母题突破2 定点问题 母题 已知椭圆C ：x 24
＋y 2＝1，点P (0,1)，设直线l 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为－1，求证：l 过定点． 思路分析
?l 斜率k 存在时写出l 的方程
↓
?联立l ，C 的方程，设而不求
↓
?计算k P A ，k PB 并代入k P A ＋k PB ＝－1
↓
?分析直线方程，找出定点
证明 设直线P A 与直线PB 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为? ????t ，
4－t 22，? ????t ，－4－t 22， 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t
＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24
＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1
. 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2
＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2
＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2
. 由题设k 1＋k 2＝－1，
故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0，
即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1
＝0， 解得k ＝－m ＋12
. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12
x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋12
(x －2)，所以l 过定点(2，－1)． [子题1] 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若点E (－2,0)，直线l 不与坐标轴垂直，且∠AEO ＝∠BEO ，求证：直线l 过定点． 证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ny ＋b (n ≠0)，
由?
????
x ＝ny ＋b ，y 2＝4x ，得y 2－4ny －4b ＝0， 则y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4b .
由∠AEO ＝∠BEO ，得k EA ＝－k EB ，
即y 1x 1＋2＝－y 2x 2＋2
， 整理得y 1x 2＋2y 1＋x 1y 2＋2y 2＝0，
即y 1(ny 2＋b )＋2y 1＋(ny 1＋b )y 2＋2y 2＝0，
整理得2ny 1y 2＋(b ＋2)(y 1＋y 2)＝0，
即－8bn ＋4(b ＋2)n ＝0，得b ＝2，
故直线l 的方程为x ＝ny ＋2(n ≠0)，
所以直线l 过定点(2,0)．
[子题2] (2020·成都模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 与过点(2,0)的直线l 交于M ，N 两点，若MP
→＝12
MN →，PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点． 证明 由题意可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋2(m ∈R )，
将x ＝my ＋2代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －8＝0，
显然Δ＝16m 2＋32>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，
因为MP →＝12MN →，所以P 是线段MN 的中点， 设P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋42
＝2m 2＋2， y P ＝y 1＋y 22
＝2m ， 所以P (2m 2＋2,2m )，
又PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，所以Q (0,2m )，
设以PQ 为直径的圆经过点A (x 0，y 0)，
则AP →＝(2m 2＋2－x 0,2m －y 0)，
AQ →＝(－x 0,2m －y 0)，
所以AP →·AQ →＝0，即－x 0(2m 2＋2－x 0)＋(2m －y 0)2＝0，
化简可得(4－2x 0)m 2－4y 0m ＋x 20＋y 20－2x 0
＝0，① 令????? 4－2x 0＝0，4y 0＝0，
x 20＋y 20－2x 0＝0，可得?????
x 0＝2，y 0＝0， 所以当x 0＝2，y 0＝0时，对任意的m ∈R ，①式恒成立，
所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0)．
规律方法 动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ,0)．
(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
跟踪演练
1．(2020·北京东城区模拟)已知椭圆C ：x 26＋y 2
2
＝1的右焦点为F ，直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)
过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P ′，求证：直线P ′Q 过x 轴上的定点．
证明 ∵c ＝6－2＝2，∴F (2,0)，
直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)过点F ，
∴m ＝－2k ，∴l ：y ＝k (x －2)．
由?????
x 2＋3y 2＝6，y ＝k (x －2)，得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.(依题意Δ>0) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1
. ∵点P 关于x 轴的对称点为P ′，则P ′(x 1，－y 1)．
∴直线P ′Q 的方程可以设为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1
(x －x 1)， 令y ＝0，x ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2
＝kx 2(x 1－2)＋kx 1(x 2－2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4
＝2×12k 2－63k 2＋1－2×12k 2
3k 2＋112k 23k 2＋1
－4＝3. ∴直线P ′Q 过x 轴上的定点(3,0)．
2．(2020·内江模拟)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点S ???
?－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由椭圆定义可得2a ＝22，则a ＝2，
又椭圆C 的离心率为e ＝c a ＝22
， 所以c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，
因此，椭圆C 的方程为y 22
＋x 2＝1. (2)当直线l 不与x 轴重合时，
可设直线l 的方程为x ＝my －13
， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
考虑直线l 1：x ＝ky －13，l 2：x ＝－ky －13
， 设直线l 1与椭圆C 相交于A 1，B 1两点，直线l 2与椭圆C 相交于A 2，B 2两点，如图所示：
由题意可知，直线l 1，l 2关于x 轴对称，
则定点T 是分别以A 1B 1，A 2B 2为直径的圆的交点，
由椭圆的对称性可知，点T 在x 轴上，
设点T 的坐标为(t ,0)，
联立??? x ＝my －13，y 22＋x 2＝1，消去x 并整理得
(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，
Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立，
由根与系数的关系得y 1＋y 2＝
12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3
， y 1y 2＝－1618m 2＋9
， 由于以AB 为直径的圆恒过点T ，
则TA ⊥TB ，TA →＝???
?my 1－t －13，y 1， TB →＝???
?my 2－t －13，y 2， TA →·TB →＝????my 1－t －13?
???my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－m ????t ＋13(y 1＋y 2)＋???
?t ＋132 ＝－16(m 2＋1)－m ????t ＋13×12m 18m 2＋9
＋????t ＋132 ＝????t ＋132－(12t ＋20)m 2＋1618m 2＋9
＝0， 由于点T 为定点，则t 为定值，
所以12t ＋2018＝169
，解得t ＝1， 此时TA →·TB →＝????432－169
＝0，满足题意； 当直线l 与x 轴重合时，
则AB 为椭圆的短轴，此时，点T 与点A 或点B 重合，满足题意．
综上所述，直线l 恒过定点T (1,0)．
专题强化练
1．已知椭圆C ：x 22
＋y 2＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，D (0，－1)，若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16
.证明：直线l 恒过定点． 证明 ①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，
因为点A (m ，y A )在椭圆x 22
＋y 2＝1上， 所以m 22＋y 2A ＝1，即y 2A ＝1－m 22
， 所以k AD ·k BD ＝y A ＋1m ·－y A ＋1m ＝1－y 2A m 2＝m 22m 2＝12≠16
，不满足题意．
②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋b (b ≠－1)，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
联立?????
y ＝kx ＋b ，x 2＋2y 2－2＝0，
整理得 (1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，
依题意得，Δ>0，
所以x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2
， 则k AD ·k BD ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2
＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＋[k (x 2＋x 1)＋2b ]＋1x 1x 2
＝k 2x 1x 2＋(kb ＋k )(x 1＋x 2)＋b 2＋2b ＋1x 1x 2
. 将x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2
代入上式化简得， k AD ·k BD ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(b ＋1)22(b ＋1)(b －1)＝16
， 即b ＋1b －1＝13
，解得b ＝－2. 所以直线l 恒过定点(0，－2)．
2．已知点H 为抛物线C ：x 2＝4y 的准线上任一点，过H 作抛物线C 的两条切线HA ，HB ，切点为A ，B ，证明直线AB 过定点，并求△HAB 面积的最小值．
解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H (t ，－1)，
由C ：x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12
x ， 所以抛物线C ：x 2＝4y 在点A (x 1，y 1)处的切线HA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －12x 21
＋y 1，
因为y 1＝14x 21，所以y ＝x 12x －y 1，
因为H (t ，－1)在切线HA 上，所以－1＝x 12
t －y 1，① 同理－1＝x 22
t －y 2，② 综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标满足方程
－1＝x 2
t －y ，即直线AB 恒过抛物线的焦点F (0,1)， 当t ＝0时，此时H (0，－1)，可知HF ⊥AB ，
|HF |＝2，|AB |＝4，S △HAB ＝12
×2×4＝4， 当t ≠0时，此时直线HF 的斜率为－2t
，得HF ⊥AB ， 于是S △HAB ＝12
×|HF |×|AB |， 而|HF |＝(t －0)2＋(－1－1)2＝t 2＋4，
把直线y ＝t 2
x ＋1代入C ：x 2＝4y 中，消去x 得y 2－(2＋t 2)y ＋1＝0， |AB |＝y 1＋y 2＋2＝t 2＋4，
即S △HAB ＝12(t 2＋4)t 2＋4＝12(t 2＋4)3
2>4， 综上所述，当t ＝0时，S △HAB 最小，且最小值为4.