高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的
。
1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??
-+≥??+≥?
，则2z x y =+的
最小
值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．
32 B ．155 C ．105
D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-
（0,2x π??
∈????
）的最大值是．
15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36?=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为22
23b a b =
+ 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02?
? ??
?，）
可知1152MN AB =
=
，112
2NP BC ==，
作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠
14122172??
=+-???-= ???
，7=AC
则7MQ =
，则MQP △中，22112
MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=??
又异面线所成角为π02?
? ??
?，，则余弦值为10．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'??=+++-???
， 则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，
则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ?+=?，
要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值， 又3
23PA PD AD +==?
=， 则2
233
24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??
???≤， P
D C
B
A
则min 332242
PD PA ?=-?=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ?+=-+
则其最小值为33242??
?-=- ???
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???
?=+-∈ ????
???，
令cos x t =且[]01t ∈， 则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-，
如图，M 为F 、N 中点，
l F
N M C B
A
O
y
x
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ?=， ∴18
2217
ac ?=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=，
∴2361715b --=，
∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?
（2）
由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
?≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，
(00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，
∴MBM '△为等腰直角三角形．
∵POC △为直角三角形，OC =
，∴60PCO ∠=?．
设MM a '=，3CM a '=
，3
1OM a '=-．∴3100M a ??'- ? ???
，，． 2
22
231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???．∴3211OM a '=-=-． ∴21002M ??'- ? ???，，，26102M ??
- ? ???
，， 2611AM ??=- ? ???
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
?<>=
=
?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ?== ??
?，
∴2M x y ?
?
???
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ???
，即222x y +=． (3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
⑵设点
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=，
∴2
13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．
设直线OQ ：3
Q y y x =
?-，
因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1
3
P Q P y y x x -?=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-?+，
∵33P Q P y y x =+，
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??
<= ???；
若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??
<= ???；
若1a =，则()()min 110g x g g a ??
=== ???
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =
， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．
所以，()min 112ln 202h x h ??
==-+< ???
．
因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??
∈+∞ ???
，，
所以在102?? ???，和12??
+∞ ???
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102??
???
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12??
+∞ ???
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -?
?∈ ??
?，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，．
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()
2
2
5
5
33
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+= ∴()()2
32a b b ab α??++-=??
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+?? ?+??
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．
高考数学模拟试卷复习试题 三角函数和解三角形
第02节 三角函数的图象和性质
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）
1．已知函数cos sin(2)(0),y x y x ??π==+≤<与它们的图象有一个横坐标为3
π
的交点,则?= （ ） A ．
6π B ．3π C ．23π D ．56
π 2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2
π
π上单调递减函数的是（ ）
A ．sin 2y x =
B ．2cos y x =
C ．cos
2
x
y = D ．tan()y x =- 3．在32cos sin 3-=+a x x 中，a 的取值范围是（ ）
A ．
2521≤≤a B ．2
1≤a C ．25>a D ．2
1
25-≤≤-a
4．设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ω?ω?ω?=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则
（ ） A ．()f x 在0,
2π?? ??
?
单调递减 B ．()f x 在3,44ππ?? ???
单调递减
C ．()f x 在0,
2π?? ??
?
单调递增 D ．()f x 在3,44ππ??
???
单调递增
5．定义一种运算()()
,,a a b a b b a b ≤???=?>??，令()()23cos sin 2f x x x =+?，且,22x ππ??
∈-????，则函数
2f x π?
?- ??
?的最大值是
（A ）
12 （B ）32 （C ）5
4
（D ）1 6．函数2
()2sin (
)1()4
f x x x R π
=--∈是（）
A ．最小正周期为π2的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为π2的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
7．【余姚市三模】已知()sin()()f x A x x R ω?=+∈的图象的一部分如图所示，若对任意,x R ∈都有
12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值为（ ）
A.2π
B.π
C.
2πD.4
π 8．【二模】函数 f (x)= sin (2x + ?）( |?| < 2π)的图象向左平移6
π
个单位后关于原点对称，则函数 f (x)在[0,
2
π
]上的最小值为 （A ）－
32（B ）－12（C ）1
2
（D ）32 9．【上饶市联考】函数()2cos 6f x x π??
=- ??
?的单调增区间是（ ）
A ．(),3
6
k k k Z ππππ??-++∈ ?
??
B ．()2,6
3
k k k Z ππππ??++∈ ???
C ．()2,236k k k Z ππππ??-++∈ ???
D ．()22,
263k k k Z ππππ??++∈ ???
10．【东阳市模拟】设函数()f x =sin()A x ω?+(0,A ≠0,ω>)22
?ππ
-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最小正周期为π，则（ ） A ．()f x 的图象过点1
(0)2
,B ．()f x 在2,123ππ??
?
???
上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π??
???
D ．()f x 的一个对称中心是,06π??
???
11．【一模】()sin 36
f x a x x π
=已知函数的一条对称轴为x=-
，且()()124,f x f x ?=-则
12x x +的最小值为（ ）
A ．
3π B ．2π C ．23π D ．4
3
π
12．【二模】已知函数()()?+=x sin x f 2，其中?为实数，若()??
?
??≤6πf x f 对x R ∈恒成立，且()ππf f >??
?
??2，则()f x 的单调递增区间是 （ ） A ．()Z k ,k ,k ∈???
??
?+
-
63
πππ
πB ．()Z k k ,k ∈??
????
+，2πππ C ．()Z k ,k ,k ∈?????
?
+
+
326
πππ
πD ．()Z k ,k ,k ∈??
?
???-πππ2 二、填空题
13．函数()f x =22sin 2cos 2x x -的最小正周期是．
14．已知x 为三角形中的最小角，则函数sin()sin()3cos 133
y x x x π
π
=++-++的值域为
___________．
15．【浙江宁波二模】已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π??
∈-
????
，20,4x π??
∈ ???
，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为．
16．【西安】若对于函数sin ||
()x f x b x
=
+，现给出四个命题： ①b=0时，()f x 为奇函数；②y=()f x 的图像关于（o ，b ）对称； ③b=－1时，方程()f x =0有且只有一个实数根； ④b=－1时，不等式()f x >0的解集为空集． 其中正确的命题是．（写出所有正确命题的编号） 三、解答题
17．【北京市西城区一模】已知函数cos 2(sin cos )
()cos sin x x x f x x x
+=-．
（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的单调增区间．
18．【哈尔滨四模】已知函数()2
23sin cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??
????
上的最大值和最小值； （Ⅱ）将函数()f x 图像向左平移6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标．
19．已知向量：)1,cos 2(x a =
，()cos ,3sin 2b x x =，函数b a x f ?=)(.
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()y f x =的对称轴并作出()y f x =在,6ππ??
-
????
的图象． 20．【高考冲刺关门卷新课标全国卷】已知向量(cos 2,),(,23sin 2)m x a n a x →
→
==+，函数
()5(,0)f x m n a R a →→
=?-∈≠
(Ⅰ) 当函数]2
0[)(π
，在x f 上的最大值为3时，求a 的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若对任意的R t ∈，函数],(),(b t t x x f y +∈=的图像与直线1-=y 有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值，并求函数],0()(b x f y 在=上的单调递减区间.