一、
知识清单、学海导航
1、 有理数的分类
(1)按“整分性”分类: (2)按“正负性”分类: 有理数???
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整数0 有理数?
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?负分数
负整数负有理数正分数
正整数
正有理数0
2、规定了 、 、 的一条 叫做数轴。
3、任何一个有理数都可以用数轴上点来表示,反过来,数轴上的任何一个点却不一定表示有理数。
4、数轴上任意两点之间的距离等于这两点表示的较大数减去较小数。
5、初步建立数形结合和分类讨论思想方法;知道利用数轴可以解决生活中的实 际问题。
二、独立思考、提出问题
1、检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,从轻重的角度看,最接近标准的是( )
A. +0.9
B. -3.6
C. -0.8
D. +2.5
2、如图,长方形ABCD 的顶点A 、B 在数轴上,CD=6,点A 对应的数为-1,则点B 所对 对应的数为
第2题图 第3题图 3、如图,若A 是有理数a 在数轴上对应的点,则关于,,﹣a a 1 的大小关系正确的是( ) A 、a a -<<1 B 、1<<a a - C 、a a <<-1 D 、1<<a a -
4、已知数轴上A 、B 两点,A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么点B 对应的数是 .
5、某班有学生45名,参加语文竞赛的有21人,参加数学竞赛的有30人,两科均未参加的有6人,问两科均参加的有多少人?
第1讲:有理数与数轴的数形结合 教 者:殷立波
时 间:2012年9月23日
“希望之星” 003 班 智 力 数 学 学 案
三、合作交流、方法归纳
1、比较有理数的大小,可以吧有理数在数轴上表示出来,利用“数轴上右边的数大于左边的数”。
2、从数轴上获取有关信息的关键,是解决从图形语言到符号语言的转化,主要包括:①数轴上的点所表示的正负性;②数轴上的点到原点的距离。
3、某些数学问题,必须在所给条件下,把问题划分为若干个与其等价的小问题,然后逐个讨论,综合结果,这种解题的方法称为分类讨论。
四、拓展训练,大胆展示
1、如图,点A、B在数轴上对应的有理数分别是m、n,则A、B之间的距离是
(用含m、n的式子表示)
2、若,0
a
b
a+则下列关系中正确的是()
<b
0<
,
,
>
A、a
a
a-
>
b
>
->
>
b
b
a-
->
>B、b
C、a
b
b
a>
>
>-
-
-D、a
b
a
b>
>
>-
3、数轴上有A、B两点,若点A对应的数是—2,且A、B两点的距离为3,则
点B对应的数是。
4、如图,A是硬币圆周上一点,硬币与数轴相切于原点O(A与O点重合)。
假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上'A重合,则点'A对应的数是。
第4题图第5题图
5、如图,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则这条数轴的原点在()
A、在点A、B之间
B、在点B、C之间
C、在点C、D之间
D、在点D、E之间
6、下图是小明所画的数轴,数轴上标出的点相邻间的距离都相等,他在清理数轴旁边的污渍时,不慎将原点O 与C处相应的数擦掉了,请你将它们补上。
7、如图,A、B分别为数轴上的两点,A点对应的数为-20,B点对应的数为100.
(1 )请写出数轴上到A、B距离相等的点M对应的数;
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发,以6单位/秒的速度向左运动,同时另
一个电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4单位/秒的速度向右运动,设两只
电子蚂蚁在数轴上的C点相遇,你知道C点对应的数是多少吗?
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时,以6单位/秒的速度向左运动,同时另一
只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,你知道D点对应的数是多少吗?
数形结合——绝对值与数轴 【1、数轴与实际问题】 例1 5个城市的国际标准时间(单位:时)在数轴上表示如下,那么北京时间2006年6月17日上午 9时应是( ) A 、伦敦时间2006年6月17日凌晨1时 B 、纽约时间2006年6月17日晚上22时 C 、多伦多时间2006年6月16日晚上20时 D 、首尔时间2006年6月17日上午8时 解:观察数轴很容易看出各城市与北京...的时差 例2 在一条东西走向的马路旁,有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校 东300米处,商场在学校西200米处,医院在学校东500米处。将马路近似地看成一条直线,以学校为原点,以正东方向为正方向,用1个单位长度表示100米。 ① 在数轴上表示出四家公共场所的位置。 ② 计算青少年宫与商场之间的距离。 解: (1) (2)青少年宫与商场相距:3-(-2)=5 个单位长度 所以:青少年宫与商场之间的距离=5×100=500(米) 练习 1、如图,数轴上的点P 、O 、Q 、R 、S 表示某城市一条大街上的五个公交车站点,有一辆公交车距P 站 点3km ,距Q 站点0.7km ,则这辆公交车的位置在( ) A 、R 站点与S 站点之间 B 、P 站点与O 站点之间 C 、O 站点与Q 站点之间 D 、Q 站点与R 站点之间 解:判断公交车在P 点右侧,距离P :(-1.3)+3=1.7(km),即在原点O 右侧1.7处,位于Q 、R 间 城市名称 时差 北京时间 当地时间 纽约 -5-8=-13 17日上午9时 9-13=-4,24-4=20,17日晚上20时 多伦多 -4-8=-12 17日上午9时 9-12=-3,24-3=21,17日晚上21时 伦敦 0-8=-8 17日上午9时 9-8=1,16日凌晨1时 首尔 9-8=+1 17日上午9时 9+1=10,16日上午10时 国际标准时间(时) 9 8-5-4 首尔 北京伦敦多伦多纽约x 商场 医院 青少年宫 学校
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合. (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种: ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围; ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围; ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系; ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; ⑤构建立体几何模型研究代数问题; ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; ⑦构建方程模型,求根的个数; ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等. (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: ①准确画出函数图像,注意函数的定义域; ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图像,由图求解. (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解. 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例1】若方程x2-4x+3+m=0在x∈(0,3)时有唯一实根,求实数m的取值范围. 【解析】利用数形结合的方法,直接观察得出结果.
注:本练习完全取自黄东坡老师著《探究应用新思维-七年级》,可下载打印,供7年级学生练习之用,建议每天做1页,共6页,会有收获。如果觉得好,请一定购买黄东坡老师的原书,里面有更丰富的内容和讲解,强烈推荐。 1.(1) 已知 a、b为有理数,且a>0,b<0,a+b<0,将四个数a、b、?a、?b按由 小到大的顺序排列是_______________________________。 (2) 已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B对应的数 是_____________________________。 2.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数 a、b、c、d,且d?2a=10,那么数轴的原点应是______点。 3.已知两数a、b,如果a比b大,试判断∣a∣与∣b∣的大小。(分五种情况分别讨论) 4.如图,已知A、B分别为数轴上的两点,A点对应的数为-20,B点对应的数为100。 (1) 求AB中点M对应的数; (2) 现有一只电子蚂蚁P从B点出发,以6个单位/秒的速度向左运动, 同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度向右运动, 设两只蚂蚁在数轴上的C店相遇,求C点对应的数; (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,求D点对应的数。
5.电子跳蚤落在数轴上的某点0,第一步从0向左跳1个单位到1,第二步由1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K1,第四步由K1向右 跳4个单位到K 4 ?,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K1所表示的数恰是19.94,试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数。 6.数轴上有A、B两点,若点A对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,则点B对应的数是 __________。 7.电影《哈利·波特》中,小哈利穿墙进入“93 4站台”的镜头(如示意图中的M站台),构思奇妙,能 给观众留下深刻的印象。若A、B站台分别位于-2,-1处,AN=2NB,则N站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”。 8.如图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆的周长为3个单位长,且在圆周的三个等分点处标了数字0、1、2)上:先让原点与圆周上数字0所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1、2、3、4…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合。这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。 (1)圆周上的数字a与数轴上的数5对 应,则a=________; (2) 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n为正整数)后,并落在圆周上数 字1所对应的位置,这个整数是_______ __(用含n的代数式表示)。
有理数的混合运算 、近似数 一 . 填空 1. 1982年全国人口普查时,我国人口为亿,以人口为单位,写成科学记数法形式为_______口人. )1006.1(9 ? 2. 精确到得_________________. 3. 保留三位有效数字为______________. 4. 已知 2 =, 则2052 =_____________,=_______________, 5. 已知= , 则=______________,480003=______________. 6. 已知=, 则(-555)2=________.(用科学记数法) 7. 近似数精确到_______位,它有______个有效数字,即_________. 8. 近似数万精确到_______位,它有______个有效数字,即_________. 9. 近似数×104精确到_______位,它有______个有效数字,即_________. 10. 近似数40600精确到_______位,它有______个有效数字,即_________. 11. 计算:___)()(=---32321. =? ÷-3 1 321)(_______. 12. 计算:2 31998 119981)()(-÷- =__________. 4433)(-+-=_____. 13. 在数轴上有一点A , 它表示数1,那么数轴上离开A 点6个单位的点所表示的 数是____. 14. (用“>”或“<”填空) 15. 如果,,00<>b a ,那么0___b a - 16. 若一个数的平方是25,则这个数的立方是________. 17. 如果 ,012=+a ,则._________,||___,===-a a a 1 18. 04322 =+-+-++)(||||z y x ,则.____=+z y x x 19. 已知 3>x ,则=--+||||x x 11___________. 二.选择题 20. 下列说法中,正确的是( ) 21. (A)相反数等于它本身的有理数只有0; (B)倒数等于它本身的有理数只有1 22. (C)绝对值等于它本身的有理数只有0; (D)平方结果等于它本身的有理数 只有1 23. 下列式子正确的是( ) 24. (A)4 112112=)( (B)422=--)( (C)20000101044=+ 25. (D) 8607000保留三个有效数字的近似数是867. 26. 把经四舍五入保留三个有效数字可写成( ) 27. (A)510785? (B) (C) (D)7 10857?. 28. 把表示成四个有效数字的近似数是( ) 29. (A) (B) (C) (D) 30. 张玲身高h,由四舍五入后得到的近似数为米,正确表示h 的值是( ) 31. (A) h=米 (B) h=米 (C)≤ h ≤ (D) ≤ h < 32. 已知,..42261452 =则边长为 cm 的正方形面积 ( 保留两个有效数字 )为( ) 33. (A)2600 (B)2642 (C) ×103 (D)×103 34. 若0<+b a ,且0 七年级数学思维探究 数与代数 刘徽(生于公元250年左右),是中国数学史上伟大的数学家,在世界数学史上也占有杰出的地位,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产.刘徽钻研学术严谨、求实,讲究“析理以辞,解体用图”,他善于启发,主张“告往而知来,举一隅而三隅反”. 1.数形结合话数轴 解读课标 1.数形结合话数轴 数学是研究“数”和“形”的一门学科,从古希腊时期起,人们就已试图把它们统一起来. 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快,而对抽象的东西认识比较慢,这正是现阶段数学学习的特点,以形助数是数学学习的一个重要方法. 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段数轴是数形联系的有力工具,主要反映在: 1.利用数轴形象地表示有理数; 2.利用数轴直观地解释相反数; 3.利用数轴解决与绝对值有关的问题; 4.利用数轴比较有理数的大小. 问题 例1(1)已知a 、b 为有理数,且0a >,0b <,0a b +<,将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是_________. (2)已知数轴上有A 、B 两点,A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么点B 对应的数是__________. 试一试 对于(1),赋值或借助数轴比较大小;对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置,充分考虑A 、B 两点的多种位置关系. 例2 如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ,且210d a -=,那么数轴的原点应是( ) A .A 点 B .B 点 C .C 点 D .D 点 试一试从寻找d 与a 的另一关系式入手. 例3 已知两数a 、b ,如果a 比b 大,试判断a 与b 的大小. 试一试 因a 、b 符号未定,故a 比b 大有多种情形,借助数轴可直观全面比较a 与b 的大小. 例4 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第一步由1K 向右跳2个单位到2K ,第三步由2K 向左跳3个单位到3K ,第四步由3K 向右跳4个单位到4K ,……,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94,试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数. D C B A 第一部分 二 27 一、选择题 1.已知f (x )=2x ,则函数y =f (|x -1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一:f (|x -1|)=2|x - 1|. 当x =0时,y =2.可排除A 、C . 当x =-1时,y =4.可排除B . 法二:y =2x →y =2|x |→y =2|x - 1|,经过图象的对称、平移可得到所求. [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. 2.作图、识图、用图技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究. 3.利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换: y =f (x )――→h >0,右移|h |个单位 h <0,左移|h |个单位y =f (x -h ), y =f (x )――→k >0,上移|k |个单位k <0,下移|k |个单位y =f (x )+k . ②伸缩变换: y =f (x )错误!y =f (ωx ),七年级数学思维探究(1)数形结合话数轴(含答案)
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:27转化与化归思想、数形结合思想