三角函数概念与规律
一．任意角
(1)角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l
是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l
r 与所取的r 的大小无关，仅与
角的大小有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
00
30
045
60
90
0120 0135 0150 180
270
360
6π 4π 3π 2
π 3
2π 4
3π 6
5π π
2
3π π2
⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1
2
|α|r 2.
二．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或
坐标的比值为函数值的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin 上为正、cos 右为正、tan 一三为正． (3)三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x ，但
p （x,y ）是终边上任意一点，它到原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y
x .
(4)．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段MP 为正弦
线
有向线段OM 为余弦
线
有向线段AT 为正切
线
(5)特殊角的三角函数值： sin 0
0= 0 cos 00= 1 tan 00= 0
sin30
0=
2
1
cos30
0=2
3
tan30
0=3
3
sin 045=2
2
cos 0
45=2
2
tan 0
45=1
sin60
0=2
3
cos60
0=
2
1 tan60
0=3
sin90
0=1 cos90
0=0 tan900无意义
三.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α
α
cos sin =tan α 四.诱导公式：
记忆口诀：2
k π
αα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：
奇变偶不变，符号看象限。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
如55sin sin ,cos cos 6666ππππαααα????????-=+-=-+ ? ? ? ?????????
口诀：函数名称不变，符号看象限．
()5sin cos 2π
αα??-=
???，cos sin 2παα??
-= ???
． 如：sin cos 63ππαα????-=+ ? ?????， c o s s i n 44ππαα????+=- ? ?????
()6sin cos 2π
αα??+=
???，cos sin 2παα??
+=- ???
． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
五正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，
五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2
3π
,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中， 五个关键点是：(0,1) (
2π,0) (π,-1) (2
3π,0) (2π,1)
2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x =
tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ??≠+∈Z ????
值域
[]1,1- []1,1-
R
函
数 性
质
最
值 当
22
x k π
π=+
时，
max 1y =；当22
x k ππ=- 时，min 1y =-．
当2x k π=时，
max 1y =；当2x k ππ=+
时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单
调
性 在2,22
2k k π
πππ??
-
+
???
?
上是增函数； 在32,22
2k k ππππ?
?++???
?
上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函
数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．
在,2
2k k π
πππ?
?
-
+
??
?
上是增函数．
对称
性 对称中心(),0k π 对称轴2
x k π
π=+
对称中心,02k π
π??+ ??
?
对称轴x k π=
对称中心,02k π??
???
无对称轴
3.周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=
2T 。正切函数：π
ω
4、函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的图像： （1）函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的有关概念： ①振幅：A ； ②周期：2π
ω
T =； ③频率：12f ω
π
=
=T ； ④相位：x ω?+； ⑤初相：?．
(2) 振幅变换
①y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 ②它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A ③若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折 A 称为振幅，这一变换称为振幅变换奎屯王新敞新疆 (3) 周期变换 ①函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 ω 1 倍（纵坐标不变） ②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图 ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换 (4) 相位变换 一般地，函数y ＝sin(x ＋?)，x ∈R (其中?≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?＞0时)或向右(当?＜0时＝平行移动｜?｜个单位长度而得到 (用平移法注意 讲清方向：“加左”“减右”) y ＝sin(x ＋?)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变 换称为相位变换 5、小结平移法过程（步骤） 6、函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最 作y=sinx （长度为2π的某闭区间） 得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上。 沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短ω?1 ω沿x 轴平 移|ω ? |个单位 纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短 大值为max y ，则()max min 12y y A = -，()max min 1 2 y y B =+ 六、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； （2）()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （3）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； （4）()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； （5）()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； （6）()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 七、二倍角的正弦、余弦和正切公式： 1、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan ααα = -． 2、()22sin cos sin ααα?A +B =A +B +，其中tan ?B =A ． 3（1）升幂公式 1+cos α=2 cos 22 α 1-cos α=2 sin 22 α 1±sin α=(2 cos 2 sin α α ±)2 1=sin 2α+ cos 2α sin α=2 cos 2 sin 2α α （2）降幂公式 sin 2α 2 2cos 1α -= cos 2 α 22cos 1α += sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 2 1 八．三角恒等变换 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角 与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是 2α的二倍；2α是4 α 的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12 cos π ； ③ββαα-+=)(；④ )4 ( 2 4 απ π απ --= +； ⑤)4 ( )4 ( )()(2απ απ βαβαα--+=-++=；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例 如常数“1”的代换变形有： o o 45tan 90sin cot tan cos sin 12 2 ===+=αααα （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处 理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对， 有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如： _______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α α ； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα； =αtan 2 ；=-α2tan 1 ； =++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ； =+ααcos sin = ； =+ααcos sin b a = ；（其中=?tan ；） =+αcos 1 ；=-αcos 1 ； （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理 化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。 如：=+)10tan 31(50sin o o =9 4cos 92cos 9 cos π ππ ； 九、解三角形 1．内角和定理：A + B + C = ，结合诱导公式可减少角的个数． 2．勾股定理：在Rt △ABC 中，有a 2 + b 2 = c 2． 3．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===(R 指△ABC 外接圆的半径) 注：(1) a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC ； (2) a = 2RsinA ，b = 2RsinB ，c = 2RsinC ； (3)sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 利用正弦定理，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角． 说明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1) 三内角和为180 ； (2) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (3) 面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===(ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 边上的高)； ②111 sin sin sin 2 22S ab C bc A ca B ===． (4) 三角函数的恒等变形： sin(A + B) = sinC ，cos(A + B) = cosC ，sin 2 A B += cos 2 C ，cos 2 A B += sin 2 C ． (5) 边角之间的不等关系： sin sin cos2cos2A B a b A B A B >?>?>?< (6) 使用正弦定理解三角形共有三种题型： 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形； 题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化． 例如：sin2A + 3sin2B = 2sin2C a 2 + 3b 2 = 2c 2． 题型3 三角形解的个数的讨论． 法一、画图看： 法二、通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数． 4．余弦定理及其变形： a2 = b2 + c2 --2bccosA，b2 = c2 + a2 -- 2cacosB，c2 = a2 + b2 --2abcosC； cosA = 222 2 b c a bc +- ，cosB = 222 2 c a b ca +- ，cosC = 222 2 a b c ab +- ． 说明：(1) 余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理．在变形中，注意三角形中其他条件的应用(同正弦定 理)．利用余弦定理构建方程 (2) 题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型： 题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形； 题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化 过程中需要构造公式形式； 题型3 判断三角形的形状． 结论：根据余弦定理，当a2 + b2 < c2、b2 + c2 < a2、c2 + a2 < b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2 + b2 > c2、b2 + c2 > a2、c2 + a2 > b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为 锐角三角形的结论． 5．判断三角形形状的方法： (1) 将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2) 将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A + B + C = π这个结论． 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．（两边含正弦是可约的，含余弦是不可约的。如在三角形中，有sin.cos sinB.cosC A C=，判断三角形的形状） 6．解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其它边角的问题 三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如：第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角，则 2 α是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制： 1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ） 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？ 例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数： 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值： ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线： 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式 三角角的概念及任意角 的三角函数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 课题 § 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 1．角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2．角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3．在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的 非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角 属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不 属于任何象限，它叫象限界角。 4．与α角终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+?=,360αββ 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相 同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5．正确理解角：“ 90~0间的角”指的是： 900<≤θ；“第 一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这三种角的 集合分别表示为： {} Z k k k ∈+?< 三角函数的概念、性质和图象 复习要求（以下内容摘自《考纲》） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理：）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理：A ab c b a cos 2222-+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9－1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、 “任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法． 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 题组一 一、 选择题 1．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理） 已知3cos( )||,tan 222ππ ???-=<且则等于 （ ） A ． B C D 答案 D. 2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大 值是 （ ） A B C ．2 D ．1 答案 A. 3.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)2 ,2(,3 1sin π πθθ-∈-=，则)2 3sin()sin(θππθ--的值是（ ） A 、 9 2 2 B 、922- C 、91- D 、91 答案 B. 4．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在区间[1,1]-上随机取一个数 ,cos 2 x x π的值介于0到 1 2 之间的概率为 （ ） A ．1 3 B ． 2 π C ． 1 2 D ． 23 答案 D. 5. （湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 已知cos()0,cos()0,2 π θθπ+<->下列不等式中必成立的是( ) A.tan cot 2 2 θ θ > B.sin cos 2 2 θ θ > C.tan cot 2 2 θ θ < D.sin cos 2 2 θ θ < 答案 A. 6．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）函数()3sin 23f x x π? ? =- ?? ? 的图像为C,如下结论中正确的是 （ ） A ．图像C 关于直线6 x π = 对称 B ．图像 C 关于点,06π?? ??? 对称 C ．函数()f x 在区间5,1212ππ?? - ??? 内是增函数 D ．由3sin 2y x =的图像向右平移 3 π 个单位长度可以得到图像C 。 答案 C. 7. （河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）若cos 2sin αα+=则 tan α= A.12- B.2 C.1 2 D.-2 答案 B. 8. （北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题） 已知，则 等于（ ） A ．7 B ． C ． D ． 答案 C. 9.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理） 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题： ①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[π π-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线4 3π =x 对称； ⑤当??????-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43??????- 其中正确的命题为 （ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④ 三角函数的定义练习题 一、选择题 1．已知a 是第二象限角,5 sin ,cos 13 a a ==则（ ） A ．1213 B ．513 - C ．513 D ．-1213 2．已知角的终边上一点（），且 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 3．已知点P(sin ，cos )落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为( ) A. B. C. D. 4．把表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A. B. C. D. 5．若α是第四象限角，则π－α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6．cos （ ）－sin( )的值是( )． A. B ．－ C ．0 D. 7．4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 8．已知3α=-，则角α的终边所在的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（ ） A ． 15 B ．15- C ．2 5 - D ．25 10．若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 11．若cos α=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P 点的横坐标x 是( ) (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)-2 12．若α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α= (A)15. (B)15-. (C)513. (D)513 -. 第七章 函数及其有关概念 一、角的概念： 1、正角、负角、零角：逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。 2、象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。 3、轴线角：角的终边落在坐标轴上的角。终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ；终边在y 轴上的角的集合： {} Z k k ∈+?=,90180| ββ；终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ。 4、终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+。 5、与α终边反向的角： (21)x k απ=++；终边在y=x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ；终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ 6、若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 7、成特殊关系的两角：（1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360；（2）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ；（3）若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度制：l R α= 角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 弧长公式：R l θ= ； 扇形面积：S=α2 2 12 1r r l =? 任意角三角函数： （一）任意角的三角函数定义： 三角函数 定义域 =)(x f sinx {}R x x ∈| =)(x f cosx {}R x x ∈| =)(x f tanx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cotx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 =)(x f secx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cscx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 （二）三角函数在各象限内的符号规律： 第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化 () 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 实用文档 §4.2三角函数的基本概念 【复习目标】 1． 掌握任意角三角函数的定义，能写出各三角函数的定义域，能判断三角函数的符号； 2． 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【重点难点】 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【课前预习】 1. 已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===． 2. 已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在)2,0[π内的α的取值范围 为 。 3. 已知,αβ均为第二象限角，且sin sin αβ>，则必有 （ ） A ．αβ< B ．tan tan αβ> C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ< 4. 填空： (1) 不等式x cos 22+≤0的解集是____________________________． (2) 函数1tan += x y 的定义域是______________________________． 【典型例题】 例1 已知角α终边上一点),3(y P -，且 y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值． 实用文档 例2（1）若0cos sin >?θθ，则θ在 （ ） (A) 第一、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、二象限期 （D ）第二、四象限 （2）若α是第二象限角，用2cos |2cos |α α-=，则2α是 （ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限期 （D ）第四象限 例3 已知锐角α终边上一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求α的弧度数． 【巩固练习】 1. 已知cos sin 1αα-<-，则α是第 象限角。 5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值. 第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O （3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念 【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ） 三角函数的概念 【第1课时】 【学习目标】 （1）借助单位圆理解任意角的三角函数定义． （2）掌握三角函数在各象限的符号． （3）掌握诱导公式一并会应用． （4）会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切. 【学习重难点】 三角函数的概念。 【学习过程】 一、自主学习 状元随笔三角函数的定义 （1）三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数． （2）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合． 知识点二：正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 知识点三：三角函数线 状元随笔（1）三角函数线的方向． 正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点． （2）三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值． 知识点四：三角函数值在各象限的符号 状元随笔对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知： （1）正弦值符号取决于纵坐标y的符号； （2）余弦值的符号取决于横坐标x的符号； （3）正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负． 知识点五：诱导公式一 （1）语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等． （2）式子表示??? sin α＋k ·2π＝sin α，cos α＋k ·2π＝cos α，tan α＋k ·2π＝tan α， 其中k ∈Z . 状元随笔诱导公式一 （1）实质：是说终边相同的角的三角函数值相等．即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次． （2）结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想． 教材解难： 正确认识三角函数线 （1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x 轴或y 轴同向的为正值，反向的为负值． （2）三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a 的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT ． （3）三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础． 基础自测： 1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ） A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT 则21x x -的最小值是_______ 3．不等式1tan - ,8 π = x )1(求?； )2(求函数)(x f y =的单调减区间； 证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切 例2 求下列函数的单调区间: );3 23sin(21)1(x y -= π )4cos()2(π--=x y 例3 已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数,其图象关于点)0,4 3( πM 对称,且在区间]2,0[π 上是单调函数,求?和ω的值. 练习：若函数)(x f y =的图象和)4 sin(π+=x y 的图象关于点 )0,4 (π M 对称，则 )(x f 的表达式是_________________ 【课堂检测】 1．函数x y 2sin =的对称轴方程为_________， 函数)2 cos(π +=x y 的对称中 心坐标为_________ 2．求下列函数的单调区间 （1）)34 sin(x y -=π ；（2）)cos (sin sin )(x x x x f -= 3．已知)sin(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，求θ的值. 【课后作业】 1．已知函数23sin cos cos ()y ωx ωx ωx R ωR =-∈∈3 x+， ，2 的最小正周期为π，且当6 πx =时，函数有最小值，(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的单调递增区间。 高中数学--三角函数的基本概念 题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 2 D 1:8 典例分析 【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第（ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈????Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈????Z ， C.5ππ6x x k k ??=+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ） A 180αβ=+o B 180αβ=-o C αβ=- D (21)180,k k Z αβ=++?∈o 高中数学-三角函数 考试容：角的概念的推广．弧度制． 任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义． （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”． §. 三角函数知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. SIN \COS 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域三角函数基本概念
三角函数的基本概念与诱导公式
三角角的概念及任意角的三角函数
上海教材三角函数的概念、性质和图象
任意角三角函数的概念教学设计
三角函数的概念
(完整版)三角函数定义练习题
第七章 三角函数及其有关概念
-高中三角函数知识点复习总结
2,三角函数的基本概念
5.2 三角函数的概念(解析版).docx
三角函数基本概念和表示
三角函数知识点汇总
高中数学专题讲义-三角函数基本概念
(学案)三角函数的概念
三角函数的有关概念
高中数学--三角函数的基本概念
高中三角函数知识点总结
相关主题
文本预览