八年级初二数学勾股定理练习题含答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判
断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（2
）2013B．（
2
）2014C．（
1
2
）2013D．（
1
2
）2014
4．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D 的边长为( )
A ．3cm
B ．14cm
C ．5cm
D ．4cm 5．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC 的面积是（ ）．
A ．36
B ．1013
C ．60
D ．1213 7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4
B ．16
C ．34
D ．4或34
8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ?
∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1
2
CE BE =
；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④ 9．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）
A ．2,3,4
B ．4,5,6
C ．2223,4,5
D ．6,8,10
10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米
B ．15平方千米
C ．75平方千米
D ．750平方千米
二、填空题
11．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，
BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.
12．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
14．在ABC ?中，90BAC ∠=?，以BC 为斜边作等腰直角BCD ?，连接DA ，若
22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
15．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
16．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为
MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则
2
2
MN
BM
的值为
______________．
18．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
19．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，22），点G的斜坐标为（7，﹣22），连接PG，则线段PG的长度是_____．
20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM7EF，则正方形ABCD的面积为_______.
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
22．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
23．Rt ABC ?中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
24．已知ABC ?中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：
BD CE =
（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，
CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求
AD
AB
的值.
25．如图，己知Rt ABC ?，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________； （2）求证：ABD ?是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且1
3
CP AC =
，连接PE ，直接写出PE 的长. 26．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠?，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 122），P 2（2，2），P 3
（2，22），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．
（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ． （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．
29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；
②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．
30．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．
ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵DC＝2，BD＝6，
∴BC＝8，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝8，
根据勾股定理可得DC′＝2222
'+=+=．
8610
BC BD
故选：B．
【点睛】
此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出
AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，从而判断出③小题正确；
2倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题错误．
【详解】
解：∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴CD=
1
2
AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴AE=DE ，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°， ∴∠BAE=∠CDE ， 在△ABE 和△DCE 中，
AB CD BAE CDE AE DE =??
∠=∠??=?
， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确； ∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确； ∵∠AEB+∠BED=90°， ∴∠DEC+∠BED=90°， ∴BE ⊥EC ，故③小题正确； ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴
DE ，
∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴
DE ，
DE ，
在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=
DE ）2+（
DE ）2=10DE 2， ∵BE=EC ，BE ⊥EC ， ∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2， ∴2EC 2=10DE 2，
解得
，故④小题错误， 综上所述，判断正确的有①②③共3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．
3．C
解析：C 【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出S 2+S 2=S 1，写出部分S n 的值，根据数的变化找出变化规
律“S n =(
12)n?3
”，依此规律即可得出结论． 【详解】
解：在图中标上字母E ，如图所示．
∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ， ∴S 2+S 2=S 1．
观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=12S 1=2，S 3=12S 2=1，S 4=12S 3=1
2
，…， ∴S n =(
12
)n?3
． 当n=2016时，S 2016=(12)2016?3=(12
)2013． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是
找出规律“S n =(
12
)n?3
”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长. 【详解】
解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2， 又∵1010A B C D S S S S +++=? ， ∴36+25+25+S D =100， ∴S D =14，
∴正方形D 14 故选：B. 【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边. 【详解】
解：当a 是直角三角形的斜边时,22345a =+= ； 当a 为直角三角形的直角边时,22437a =-=． 故选C ． 【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．A
解析：A 【分析】
作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解． 【详解】
如图，作AD BC ⊥于点D
设BD x =，则12CD BC x x =-=- ∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -= ∴2222AB BD AC CD -=- ∵AB=10，AC=213∴(()2
2
2
2
1021312x x -=--
∴8x = ∴22221086AD AB BD =
-=-=
∴△ABC 的面积11
1263622
BC AD =?=??= 故选：A ． 【点睛】
本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
7．D
解析：D 【解析】
试题解析：当3和5
当5． 故选D ．
8．B
解析：B 【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答． 【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=?∠=∠， ∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE ∴Rt BEH Rt DEC ?，∴BH=CD=AB ，③正确； ∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确， ∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确 故选B ． 【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
9．D
解析：D 【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可． 【详解】
解：A 、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B 、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、∵222222(3)(4)337(5)+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
10．A
解析：A 【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：1
2
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A ．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
二、填空题
11．3 【分析】
由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ?是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=?，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值. 【详解】
解：∵//AD BC ，AB DC =， ∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠， ∵BD 平分ABC ∠，
∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠， ∴1AD AB ==， ∴2C DBC ∠=∠， ∵BD CD ⊥， ∴90BDC ∠=?， ∵三角形内角和为180°， ∴90DBC C ∠+∠=?， ∴260C DBC ∠=∠=?， ∴2212BC CD ==?=， ∴123AD BC +=+=. 故答案为：3． 【点睛】
本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
12． 【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=?，在Rt ABE ?中，利用含30角的直
角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ?中
求出283CE CD ==，2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ??=-四边形，计算即可求解． 【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=?，AB AC ⊥，BD CD ⊥， ∴60C ∠=°， ∴30E ∠=?， 在Rt ABE ?中，
4AB =，30E ∠=?，
∴28BE AB ==，
2243AE BE AB ∴=-=． 在Rt DEC ?中，
30E ∠=?，43CD =，
283CE CD ∴==，
2212DE CE CD ∴=-=，
∴1
443832
ABE S ?=??=，
1
43122432
CDE S ?=??=，
24383=163CDE ABE ABDC S S S ??∴=-=-四边形． 故答案为：163．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3=21（尺），
22
2021
=29（尺）．
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
14．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴222
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（2）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=42-22=22
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．15．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB ，CE=2CD ∵AB=3，AD=4, ∴AE=6, DE=2 设CD=x,则CE=2x ，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键． 16．55 【解析】 【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】 展开图如图所示：
由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，
∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ）， 故答案为：5 【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 17．12
【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有： MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN. 所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN. 所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3. 设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ， 由勾股定理可得()
2
2322x x x -=，
所以MN 2
=()
()2
2
22312x
x x x +-=，BM 2=()()
2
2
232x x
x -=.
所以22
2
212MN x BM x ==12. 枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.
18．
78 【解析】
试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可． 试题解析：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°， ∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ， ∴∠DAC=∠D′AC， ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB， ∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC， 设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ， 在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，
∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=7
8
，
即BE的长为7
8
．
19．25
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴2222
215
PN PH NH
=+=+=
∴PG＝2PN＝5．
故答案为5
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．