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对数型复合函数的单调区间解答题(3)

1．已知2

0.5()log ()f x x mx m =--．

(1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；

(2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围．答案：

(1)0m ≥或4m ≤-；

解答：

(1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，

则()g x 取遍所有的正数，2

40,0m m m ∴?=+≥∴≥或4m ≤-；

(2)

2．已知函数9()log (91)()x

f x kx k R =++∈是偶函数.

(1)求k 的值；

(2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围.

答案： (2){3}(1,)-+∞.

解答：

令3x t =，则(0,)t ∈+∞，

有且只有一个正实根t ，

当10a -≠时，若0?=，则3a =-或时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为若0?>，则120t t <，解得1a >，从而所求a 的范围是{3}

(1,)-+∞.

考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布．

3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；

(3)是否存在实数λ,使得不等式

若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,

请说明理由. 答案： (1))1,1(-；

(2))(x f 在定义域内单调递增；

(3)

解答：

(1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立，

111-==-=∴m m m （舍去），即或，

故函数的定义域是)1,1(-；，任取1121<<<-x x ，

∵1121<<<

-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >，

),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增；

由(1)，(2)知

当θ=0时成立； sinθ=t,

(1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值；

(3)是否存在非负实数m 、n,

的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，

若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．

答案：

(3)2,0==n m ．

2(2)g mx x m ++R m []1,1x ∈-[]2

()2()3y f x af x =-+)(a h m n

解答：

令 ,当,的定义域为，不成立；当，R ，

∴，解得，综上所述，

，

对称轴为，当时，a t =时，()2min 3a y a h -==；当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．

由题意，知?

??==n n m m 2222解得???==20

n m ，

∴存在2,0==n m ，使得函数的定义域为，值域为．

m x mx u ++=22时0=m x u 2=）

，（∞+0时0≠m ???<-=?>0

440

m m 1>m 1>m ]1,1[-∈x a t =]2,0[]4,0[

5(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减； (2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由．答案：

(1)奇函数，证明见解答：；

解答：

(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或关于原点对称，，∴()f x 为奇函数，法1：当1a >时，设121x x <<，则

()(()(11

11x x +-

又1a >，，()()12f x f x ∴>，

∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数法2：当1a >时，设121x x <<，令

，所以12log log a a t t >，

∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)

，(),2∈-x n a

①当1a >时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，则须(,)t a ∈+∞，

②当01a <<时，(0,)t a ∈，则

，当(),2∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞．

6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()

2g x f x af x =++????

． (1)求函数()y g x =的定义域； (2)求函数()y g x =的最小值；

(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围．答案： (1)[]1,4；

(2)()2min

3-,1

2,1133,1a a g x a a a a a ≥??

=-++-<

； (3)()1,3a ∈-．解答：

(1)2

116116

x x ≤≤??≤≤?，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4． (2)()()()

()2

222log 22log 3g x f x af x x a x a =++=+--+????．

令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()2

2222212y t a t a t a a a =+--+=---++????．

当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-；当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，

所有2

min 1,2t a y a a =-=-++；

当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所有min 2,33t y a ==+．

综上，()2min

3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥??

=-++-<

． (3)由题知，()0g x >恒成立，即()min 0g x >()min 0g x >．当1a ≥时， min 30,13y a a =->∴≤<；

当-11a <<时， 2

min 20,11y a a a =-++>∴-<<；

当1a ≤-时， min 330,y a a =+>∴无解综上，()1,3a ∈-．

7．已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点

A 又在函数

(1)求实数a 的值； (2)

(3)的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围．答案：

(1)1a =；

解答：

(1)函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为(2，2)，又因为A 点在(

)f x 上，

图象与直线b y 2=

021b << ，故b 的取值范围为8．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，

函数()y g x =(的图象上运动． (1)求函数()y g x =的解析式； (2)求函数()()()F x f x g x =-的零点．

(3)函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．答案：

解答：

解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； (3)

设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，函数在(1,2]上递减，在[2,4)上递增，

当2m =时有最小值4，无最大值，∴t 有最小值

∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值

9 (1)讨论函数()f x 的单调性；

(2)若对于任意的[)()()1,,1x f x a x ∈+∞≥-恒成立，求a 的范围．答案：

(1)()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增； (2)2a ≤．解答：

， ()f x 在()1,+∞上递增；

()()'0,1f x 在递增,()()()()''120,0,1f x f f x <=-<在上递减，

所以()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增．

(2) ()()()()()()1,1ln ,11ln 10x f x x x f x a x x x a x ≥=+≥-?+--≥

由(1)知,()()'1,g x +∞在上递增,()()''12g x g a ≥=- 若20,2a a -≥≤即,()()[)'01,g x g x ≥+∞，在上递增,

()()10,g x g ∴≥=所以不等式成立

2a >若,存在()()001,,'0x g x ∈+∞=使得,当0[1,)x x ∈时,

综上所述，2a ≤．

(1)当4=a 时，求函数)(x f 的定义域；

(2)若对任意的R x ∈，都有2)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围．答案：

(1){}

11|>-

解答： (1)

，即2-

，即1>x 综上所述，函数()

x f 的定义域为{}

11|>-

(1)

(2)若关于x 的不等式()

()2

520f x ax f x a -++++<对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实

数a 的取值范围．答案：

(1)7m =；

解答：

(1)由()f x 是奇函数得：()()f x f x -=-，所以即227m =，7m =±；

得定义域为()7,7-．∴7m =．是增函数，

∴()f x 在()7,7-是增函数．又()

f x 为奇函数，∴()

()2

52f x ax f x a -->+，∴27257x a x ax -<+<--<对任意实数

[]2,3x ∈恒成立；对于225x a x ax +<--，即()252x x a x -->+，20x +>，∴

(23x ≤≤)，设2t x =+，则2x t =-，且45t ≤≤，

对于72x a -<+，

()2h x x a =+在[]2,3上递增，

∴()()min 2227h x h a ==+>-，则

对于257x ax --<，即()2

F 120x x ax =--<，

∴()()F 2280F 3330a a =--

，则1a >-；

综上，a 的取值范围是 12．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x

的一个上界．已知函数

(1)若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；

(2)在(1)的条件下，求函数()g x 在区间 (3)若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．答案：

(1)1a =-； (2)[3,)+∞； (3)[7,3]-．解答：

(1)因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． (2)由(1)

，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，

上的值域为[3,1]--，所以|()|3g x ≤，

故函数()g x 在区间上的所有上界构成集合为[3,)+∞． (3)由题意知，|()|5f x ≤在[0,)+∞上恒成立，

，得1t ≥．

易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，

所以()h t 在[1,)+∞上递减，

()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =，

所以实数a 的取值范围为[7,3]-．

复合函数知识总结及例题

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

(完整版)对数函数练习题(有答案)

对数函数练习题(有答案) 1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( ) A ．????12，＋∞ B ．????23，＋∞ C ．????23，1∪(1，＋∞) D ．??? ?12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－ x }，且 x ∈A ，则有( ) A ．1＞x 2＞x B ．x 2＞x ＞1 C ．x 2＞1＞x D ．x ＞1＞x 2 3．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( ) A ．1＜a ＜b B ．1 ＜b ＜a C ．0 ＜a ＜b ＜1 D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45 ＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45 或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是 A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( ) 7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 8．若函数f (x )＝log 12 ()x 3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12] B ．[4，12] C ．[4，27] D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________． 10．不等式????1310－3x ＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x －x 的图象．(2)函数 f (x )＝????12|x －1| ，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为． 13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________． 14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a 2－3) x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________．

中职函数、指数对数函数测试题

指数与对数函数测试题姓名：学号：。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13 4 2 8 64=（） A ．4 B ．15 8 2 C ．72 2 D ．8 2．函数y = ） A ．[1+∞，） B ．-∞（，3] C ．[3+∞，） D ．R 3．指数函数的图像过点（3，27），则其解析式是（） A ．9x y = B ．3 y x = C ．3x y = D ．13 x y = （） 4．下列函数在+∞（0，）上是减函数的是（） A ．2 x y = B ．2 y x = C ．2log y x = D ．12 x y = （） 5．下列运算正确的是（） A ．4 33 4 22=2÷ B ．lg11= C ．lg10ln 2e += D ．433 4 22=2 6．若对数函数()y f x =过点（4，2），则(8)f =（） A ．2 B ．3 C ． 12 D ．1 3 7．设函数[) 22 log ,0,()9+,(,0)x x f x x x ?∈+∞?=?∈-∞?? ，则((f f = ( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 8．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（） A ．2 y x = B ．1y x = C ．2x y = D ．3y x = 9．某城市现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口的年自然增长率为%，按这个增长率计算10年后这个城市的人口预计有（）万。

A ．20100 1.012y =? B ．10 1001+1.2%y =? （） C ．101001-1.2%y =? （） D ．10 100 1.12y =? 10．下列函数中，为偶函数的是 ( ) A ．1 y x -= B ．2 y x = C ．3x y = D ．3log y x = 11．下列函数中，在区间(0),+∞内为增函数的是（）； A ．1 2x y =（） B ．2 log y x = C ．12 log y x = D ．1y x -= 12. 函数 y = ( ) A. []11,- B. (11) ,- C. ()1,-∞ D. ()1,-+∞ 二、填空题:（共4小题，每题5分，共20分） 13． 2=10x 化为对数式为：； 2log 8=3化为指数式：。 14．求值：2 -3 27= ；22log 1.25+log 0.2= ； 15．若幂函数()y f x =的图像过点(3,9)，则f = 。 16．比较大小： 0.12 4 5（） 0.15 4 5 （）； 1.1log 2 0 三、解答题 (本大题共2个小题，共40分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．计算：（1） 2113 2 4 20.25+-81+log 8（）（）（2）1 -23 51+log 1ln 8 e -（） 18．某商场销售额为500万元，实行机制改革后，每年销售额以8%的幅度增长，照此发展下去，多少年后商场销售额达能够翻一番（结果精确到整数）（参考： 1.08log 29.006≈， 1.8log 2 1.179≈， 1.08log 418.013≈）

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则

).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=，又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数；当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

高一对数及对数函数练习题及答案

《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5．已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )．

复合函数单调性的判断

复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；（2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是（）（A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y =

7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（）（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。分析如下：令u=x 2-ax+3a ，y= u 。因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。