第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程
(一)复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
(二)几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵k OM·k AM=-1，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由学生完成)
由弦长公式得：
即a2b2=4b2-a2．
(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的
2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
答案：
义法)
由中点坐标公式得：
（2）新课讲授过程
（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}
12|2M MF MF a +=．
（ii ）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22
2210y x a b a b
+=>>．
（iii ）例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22??
- ??
?，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．
另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22??
- ???
在椭圆上，
则22
2225
91104464a a b b a b ??+==?????
=???-=?
． 例2 如图，在圆2
2
4x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
分析：点P 在圆2
2
4x y +=上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点M 是点P 的伴随点，因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点M 的轨迹方
程．
引申：设定点()6,2A ，P 是椭圆
22
1259
x y +=上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；②（点与伴随点的关系）∵
M 为线段AP 的中点，∴112622
x x y y =-??
=-?；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22
111259x y +=，∴点M
的轨迹方程为
()()
2
2
311
25
9
4
x y --+
=；④伴随轨迹表示的范围． 例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为4
9
-
，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是4
9
-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．
解法剖析：设点(),M x
y ，
则()55
AM y
k x x =
≠-+，()55
BM y
k x x =
≠-； 代入点M 的集合有
4559y y x x ?=-+-，化简即可得点M 的轨迹方程．
引申：如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ?=，且0k <，试求动点C 的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k 值在变化时，线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥
曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =
-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的
和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物
线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何
问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题
的一般的思想、方法和途径．
1．2 椭圆的简单几何性质
（
（ii ）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，22
2210y x b a
=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：
b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；
②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标
准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a
c
e =
叫做椭圆的离心率（10< ?→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；???→→→椭圆越接近于圆 时当a ，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展 例4 求椭圆2 2 1625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． 扩展：已知椭圆()22 550mx y m m +=>的离心率为10 5 e = ，求m 的值． 解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨 论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-，∴ 525 5 m -= ， 得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-，∴ 51025 53 m m m -= ?= ． 例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =， 12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22 221x y a b +=，算出,,a b c 的值； 此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定． 引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程． 例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45 ，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则() 2 24MF x y = -+，到 直线 l ：25 4 x = 的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点() ,0F c 的距 离和它到定直线l ：2 a x c =的距离比是常数 c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相 应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2 a x c =-． 补充： 1.课题:双曲线第二定义 1．椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为 3 2 2，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4 2 27± =y ）. 2．短轴长为8，离心率为 5 3 的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为 20 . 引入课题 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 . ② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？ 解：2 02)34(||y MF +-=且1162542 02=+y 代入消去20y 得5 1325169||==MF 【推广】你能否将椭圆122 22=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？ 解： ??? ??=++-=1 )(||22 222 2b y a x y c x MF 代入消去 2 y 得 22222 2 2 )(2||a x a c x a b b c cx x MF -=-++-= ||||||2 2c a x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述） 椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率a c 问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率） 动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于常数)(c a a c >的点的轨迹是 椭圆． 【引出课题】椭圆的第二定义 当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对称性，相应于焦点 )0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意 义． 由椭圆的第二定义e d MF =∴| |可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +=--==|)(|||2 左 典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 解：由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线c a x 2 -= 变式：求椭圆8192 2 =+y x 方程的准线方程； 解：椭圆可化为标准方程为：19 812 2=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出 例2、椭圆 116 252 2=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 . 变式：求M 到右焦点的距离为 . 解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知： e d MF =||5 3||11===a c e d MF 5.15.253||11=?==∴ed MF 5.1||1=∴MF 又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴ ==+MF a MF MF 另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685 253505.222=-=-c a 5.86 85 53||||2222=?==∴=ed MF e d MF 小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例1、 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹； 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则2 1|8|)2(22=-+-x y x 由化简得112162 2=+y x ，故所的轨迹是椭圆。 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82 ==c a x 解得4=a ，又因为2 1 ==a c e 故所求的轨迹方程为 1121622=+y x 变式：点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？ 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则 2 1 |5|)2(22=-+-x y x 由化简得 094632 2 =-+-y x x 配方得13 4)1(2 2=+-y x ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0） 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52 ==c a x 解得102=a ，故所求的轨迹方程为16 102 2=+y x 问题1：求出椭圆方程13422=+y x 和13 4)1(2 2=+-y x 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率； 问题2：求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程； 解：因为把椭圆13422=+y x 向右平移一个单位即可以得到椭圆13 4)1(22=+-y x 所以问题1中的所有问题均不变，均为2 1 ,1,3,3== == =a c e c b a 13 42 2=+y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ； 13 4)1(2 2=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ； 反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为10 2== a c e 另一方面离心率就等于21 这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。 小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大； 解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？ 解：设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ； 过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知2 2 1d d d += 又由椭圆的第二定义可知 e d AF =1||e d BF =2 | |即)(||||21d d e BF AF +=+ 又22||||2||21d d e BF AF AB +?=+= 且10< | |AB d >∴故直线与圆相离 例5、已知点M 为椭圆 116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||3 5 ||1MF MA +的最小值 分析：应如何把||3 5 1MF 表示出来 解：左准线1l ：3 25 2-=-=c a x ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===a c e d MF ? d MF 53||1= ? ||3 5 1MF d = 故有||||||||3 5 ||1MD MA d MA MF MA +=+=+ 所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3 251+ 即||3 5||1MF MA + 的最小值是328 变式1：||5||31MF MA +的最小值； 解：283 283)||35||(3||5||311=?=+=+MF MA MF MA 变式2：||||53 1MF MA +的最小值； 解：5 28 32853|)|35|(|53||||5311=?=+=+MF MA MF MA 思考： 1．方程|2|)1()1(22 2 ++=-+-y x y x 表示什么曲线？ 解：2 22 |2|)1()1(22=++-+-y x y x 122 < ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数 F A M D （且该常数小于1）∴方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ = 解法一：53== a c e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 4 5 5+-=不妨设其焦点为左焦点 由5 3 ||===a c e d F P i 得i i ex a c a x e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-?+=+=+= 35)721(4 3 72||||||721=++++?=+++ F P F P F P 解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知 a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4 故357||||||721==+++a F P F P F P 2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?。 θ cos 2)2(212 22 12 2 12PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ θθcos 12)cos 1(244) cos 1(24)(2 222 22121+= +-=+-+= ∴b c a c PF PF PF PF 12 22121sin sin tan 21cos 2 F PF b S PF PF b θθθθ?∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 121212cos PF PF F F PF PF -+= θ2 12 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+= 1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122 222--o x e a b a x a ≤≤-0 22 a x o ≤∴ 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ .2112221) 2 (2222 2 2222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 （2000年高考题）已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点 ,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2 e -≥即2212 1 e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23??? ? ??? 性质四：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ， ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β αβαsin sin ) sin(++= e 。 ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 由正弦定理得： β α βαsin sin ) 180sin(122 1PF PF F F o = = -- 由等比定理得： β αβαsin sin ) sin(2121++= +PF PF F F 而)sin(2)sin(2 1βαβα+=+c F F ，β αβαsin sin 2sin sin 21+= ++a PF PF ∴βαβαsin sin )sin(++==a c e 。 已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜ 的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜ ∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3 42 2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ 椭圆的离心率21=e 则)60sin(2 3 sin ) 60sin(120sin ) 180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ， 整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ) ∴53cos 1sin = +θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525 3153 2=-? ． （2）新课讲授过程 （i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={} 122M MF MF a -=． （ii ）双曲线标准方程的推导过程 提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系． 无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程． 类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()22 2210,0y x a b b a -=>>． （iii ）例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差 的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ． 补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2 2 22x y ++=内切，且过点 ()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2 214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ： () 2 239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2 231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的 半径为r ． ① ∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴2MC r =-，MA r =，因此有 2MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是 () 2 2 22127 y x x -=≤-； ② ∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11M C r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是 22 434134x y y ??-=≥ ?? ? ； ③ ∵ M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此 124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是 ()22 1245 x y x -=≥． 例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程． 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）． 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上． 如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -， ()1020,0B ，()0,1020C ． 设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=?=．由双曲线定义知，680a =， 1020c =，∴3405b =，∴P 点在双曲线方程为 22 22 16805340x y -=?()680x ≤-……②．联 立①、②求出P 点坐标为() 6805,6805P -．即巨响在正西北方向68010m 处． 探究：如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为4 9 ，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是 4 9 ，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程． 2．2．2 双曲线的简单几何性质 （2）新课讲授过程 （i ）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）双曲线的简单几何性质 ①范围：由双曲线的标准方程得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这 说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域； ②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a c e =叫做双曲线的离心率（1e >）． （iii ）例题讲解与引申、扩展 例3 求双曲线2 2 916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是 a y x b =±． 扩展：求与双曲线22 1169 x y -=共渐近线，且经过() 23,3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线 221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为2222 1169x y k k -=，∵() 23,3A -点在双曲线上，∴2 14 k =-，无解；②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵() 23,3A -点在双曲线上，∴2 14 k =，因此，所求双 曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为 ()22 ,0169 x y m m R m -=∈≠． 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为 22 22 1x y a b -=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注 意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定． 引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =， 60BC m =，60APB ∠=．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离” 线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由． 解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则PA AM PB BM +=+， 即50BM AM AP BP -=-=（定值），∴“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支 上的一部分，容易“等距离”线方程为 ()22 13525,0606253750 x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略． 例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则() 2 25MF x y = -+，到直线l ：16 5 x = 的距离16 5 d x =- ，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线 若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2 a x c =的距离比是常数
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