三角函数的图象与性质(文科）
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
例1 (1)(2017·河北省石家庄市第二中学联考)已知点M 在角q 终边的延长线上，且|OM |＝1，则M 的坐标为( ) A ．(cos q ，sin q ) B ．(－cos q ，sin q ) C ．(－cos q ，－sin q )
D ．(cos q ，－sin q ) (2)(2017届重庆期末)已知tan α＝2，则
sin α＋cos α
2sin α＋cos α
＝________.
跟踪演练1 (1)(2017·山西省高三名校联考)已知角α终边上一点P (－3，4)，则cos(－π－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35 D ．－
3
5
(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为????－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α
＝________.
热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： (2)图象变换：
y ＝sin x → y ＝sin(x ＋φ) → y ＝sin(ωx ＋φ) → y ＝A sin(ωx ＋φ)．
例2 (1)(2017届合肥模拟)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向 ( ) 平移 ( ) 个单位长度， 再向 ( ) 平移 ( )个单位长度 (2)(2017·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的递增区间是( ) A ．[6k －1,6k ＋2](k ∈Z ) B ．[6k －4,6k －1](k ∈Z ) C ．[3k －1,3k ＋2](k ∈Z )
D ．[3k －4,3k －1](k ∈Z )
跟踪演练2 (1)为了得到函数y ＝sin ????2x ＋π
3的图象，可以将函数y ＝sin ?
???2x ＋π
6的图象向( ) 平移 ( ) 个单位长度
(2)(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图，则S ＝f (1)＋…＋f (2 017)等于( )
A ．0 B.4 0312 C.4 0352 D.4 0392
热点三 三角函数的性质 y ＝A sin(ωx ＋φ)，
周期为 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )求得．对称中心可由
单调区间可由 y ＝A cos(ωx ＋φ)，
周期为 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．对称中心可由 单调区间可由
例3 (2017·北京)已知函数f (x )＝3cos ????2x －π
3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求证：当x ∈????－π4，π4时，f (x )≥－1
2
. 跟踪演练3 已知函数f (x )＝4cos ωx sin ????ωx －π
6(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )在区间(0，π)上的单调递增区间； (2)求f (x )在????
π8，3π8上的最大值和最小值．
真题体验
1．(2017·全国Ⅱ改编)函数f (x )＝sin ?
???2x ＋π
3的最小正周期为________． 2．(2017·全国Ⅰ改编)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ????2x ＋2π
3，则下面结论正确的是________．(填序号)
①把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位
长度，得到曲线C 2；
②把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位
长度，得到曲线C 2；
③把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长
度，得到曲线C 2；
④把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位
长度，得到曲线C 2.
3．(2017·天津改编)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ????5π8＝2，f ????11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________. 4．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 押题预测
1．已知函数f (x )＝sin ????ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π
20个单位长度
C ．向左平移π5个单位长度
D ．向右平移π
5
个单位长度
2.如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????其中A >0，ω>0，|φ|≤π
2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2，0)，∠PQR ＝π
4，M 为QR 的中点，PM ＝25，
则A 的值为( )
A.83 3
B.1633 C ．8 D ．16 3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－
2
2
，求角x 的大小； (2)当x ∈????0，π
2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．
A 组 专题通关
1．已知tan α＝3，则cos (π－α)
cos ????α－π2的值为( )
A ．－13
B ．－3 C.1
3
D ．3
2．(2017届重庆市调研)为了得到函数y ＝sin ????2x ＋π
3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象( )
A ．向左平行移动π
3
个单位长度
B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向左平行移动π
6个单位长度
D ．向右平行移动π
6
个单位长度
3．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)＋1的图象关于直线x ＝－π
8对
称，则φ的可能取值是( ) A.3π4 B. －3π4 C. π4 D.π2
4．(2017届沈阳市郊联体期末)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)?
???A >0，ω>0，|φ|≤π
2图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )
A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
B ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
D ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝1
5sin ????x ＋π3＋cos ????x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.1
5
6．(2017届安徽省合肥市模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________. 7．(2017·浙江省温州中学模拟)函数f (x )＝2cos 2x ＋cos ????2x －π
3－1，则函数的最小正周期为_____，在[0，π]内的一条对称轴方程是________________．
8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34???
?x ∈
????0，π2的最大值是________． 9．(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间????π6，π2上的最小值大于零，则a 的取值范围是________．
10．(2017·河北省衡水中学二调)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .
(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π
6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；
(2)在(1)的条件下，当x ∈???
?0，7π
12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． B 组 能力提高
11．(2017届衡阳期末)如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为????45，－35，∠AOC ＝α，若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α
2－
3
2
的值为( )
A.45
B.35 C ．－45
D ．－35
12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1
2(弦×矢＋矢2)，弧
田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，
“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π
3，半径等于4米的弧田，按照上
述经验公式计算所得弧田面积是( ) A ．15平方米 B ．12平方米 C ．9平方米
D ．6平方米
13．(2017届菏泽期末)若函数y ＝sin ωx 能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间???
?－π16，π
15上为增函数，则正整数ω的值为________． 14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ????2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈????0，π
2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ????x ＋π
2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．