2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α
，1
(1cos )x -α
均是比x 高阶的无穷小，
则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞
(B) (1,2)
(C) 1
(,1)2
(D) 1(0,)2
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1
sin
y x x =+
(D) 2
1sin
y x x
=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）
(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥
(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤
(4) 曲线2
2
7
41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）
(A)
50
(B)
100
(C)
(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2
2
l i m
x x
→=ξ （ ）
(A)1
(B)
2
3
(C)
12
(D)
13
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20
u
x y ?≠??及22220u u
x y
??+=??，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得
(7) 行列式
00000000a b a
b
c d c d
= （ ）
(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2
2
22
a d
b
c -
(D) 22
2
2
b c a d -
(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组 123,,ααα线性无关的 （ ） (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)
1
21
25dx x x -∞=++?__________.
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),
x =-[0,2]x ∈，则(7)f =
__________.
(11) 设(,)z z x y =是由方程227
4
yz
e
x y z +++=
确定的函数，则11(,)22
dz =__________.
(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐标方程是
__________.
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()2
21x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.
(14) 设二次型()2
2
123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为
_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t x t e t dt x x →+∞
????--?? ?????????+ ?
??
?
(16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域(){
}
22,14,0,0,D x y x y x y =
≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+??
.
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
??+=+??，若
'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]x
a
g t dt x a x a b ≤≤-∈?
,
(II)
()()d ()g()b
a a g t dt
b a
a
f x x f x x dx
+
?≤?
?
. (20)(本题满分11分)
设函数[](x),0,11x
f x x
=
∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==, 1()(()),n n f x f f x -= ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求
极限lim n n nS →∞
.
(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)
设矩阵123401111203A --?? ?
=- ? ?-??
，E 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵1111
111
11?? ?
? ? ??? 与00100200n ??
? ?
?
???
相似.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α
，1
(1cos )x -α
均是比x 高阶的无穷小，
则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞
(B) (1,2)
(C) 1
(,1)2
(D) 1(0,)2
【答案】B
【解析】由定义 1000ln (12)(2)lim
lim lim 20x x x x x x x x
-→→→+===αα
αα 所以10->α，故1>α.
当0x +
→时，2
1
1
(1cos )~
2x x -α
α
是比x 的高阶无穷小，所以
2
10->α
，即2<α.
故选B
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1
sin y x x =+
(D) 2
1sin
y x x
=+ 【答案】C
【解析】关于C 选项：11
sin
sin
lim
lim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1
sin y x x
=+存在斜渐近线y x =. 故选C
(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）
(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥
(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤
【答案】D
【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则
(0)(1)0F F ==,
()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.
若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.
又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.
(4) 曲线2
2
7
41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）
(C)
(D)【答案】C 【解析】
1
1
12
'
2112243221
2t t t t t dy t dx
t
d y dy t
dx dx t
=====+=
=-
===-
()
(
)
''
3
3'22
2
1
1
,11y k R k
q y =
=
∴=
=++故选C
(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x x f '=ξ，则2
2
l i m
x x
→=ξ （ ）
(A)1
(B)
2
3
(C)
12
(D)
13
【答案】D 【解析】因为
'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2
()()
x f x f x -=
ξ 2
22
2220
00
1
1()arctan 11lim
lim
lim lim ()arctan 33
x x x x x f x x x
x x x f x x x x →→→→-
--+====ξ
故选D.
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20
u
x y ?≠??及22220u u
x y
??+=??，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A
【解析】记22222,,,0,,u u u
A B C B A C x x y y
???===≠????相反数
则2
=AC-B 0?<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.
故选A
(7) 行列式
00000000a b a
b
c d c d
= ( )
(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2
2
22
a d
b
c - (D)22
2
2
b c a d - 【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
00
00
0000000
000
00a b a b a b a b
a c d c
b
c
d d c d c d
=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2
()ad bc =--.
(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组
123,,a a a 线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件
(D)既非充分也非必要条件
【答案】A 【解析】()()13
2312
31001k l k l ??
?
++= ? ???
ααααααα.
)? 记()1323A k l =++αααα，()12
3B =ααα，1001k l ??
?
= ? ???
C . 若123,,ααα线性无
关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.
)? 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.
综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)
1
21
25dx x x -∞=++?__________.
【答案】3
8
π
【解析】
()1
11
221111arctan 25221413
2428
x dx dx x x x -∞
-∞-∞+==++++????=
--= ?????????πππ
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =
__________.
【答案】1
【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，
又()2
2f x x x c =--+且为奇函数，故=0c
()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，
又()f x 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程227
4
yz
e
x y z +++=
确定的函数，则11(,)22
dz =__________.
【答案】1
()2
dx dy -
+ 【解析】对227
4
yz
e
x y z +++=
方程两边同时对,x y 求偏导
22210(22)20
yz
yz z z e y x x z z e z y y y y ?????++=????
????+++=????
当11
,22
x y =
=时,0z = 故
1111(,)(,)22
22
11,
22
z z x y
??=-=-??
故11(,)22
111
()()222
dz
dx dy dx dy =-+-=-+
(12) 曲线lim n n nS →∞
的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(
,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐标方程是
__________. 【答案】2
2
y x =-
+
π
π
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==??==?
θθθ
θθθ，
于是(),,,22r ??=
???ππθ对应于(),0,,2x y ??
= ???
π 切线斜率cos sin cos sin dy
dy d dx dx d +==
-θθθ
θθθθ
θ
0,22
dy dx ??
???
∴=-
ππ
所以切线方程为()2
02y x -=--ππ
即2=2
y x -+π
π
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()2
21x x x =-++ρ,则该细棒的质
心坐标x =__________. 【答案】
1120
【解析】质心横坐标()()10
10
x x dx x x dx
=??ρρ
()()()()31
1
2
2
100042
112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ??-++=-++= ???
??-++=-++= ???
????ρρ
11
11
12=5203
x ∴=
(13) 设二次型()22
123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围
_________. 【答案】[]2,2-
【解析】配方法：()()()2
2
222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+
由于二次型负惯性指数为1，所以2
40a -≥，故22a -≤≤.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t
x t e t dt x x →+∞
????--?? ?????????+ ?
??
?
【解析】11
221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11
ln(1)x
x t t x x t t t t t t x x x x
→+∞→+∞????----????????=+?
??
1
2
lim [(e 1)]x
x x x →+∞
=--
12000e 1e 11lim lim lim 222
t t t x
t t t t t t t t +++
=→→→---====. (16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程2
2
1x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.
【解析】 由2
2
1x y y y ''+=-，得
2
2
(1)1y y x '+=-………………………………………………………①
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为
3311
33
y y x x c +=-+ 由(2)0y =得2
3
c =
又由①可得 2
21()1
x y x y -'=+
当()0y x '=时，1x =±，且有：
1,()011,()01,()0
x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值
(1)0,(1)1y y -==
即：()y x 的极大值为1，极小值为0. (17)(本题满分10分)
设平面区域(){}
2
2
,14,0,0,D x y x
y x y =
≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+??
.
【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：
D D
=
12D D I dxdy ∴==+????
??
1sin(2D
dxdy =
?? 22
121
1sin 21
()cos 4d r rdr
rd r =?=-???πθππππ
22
111cos |cos 4r r rdr ??=-?-?
????ππ
21
1121sin |4r ??=-+-????
ππ
34
=-
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
??+=+??，若
'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. 【解析】由(
)
cos ,
x
z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z z
f e y e y f e y e y x y
??''=?=?-?? 22
(cos )cos cos (cos )cos x x x x x
z f e y e y e y f e y e y x
?'''=??+??， ()()()22
(cos )sin sin (cos )cos x x x x x
z f e y e y e y f e y e y y
?'''=?-?-+?-? 由 ()22222
+4cos x x z z z e y e x y
??=+??，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''?=+
即
()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，
令cos =,x e y t 得()()4f t f t t ''-= 特征方程
240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+
设特解*
y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4
t t
y f t c e c e t -=+-
由()()'
00,00f f ==，得1211,1616
c c ==-, 则 ()22111
=16164
u u y f u e e u -=--.
(19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）
0(),[,]x
a
g t dt x a x a b ≤≤-∈?,
（II ）
()()d ()g()b
a a g t dt
b a
a
f x x f x x dx
+
?≤?
?
. 【解析】（I ）由积分中值定理
()()(),[,]x
a
g t dt g x a a x =-∈?ξξ
()01g x ≤≤ ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ ()()0x
a g t dt x a ∴≤≤-?
（II ）直接由()01g x ≤≤，得到
()()01=x x
a
a
g t dt dt x a ≤≤-??
（II ）令()()()()()u
a u a g t dt a
a
F u f x g x dx f x dx +
?=
-??
()()()()(
)
()
()()()()
'
u
a
u
a F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+???
=-+????
??
由（I ）知()()0u a
g t dt u a ≤
≤-? ()u
a
a a g t
d t u
∴≤+≤? 又由于()f x 单增，所以()()()0u a
f u f a
g t dt -+
≥?
()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=
取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)
设函数[](x),0,11x
f x x
=
∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -=== ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞
.
【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x
f x f x f x f x x x x nx
=
===++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx
+-∴===++???
1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++?? 211
ln(1)n n n
=-+ ln(1)ln(1)1
lim 1lim 1lim 1lim
1n n n x x n x nS n x
x →∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?，且2(,)(1)
(2)l n ,
f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为
2(1)f
y y
?=+?,所以2(,)2(),f x y y y x =++?其中()x ?为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--?，从而
()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.
令(,)0,f x y =可得()2
(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为
()()2
2
2
1
1221
12ln ln 22V y dx x xdx
x xd x =+=-??=- ?
?
????
πππ
2
22112
21
ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.
4
44x x x x dx
x x ????
=--- ??????
??
?=--
=-?=- ??
??πππππππ
(22)(本题满分11分)
设矩阵123401111203A --??
?
=- ? ?-??
，E 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .
【解析】
()123410012341000111010011101012030010431101A E ----????
? ?
=-→- ? ? ? ?---????
1234100100126101110
10010213100131410013141---???? ? ?
→-→--- ? ? ? ?------????
, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T
=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1T
T
T
e e e ===
1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T
T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T
T
x k k k k k =+-=--++ξ
123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----?? ?-+-++
?∴= ?-+-++ ? ???
（123,,k k k 为任意常数）
(23)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵1111
11111?? ?
? ? ???
与
00100200n ??
? ?
?
???
相似. 【解析】已知()1111A ?? ? ?= ? ??? ，()12
001B n ?? ? ? ? ???
=，
则A 的特征值为n ，0(1n -重).
A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关
的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵
0=0n ??
?
?Λ ? ?
??
.
B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.
由相似关系的传递性，A 相似于B .
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“”型极限，直接有
,
在处无定义，
且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数().若
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出
再有
于是，存在此时.
当，，
=
因此，在连续。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数的图形如右图所示，
则曲线的拐点个数为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的
拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数满足则与依次是
(A)(B)
(C)(D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数
在D上连续，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极
坐标变换，将化为累次积分。
D的极坐标表示为
因此
综上所述，本题正确答案是B。