1．第6题
第1题
解释：非线性模型
待数据拟合的函数模型关于某些待定参数是非线性的，就称为非线性模型。
第2题
解释：线性模型
待数据拟合的函数模型关于全体待定参数都是线性的，就称为线性模型。
第10题
解释：数学模型
数学模型（Mathematical Model）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实量规律的数学公式、图形或算法.
第11题
词解释：一阶差分方程
第3题
在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距车距离，车速越快，刹车距离越长. 请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？
案：
9．第6题
在数学建模的实践中，没必要对所有参数都进行灵敏度分析，需要对哪些参数进行灵敏度分析要从实际意义出发考虑参数的不确定程度. 有些参数实际上是稳定的，其观测值是准确可靠的；另一些参数实际上经常变动，观测、估计或预测所得的参数值往往会包含不小的误差. 显然，前一种参数没有做灵敏度分析的必要，而后一种参数的不确定性会影响模型解答的可信性，所以灵敏度分析非常有必要.
17．第16题
请说明MATLAB的变量名、M文件名和函数名的命名规则。
MATLAB的变量名、函数名、程序文件名的命名规则为：必须以字母开头，可以有字母、数字和下划线（不能包含其他字符，例如中文字符），区分大小写字母；可以是任意长度，但是只有前63个字符是有效的；不能和任何MATLAB关键字同名；命名应该避免使用MATLAB 系统已经安装的函数名（包括特殊值），因为这样做会导致同名函数不能使用，直到以命令“clear 变量（函数、程序文件）名”清除该变量（函数、程序文件）名为止.
18．第18题
回答以下问题：
（1）什么是一级动力学反应？
（2）写出一级动力学反应的微分方程模型及满足初始条件的特解.
（3）什么是半衰期？
（4）为什么一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无关的常数？
19．第19题
什么是数学建模？数学建模有哪些步骤？请简述这些步骤。
数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、求解、分析和检验四大步骤.
（1）数学模型的建立，就是指从现实对象的信息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的数量关系，表述成数学模型.
（2）数学模型的求解，就是指运用所选择的数学方法求解数学模型.
（3）数学模型的分析，就是指对数学模型的解答进行数学分析，包括对结果的误差分析或统计分析，模型对数据的灵敏度分析，模型对假设的强健性分析.
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级 统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩： 一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。 二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（20分） 某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以A 1, A 2表示；有三种规格的设备能完
成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 x ; 1 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 2 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 3 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 x; 4 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 5 按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 6 按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 7 按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 8 按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为 x; 9 则目标函数为： 约束条件为： 目标函数整理得： （2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下： f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y 输出结果为：
2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。
二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重
从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重
通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为
《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则
1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6
2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
4 美术馆悬挂着一副高h 的画，画的下边比一个观众的眼睛高d ，这个观众站在距离墙多 远的距离才是最佳视角？ 假设：人与墙的距离为x x d = αtan x h d += +)tan(βα ))tan((tan αβαβ-+= α βαα βαt a n )t a n (1t a n )t a n (?++-+= x h d x d x h +?+= 1 x h d d x h )(+?+ = ∵ab b a 2≥+ 当b a =时 ab b a 2=+ ∴) (2tan h d d h +?= β
8. 细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的．而有些细菌是有益的、更多 的是疾病之源．下面记录了某种细菌的繁殖数据，研究： （1）开始时细菌的个数是多少？ （2）如果细菌以过去的速度继续增长，一个月后细菌的个数是多少？ 细菌繁殖过程记录数据表1-2 假设：（1），一个月是30天，天数为x，开始时细菌的个数为k。 （2），细菌的生长环境（包括温度，湿度，空气含量等）保持不变；细菌在生长过程中没有大量死亡的特殊情况； x （1） y* e k 由上表公式得出开始时细菌的个数约是401个 带入公式（1）算出一个月后细菌的个数：
30 0.1969456 * y 401.573190 * 82 e 得出一个月后细菌的个数约是65266个。
2． 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。 (2)给出单位重量价格C 与W 的关系。画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。解释实际意义是什么。 （1） 假设：商品几何相似相对长度为L ，质量为W ，体积为V ，表面积为S 。 因为：生产成本与重量W 成正比，与体积V 成正比，与长度3 L 成正比。 包装成本与表面积S 成正比，与长度2 L 成正比，与体积32V 成正比，与重量3 2W 成正比。 所以：33 221k w k w k C ++= 又∵w C c = ∴133 121--++=w k w k k c ( 321,,k k k 为大于零的常数) （2） 单位重量价格： w c C = ∵ 2 334 23 1----='w k w k c ＞0 3337 229 4 --+=''w k w k c ＞0 ∴图像为单调递减且上凹。
D数学建模试题 Hessen was revised in January 2021
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） D题公务员招聘 我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。 现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下： （一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。 （二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。 （三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。 该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。 招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题： （1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案； （2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案； （3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行 (4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。 表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
课题1. 计划生育政策调整对人口数量的影响 人口的数量和结构是影响我国经济和社会发展的重要因素。从20世纪70年代以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。经过30多年的努力，我国有效地控制了人口的增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。 针对我国老龄化比例不断提高等情况，2013年12月，第十二届全国人大常委会第六次会议表决通过了《关于调整完善生育政策的决议》，开放单独二胎政策。2015年10月，十八届五中全会决定，全面放开二胎政策。至此，实施了30多年的独生子女政策正式宣布终结。只要是合法的夫妻就享有生育二胎的权利，不再受“单独二孩”政策或“双独二孩”政策的限制。 收集数据，建立模型，根据已经出台的具体政策、独生子女人数、婚姻情况、生育意愿等分析和预测计划生育政策调整后对我国或某一个省、市、自治区人口数量变化的影响。 课题2. 学生下课时间调整对就餐压力的影响 科技大学现有在校生4万余人，目前能供学生就餐的餐厅只有三个：学者餐厅、学海餐厅、学苑餐厅，想必大家都有过在餐厅排队就餐以及找座难的经历，就餐人员流动情况决定着餐厅的总接纳量。同学们在下课后大都会第一时间奔向餐厅，这就使得本就人满为患的餐厅更加超负荷运转。如果同学们的下课时间不同，就餐时间自然不同，必然加快餐厅的人员流动，进而大大缓解餐厅的运转压力。 下面请你建立数学模型解决以下问题： 1.选择合理的指标，构建评价体系，衡量目前我校餐厅的运转压力。 2.以缓解餐厅运转压力为目标，合理设置不同教学楼的下课时间。 3.试分析在你设置的各教学楼下课时间情况下，我校餐厅运转压力将发生
的变化。（模型所需数据可自行调查也可进行程序仿真） 课题3. 麻疹模型的分析 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家H. E. Soper 试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添的新的成员而不断补充，因此，他假设： ???????+-=+-=)()()()((t)I(t))(t I t S t I dt t dI S dt t dS αβμα 其中α、β和μ都是正的常数。 1. 找出方程的平衡解； 2. 证明方程的初始值足够接近这个平衡解的每一个解(t)S 、I(t)，当t 趋于 无穷大时，都趋近于平衡解； 3. 当t 趋于无穷大时，方程的每一个解(t)S 、I(t)都趋于平衡解。所以，得 到结论：方程组不能解释是重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明。这种疾病最终将趋于稳定状态； 4. 试改进该模型说明该周期现象。找一组相关的数据进行模拟，拟合方程的 参数使疾病爆发的周期与现实一致； 5. 对于麻疹考虑一些控制措施，对于每种控制措施给出相应的数学描述，研 究该系统的基本的动力学性质，最后比较各个措施的优缺点。 课题4. Fibonacci 数列的推广 Fibonacci 数列是一个很早的生态学模型，它的背景是兔子数量的增长。在描述兔子数量变化时有以下假设： ? 第一个月有一对刚出生的兔子； ? 兔子从第三个月后就可以生育；
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-
第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p
1、放射性废料的处理问题 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 kg，体积为 0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题： 1. 判断这种处理废料的方法是否合理? 2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6) 鱼雷攻击问题 在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。 试建立合理的数学模型解决以下问题: 1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹； 2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中 3、贷款买房问题 某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题： 1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？ 2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房? 4、养老保险问题 养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率(也就是投保人的实际收益率)? 5、生物种群数量问题
数学建模训练题 1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。 （1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。 （2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？ 2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。 4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。 5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1、在稳定的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何？ 解: 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度就是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情 况),即从数学角度来瞧,地面就是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点,要求对于椅脚的间距 与椅腿的长度而言,地面就是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距与椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使就是连续变化的),此时三只脚就是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来。首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就就是数学上所说的平移与旋转变换。然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法就是不能解决问题的。于就是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形,长方形就是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转,这可以表示椅子位置的改变。于就是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴,对称中心O 为原点,建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次,把椅脚就是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地。由于椅子在不同的位置就是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也就是θ的函数。 由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都就是θ的函数,而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0。因此,只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 就是对称中心图形,绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后,长方形位置不变,但A,C 与B,D 对换了。因此,记A,B 两脚与地面竖直距离之与为)(θf ,C,D 两脚之与为)(θg ,其中[] πθ，0∈,使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ,那么结论成立。 如果)0(与) 0(g f 不同时为零,不妨设.0)0(,0)0(=>g f 这时,将长方形ABCD 绕点O