揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)试题 第1页（共4页）
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揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：1
3
V Sh =
．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数(1)i i -对应的点位于
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限 2. 已知集合{|lg(3)},{|2}A x y x B x x ==+=≥，则下列结论正确的是 A.3A -∈ B.3B ? C. A B B = D. A B B = 3.“φπ=”是“函数sin(2)y x φ=+为奇函数的”
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 向量(1,2),(3,4),BA BC =-=
则AC =
A.(4,2)
B.(4,2)--
C.(2,6)
D.(4,2)-
5. 若双曲线22
221x y a b
-=
，则其渐近线的斜率为
A.2±
B. C.1
2
±
D. 2±
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图（1）
侧视图
正视图
俯视图
6. 已知约束条件1400x x y kx y ≥??
+-≤??-≤?
表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为
A.1
B. 1-
C.0
D.2- 7. 图（1）中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画 出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A.4 B.8 C.16 D.20 8. 已知24
()2,()f x x px q g x x x
=++=+
是定义在集合 5
{|1}2M x x =≤≤上的两个函数．对任意的x M ∈,存在常数0x M ∈，使得0()()f x f x ≥，
0()()g x g x ≥，且00()()f x g x =．则函数()f x 在集合M 上的最大值为
A.
92 B.4 C. 6 D. 892
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）
9. 10(1)x -的展开式中2
x 的系数是 ．（用数字作答）
10. 若命题：“对2
,10x R kx kx ?∈--<”是真命题，则k 的取值范围是 ．
11.
设函数,0()0x f x x ?≥?=<，若()(1)2f a f +-=，则实数a = ．
12. 图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个 数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．
13．
3=．
= ；
的值，
．（*n N ∈）
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图（4）
六级
五级四级三级二级
一级空气质量级别
2天数
64810
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 2ρθθ-=所表示的曲
线上一动点，4,
3Q π?
?
??
?
，则PQ 的最小值为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图（3），已知AB 是圆O 的直径，
C 是AB 延长线上一点，C
D 切圆O 于D ，CD=4，AB=3BC ， 则圆O 的半径长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足：333log ()log 2
n
n n b a =+，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数
进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:
（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中
度污染的概率；
（2）在上述30个监测数据中任取2个,设ξ为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求ξ的分布列. 18. （本小题满分14分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若cos(
)2cos ,3
A A π
-= 求A 的值；
（2）若1
cos ,3
A =
且△ABC 的面积2S =，求C sin 的值. 19．（本小题满分14分）
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图（6）
y
x
B
O
E
F
D
如图（5），已知,,A B C 为不在同一直线上的三点，且111////AA BB CC ，
111AA BB CC ==.
(1)求证:平面ABC //平面111A B C ；
(2)若1AA ⊥平面ABC ，且14AC AA ==,3,5BC AB ==, 求证：A 1C 丄平面AB 1C 1
(3)在（2）的条件下，求二面角C 1-AB 1 -C 的余弦值.
20.（本小题满分14分）
如图（6），已知(,0)F c 是椭圆22
22
:
1(0)x y
C a b a b +=>>的右焦点； 2
2
2
:()F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点， 试判断直线AB 与F 的位置关系；
(3)设直线AB 与椭圆C 交于另一点G ，若B G
D ?，求椭圆C 的标准方程. 21．（本小题满分14分）
已知0x >，函数()ln 1
ax
f x x x =-
+
（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当()f x 有两个极值点（设为1x 和2x ）时，求证：121
()()[()1]x f x f x f x x x
++≥?-+．
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数学（理科）参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难
度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分 的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题CDAA BACC
解析：8.
依题意知，两个函数的图象有共同的最低点，由4()4g x x x =+
≥=，当且仅当2x =“=”成立，故两函数图象的最低点为（2,4），由此得8,12p q =-=，所以2()2812f x x x =-+，()f x 在集合M 上的最大值为(1)6f =，选C.
二．填空题：9.45；10.40k -<≤ ；11.1± 12.
4
5
；13.4、1n +；14.
;15. 3. 解析：12.设被污损的数字为x （x N ∈），则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得，
88899291908383879990x ++++>+++++，解得08x ≤<，即当x 取0,1，……，7时符合题意，故所求的概率84105
P =
=. 13.
=x
3,=解得4x =，
，……，由此可猜测
=1n +.
三.解答题：
16.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由12a =，3212a a -=，
得222120q q --=，即2
60q q --=．-------------------------------------------------------------3分 解得3q =或2q =-，--------------------------------------------------------------------------------------5分 ∵0q >∴2q =-不合舍去，∴1
23
n n a -=?；---------------------------------------------------------6分
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（2）由333log ()log 2n
n n b a =+得
n b =121333
log (23)log 3212
n n n n --??==-，----------------------------------------------------------8分
∴数列{}n b 是首项11,b =公差2d =的等差数列，-----------------------------------------------------9分
∴n S 1212()()n n a a a b b b =+++++++
2(31)(121)312
n n n -+-=+-231n n =-+．-----------------------------------------------------------12分
17.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, ---------------------------1分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 61
305
P =
=.------------------------------------4分 （2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,----------------------------------------------------------------------5分
则()22623065
087C P C ξ===,--------------------------------------------------------------------------------7分
()114262
30104
1435C C P C ξ===,--------------------------------------------------------------------------------9分 ()242302
2145
C P C ξ===-----------------------------------------------------------------------------------11分
所以ξ的分布列为:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1
）由cos()2cos ,3
A A π
-
=
得cos cos sin sin 2cos
,33
A A A π
π
+=-------------------------------------------------------------------2分
1cos 2cos ,22
A A A ∴+= s i n 3c o s A A =,-----------------------------------------------4分
∴tan A =6分 ∵0A π<< ∴3
A π
=；-----------------------------------------------------------------------------------7分
（2）解法1：
1 cos,
A=
∴0
2
A
π
<<
∴
sin A==-----------------------------------------------------------------------------8分由2
1
sin
23
S bc A
===得3
b c
=，------------------------------------------------------10分由余弦定理得：2222222
2
cos928
a b c bc A c c c c
=+-=+-=
，∴a=-----------12分
由正弦定理得：
sin sin
a c
A
C
=
sin
c
C
=
1
sin
3
C
∴==.-----------------------------------------------------------------------------------------14分【解法
2：
1
cos
,
3
A=
∴0
2
A
π
<<
∴
sin
3
A==-----------------------------------------------------------------------------8分由2
1
sin
2
S bc A
===得3
b c
=，------------------------------------------------------10分由余弦定理得：2222222
2
cos928
a b c bc A c c c c
=+-=+-=，∴a=-----------12分
∵222222
89
a c c c c b
+=+==，∴△ABC是Rt△，角B为直角，------------------------------13分
1
sin
3
c
C
b
∴==．--------------------------------------------------------------------------------------------14分】【:解法
3：
1
cos,
3
A=
∴0
2
A
π
<<
∴
sin A==------------------------------------------------------------------------------8分由2
1
sin
2
S bc A
===得3
b c
=，----------------------------------------------------------10分由余弦定理得：2222222
2
cos928
a b c bc A c c c c
=+-
=+-=，∴a=----------------12分
又2
1
sin
2
S ab C
==，得2
1
3sin
2
c C
???=，∴
1
sin
3
C=.-----------------------14分】【解法
4：
1
cos
,
3
A=
∴0
2
A
π
<<
∴
sin
3
A==-----------------------------------------------------------------------------8分由2
1
sin
23
S bc A
===得3
b c
=，------------------------------------------------------10分
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z y
x
A B
C
A
1
B 1
C 1
由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=
，则3sin sin sin[()]C B A C π==-+sin()A C =+，--11分 3sin sin()sin cos cos sin C A C A C A C =+=+,1
3sin sin 3C C C =+, 整理得cos C C =,代入22
sin cos 1C C +=,得21sin 9
C =，-------------------------13分
由c b <知02
C π
<<,
1
sin 3
C ∴=．------------------------------------------------------------------------------------------------14分】 19.解：（1）证明：∵11//AA CC 且11AA CC =
∴四边形11ACC A 是平行四边形，
-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴//AC 11A C ,∵AC ?面111A B C ，11A C ?面111A B C
∴//AC 平面111ABC ，--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分 同理可得//BC 平面111ABC ,又AC CB C = ,
∴平面ABC //平面111ABC ----------------------------------------------------------------------------------------------------4分 (2)证法1：
∵1AA ⊥平面ABC ，1AA ?平面11ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，---------------------5分 平面11ACC A 平面ABC =AC ，
∵4AC =,3BC =,5AB = ∴2
2
2
AC BC AB += ∴BC AC ⊥ --------------------------6分 ∴BC ⊥平面11ACC A ,---------------------------------------------------------------------------------------7分 ∴1BC AC ⊥，∵11//BC B C ∴111
B C AC ⊥ 又1AA AC ⊥,1AC AA =得11ACC A 为正方形，∴1
1AC AC ⊥-----------------------------------8分 又1111AC B C C = ,
∴A 1C 丄平面AB 1C 1--------------------------------------------------------------------------------------------9分 【证法2：∵4AC =,3BC =,5AB = ∴222AC BC AB += ∴BC AC ⊥，---------------5分
∵1AA ⊥平面ABC ，11
//AA CC ∴1CC ⊥平面ABC ----------------------------------------------6分 以点C 为原点，分别以AC 、CB 、CC 1所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间 直角坐标系如图示，由已知可1(4,0,0),(0,3,0),(0,0,0),(4,0,4)A B C A , 11(0,3,4),(0,0,4)B C ,
则1
1(4,0,4),(4,0,4)AC C A =--=- ,11(0,3,0)C B =
------------------7分 ∵111110,0,AC C A AC C B ?=?=
∴111
11,AC C A AC C B ⊥⊥ ---------8分 又1111,C A C B C = ∴1
AC ⊥平面11AB C .----------------------------------------------------------9分】
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(3)由（2）得1(4,0,0),(0,3,4)
CA CB ==
,------------------------------------------------------------10分
设平面1AB C 的法向量
(,,)n x y z =，则由1,CB n CA n ⊥⊥ 得340
40y z x +=??=?
， 令4y =得(0,4,3)n =-------------------------------------------------------------------------------------12分
分
（其它解法请参照给分）
20.解：(1)∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把(,0)c -代入圆F 的方程，得
2
24c a =
，故椭圆C 的离心率1
2
c e a =
=；--------------------------------------------------------------3分 (2) 在方程22
2()x c y a -+=中令0x =得2222
y a c b =-=，可知点B 为椭圆的上顶点，
由(1)知，12
c a =
，故2,a c b ===
，故B
)，--------------------------
4分
在圆F 的方程中令y=0可得点D 坐标为(3,0)c ，则点A 为(3,0)c -，--------------------------5分
于是可得直线AB 的斜率AB k =分 而直线FB 的斜率FB k c
==-分 ∵
1AB FD k k ?
=-,
∴直线AB 与F 相切。---------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）椭圆的方程可化为2
2
2
3
x 由（2）知切线AB
分 解方程组223412x y c y ?+=?
?=
+??
分 而点(3,0)D c 到直线AB 分 由11||22BGD S BG d ?=
??=解得c =分
分
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21．解：（1）∵222
1(2)1
'()(1)(1)a x a x f x x x x x --+=-=
++，------------------------------------------2分 0x >，考虑分子2(2)1x a x --+
当2
40a a ?=-≤，即04a ≤≤时，在(0,)+∞上，'()0f x ≥恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分 当2
4
2
有两个解不相等的实数根：
1x =2x =120x x <<，---------------4分
∵当1(0,)x x ∈或2
(,)x x ∈+∞
时，'()0f x >；当12(,)x x x ∈时，'()0f x <；
∴函数()f x
在22(
22a a --+上单调递减，-------------------------------5分 在2(0,
2a -和2()2
a -++∞上单调递增. -------------------------------6分 （2）∵12,x x 是()f x 的两个极值点，故满足方程'()0f x =，
即12,x x 是2
(2)10x a x --+=的两个解，∴121x x =，----------------------------------------------7分 ∵12
121212()()ln ln 11
ax ax f x f x x x x x +=-
+-++ 1212
121212(2)ln()1
a x x x x x x a x x x x ++=-=-+++-------------------------------------------------9分
而在()ln 1ax f x x x =-
+中，1
[()ln ]x a f x x x
+-=?------------------------------------------------10分 因此，要证明121
()()[()1]x f x f x f x x x
++≥
?-+， 等价于证明11
[()ln ][()1]x x f x x f x x x x
++?-≥?-+
注意到0x >，只需证明()ln ()1f x x f x x -≥-+
即证ln 1x x ≤-------------------------------------------------------------------------------------------------12分
令()ln 1g x x x =-+，则11'()1x
g x x x
-=
-=
， 当(0,1)x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在(0,1)上单调递增；
当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减；
因此max ()(1)ln110g x g x ==-+=，从而()0g x ≤，即ln 1x x ≤-，原不等式得证．---14分