《2.4向量的数量积》课件1-优质公开课-苏教必修4精品

O
A O
B
B B
当θ＝180°时，a与b反向； A
当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
b O a A
知识点1：向量“数量积”的概念
一个物体在力F的作用下产生位移S(如 图)
F S
θ
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
证明 : ( a b) ( a b) a b
2 2
( a＋ b) · ( a－ b) ＝ ( a＋ b) · a－ ( a＋ b) · b ＝ a· a＋ b· a－ a· b－ b· b ＝a2－b2.
想一想
已知△ABC中， AB=a， AC=b， 当 a· b <0， a· b =0时， △ ABC各是什 么三角形？当a ·b＜0时， cos<0，为钝角三角形 当a ·b=0时，为直角三角形
2
3 ( 2) , 求a b 4
解：（ 1 ）由a // b ，分两种情况：
当a, b 同向， a b 2; 当a, b反向， a b 2。
3 （2） a b 1 2 cos 1 4
课堂练习
证明 : (a b) (a b) a 2a b b
2 2 2 2 2
k为何值时，向量（ a k b）与（a - k b）互相垂直？
a 9， b 16 9 - 16k 2 0 3 k 4
探究点3
数量积的定义
已知两个非零向量a和b ，它们的夹角为 ，我们 把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积(或内积)， 记作a ·b ，即 | a || b | cos
证明： (a＋b)2＝(a＋ b) · ( a ＋ b)
2 2
＝ ( a＋ b) · a＋(a＋b)· b
＝ a· a＋ b · a＋a· b ＋b · b
＝ a 2＋ 2a· b＋b2.
课堂练习 回顾实数运算中有关的运算律，类比数 量积得运算律: 在实数中 在向量运算中 a b b a 交换律: ab=ba √
注 意 (2) a ·b不能写成a×b ，‘· ’不能 省. (1)两向量的数量积是一个数量，
探究点4
运算率
设a，b为任意向量，λ，μ为任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a
② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知 a 1, b (1) a // b, 求a b;
典型例题
. ab 1.若. a b 0，则 中至少有一个为0 ×
2.对任意向量a有a | a |
3.若b .0， a. b cb，则a c
2
2
√ ×
课堂小结
1.向量的数量积运算类似于多项式运算 2.数量积a•b等于a的长度 与b在a的方向上的投影
( )
(a b)c a(b c)
(a b) c a c b c
×
(a b) a (b)
( )
(
)

a b b c(b 0) a c
×
分配律： (a+b)c=ab+bc
投影的概念
B b
B
θ
B1
θ
O a A
b O
θ
a A
O a A
B1
| b |cos | 0 b |cos 0 | b |cos 0 O A B A B O | b |cos b | b |cos = b
已知 | a | 3， | b | 4，且a与b不共线。
解： a k b与a - k b相互垂直的条件是 （a k b） （ a - k b） 0 即a - k b 0
探究点2
投影的概念 B b
ab | a || b | cos
O a B1 A | b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投 影| b |cos 的乘积.
探究点2
投影的作图: B b
第二章 平面 向量
《2.4 向量的数量积（一）课件1》 课件
高中数学必修4· 同步课件
引入课题
已知两个非零向量 a和 b ，作 OA a， OB b ，则
∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量 a与 b 的夹角。 B θ
O
引入课题
当θ＝0°时，a与b同向；
典型例题
已知 | a | 6， | b | 4， a与b夹角为60，求： （ 1 ）（a 2b） （ a - 3b）（2） | a 2b |
解：（）（ 1 a 2b ） （ a - 3b ） （） 2 | a 2b | 2 2 2 a - a b - 6b ） 2 2 （a 2b | a | - | a | | b | cos - 6 | b | 2 2 a 4 a b 4b 2 2 6 - 6 4 cos60 - 6 4 2 37 -72