第四章 一元一次方程
5.1 认识一元一次方程（第一课时）
【学习目标】：1．通过对多种实际问题的分析，感受方程是作为刻画现实世界的模型． 2．通过观察，归纳一元一次方程的概念．
【主要问题】：1.什么样的方程是一元一次方程? 2.什么是方程的解? 一、基础知识回顾
1.下列式子是代数式的有 (填编号) 32
xy (6)7x x 59-(5)3x a -(4) 63(3)x y
-x 2(2) 2)1(π-=>+-
y y x 2.列代数式:
(1)有一树苗原来高20cm,每周长高5cm,则生长x 周后的树高为 cm (2)2000年全国约有13.6亿人,到2011年人口增长了15%,现有 亿人 3.含有未知数的 叫做方程。
4.下列各式是方程的有 (填编号)
①－2＋5＝3 ②3x ＋1＞0 ③5m ＝0 ④2a ＋b ⑤x ＋y ＝8 ⑥y 2
＝4＋y 二、新知识产生过程
【问题1】: 什么样的式子是一元一次方程？ 1.小彬的年龄乘2减5的得数是21,小彬今年几岁了?
解：如果设小彬的年龄为x 岁,那么“乘2再减5”就是 ,
可以得到方程:
2.小颖种了一株树苗，开始时树苗高为 40 cm ，栽种后每周树苗长高约 5 cm ，大约几周后树苗长高到 1 m ？ 解：如果设 x 周后树苗长高到 1 m ，那么可以得到方程：
3. 甲、乙两地相距 22 km ，张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走1 km ，因此提前 12 min 到达乙地，张叔叔原计划每时行走多少千米？
解: 设张叔叔原计划每时行走x km ，可以得到方程：_______ ____.
4. 根据第六次全国人口普查统计数据，截至 2010 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有大学文化程度的人数为8 930 人，与 2000年第五次全国人口普查相比增长了 147.30%．
解：如果设 2000 年第五次全国人口普查时每 10 万人中约有 x 人具有大学文化程度，那么可以得到方程： .
5.某长方形操场的面积是 5 8502
m ，长和宽之差为 25 m ，这个操场的长与宽分别是多少米？ 解：如果设这个操场的宽为x m ，那么长为（x + 25）m ．可以得到方程
6.上面列出来的方程有什么共同点?
在一个方程中,只含有____未知数,并且未知数的指数都是____,这样的方程叫做一元一次方程. 7.判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。 (1) -2+5=3 ( ) (2) 3 x -1=0 ( )
(3) y=3 ( ) (4) x +y=2 ( ) (5) 2 x -5 x +1=0 ( ) (6) x y-1=0 ( ) (7) 2m -n ( ) (8) 2
r s π= ( ) 【问题2】: 什么是方程的解？
8. 如果把x ＝13代入方程2x －5＝21中,发现方程的左右两边的值 ,我们把x ＝13叫做方程2x －5＝21的解.
归纳得出：使方程左右两边的值__ __的未知数的值，叫做方程的解。 9. x ＝5是方程 的解.①2x －5＝5 ②－x ＋6＝－1 ③3x ＋8＝－24 三、巩固练习 1、 如果2
5-m x
=8是一元一次方程，那么m = .
2、 下列各式中，是方程的是 （只填序号）
① 2x=1 ② 5-4=1 ③ 7m-n+1 ④ 3(x+y)=4
3、 下列各式中，是一元一次方程的是 （只填序号）
① x-3y=1 ② x 2
+2x+3=0 ③ x=7 ④ x 2
-y=0
4、 a 的20％加上100等于x . 则可列出方程： .
5、 某数的一半减去该数的
3
1
等于6，若设此数为x ，则可列出方程 6、 一桶油连桶的重量为8千克，油用去一半后，连桶重量为4.5千克，桶内有油多少千克？设桶内原有油x
千克，则可列出方程___________________
7、小颖的爸爸今年44岁，是小颖年龄的3倍还大2岁，设小明今年x 岁，则可列出方程：___________________ 8、 3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各是多少岁？设3年前儿子年龄为x 岁，则可列出方程：______ ____ 四：小结与作业布置 五：反思：
5.1 认识一元一次方程（第二课时）
【学习目标】：1、借助直观对象理解等式性质；
2、掌握利用等式性质解一元一次方程的基本技能；
3、进一步体会解一元一次方程的含义和解方程的基本过程。 【主要问题】：如何利用等式性质解简单的一元一次方程. 一、基础知识回顾
1.判断下列各式,并将其填入相应的括号中(只填编号).
① －2＋5＝3 ② 7－3x ＝1 ③ y ＝0 ④ 5＞3 ⑤y ＞3 ⑥ x ＋y ＝8 ⑦ 2a ＋b ⑧2
x －2x ＝0 ⑨x ＝y
等式{ } 方程{ } 一元一次方程{ } 二、新知识产生过程
【问题1】:请回忆小学等式的性质，思考如何运用它来解一元一次方程？ 1．阅读课本133页例一前面的部分，并想一想，填一填.
等式性质一：等式两边同时_______（或______）同一个________,所得结果仍是_________.用字母表示为：
等式性质二：等式两边同时___________（或__________________）,所得结果仍是__________.用字母表示为： 2．下列用等式性质进行的变形中，那些是正确的，并说明理由
（1）若x=y ，则5+x=5+y （ ） （2）若x=y ，则5-x=5-y （ ）
（3）若x=y ，则5x=5y （ ） （4）若x=y ，则 （ ） （5）若 ，则bx=by （ ） （6）若2x （x-1）=x ，则2（x-1）=1 （ ） 3．例题学习
例1利用等式性质解一元一次方程.
(1) x+2=5 (2) 3=x-5 解：方程两边同时减去 2，得 解：方程两边同时 ，得
x + 2 = 5 3 + 5 = x - 5 + 5
于是 x = 3 于是 8 = x
习惯上，我们写成 x = .
(3) -3x=15 (4) -
3
n
-2=10 解：方程两边同时 ，得 解：方程两边同时 ，得
31533-=--x -3
n
- 2 = 10 化简，得 x = - 5. 化简， 得 - 3
n
= 12.
方程两边同时 ，得 n = .
5
5y x =a y
a x =
三、巩固练习
1. 在括号内填上方程变形的依据. （1） 由
2
x
=5，得x=10 （ ） （2） 由10x+3=5，得10x=5-3 （ ） （3） 由
29x =3
y
，得2x=3y （ ） （4） 由x-6=7，得x=6+7 （ ） 2.下列变形正确的是（ ） ① 若a=b,则
a 3=b
3
； ② 若a=b,则-3a+5=-3b+5； ③ 若ac 2=bc 2，则a=b ； ④ 若
2
a c
=
2
b c
，则a=b.
A. ①②③
B. ②③④
C. ①②④
D. ①③④ 3.解方程：
（1）x+7=26 (2) -1
3
x-5=4
【拓展训练】
4．若2x-a=3，则2x=3+ ，这是根据等式的性质，在等式两边同时 ，等式仍然成立。 5．如果代数式8x-9与6-2x 的值互为相反数，则x 的值为 。
6.把 变形
为的依据是（ ）
A 等式的基本性质1
B 等式的基本性质2
C 分数的基本性质
D 以上都不对 7．小明在解方程2x-3=5x-3时，按照以下步骤： 解：①方程两边都加上3，得2x=5x;
②方程两边都除以x ，得2=5; 以上解方程在第 步出现错误。 四：小结与作业布置 五：反思：
17
.03.0=-x x 17
10310=-x
x
5.2 求解一元一次方程（第一课时）
【学习目标】：1.进一步熟悉利用等式的基本性质解一元一次方程的基本技能． 2.在解方程的过程中分析、归纳出移项法则，并能运用这一法则解方程．
3.体会学习移项法则解一元一次方程必要性，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，体会学习数学的实用性.
【主要问题】：1. 如何理解移项？ 一、基础知识回顾
1.请问x ＝－2是下列（ ）的解
12-x 2
1 D. 116x C. 53－ B. 51
2 .-=-==-=+x x x A
2．已知x=y ，则用等式的性质变形错误的是（ ） A ．－ｘ＝－ｙ B ．－3+2x=－3+2y C ．
11+=+a y a x D ．a y
a x +-=+-6
6 3．三个连续整数的和为72，求这三个整数分别是什么？
解：设中间的整数为x ，依题意列方程得： ，解得 4．用等式的性质解一元一次方程
（1）6－2x = 4 （2）5x －2 = 8
二、新知识产生过程
【问题1】: 怎样移项？移项的依据是什么？移项的目的是什么？
1．看书．．135．．．页，理解移项的定义．．．．．．．．．. ．把方程中的某一项 从方程的一边移到 ，这种变形叫做 。
例如： 解方程5x －2 = 8 解方程2x = 6 + 4x
解：解：
移项得5x=8 移项得2x =6
思考：（1）移项的依据是什么？移项的目的是什么？
2．把下列方程进行移项变形（未知数的项集中于方程的左边，常数项集中于方程的右边） （1）534=-x 移项，得 ；（2）8725+=-x x 移项，得 ； (3)254203-=+x x 移项，得 ；(4)253231+=-x x 移项，得 ；
3. 下列变形符合移项法则的是（ ）
A ．523235+--+x x ，得由
B ．5210,2510=-----x x x x 得＝由
C ．9147,1497--=--=+x x x x 得由
D ．295,925+==+x x 得由
总结：移动的项要 ；移项通常是将 ；
2．例题学习：看书．．135．．．页例．．1．，． 136．．．页例．．2．，．理解解方程的一般步骤：（1）移项，（2）合并同类项，（3）系数化为1，（4）检验，注意解完方程后一定要检验是否解对了 例1．解下列一元一次方程
（1）2x+6 = 1 （2）3x+3 = 2x+7 方程两边同时除以２，得 例2．解下列一元一次方程32
1
41+-=x x
归纳总结：解方程的一般步骤：（1）移项，（2）合并同类项，（3）检验，这几个步骤中，应该注意什么？ 答： 三、巩固练习
1．下列解方程过程正确的是( )
A.如果－2x ＋8=3，那么－2x =8－3
B.如果5=x +1，那么－x =1－5
C.如果1－x =5，那么x =5－1
D.如果－31
x =3，那么x =－1 2．解一元一次方程
（1）4－x=７ （2）3 = 11－2x （3）2x+3 = x －1 （4）
52
-=x x
3．（列方程并求解）5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价.如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？ 解:设学生有x 人,依题意列方程得：
四：小结与作业布置 五：反思：
解： 移项，得
解： ，得
化简，得 合并同类项，得
5.2 求解一元一次方程（第二课时）
【学习目标】：１.会解含有括号的一元一次方程，进一步体会解方程是运用方程解决实际问题重要环节.２.通过观察、思考，使学生探索方程的解法，经历和体验用多种方法解方程，提高解决问题的能力. 【主要问题】：1.运用乘法分配律去括号时要注意什么? 一、基础知识回顾
1.解方程-3x+5=2x-1, 移项正确的是（ ）
A.3x-2x=-1+5
B.-3x-2x=5-1
C.3x-2x=-1-5
D.-3x-2x=-1-5 2.方程
2
1
21-=x 的解为____________________ 3．若21
2n b 4a -与-5b 2a 3n-2是同类项，则n=
4.若2x
3-2k
+2k=41是关于x 的一元一次方程，则k=
5.去括号①－5(x+1)= , ②+(3-6X)-(X-5) = , ③-(-2+X)= ,④ )6(2
1
)3(2+-
-x x = . 6．三个连续奇数的和为21，求这三个奇数分别是什么？
解：设中间的奇数为x ，依题意列方程得： ，解得 二、新知识产生过程 【问题1】:怎样去括号？ 1．看书．．137．．．页，然后做下题．．．．．．．
, 小林到超市，准备买1听果奶和4听可乐，小明告诉他一听可乐比一听果奶贵5角钱，小林给了营业员20元钱，找回了3元，大家帮助小林算算一听果奶，一听可乐各是多少钱？(要设未知数列方程,不求解)
2．看书．．137．．．页例．．3．，例．．4．，．理解解方程的一般步骤。注意解完方程后一定要检验是否解对了 例3．解下列一元一次方程
（1）4(x+0.5) + x = 17 （2）3(x －2)+1 = 6x 例4．用两种方法解一元一次方程－2(x －1) = 4
解法一:去括号，得 解法二：方程两边同时除以-2，得
归纳总结：解方程的一般步骤：(1) ,（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，这几个步骤中，应该注意什么？
答：
三、巩固练习
1．下列解方程过程正确的是( )
A.由7x =4x －3移项得7x －4x=3
B. 由7x +3=4x 移项得7x －4x=3
C.由2(x+1)= x+7解得x=－5
D.由2(2x －1)－3(x －3)=1去括号得4x －2－3x －9=1 2.当x= 时,代数式3(x －3)的值等于12 3．解一元一次方程 （1）x 4
1
13－2x 43=+-
（2） ()()x x 2152831--=--
（3）(x+1)-2(x-1)=1-3x (4) 2(x-2)-6(x-1)=3(1-x)
四：小结与作业布置 五：反思：
5.2 求解一元一次方程（第三课时）
【学习目标】：1．会用较简单的方法解含分数系数的一元一次方程，并归纳解一元一次方程的步骤.2．掌握一元一次方程的解法、步骤，并灵活运用解答相关题目，体验把复杂转化为简单，把“陌生”转化为“熟知”基本思想
【主要问题】：1. 运用等式的性质2去分母时要注意什么?为什么每一项都．要乘公分母? 2.如何解一元一次方程?每个步骤要注意什么?
一、基础知识回顾
1.方程267y y -=+变形为276y y -=+，这种变形叫___________，根据是__________. 2．5与x 的差的1
3
比x 的2倍大1的方程是__________. 3.解方程2(x －1) －3(x+2) = 2x+1
4．把一些图书分给某班学生，如果每人4本，则剩余12本，如果每人分5本，则还缺30本，问该班有多少学
生？(要解出来)
解：设 ，依题意列方程得：
二、新知识产生过程
【问题1】:怎样去分母，去分母要注意什么？ 1．看书．．138．．．--．．139．．．页．例．5．，理解如何运用等式性质．．．．．．．．．．．2．去分母解方程．．．．．．. ．理解解方程的一般步骤：(1)去分母(2)去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1（6）检验，注意解完方程后一定要检验是否解对了
(1)解方程
)20(4
1
)14(71+=+x x 解法一：去括号，得 解法二：去分母，得
归纳总结：解一元一次方程，一般要通过 、去括号、 、合并同类项、 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 的形式． 2．规范解方程)7(3
1
21)15(51--=
+x x 3.当x 为何值时,代数式12x -与
1
13x +-
的值相等. 解方程的步骤“去分母”应该注意什么？
答： 三、巩固练习
)(
,13
3
221.1去分母正确的是时在解方程=+--x x
A ．3(1)2(23)1x x --+=
B ．3(1)2(23)6x x --+=
C ．31431x x --+=
D ．31436x x --+= 2.若方程x ax 35+=的解为x = 5，则a 等于( )
A. 80
B. 4
C. 16
D. 2 3．解一元一次方程
（1）1
121-=+-x x （２）341125x x -+-=
四：小结与作业布置 五：反思：
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
【学习目标】：1.能根据图形变化前后的特点，找到题中的不变量；
2.能根据不变量找出等量关系，用方程解决有关图形变化问题 【主要问题】：如何分析问题中的数量关系，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。 一、基础知识回顾
1.填空： 长方形的周长= ，面积= .
长方体的体积= ，正方体的体积= .
圆的周长= ， 面积 = . 圆柱的体积= . 二、新知识产生过程 【问题1】：如何找出等量关系列方程？
1.某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径有4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
步骤1：理解题意，寻找等量关系。在这个问题中，哪个量保持不变？（底面直径？高？占地面积？容积？）据此可找出等量关系： =
步骤2：设未知数列方程。解：设
根据等量关系，列出方程：
步骤3：解方程。解得 x=
步骤4：检验，作答。
2．例题学习
例：一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）若该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？
分析：由题意可知，始终不变，可找出等量关系
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为米，根据题意列方程，得：
答：所围成的长方形的长为米，宽为米。此时所围成的长方形面积为：平方米
（2）若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米?它围成的长方形的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？
解：设此时长方形的宽为y米，则它的长为米，根据题意列方程，得：
答：所围成的长方形的长为米，宽为米。此时所围成的长方形面积为：平方米
（3）若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少?它围成的长方形的面积与（2）中相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为Z米，根据题意列方程，得：
答：此时所围成的正方形的面积为平方米
此时与（1）、（2）中所围成的长方形的面积相比，哪个围成的面积较大？你发现有何规律？
3．变式训练：
（4）如果把这根长为10米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？
此时与（3）中所围成的正方形的面积相比，哪个围成的面积较大？你发现了什么规律？
4．归纳总结：
列方程解决实际问题的基本步骤有：。
关键是。
四：小结与作业布置
五：反思：
5.4 应用一元一次方程——打折销售
【学习目标】：
1.理解成本、售价、利润、利润率之间的数量关系。
2.能在具体打折问题中准确找出等量关系列方程求解，并根据所求方程的解来解释和分析打折销售中的具体现象。
【主要问题】：如何利用一元次方程解决简单打折销售问题. 一、基础知识回顾
进价
减利润
售价
加提高价
标价
乘以打折数
商品利润= 商品售价—商品进价商品售价= 商品标价X 折扣
商品售价= 成本+ 利润
= 成本（1+利润率） 1. 某商品的进价是15000元，售价是18000元，则商品的利润为_______，利润率是______. 2. 一件商品的进价为100元，要想获利20元,售价应为________元 3. 一件商品的进价为100元，要想获利20%,售价应为_________元. 4. 一件商品若以240元出售，可获利20%，则进价为_________元. 5. 一件商品的标价为100元,若打九折出售，则售价为_________元.
6.一家商店以125元 / 件的进价购进某种服装，计划按成本价提高40%后标价，再以8折（即按标价的80%）优惠卖出.
(1).求这种服装的标价是多少元. (2).求这种服装的售价是多少元.
(3).求这种服装收购出后，每件可获利多少元 二、新知识产生过程
【问题1】：生活中的打折销售问题各量之间的关系你弄懂了吗？
1．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠销售，结果仍获利15元，这种服装每件成本是多少元？
解：如果设每件服装的成本价为x 元，你能用含x 的代数式表示表格中的量吗？
根据问题中的等量关系列出方程：
解方程，得X=
答：这种服装每件成本价是 元.
2．例题学习：
例2．某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是10%。此商品的进价为1800元，那么商品的原价是多少？
（提示：对商场而言，商品的成本价即为其进货价 元，其原价即为原标价 ） 三、巩固练习
1.某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标价为（ ）
A.26元
B.27元
C.28元
D.29元
2．某商店销售一批服装，每件标价150元，打8折出售后，仍可获利20元，求这种服装的成本价为每件多少.
3．一件夹克按成本价提高50%后标价，后来因为季节关系又以标价的8 折优惠卖出，结果每件以300元卖出，这批夹克每件的成本是多少元？
【拓展训练】
4．某件商品提价25%后，欲恢复原价，则应该降价的百分率是多少？
四：小结与作业布置
五：反思：
5.5“希望工程”义演
【学习目标】：
1、借助表格学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会间接设未知数的解题思路，从而建立方程解决实际问题。
2、通过解决实际问题，进一步明确必须检验方程的解是否符合题意。
3、通过对实际问题的解决体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力。
【主要问题】：如何解决多个未知量的应用题
（一）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,共售出
1000张票,共筹得票款6950元.其中成人票8元/张，学生票5元/张。问售出成人票与学生票各多少张?
道题里包含下面两个等量关系：即成人票数+学生票数=1000张
成人票款+学生票款=6950元
（直接设元法）
解法一：解：设售出的学生票为X张，填写下表
根据等量关系（2），可列出方程：。
解得X= ＿＿
因此，售出成人票＿＿张，学生票＿＿张。
搞清较复杂问题中的各个量之间的关系．
②把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量就用其中的一个等量关系表示为含未知数的代数式，而另一个等量关系则用来列方程．
（二）变式题。
如果票价不变，那么售出1000张票，如果所得票款是6930元，你能求出成人票和学生票各有几张？（请同学们
填表，列方程并解答）
解：设售出的成人票为X张，填写下表
注意：我们用方程解决实际问题时，一定要检验方程的解是否符合实际。
（三）请同学们重新分析第一题。我们还可以设学生票款为Y元。（间接设元法）
解法二：解：设学生的票款为Y元，填写下表
根据等量关系（1），可列出方程：。
解得Y= ＿＿
因此，售出成人票＿＿张，学生票＿＿张。
（四）巩固训练：
1．一个办公室有五盏灯，其中有40瓦和60瓦两种，总的瓦数是260瓦, 则 40瓦和60瓦的灯泡各有多少个？
等量关系：40瓦的灯泡个数+60瓦的灯泡个数=５个①
40瓦灯泡瓦数+60瓦灯泡瓦数=260瓦②
设40瓦的灯泡有x个, 填写下表：
根据等量关系（2），可列出方程：
———————————————————。
解得X= ＿＿。因此，40瓦的灯泡有＿＿个，60瓦的灯泡有＿＿个。
2、七年级某班开展义务植树活动，参加者是未参加者的3倍，若班里共有48人，则参加植树的有＿＿人，未参加植树的有＿＿人。
2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100枚，金牌数位列世界第一。其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少7枚。问获得金、银、铜牌各多少枚？
五：小结与作业布置
六：反思：
5．6追赶小明
【学习目标】：1、借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。 2、发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力。
【主要问题】：如何通过线段图解决行程问题 一、预习提纲
1、路程＝ × 速度＝ × 时间＝ ×
2、相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝
3、追及问题：前者走的路程＋两者间的距离＝ 二、探索练习：
1、小华和小玲同时从相距700米的两地相对走来，小华每分钟走60米，小玲每分钟走80米。几分钟后两人相遇？
分析：先画线段图：
假设x
此时小华走了 米，小玲走了 米，两人一共走了 米。找出等量关系，小华和小玲相遇时
＋ ＝
写解题过程：
2、小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明以80米／分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米／分的速度去追小明，并且在途中追上了他。 （1） 爸爸追上小明用了多长时间？ （2） 追上小明时，距离学校还有多远？ 分析：先画线段图：
假设爸爸用x 分钟追上小明，此时爸爸走了 米。小明在爸爸出发时已经走了 米，小明在爸爸出发后到被追上走了 米，找出等量关系，爸爸追上小明时 ＋ ＝ 写解题过程：
三、巩固练习：（列方程解应用题）
1、若A 、B 两地相距480千米，一列慢车从A 地开出，每小时走60千米，一列快车从B 地开出，每小时走65千米。两车同时开出，相向而行，过几小时后两车相遇？ 分析：先画线段图：
写解题过程：
700米 小华速度 60 米/分钟
2、两列火车同时从相距600千米地甲乙两地相向而行，经过4小时后两列火车在途中相遇，已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米？
分析：先画线段图：
写解题过程：
3、小兵每秒跑6米，小明每秒跑7米，小兵先跑4秒，小明几秒钟追上小兵？
分析：先画线段图：
写解题过程：
四：小结与作业布置
五：反思：
“第三章一元一次方程”简介（新） 一、教科书内容和课程学习目标 1．教科书内容 本章继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。 人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。 本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。讨论一元一次方程的解法时，会直接应用“合并同类项”“去括号”等法则，而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的基础知识。 全章共包括四节： 3．1 从算式到方程 这一节分为两个小节． 3.1.1 一元一次方程 在小学阶段，数学课中用算术方法解应用题是重要内容，此外还有关于最简单的方程的内容．本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步． 算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数．列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破．正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性． 本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且对于“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳． 3.1.2 等式的性质
一元一次方程全章归类复习题(典型) 考点一、判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用 １、下列等式中是一元一次方程的是（ ） A.3x ＝y-１ B.2(1)21x x -=+ C ．3(x －１)= -2x-3 D.3x 2-2=3 E ．11x x =+ 2、在方程23=-y x ,021=-+x x ,2121=x ，0322=--x x 中一元一次方程的个数为( ) A.1个 B ．2个 C ．３个 D.4个 3、如果06312=+--a x 是一元一次方程，那么=a ，方程的解为 。(特别注意） 考点二、关于在解方程过程中的某些变形问题，只能以选择题的形式出现 1、已知等式523+=b a ,则下列等式中不一定．．． 成立的是( ) （A);253b a =- (B ）;6213+=+b a (Ｃ);523+=bc ac （D).3532+= b a 2、解方程2 631x x =+-,去分母，得（ ) (A)133x x --= （B ）633x x --= （C ）633x x -+= (D ）133x x -+= 3、下列方程变形中,正确的是（ ） （Ａ）方程1223+=-x x ,移项，得;2123+-=-x x (Ｂ)方程()1523--=-x x ，去括号,得;1523--=-x x (Ｃ）方程2332=t ,未知数系数化为1，得;1=t （D)方程110.20.5 x x --=化成101010125 x x --= 考点三、解一元一次方程 （1)x x 3.15.67.05.0-=-; （2) ; (3） 1676352212--=+--x x x ; (４)4.06.0-x 3 .011.0+x .
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第四章一元一次方程 课标要求： （1）能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）会解一元一次方程；（3）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 课时1 从问题到方程（1） 一、教材分析： 1.学习目标： 知识与技能：学会用方程描述问题中数量之间的相等关系. 过程与方法：通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型. 情感、态度与价值观：初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值. 2.重、难点：理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程. 二、教材处理： 1.情景创设： （1）天平称球（或硬币、铅笔等），见课本P114. （2）排球联赛，某队胜多少场？见课本P114.…… 建议根据实际情况，创设较多的与学生生活相关的实际问题，以激发学生学习兴趣. 2.学生活动、意义建构、数学理论： 用天平演示实验后，学生思考问题一：可以用什么方法解决这个问题？问题二：你是如何解决这个问题的？借助方程能否解，怎样解？ 对排球队胜多少场的问题，学生思考问题一：猜一猜，该队胜了多少场？问题二：可以用什么方法解决这个问题？（尝试法；枚举法；列方程等）问题三：设该队胜了x场，能用方程来解吗？如何解？从而揭示课题——从问题到方程. 3.数学运用： 例1（补）：见教师教学参考资料“某校七年级共有216名师生参加某次活动，用一辆面包车和若干辆客车接送，已知这一辆面包车只能坐16人，还需用多少辆40座的客车？” 学生思考一：设用x辆40座的客车，则客车能接送多少人？ 学生思考二：列方程，等量关系是什么？ 师提供正确的解题格式“设还需用x辆40座的客车.根据题意，得40x+16=216”. 变式训练一：用四辆轿车和若干辆客车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆40座的客车？ 变式训练二：用轿车和客车共9辆车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆轿车和多少辆40座的客车？……
新人教版七年级上册数学 第三章一元一次方程教案 （2015年秋季学期） 授课者：蒋宏亮 学校：东兴市京族学校 第三章一元一次方程 单元要点分析 教案内容 方程就是将众多实际问题“教案化”的一个重要模型?因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用. 本章内容主要分为以下三个部分： 1 ?通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，？展开方程是刻画现实生活的 有效数学模型. 2 .运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，？归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行 的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 3 .运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，？展现运用方程解决 实际问题的一般过程. 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识. 三维目标 1 ．知识与技能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际
问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2 ．过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，?求解 方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观培养学生求实的态度。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．重、难点与关键 1 ．重点：一元一次方程有很多直接应用，?解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题． 2 ．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题． 3 ．关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质． （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，?并找 出能够表示应用题全部含义的相等关系． 3.1 从算式到方程 §3.1.1 一元一次方程（一）教案目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教案重点：从实际问题中寻找相等关系 教案难点：从实际问题中寻找相等关系 教案过程： 一、情境引入 提出教科书第78 页的问题，并用多媒体直观演示： 问题1：从题中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、等方面去考虑。）可以在学生回答的基础上做回顾小结问题2:你会用算术方法求出A,B两地的距离吗？列算式试试。 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、对于客车，1km所用的时间为—h，而卡车所用的时间为—h；所以1km， 70 60 1 1 客车比卡车少用的( ---------- )h。路程多少千M时客车才比卡车少用1h呢？ 60 70 1 1
初中数学-《一元一次方程》全章复习知识讲解 【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点诠释： （1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方
程的标准形式． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 要点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 要点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 b x a (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
第三章一元一次方程 3.1从算式到方程 《一元一次方程》教学设计 一、教学目标 1.了解方程及一元一次方程的概念． 2.使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想． 二、教学重点及难点 重点：方程及一元一次方程的概念，方程思想． 难点：从列算式到列方程的思维习惯的转变． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件 四、相关资源 视频《一元一次方程定义的应用》，与课本内容要保持一致 . 五、教学过程 （一）创设情境 一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km /h ，卡车的行驶速度是60 km /h ，客车比卡车早1 h 经过B 地．A ，B 两地间的路程是多少？ 1．你会用算术方法解决这个问题吗？ 师生活动：学生审题之后教师展示问题，学生分组讨论解决问题的方法，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷．教师提出进一步学习新解法的必要性． 小结：对于1 km 的路程，客车比卡车少用11h 6070??- ??? ，则A ，B 两地间的路程是： 111=420km 6070??÷- ??? （）． 2．在学生尝试算术方法解决问题之后，教师提问： （1）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？ （2）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？
（3）列方程的依据是什么？ 师生活动：教师与学生一起进行分析，引导学生找出相等关系列出方程． 小结：（1）本题中涉及一个相等关系，是从时间上考虑，两车的行使时间之差为1 h ． （2）如果设A ，B 两地相距x km ，则A ，B 两地间的路程是： 16070 x x -=． （3）列方程的依据是根据问题中的相等关系列出等式． 设计意图：让学生感受用算术解法不容易，使学生认识到进一步学习新解法的必要性． （二）合作探究 1．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？ 师生活动：教师提出问题，学生思考回答． 小结：设客车行驶时间为x h ，根据路程相等列方程，得：70x ＝60（x ＋1）． 设计意图：这是一个行程问题，用未知量表示路程、时间、速度，让学生体会到用字母也可以表示数量，找出相等关系是列方程的关键所在，通过对问题的思考有助于分析问题．体会一个问题中的相等关系往往不止一个，所以列出方程的角度不是唯一的． 2．比较列算式和列方程解决这个问题各有什么特点？ 师生活动：小组交流、讨论，教师组间巡查，关注学生是否认真讨论． 小结：用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数．而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数． 这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系． 设计意图：让学生知道用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数，而用方程解决问题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，也就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系． 3．你能归纳出方程的定义吗？ 师生活动：教师引导学生结合上面等式的特征，给出方程的定义．学生归纳出定义之后，教师提问：你能列举方程的一个例子吗？ 归纳：列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程． 设计意图：这是首次正式给出方程的定义，学生在小学已经学过简易方程，通过举例可让学生回顾已经学过的知识．
一、教科书内容和课程学习目标 1．教科书内容 本章继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。 人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。 本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。讨论一元一次方程的解法时，会直接应用“合并同类项”“去括号”等法则，而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的基础知识。 全章共包括四节： 3．1 从算式到方程 这一节分为两个小节． 3.1.1 一元一次方程 在小学阶段，数学课中用算术方法解应用题是重要内容，此外还有关于最简单的方程的内容．本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步． 算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数．列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破．正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性． 本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且对于“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳． 3.1.2 等式的性质
第四章 一元一次方程 第1课时 从问题到方程（1） 目的与要求 对实际问题的分析，体会方程作为实际问题的数学模型的作用。 知识与技能 会列一元一次方程解决一些简单的实际应用 情感、态度与价值观 初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值。 教学教程 一、情境引入 我国古代民间流传“百僧分百馍”问题：100个和尚分食100个馒头，大和尚1人吃3个，小和尚3人合吃1个馒头，100个和尚恰好分完100个馒头，问大和尚和小和尚各多少人？ 二、新授 阅读课本P148－150试一试 像这样这含有一个末知数（元）且末知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程 （linear equation with one unknown) 例1、下列各式是方程的是（ ） 例2、下列各式是一元一次方程的是（ ） 例3、已知 例4、根据下列条件列出方程 （1）某数的2倍与3的和等于4 （2）用某数去除14得商2，余数为4 （3）某数增加4倍后得20 例5、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：：“尊敬的毕达哥位斯，请告诉我，有多少学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：其中在学习数学，学习音乐，沉默无言，此外还有三名妇女。”（只列方程不必解答） 例6、 买5瓶饮料，4只面包。 共15.8元钱。 每瓶饮料2.2元，每只面包
三、课堂随练 课堂练习 四、课堂作业 作业纸 五、课堂小结 这节课你学会了什么 六、课后反馈 补充：请你编拟一道符合实际生活的应用题，使编拟的应用题所列出的方程为一元一次方程。
第2课时从问题到方程 教学目的同上 知识与技能同上 情感、态度与价值观同上 教学过程 一、情境引入 强强今年12岁，他的爷爷72岁，想一想，几年后强强的年龄是他爷爷年龄的？ 二、知识新授 什么是等式？ 表示相等关系的式子叫做等式。 什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程？ 什么叫做一元一次方程？ 含有一个未知数（元），并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。 注意：未知数在分母中时，他的次数不能看成是1次。（分式方程） 例1、甲，乙两城市间的铁路经过技术改造，列车在两城市间的运行 速度从80km/h提高到100km/h，运行时间缩短了3h。甲，乙两城市间的 路程是多少？ 例2、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利 用水资源，很多城市制定了用水收费标准。A市规定了每户每月的标准 用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过标准用水 量的部分按每立方米3元收费。该市张大爷5月份用水9立方米，需交费16.2元，A市规定的每户每月标准用水量是多少立方米？ （只列方程） 例3、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念。全班共送出2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（） A.x(x+1)=2550 B.x(x-1)=2550 C.2x(x+1)=2550 D.x(x-1)=2550×2 例4、七年级8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某七（4）班积17分，并以不败战绩获得冠军，那么七（4）班共胜几场？
第三章一元一次方程 本章的内容包括：一元一次方程及其相关的概念，等式的性质；一元一次方程的解法；利用一元一次方程分析与解决实际问题．方程是一种重要的描述现实世界的数学模型．教材以实际问题为主线引入方程和方程的解的概念，探索等式的性质以及解一元一次方程，然后通过实践与探索，经历“问题情境——建立数学模型——解答——应用与拓展”的过程，体会数学建模思想．在中考中只要考查一元一次方程的解法以及列一元一次方程解应用题，既可能单独命题，也可能结合其他知识综合命题，题型主要是填空题、选择题和解答题． 【本章重点】 1．理解和掌握一元一次方程的解法． 2．能利用一元一次方程解应用题． 【本章难点】
1．能熟练地解一元一次方程． 2．正确地找出应用题中的数量关系，正确地列方程并求解． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化思想．如：在本章中体现转化思想的内容主要有：通过去分母、去括号等过程，将复杂的一元一次方程转化为一元一次方程的最简形式求解．2．掌握方程思想．方程思想在本章内容的体现主要是列方程解决实际问题．解决问题的思路是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解方程，得出答案． 3.1从算式到方程2课时 3.2解一元一次方程(一)——合并同类项与移项2课时 3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母2课时 3.4实际问题与一元一次方程2课时
3.1从算式到方程 3.1.1一元一次方程(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．初步学会寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念． 2．理解一元一次方程、方程的解的概念． 3．掌握检验某个值是不是方程的解的方法． 【过程与方法】 培养学生根据问题寻找相等关系，根据相等关系列出方程的能力． 【情感态度与价值观】 让学生体会数学与生活的密切联系，培养学生热爱数学、热爱生活的乐观人生态度．二、重难点目标 【教学重点】 1．了解一元一次方程及相关概念． 2．寻找相等关系，列出方程． 【教学难点】 寻找问题中的相等关系，正确地列出方程．
一元一次方程和它的解法 学习目标 1．了解一元一次方程的概念，灵活运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程， 会对方程的解进行检验； 2．通过对一元一次方程的解法步骤的灵活运用，培养学生的运算能力； 3．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想． 知识讲解 一、重点、难点分析 本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法 步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关 键．学习中应注意以下几点： 1．关于移项． 方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方 程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右 边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质 的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式 中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一 边移到另一边时，这些项都要变号． 2．关于去分母 去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数．常犯错 误是漏乘不含有分母的项．如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6，为避勉这类错误，解题时可多写一步． 再用分配律展开．再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面．分数线有两层意义，
一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上， 如上例提到的． 3．关于去括号． 去括号易犯的错误是括号前面是负号，而去括号时忘记变号；一个数乘以一个多 项式，去括号时漏乘多项式的后面各项．如及都是错误的． 4．解方程的思路： 解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式，然后再解即可． 二、知识结构 三、教法建议 1．本小节开头的两个例子的目的是引入移项法则．移项法则不仅适用于解方程，而 且适用于解不等式；不仅适用于移动整式项，而且适用于移动有意义的非整式项．因此说 移项法则是等式性质1的推论不太合理．但对初一学生来说，用等式性质1来引入移项法则是容易接受的． 第一个例子是解方程学生见到这种方程后，如果先想到用小学里学过的逆运算的方法来求解，那么教师应告诉学生，我们现在要学习一种新的解法，它能用来解 较为复杂的方程，请大家先回忆在本教科书第一章中的解法，然后启发学生根据等式性质 1来解这个方程．
3.1.1 一元一次方程（ 1） 郑本松 学习目标 : 1.通过处理实际问题，体验从算术方法到代数方法是一种进步； 2.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 3.培养获取信息，分析问题，处理问题的能力。 自学过程： 1.问题： 一辆汽车匀速行驶，途中经王家庄、青山、秀水三地的时间和王家庄、青山、秀水的位置如下图所示： 翠湖在青山和秀水之间，距青山50 千米，距秀水 70 千米，请问：王家庄到翠湖的路程有多远？ 分析问题：①. 获取信息：题目中设计到的地点有 ② . 题目中设计到的量有 ③.这些量有什么关系：④ 写出这些量中相等的量：解 决问题： ①.用算式解决： ②. 用方程解决：设王家庄到翠湖的路程为x 千米（直接未知量） 王家庄到青山的路程为时间为王家庄到秀水的路程为时间为 根据相等，可以列出方程： 设王家庄到青山的路程为x 千米（间接未知量）时间为，王家庄到秀水的路程为 时间为，根据相等可列方程或者：王家庄到青山路程为x，时间为，青山到秀水的路程为，时间为，根据相等可列方程b5E2RGbCAP ③你还能用其它的方程解决此问题吗？ 2.根据你得到的方程，观察方程两边，你能写出什么是方程吗？ 3.练习：根据下列问题列出方程 ①.用一根长 24cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ ②.一台计算机已使用 1700 小时，预计每月再使用 150 小时，经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定 检修时间2450 小时？p1EanqFDPw ③. 某校女生人数占全校总人数的52%，比男生多80 人，这个学校有多少学生？
试一试 ： 在一次美化校园的活动中，先安排 32 人去拔草， 18 人去植树，后又增派 20 人去支援他们，结果 拔草的人数是植树人数的 2 倍，问支援拔草和植树的人分别有多少人 ?若设支援拔草的有 x 人，可列方程？ DXDiTa9E3d 当堂达标： 1.填空： 叫方程。 2. 设某数为 x ， “比某数的 1 大 3 的数等于 5 的相反数 ”，列方程为 ( ) 2 A ． 1 x 3 5B ． 1 x 3 5 C ． 1 (x 3) 5 D ． 1 x 3 5 2 2 2 2 3. 长方形的周长是 36 cm ，长是宽的 2 倍，设长为 x(cm)，列出方程。 4. 足球比赛的记分规则为：胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平一场得 l 分．一个队打了 8 场球，只输了一 场，共得 17 分，那么这个足球队胜了 x 场，可列方程： RTCrpUDGiT 5. 轮船在静水中速度为 20 km ／h ．水流速度为每小时 4 km ／ h ，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码 头，共用 5 h(不计停留时间 )，求甲、乙两码头的距离．设两码头间距离为 x(km) ，则列出方程正确的是 ()5PCzVD7HxA A ． (20+4) x+(20-4) x =5 B ．20 x+4 x =5 C ． x x 5D ． x 4 x 5 20 4 20 20 4 6. 根据图给出的信息，求每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格．设每件 T 恤衫为 x 元，列出方程。 7. 某车间有 150 名工人，每人每天加工螺栓 15 个或螺母 20 个，要使每天加工的螺栓与螺母刚好配套 (一个 螺栓配两个螺母 )，应如何分配加工螺栓、螺母的工人 ?jLBHrnAILg 3.1.1 一元一次方程（ 2） 郑本松 学习目标：
新人教版七年级上册数学第3章-一元一次方 程全章教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 一元一次方程 3.1从算式到方程 §3.1.1一元一次方程（一） 教学目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步； 过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教学重点：从实际问题中寻找相等关系 教学难点：从实际问题中寻找相等关系 教学过程： 一、情境引入 提出教科收第78页的问题，并用多媒体直观演示，同进出现下图： 问题1：从上图中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。） 可以在学生回答的基础上做回顾小结 问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗· 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、从知的信息中可以求出汽车的速度； 3、从路程的角度可以列出不同的算式： ()50701510702301513+?--=- ()50701310502301513 +?-+=- 问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？ 二、学习新知 1、引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量． 如果设王家庄到翠湖的路程为x 千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄距秀水 千米． 2、引导学生寻找相等关系，列出方程． 问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？ 问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示你能表示其他各段路程的车速吗 问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？
人教版2020年第一单元《一元二次方程》真题再现 一．一元二次方程的解（共2小题） 1．（2019?兰州）x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．﹣1 D ．﹣6 【分析】先把x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0得a +2b ＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a +4b 的值． 【解答】解：把x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0得1+a +2b ＝0， 所以a +2b ＝﹣1， 所以2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故选：A ． 2．（2016?攀枝花）若x ＝﹣2是关于x 的一元二次方程x 2+ 23ax ﹣a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．﹣1或4 B ．﹣1或﹣4 C ．1或﹣4 D ．1或4 【分析】把x ＝﹣2代入已知方程，列出关于a 的新方程，通过解新方程可以求得a 的值． 【解答】解：根据题意，将x ＝﹣2代入方程x 2+ 2 3ax ﹣a 2＝0，得： 4﹣3a ﹣a 2＝0，即a 2+3a ﹣4＝0， 左边因式分解得：（a ﹣1）（a +4）＝0， ∴a ﹣1＝0，或a +4＝0， 解得：a ＝1或﹣4， 故选：C ． 二．解一元二次方程-配方法（共1小题） 3．（2019?南通）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A ．（x +4）2＝﹣9 B ．（x +4）2＝﹣7 C ．（x +4）2＝25 D ．（x +4）2＝7 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果． 【解答】解：方程x 2+8x +9＝0，整理得：x 2+8x ＝﹣9， 配方得：x 2+8x +16＝7，即（x +4）2＝7， 故选：D ． 三．根的判别式（共5小题） 4．（2020?自贡）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ） A ．21 B ．﹣21 C ．1 D ．﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a 的值． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根， ∴()???=??--=?≠0 24202a a ， ∴a ＝2 1． 故选：A ． 5．（2020?湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
一元一次方程整章综合练习题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列四个式子中，是方程的是（ ）. （A ）3＋2 = 5 （B ）1x = （C ）23x - （D ）222a ab b ++ 2.代数式13 x x --的值等于1时，x 的值是（ ）. （A ）3 （B ）1 （C ）－3 （D ）－1 3.已知代数式87x -与62x -的值互为相反数，那么x 的值等于（ ）. （A ）－1310 （B ）－16 （C ）1310 （D ）16 4.根据下列条件，能列出方程的是（ ）. （A ）一个数的2倍比小3 （B ）a 与1的差的 14 （C ）甲数的3倍与乙数的 12的和 （D ）a 与b 的和的35 5.若a b ，互为相反数（0a ≠），则0ax b +=的根是（ ）. （A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）任意数 6.当3x =时，代数式2 3510x ax -+的值为7，则a 等于（ ）. （A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 7.一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（ ）. （A ）17道 （B ）18道 （C ）19道 （D ）20道 8.某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中，该商贩（ ）. （A ）不赔不赚 （B ）赚9元 （C ）赔18元 （D ）赚18元 9. （2005，深圳）一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是 （A ）106元 （B ）105元 （C ）118元 （D ）108元 10.（2005，常德）右边给出的是2004年3 月份的日历表，任
一元一次方程测试题 （时间 100分钟总分 120分） 班级姓名得分 一、填空题（每空3分） 1、若与互为相反数，则a等于 2、是方程的解，则 3、方程，则 4、如果是关于的一元一次方程，那么 5、在等式中，已知，则 6、甲、乙两人在相距10千米的A、B两地相向而行，甲每小时走x千米，乙每小时走2x千米，两人同时出发1.5小时后相遇，列方程可得 7、如右图是2003年12月份的日历，现 用一长方形在日历中任意框出4个数 ，请用一个等式表示之间的 关系 8、某品牌的电视机降价10﹪后每台售价为2430元，则这种彩电的原价为每台元。日一二三四五六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
二、选择题（每空3分） 1、下列方程中，是一元一次方程的是( ) （A）(B)(C) (D) 2、与方程的解相同的方程是( ) (A) (B) (C) (D) 3、若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解是( ) (A) (B) (C) ( D) 4、已知等式，则下列等式中不一定 ．．．成立的是（）（A）（B） （C）（D） 5、方程的解是，则等于（） （A）（B）（C）（D） 6、一队师生共328人，乘车外出旅行，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租用多少辆客车？在这个问题中，如果还要租辆客车，可列方程为( ) (A)(B) (C) (D) 7、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了
看不清楚，被污染的方程是：，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 8、解方程，去分母，得（） （A）（B） （C）（D） 9、下列方程变形中，正确的是（） （A）方程，移项，得 （B）方程，去括号，得 （C）方程，未知数系数化为1，得 （D）方程化成 三、解下列一元一次方程（每题4分） 1． 2、1－2（2x+3）= －3（2x+1）
第二章一元一次方程教案 一、背景与意义分析 本课安排在第1章“有理数”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域。 方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，被广泛应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。 本课中引出了方程、一元一次方程等基本概念，并且对“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳。以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”是本课始终渗透的主要数学思想。 在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简单的方程。本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含有未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程。这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是最方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。 算术表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算术中只能含已知数而不能含未知数。列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破。正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。 二、学习与导学目标 １、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程的意义，领悟一元一次方程的定义，会进行简单的辨别。 ２、技能掌握与指导：能根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。利用率１００％。 ３、智能的提高与训导：在与他人交流探究过程中，学会与老师对话、与同学合作，合理清晰地表达自己的思维过程。 ４、情感修炼与开导：积极创设问题情景，认识到列方程解应用题的优越性，初步体会到“从算式到方程是数学的进步”的含义。 ５、观念确认与引导：通过经历“方程”这一数学概念的形成与应用过程，感受到“问题情境——分析讨论——建立模型——解释应用——转换拓展”的模式，从而更好地理解“方程”的意义。结合例题培养学生观察、类比的能力和渗透数形结合思想。 三、障碍与生成关注 通过“问题情境”，建立“数学模型”，难度较大，为此要充分引导学生关注生活实际，仔细分析题目题意，促使学生朝“数学模型”方面理解。 四、学程与导程活动 （一）创设情景、引入新课 同学们知道南通市的东城区吗？那宽广的人民东路延伸段正吸引着许多投资者的目光，南通市最大的环保热电厂已在东城区的新胜村拔地而起（图片展示），让我们乘３６路公交车去感受一下吧！
第一章：有理数 第二章：整式的运算 第三章：一元一次方程 第四章：图形的认识 第一章 1.1 正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数(negative number)。 与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数(positive number)（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）。 1.2 有理数 正整数、0、负整数统称整数(integer)，正分数和负分数统称分数(fraction)。 整数和分数统称有理数(rational number)。 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。（例：2的相反数是-2；0的相反数是0） 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4 有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。mì 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂（power）。在a的n次方中，a叫做底数(base number)，n叫做指数（exponent）。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。 把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法。 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字(significant digit)。 第二章一元一次方程 2.1 从算式到方程 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解(solution)。等式的性质： 1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 2.2 从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论（1） 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 第三章图形认识初步