初高中数学衔接讲座
曾劲松
(深中校训)
前言
个人网站：www .sx https://www.doczj.com/doc/78135364.html,
一、高中，我们将要学习哪些内容？
（高中数学课程框架）
●必修模块：
●选修系列：
网上可查看所有人教版的教材：https://www.doczj.com/doc/78135364.html,/
●必修课程(包括5个模块)
数学1：
集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。数学2：
立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：
算法初步、统计、概率。
数学4：
基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换数学5：
解三角形、数列、不等式。
●选修课程
?系列1,由2个模块组成(文科)，
?系列2,由3个模块组成(理科),
?系列3,由6个专题组成(高考不考),?系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。
▲系列1：由2个模块组成(文科)选修1-1：
常用逻辑用语、
圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1-2：
统计案例、
推理与证明、
数系的扩充与复数的引入、框图。
▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：
常用逻辑用语、
圆锥曲线与方程、
空间中的向量与立体几何。
选修2-2：
导数及其应用、
推理与证明、
数系的扩充与复数的引入。
?选修2-3：
计数原理、统计案例、概率。
▲系列3：由6个专题组成(高考不考)
?选修3-1：数学史选讲。
?选修3-2：信息安全与密码。
?选修3-3：球面上的几何。
?选修3-4：对称与群。
?选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。?选修3-6：三等分角与数域扩充。
▲系列4：由10个专题组成。
?选修4-1：几何证明选讲(文\理)。
?选修4-2：矩阵与差分。
?选修4-3：数列与差分。
?选修4-4：坐标系与参数方程(文\理) 。?选修4-5：不等式选讲(理,今年我省压轴题) 。?选修4-6：初等数论初步。
?选修4-7：优选法与试验设计初步。
?选修4-8：统筹法与图论初步。
?选修4-9：风险与决策。
?选修4-10：开关电路与布尔代数。
数学1数学2数学3数学4数学5选修2-1选修2-2选修2-3
选修4-1选修4-4
选修4-5
填空题，2选1
总结：理科学习内容:
数学1数学2数学3数学4数学5选修1-1选修1-2
选修4-1选修
4-4填空题，2选1
总结：文科学习内容:
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情)
1．绝对值
绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，井随着知识的发展，
不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式
的问题。
【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．
【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．
【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．
高考
你看看：（2010高考）
21.（本小题满分14分） 设A （11,x y ），B （22,x y ）是平面直角坐标系xOy 上的
两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离P （A,B ）为2121(,)A B x x y y ρ=-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点A （11,x y ）B （
22,x y ）
（1） 若点C （x,y ）是平面xOy 上的点，试证明p （A,C ）+p （C,B ）≥p （A,B ） （2） 若平面xOy 上是否存在点X （x,y ），同时满足
① p （A,C ）+p （C,B ）=pA,B ）；②p （A,C ）= p （C,B ） 若存在，请求出。
本题考了：
（1）∣a ＋b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣；
（2）∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣.
【高中练习示例】
【高一前应掌握练习】
【例1】解关于x 的不等式：|x －m|＜1. 【例2】解下列方程或不等式：
（1）6|6||3||12|=-+--+x x x ．（2）|x +3|－|2x －1|＜2
x
+1．
【例3】（1）不等式组???≤>a
x x 2
||恰好有三个正整数解，求a 的取值范围；
（2）不等式组???≥-≠--0
10
2|2|2
x x 的所有解都满足不等式|||1|a x x +<+（a ＜1），求a 的取值范围．
问题1：
解不等式|x -1|<|x +3|
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
2．整式
整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．
【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；
会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式
法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数
是正整数）．
【高中】不再学习整式．
【建议】
1、乘法公式
（1）立方和公式：3
3
2
2
))((b a b ab a b a +=+-+； （2）立方差公式：3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++-； （3）三数和平方公式：
ac bc ab c b a c b a 222)(2
222+++++=++；
（4）两数和立方公式：2
233333)(ab b a b a b a +++=+； （5）两数差立方公式：2
233333)(ab b a b a b a +--=-．
2、因式分解的新方法：
（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．
思考：分解因式：x 3
-3x+2
【高中练习示例】
求证：函数y =x 3是增函数。 本题实质是：
已知函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，且21x x <，求证：21y y <． 解：∵函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，∴311x y =，2y =3
2x ． ∴=-21y y 3231x x -=))((2
2212121x x x x x x ++-， ∵21x x <， ∴021<-x x ． 又4
3)2(2
2
22212
12
2
212
1x x x x x x x x x +
++=++ =04
3)2(2
2
221>++x x x ，（由于21x x ≠，所以不能取等号）
∴021<-y y ，即21y y <．
【高一前应掌握练习】
【例1】分解因式：
（1）3832
--x x ；（2）2265y xy x +-； （3）1226722
2--++-y x y xy x ．
【例2】比较2
22c b a ++与ca bc ab ++的大小．
【例3】把多项式222
3
++-x x x 表示成d x c x b x a +-+-+-)1()1()1(2
3的形式．
问题2：对于任意实数x ，下列不等式都成立吗？为什么？
02010802>+-x x
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接
3．分式
【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行
约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解
可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；
能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．
【高中】不再学习。高二选修中，有少量分式不等式的学习。
【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘
方）；解可化为一元二次方程的分式方程．
【例1】判断：函数121
2)(+-=x x
x f 是奇函数还是偶函数。
本题的实质是：比较1212+-x x
与1
21
2+---x x
是相等，还是互为相反数。
【例2】(理科)椭圆12
222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求221
1b
a +的值；（2）若椭圆的离
心率e 满足
33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围．
本题第（2）问的实质是：已知
221
1b
a +=2， 222
b a
c -=
2
2
33≤
≤a c 求a
的取值范围。
解,3
2
2121131122222222≤≤?≤-≤∴-=a b a b a b a c
又1
222
2-=a a
b
2
625234532121212
2
≤≤?≤≤?≤-≤∴a a a
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：
第一节 乘法公式、因式分解 重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程： 一、 乘法公式 引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3=+b a ， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方） 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ · ··················① 那?)(3=-b a 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3)(b a +中的b 换成－b 即可。（R b ∈ ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换 3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆，和――差 从代换的角度看 问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝33b a ± 由①可知，))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······② 立方差呢？②中的b 代换成－b 得出：))((2233b ab a b a b a ++-=- ▲符号的记忆，系数的区别 例1：化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x 法1：平方差――立方差
法2：立方和――立方差 （2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+ ▲注意观察结构特征，及整体的把握 二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法 试分解因式：)2)(1(232++=++x x x x 要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a c bx ax ，如：3722+-x x 如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3 2 －1 -6 + -1 = -7 )12)(3(3722--=+-x x x x 整理：对于二次三项式ax 2+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因
目录第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学）
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知 点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空： （1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 1 3 A B x 4 C D x P |x －1| |x －3| 图1．1－1
课程名称 初高中数学衔接 年级：九年级 学科：初中物理 姓名：
目录 总论...........................................................................2 第一讲：垂径定理.........................................................8. 第二讲：直径所对的圆周角.............................................10 第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）........................12 第四讲：函数图像的平移................................................14 第五讲：一元二次方程的根与系数的关系...........................18 第六讲：二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，0≠a (20)
总论 经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的高中生活。为了迎接高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初中到高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认识上如何去准备。 一、为何要做好初高中衔接？ 从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。教学实践证明，踏好这个门槛，实现这个转折确实需要衔接。其原因是： 1.环境的改变对学生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间的差异或大或小，高一新生来自不同的学校，差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进入新校园后，校园环境不同了，同学不同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化，要使学生尽快融入新的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲，各方面可以说是全新的，新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，如初三辛苦了，在高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发
数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
初高中数学衔接研究报告
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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关
键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。
初高中数学衔接教材 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接 第一部分如何做好初高中衔接 1-3页 第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页 第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页 第四部分分章节讲解 10-66页 第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ●第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，
初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111 ()9423 a b b a -=+（ ） ； （2）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
初高中数学衔接教材 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 2 2 ()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2 2 2 2 ()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2 ＋4x －12； （3）22 ()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2 分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上 的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2 －3x ＋2中的一次项，所以，有 x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得 2 2 ()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 习 题 一 一、填空题： 1、把下列各式分解因式： （1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652 x x __________________________________________________。 （5）()=++-a x a x 12 __________________________________________________。 （6）=+-18112 x x __________________________________________________。 （7）=++2762 x x __________________________________________________。 （8）=+-91242 m m __________________________________________________。 （9）=-+2 675x x __________________________________________________。 （10）=-+2 2 612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42 ++=+-x x x x 3、若()()422 -+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －1 1 x y 图1．1－5
初升高中衔接教程 数学 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接
前言 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！
初高中数学衔接教材 1。乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； (２）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; （4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; （5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例１ 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? ＝242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- ＝61x -． 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 １.填空: （1）221111 ()9423 a b b a -=+( ); （２）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ） 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题： (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 （ ) （A)2 m （B ）214m (C ）213m （D ）2116m （２）不论a ,b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 ( ) (Ａ）总是正数 （B)总是负数 (Ｃ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 ２.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。 １.十字相乘法 例1 分解因式: (1）ｘ２－3x ＋2； (２)x 2＋4x －12； (3）22()x a b xy aby -++; （4）1xy x y -+-．
初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-
初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４分式 1．2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的 １
初中升高中数学知识点衔接——分式运算 ————初中知识———— （一）分式的运算规律 1、加减法 同分母分式加减法： 2、异分母分式加减法： 3、乘法： 4、除法： 5、乘方： （二）分式的基本性质 ————高中知识———— 比例的性质
分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化简 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质 提分秘籍 1.细心地发掘概念和公式 很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：
一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。例如，在代数式的概念（用字母或数字表示的式子是代数式）中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。 二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好地将学到的知识点与解题联系起来。 三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？ 我们的建议是：更细心一点（观察特例），更深入一点（了解它在题目中的常见考点），更熟练一点（无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如）。 2.总结相似类型的题目 这个工作，不仅仅是老师的事，我们的同学要学会自己做。 当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。 这个问题如果解决不好，在进入初二、初三以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。 其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄得一团糟。 我们的建议是：“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。 3.收集自己的典型错误和不会的题目 同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目的：