+0)(11αα （3） 所以 N K K t l F B A B A 50011)(0=+?+=αα 因为N F 450>，所以温度下降到-20°C 前A 丝即被拉断。A 丝断后。F=0，即使温度再下降很多，B 丝也不会断。 3．长江大桥的钢梁是一端固定，另一端自由的。这是为什么？如果在-10℃时把两端都固定起来，当温度升高到40℃时，钢梁所承担的胁强（压强）是多少？（钢的线胀系数为12×10-6/℃，弹性模量为2.0×105N/mm 2，g=10m/s 2） 解：长1m 、横截面积为1mm 2的杆，受到10N 拉力后伸长的量，叫伸长系数，用a 来表示，而它的倒数叫弹性模量E ，./1a E =当杆长为L 0m ，拉力为F ，S 为横截面积（单位为mm 2），则有伸长量
十年真题－热学（复赛） 1．（34届复赛7）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到A 为等温过程．双原子理想气体的定容摩尔热容为52 R ， R 为气体常量． （1）求直线AB 过程中的最高温度； （2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变 化的关系式，说明气体在直线AB 过程各段体积范围内 是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转 变时的温度T c ； （3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循 环过程中气体对外所作的净功． 解析：（1）直线AB 过程中任一平衡态气体的压强p 和体积V 满足方程p －p 0p 0－p 02＝V －V 02V 02 －V 0 此即 p ＝32p 0－p 0V 0 V ① 根据理想气体状态方程有：pV ＝νRT ② 由①②式得： T ＝1νR ????－p 0V 0V 2＋32p 0V ＝－p 0νR ????V －34V 02＋9p 0V 016νR ③ 由③式知，当V ＝34 V 0时， ④ 气体达到直线AB 过程中的最高温度为：T max ＝9p 0V 016νR ⑤ （2）由直线AB 过程的摩尔热容C m 的定义有：dQ ＝νC m dT ⑥ 由热力学第一定律有： dU ＝dQ －pdV ⑦ 由理想气体内能公式和题给数据有：dU ＝νC V dT ＝ν52 RdT ⑧ 由①⑥⑦⑧式得：C m ＝C V ＋p νdV dT ＝52R ＋????32 p 0－p 0V 0V 1νdV dT ⑨ 由③式两边微分得：dV dT ＝2νRV 0p 0(3V 0－4V ) ⑩ 由⑩式带入⑨式得：C m ＝21V 0－24V 3V 0－4V R 2 ? 由⑥⑩?式得，直线AB 过程中， 在V 从V 02增大到3V 04的过程中，C m ＞0，dV dT ＞0，故dQ dV ＞0，吸热 ? 在V 从3V 04增大到21V 024的过程中，C m ＜0，dV dT ＜0，故dQ dV ＞0，吸热 ? 在V 从21V 024增大到V 0的过程中，C m ＞0，dV dT ＜0，故dQ dV ＜0，放热 ?
图3-4-1 3．4 液体的表面张力 3．4．1、表面张力和表面张力系数 液体下厚度为分子作用半径的一层液体，叫做液体的表面层。表面层内的分子，一方面受到液体内部分子的作用，另一方面受到气体分子的作用，由于这两个作用力的不同，使液体表面层的分子分布比液体内部的分子分布稀疏，分子的平均间距较大，所以表面层内液体分子的作用力主要表现为引力，正是分子间的这种引力作用，使表面层具有收缩的趋势。 液体表面的各部分相互吸引的力称为表面张力，表面张力的方向与液面相切，作用在任何一部分液面上的表面张力总是与这部分液面的分界线垂直。 表面张力的大小与所研究液面和其他部分的分界线长度L 成正比，因此可写成 L f σ= 式中σ称为表面张力系数，在国际单位制中，其单位是N/m ，表面张力系数σ的数值与液体的种类和温度有关。 3．4．2表面能 我们再从能量角度研究张力现象，由于液面有自动收 缩的趋势，所以增大液体表面积需要克服表面张力做功，由图3-4-1可以看出，设想使AB 边向右移动距离△x ，则此过程中外界克服表面张力所做的功为 S x AB x f x F W ?=??=?=?=σσ22外 式中△S 表示AB 边移动△x 时液膜的两个表面所增加的总面积。若去掉外力，AB 边会向左运动，消耗表面自由能而转化为机械能，所以表面自由能相当于势能，凡势能都有减小的趋势，而S E ∞，所以液体表面具有收缩的趋势，例如体
积相同的物体以球体的表面积最小，所以若无其他作用力的影响，液滴等均应为球体。 例 将端点相连的三根细线掷在水面上，如图3-4-2所示，其中1、2线各长1.5cm ，3线长1cm ，若在图中A 点滴下某种杂质，使表面张力系数减小到原来的0.4，求每根线的张力。然后又把该杂质滴在B 点，求每根线的张力：已知水的面表张力系数α=0.07N/m 。 A 滴入杂质后，形成图3-4-3形 状，取圆心角为θ的一小段圆弧，该线段在线两侧张力和表面张力共同 作用下平衡，则有 1 )4.0(2 sin R a a aT θθ -=，式中 cm R πθ θ 25 .2,2 2 sin 1= ≈ 代入后得 0,1067.11432=?===-T N T T T 。 B 中也滴入杂质后，线3松弛即03='T ，形成圆产半径 π23 2= R cm ，仿上面 解法得 N aR T T 4 2211026.0-?=='='。 3．4．3、表面张力产生的附加压强 表面张力的存在，造成弯曲液面的内、外的压强差，称为附加压强，其中最简单的就是球形液面的附加压强，如图3-4-4所示，在半径为R 的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界面的面积是S '，底面积是S ，底面上的A 点极靠近球面)，此球冠形小液体的受力情况为： 在S 面上处处受与球面垂直的大气压力作用，由对称性易知，大气压的合力方向垂直于S 面，大小可表示为 S p F 0=。 A B 1 2 3 图3-4-2 图3-4-3
物理竞赛热学专题精编大全（带答案详解) 一、多选题 1．如图所示为一种简易温度计构造示意图，左右两根内径粗细均匀的竖直玻玻璃管下端通过软管相连接，在管中灌入某种液体后环境的温度。重复上述操作，便可在左管上方标注出不同的温度刻，将左管上端通过橡皮塞插入小烧瓶中。调节右管的高度，使左右两管的液面相平，在左管液面位置标上相应的温度刻度。多次改变烧瓶所在度，为了增大这个温度计在相同温度变化时液面变化的髙度，下列措施中可行的是（) A．增大液体的密度B．增大烧瓶的体积C．减小左管的内径D．减小右管的内径 【答案】BC 2．如图所示为两端封闭的U形玻璃管，竖直放置，管内左、右两段封闭空气柱A、B 被一段水银柱隔开，设原来温度分别为T A和T B，当温度分别升高△T A和△T B时，关于水银柱高度差的变化情况，下列说法中正确的是（） A．当T A＝T B，且△T A＝△T B时，h一定不变 B．当T A＝T B，且△T A＝△T B时，h一定增大 C．当T A＜T B，且△T A＜△T B时，h一定增大 D．当T A＞T B，且△T A＝△T B时，h一定增大 【答案】BD 【解析】 【详解】 AB.由于左边的水银比右边的高?，所以右边的气体的压强比左边气体的压强大，即P B> P A，设在变化的前后AB两部分气体的体积都不发生变化，即AB做的都是等容变化，则
根据P T =ΔP ΔT 可知，气体的压强的变化为ΔP=PΔT T ，当T A=T B，且ΔT A=ΔT B时，由于P B> P A，根据ΔP=PΔT T 可知ΔP B>ΔP A，?一定增大，故选项A错误，B正确； C.当T A
上海物理竞赛热学 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
8．质量相等的甲、乙两金属块，其材质不同。将它们放入沸水中，一段时间后温度均达到100℃，然后将它们按不同的方式投入一杯冷水中，使冷水升温。第一种方式：先从沸水中取出甲，将其投入冷水，当达到热平衡后将甲从杯中取出，测得水温升高20℃；然后将乙从沸水中取出投入这杯水中，再次达到热平衡，测得水温又升高了20℃。第二种方式：先从沸水中取出乙投入冷水，当达到热平衡后将乙从杯中取出；然后将甲从沸水中取出，投入这杯水中，再次达到热平衡。则在第二种方式下，这杯冷水温度的变化是（）A．升高不足40℃ B．升高超过40℃ C．恰好升高了40℃ D．条件不足，无法判断 5．食用冻豆腐时，发现豆腐内存在许多小孔，在小孔形成的过程中，发生的主要物态变 化是 ( ) A．凝固和熔化。 B．液化和升华。 C．凝华和熔化。 D．凝固和汽化。 7．如图24-3所示，从温度与室温（20℃左右）相同的酒精里取出温度计。温度计的示数会 ( ) A．减小。 B．增大。 C．先减小后增大。 D．先增大后减小。
14.星期天，小林同学在父母的协助下，从早上6:00开始每隔半小时分别对他家附近的气 温和一个深水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘成温度一时刻图线，如图24-9 所示。则可以判断 ( ) A．甲是“气温”图线，乙是“水温”图线，因为水的比热容比空气的大。B．甲是“气温”图线，乙是“水温”图线，因为水的比热容比空气的小。C．甲是“水温”图线，乙是“气温”图线，因为水的比热容比空气的大。D．甲是“水温”图线，乙是“气温”图线，因为水的比热容比空气的小。 21.将质量为m、温度为O℃的雪（可看成是冰水混合物）投入装有热水的容器中，热水的质量为M，平衡后水温下降了t；向容器中再投入质量为2m上述同样性质的雪，平衡后容器中的水温恰好又下降了t。则m:M为 ( ) A. 1:2 :3 C.1:4 :5。 5.现有一扇形的均质金属物体，该材料具有热胀冷缩的性质，如图所示。室温状 态下AB、CD边所成的圆心角为α。若使物体温度均匀升高，则α角的变化情况是：( ) (A)变大 (B)不变
8．质量相等的甲、乙两金属块，其材质不同。将它们放入沸水中，一段时间后温度均达到100℃，然后将它们按不同的方式投入一杯冷水中，使冷水升温。第一种方式：先从沸水中取出甲，将其投入冷水，当达到热平衡后将甲从杯中取出，测得水温升高20℃；然后将乙从沸水中取出投入这杯水中，再次达到热平衡，测得水温又升高了20℃。第二种方式：先从沸水中取出乙投入冷水，当达到热平衡后将乙从杯中取出；然后将甲从沸水中取出，投入这杯水中，再次达到热平衡。则在第二种方式下，这杯冷水温度的变化是（） 令狐文艳
A．升高不足40℃ B．升高超过40℃ C．恰好升高了40℃ D．条件不足，无法判断 5．食用冻豆腐时，发现豆腐内存在许多小孔，在小孔形成的过程中，发生的主要物态变 化是 ( ) A．凝固和熔化。 B．液化和升华。 C．凝华和熔化。 D．凝固和汽化。 7．如图24-3所示，从温度与室温（20℃左右）相同的酒精里取出温度计。温度计的示数会 ( ) A．减小。 B．增大。 C．先减小后增大。 D．先增大后减小。 14.星期天，小林同学在父母的协助下，从早上6:00开始每隔半小时分别对他家附近的气 温和一个深水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘成温度一时刻图线，如图24-9 所示。则可以判断 ( ) A．甲是“气温”图线，乙是“水温”图线，因为水的比热容比空气的大。
B．甲是“气温”图线，乙是“水温”图线，因为水的比热容比空气的小。 C．甲是“水温”图线，乙是“气温”图线，因为水的比热容比空气的大。 D．甲是“水温”图线，乙是“气温”图线，因为水的比热容比空气的小。 21.将质量为m、温度为O℃的雪（可看成是冰水混合物）投入装有热水的容器中，热水的质量为M，平衡后水温下降了t；向容器中再投入质量为2m上述同样性质的雪，平衡后容器中的水温恰好又下降了t。则m:M为 ( ) A. 1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5。 5.现有一扇形的均质金属物体，该材料 具有热胀冷缩的性质，如图所示。室温 状 态下AB、CD边所成的圆心角为α。 若使物体温度均匀 升高，则α角的变化情况是：( ) (A)变大 (B)不变 (C)变小 (D)无法确定 4．如果不考虑散热的影响，给一定质量的水加热，水的温