由于不等式
|x n?a|<ε
与不等式
a?ε 等价，所以当n>N 时，所以的点x n都落在开区间（a?ε，a+ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间外。 （4）数列的有界性：对于数列{x n}，若存在着正数M，使得一切x n都满足不等式|x n|≤M，则称数列{x n}是有界的，若正数M不存在，则可说数列{x n}是无界的。 定理：若数列{x n}收敛，那么数列{x n}一定有界。 注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。（单单由一个数列有界的条件不能推导出这个数列是收敛的，但是由一个数列收敛的条件可以推导出这个数列是有界的，这样我们就可以说数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。） 例：数列1，?1，1，?1，…，(?1)n+1，…是有界的，但它是发散的。 二、函数的极限 我们前面提到数列可看作一类特殊的函数，对于数列{a n}而言有： a n=f(n)，它的定义域是全体正整数. 如果我们把上述过程中的函数为f(n)，而自变量取全体正整数这些特殊性撇开，就可以引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 由于自变量的变化过程不同时，函数的极限就表现为不同的形式。所以函数极限与自变量的变化过程密切相关，我们这里介绍自变量x 趋于有限值x0和自变量x趋于无穷大时，对应的函数值f(x)如何变化的这两种情况。 1.自变量趋向有限值时函数的极限 定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x?x0|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)?A|<ε， 那么常数A就称为函数f(x)当x→x0时的极限，记作 f(x)=A或f(x)→A (当x→x0) lim x→x0 注：需要指出的是，定义中的0<|x?x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0是否有定义并无关系。 对于函数极限我们同样给出一个几何解释： 任意一正数ε，作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A?ε，界于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的ε，存在着点x0的一个δ领域(x0?δ，x0+δ)，当y=f(x)图像上的点的横坐标x在领域(x0?δ，x0+δ)内，但x≠x0，这些点的纵坐标f(x)满足不等式 |f(x)?A|<ε 或 A?ε 亦即这些点落在上面所作的横条区域内.（如图所示） 2.自变量趋向无穷大时函数的极限 定义：设函数f(x) 当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε (无论它多么小)，总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X 时，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)?A|<ε 那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作 lim x→∞ f(x)=A或f(x)→A(当x→∞) 如果x>0且|x|无限增大（记作x→+∞），那么只要把上面定义中的|x|>X改为x>X，就可 得lim x→+∞ f(x)=A的定义。同理，如果x<0且|x|无限增大（记作x→?∞），那么只要把|x|>X 改为x x→?∞ f(x)=A的定义。 从几何上来说，lim x→∞ f(x)=A的意义是：作直线y=A+ε和y=A?ε，则总有一个正数X存在，使得当x>X或x 3.左极限与右极限 在上述x→x0时函数f(x)的极限概念中，x是既从x0的左侧也从x0的右侧趋于x0的。但有时只能或只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0（记作x0?）的情形，或x仅从x0的右侧趋于x0（记作x0+）的情形。 当x在x0的左侧时，我们只需要把lim x→x0 f(x)=A的定义中的0<|x?x0|<δ改为x0?δ< x lim x→x0? f(x)=A 或 f(x0?)=A 类似地，在lim x→x0 f(x)=A的定义中，把0<|x?x0|<δ改为x0 lim x→x0+ f(x)=A 或 f(x0+)=A 左极限与右极限统称为单侧极限。 根据x→x0时函数f(x)的极限的定义以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等，即 f(x0?)=f(x0+) 因此，即使f(x0?)和f(x0?)都存在，但若不相等，则lim x→x0 f(x)也不存在。 三、函数极限的运算法则 1.设lim x→x0f(x)=A，lim x→x0 f(x)=B，则有 （1）lim x→x0[f(x)±g(x)]=lim x→x0 f(x)±lim x→x0 g(x)=A±B （2）lim x→x0[f(x)?g(x)]=lim x→x0 f(x)?lim x→x0 g(x)=A?B （3）当B≠0时，lim x→x0f(x) g(x) =A B 注：以上运算法则可以推广到有限个函数的情形。但前提是每个函数的极限都存在。此外这些法则也适用于x→x0+、x→x0?、x→∞等情况。 推论：设lim x→x0 f(x)=A，则有 lim x→x0Cf(x)=C lim x→x0 f(x)=CA(C为任意常数)， lim x→x0[f(x)]n=[lim x→x0 f(x)] n =A n(n为正整数)。 四、极限存在准则与两个重要极限 1.夹逼准则 定理：如果对于x0的某一个去心邻域内的任意x值，都有（1）g(x)≤f(x)≤h(x)， （2）lim x→x0g(x)=A，lim x→x0 ?(x)=A，则 lim x→x0 f(x)=A 注：x→∞时上述结论也成立。 2.单调有界准则 定义1：对于数列{x n}满足条件 x1≤x2≤x3≤?≤x n≤x n+1≤? 就称数列{x n}是单调增加的；如果数列{x n}满足条件 x1≥x2≥x3≥?≥x n≥x n+1≥? 就称数列{x n}是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。定义2：对于数列{x n}，如果存在正数M，使得对于一切，都满足不等式 |x n|≤M 则称数列{x n}是有界的。如果这样的正数M不存在，则称数列{x n}是无界的。定理：单调有界数列必有极限. 3.两个重要极限 ①lim x→0sin x x =1(x取弧度单位) 例1 求极限lim x→0tan x x 解lim x→0tan x x =lim x→0 (sin x x ?1 cos x )=lim x→0 sin x x ?lim x→0 1 cos x =1
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