第一章大气边界层
2.假定在近地层中，雷诺应力Tzx为常数，混合长,并且在下边界z=0处，，试求风随高度的分布。解：∵
∴
∴
∴…………①
对①式积分
3.已知由于湍流摩擦引起的边界层顶部的垂直速度为
（1）试推出正压大气中，由于湍流摩擦引起的二级环流对天气尺度涡旋的旋转减弱时间的公式。
（2）若湍流系数k=8m2/s，f=10-4s-1，涡旋顶部w=0的高度为10km，试计算为多少？
解：（1）正压大气的涡度方程简化形式：
设∴…………①
当z=H时
对①积分∵f为常数
∴
∴
∴
∴
（2）∵k=8m2/s f=10-4s-1H=10km
∴
6.在某地测定平均风速随高度的分布，得到如下结果，假定风速分布对数规律，试计算z 0，u
及T 0（去卡曼常数为0.40）。 高度（m ）
7
2 0.30 0.04 平均风速（m/s ） 3.92 3.30
2.40
1.41
解：引入对数坐标系 令
得出右表：
则通过
带入前两组值
∴
（m ）
（m/s ）
15.在定常、均匀的气流中，铅直方向处于静力平衡的空气质点受到水平气压梯度力、水平地转偏向力和水平摩擦力的作用，假定后者与风速矢方向相反、大小成比例，试求风压场之间的关系，并作图说明。 解：∵定常均匀的流场满足静力平衡
即：
∴
z 7 2 0.30 0.04 x 3.92 3.30 2.40 1.41 y
1.946
0.693
-1.204
-3.219
科氏力
湍流摩擦力
气压梯度力
第二章 大气能量学
1.推出Ekman 层中动能消耗公式。 解：Ekman 层中与
不平衡，存在，大尺度运动中，空气微团做准水平运动，所以用p 坐标。
F V k f dt
d +∧-Φ-?= ①
对①两边同点乘V ，得
D dt
k
d -Φ??-=?+Φ??-= ②
y x vF uF y
p v x p u dt d ++??+??-=)(1ρ 摩擦耗散项：vF uF D
x +=- ③
在Ekman 层中，湍流粘性力耗散动能 所以，z
T F z
T F zy y zx
x
??=
??=
ρρ11 ④
???
??????=????=-=??=????=-=z
v
k z v z u l v w T z u
k z u z u l u w T z
zy z
zx ρρρρρρ22'''''' 代入④式
所以，)()(z
v
k z F z u
k z F z y z x
??=??=
??=??=
对于单位截面积气柱，从地面到边界层顶的动能耗散为D ?
dz dz v d vk dz u d uk dz z v k z v z u k z
u B B
h h z z D
ρρ??
+=??????????+????
=?022220
)()()( ⑤ 在Ekman 层中，设0=g
V ，风速与x 轴平行，三力平衡
???
?
?
?
???+-??-=??++??-=2
222101
0z v k fu y p z
u
k fv x p z z ρρ 且???
???
?
=??--=??-g
g
fu y
p
fv x p
ρρ11
得：???
???
?-=??-=??)(2
22
2g z z u u f z
v
k fv z
u
k ⑥
将⑥代入⑤中， ?
-=?B h g D dz v fu 0
ρ ⑦
令const u g
=，利用Ekman 层中的风俗分布表达式：
?????=-=--rz
e v v rz e u u rz
g rz
g sin )cos 1( ⑧
将⑧代入⑦中， ?--=?B
h rz g D
rzdz e fu 0
2
sin ρ
因为 r
h B
π
=
所以)1(22
+-
=?-ππ
ρe h u f B
g D
动能消耗将⑧代入，得
??
????+-=+=
-?πρρπ2)1(121)(2
122
02
2e h u dz v u K B g h D B
2.简述发展槽在实际大气能量转换中的作用。
因为温度槽落后于高度槽，如下图，气压槽槽前吹西南风，暖空气向北做上升运动，槽后吹西北风，冷空气向南做下沉运动，即
{}0''',>-=?dM w k A α，4平均有效位能向涡动动能转化，即发展槽的作用。
3.简述斜槽在实际大气能量转换中作用。 斜槽如图所示
所以，斜槽的性质：''v u 与y u ??正相关，即{}
0,''
'>=???k k dM y
u
v
u M
即斜槽使涡动动能向平均动能转化。
4.
简述大型涡旋在实际大气能量循环中的作用。
{}[]dM
V T T T
A A M
''1
',??-=?
''V T ??表示由涡旋运动引起的某个纬带内热量的净输送量，通过大型涡旋，温度槽落后于高度槽的水平发展槽，引起的热量输送，使得A 向'A 转化。
{}dM w K A M
''',α?-=
通过大型涡旋运动，温度槽落后于高度槽的发展槽中的垂直运动，使得
A 向'K 转化。
{}dM y
u
v u K K M
??=?
'
'', 通过大型涡旋运动，斜槽引起的扰动量输送，使K 向'K 转化。
{}dM F v F u D K y x M
)''''(',+=?
通过大型涡旋运动的扰动摩擦作用，使涡动动能耗散，使'K 向'D 转化。
A 'A ； 'A 'K ； 'K K 'K 'D
所以大型涡旋在实际大气能量循环中起着重要作用。
第三章 大气波动
1.对于波动方程证明f （x-ct ）是它的一个解。
证明：令x-ct=y
∴
1.5
2.2 0.3 1.9
故f（x-ct）是波动方程的一个解。
3．在p坐标系中，若：u=,v=v’,w=w’.,又考虑运动是水平无辐散的，且没有摩擦力，试将水平运动方程和涡度方程线性化。
解：p坐标系中不计摩擦力的水平运动方程：
将u=,v=v’,w=w’.分别代入方程中
∵根据微扰法的基本假定得：
，，，，，
∴
∵将,,, 代入2式中得：代入6式：
∴线性化的水平运动方程组：
：
∵，，水平无辐散
又∵u=,v=v’
∴
∴线性化的涡度方程为：
22.证明p坐标系中水平运动且水平无辐散的涡度方程可写为:
其中为流函数。
证明：
p坐标系水平运动方程为：
∵已知水平无辐散，即，可以引入流函数，∴
：
令带入上式中
33.对于浅水重力波，如果表面高度扰动表示为：试求相应的速度扰动。对于向东传播的波，讨论h’和u’的位相关系。
解：线性化后的连续方程为：
将带入上式得：
（设积分常数为0）
对于向东传播的浅水重力波，c > u时，纬向风场扰动与高度场扰动同位相。
38.已知有下列动力学方程组
（1）如果，v=v’，，其中基本气流，并且满足地转关系。设扰动速度与y无关，试将运动方
程线性化，并证明线性化涡度方程为（采用平面近似）：。
（2）求波动的相速和群速，并指出这种波动的名称和基本性质。
（3）讨论波动能量传播的特点，解释此波只有上游效应的原因。
解：
（1）由，同时利用３式和涡度定义式，可得：
其中采用平面近似：
∵，，v=v’
∴，
又∵扰动速度与y无关，即
∴
∵已知水平无辐散，即，可以引入流函数，
代回上式
即证：
（2）设代入中，得：
解得：
相速度： 群速度：
水平无辐散长波
（3）∵且
∴只能产生上游效应
第四章 地转适应过程
7、证明下列维适应方程组： 存在一个时间不变量：
，其中 。
证明：已知()2010(2)0(3)u
v fv t x v
fu t
u C t x φ???-=-????
??+=??????+=????
，且()v q x f x π?=-?
所以 222
0q v v f f t x t t x t C t
πφ
?????=-=-??????? （4）
对方程（2）两边对x 求偏导得：
20v u
f x t x
??+=??? （5） 由方程（3）得：
t φ??=-20u C x
?? （6）
把（6）（5）代入（4）中得：2202200()0q v f u f u f C t x t C t x C x
φ?????=-=---=??????
即q 不随时间t 变化
11、地转风的适应过程：地砖平衡遭到破坏后，通过逢场和气压场之间的相互调整和适应，重新建立新的地转平衡态的过程。
地转风的演变过程：准地转平衡态的缓慢变化过程 因为，地转适应时间尺度为：|c |
g L
T
=
在一维地转适应过程得：平流项可略去，0y ?=?，得方程组：00u
h fv g t x v fu t h u h t x ???-=-????
??+=???
???+=????
用小扰动法解方程组得'''
'
''20
00u fv t x v fu t u C t x φφ???-=-????
??+=??????+=????
(1)
令'
()u
e i kx t U ω-=，'()e i kx t ωφφ-=
，采用行列式，得解为：ω-
=
所以群速：2g C k
ω
?==?
C =
进行尺度分析：大尺度L=6
10m ，41010f s --=，210g m s -=?,310H m =
所以g C
：2
10
时间尺度64
21
101010g L m T s C m s -===?，且因为41010f s --=，所以40
110T s f ===2.78h 其特点为：快过程，准线性。
第五章 波动的不稳定理论
8、在一个没有β效应的两层流体中，其波的相速为2
12
2
22)22(λλ+-±=k k U U C T m 。其中m U 和T U 分别是此两层流体气流的平均速度与切边，λ=16
10
2--?m 。
试求：(1)此两层流体产生斜压不稳定的临界波长是多少? (2)当13-?=s m U T ，λ=k 时，波的增长率是多少？
解： （1）λλ20222
=?=-c k k
)(2221)(10221.2223m m L c =?==
∴λ
π
（2）)(1023
)22(1
6212
222--?==+-==s u k k u k c k T T i i λλλω
14、已知波速公式为：
2
212
21212121)()()()(ρρρρρρρρ+--
+-±
=k u u k g u c ，其中2
12
211ρρρρ++=
u u u ，试指出上述波动：
（1） 是何种性质的波动？ （2） 波动稳定性的判据是什么？ （3） 当21
u u =时，若212ρρ=，求此种情形下波的群速。
解：（1）此类波为K-H （开尔文-赫姆霍兹）波 （2）若
2
212
21212121)()()()(ρρρρρρρρ+--
+-k u u k g 为0或为正数，则为稳定。若
2
212
21212121)()()()(ρρρρρρρρ+--
+-k u u k g 为负，波速c
为复数，波速就有了虚部，波速的振幅将随时间增大，因而为K-H 不稳定。所以判据为：
2
212
21212121)()(ρρρρρρρρ+--+-?u u k g ??
???<=>不稳定
中性稳定0
00
（4） 当21u u =，212ρρ=时，代入波速公式k
g u c 3±
=?
则群速k
g u dk dc k
c c g
321±=+=
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