等腰三角形练习题
一、计算题：
1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD
求∠A 的度数
设∠A 为x,
由5x=180°
得∠A=36°
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，
求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°
C F
D
A
B
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA
求∠A 的度数
设∠A 为x
∠A=7180
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15
B B 2x x －15°
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数
延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F
由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=2
1,DF=1 所以∠F =∠1=30°
7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值
在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE
所以∠B=∠AED
由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1
F
A
B C D E
二、证明题：
8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于
点D 、E
求证：DE=BD+AE
证明△PBD 和△PEA
是等腰三角形
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE
在AE 上取点B,使AB=AD
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、
CE 交于点O
求证：AE+CD=AC
C B A D
E P A D
F
E B
B
D
E
在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF
由∠B=60°，角平分线AD 、CE, 得∠AOC=120°
所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,
求证：BC=BD+AD
延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD
也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE
先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可 A
C F
A
12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，
且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
在AB 上取点E ，使BE=BD ，
在AC 上取点F ，使CF=CD 得△BDE 与△CDF 均为等边三角形，
只需证△ADF ≌△AED
13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CD=2
1CE 延长CD 到点E,使DE=CD.连结 证明△ACE ≌△BCE
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2求证：BD=ED
E
A E 1 2
F
A
B
C
D
E
F
在CE上取点F,使AB=AF
易证△ABD≌△ADF,
得BD=DF,∠B=∠AFD
由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°
所以∠B=∠DEC
所以∠DEC=∠AFD
所以DE=DF,故BD=ED
15. 如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G
求证：EG=FG
16. 如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD
求证：AF=FC
A
B F
F
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD 由△AHE ≌△BCE,得BC=AH
18. 如图，△ABC 中，AB=AC,
∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30求证：AD=DC 作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E
可证得∠DAF=DAE=15°,
所以△ADE ≌△ADF
得AF=AE,
由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,
因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC
19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD
求证：EC=ED
B D
延长BD到点F,使DF=BC,
可得等边△BEF,
只需证明△BCE≌△FDE即可
20. 如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H
求证：EH⊥FH
延长EH交AF于点G
由∠BAD+∠BCD=180°,
∠DCF+∠BCD=180°
得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2,
故△FGM是等腰三角形由三线合一,得EH⊥FH A
B
D
C
E
F
H
G 1
2 M
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ） 2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ） 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且 ∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ． 6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥ AC ， 垂足分别为 E ，F ，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ． 9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ． A ． 5cm B ． 3cm C ． 2cm D ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
G F E D C A 第2章 三角形期中复习 【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为 。 2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为0x ，顶角为0y ，用含x 的代数式表示y ，得y= ； 用含y 的代数式表示x ，则x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= 5、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 为 .若一个角为140°呢，则另外两个角是 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm ，那么它的 三边长为 7、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在 点G 处，若∠CFE=60o ，且DE=1，则边BC 的长为 ． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（ ）。 A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（ ） A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线 C 、如果AD 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线 11如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个 A 、4个 B 、6个 C 、3个 D 、5 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280 ，则∠B 的度数是（ ） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ，那么这个三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样 的P 点有（ ） A 1个 B 4个 C 7个 D 10个 E C A E D A Q A 15题图 16题图 17题图
与等腰三角形有关的证明题 例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD ＝CE，DE交BC于F。 求证：DF＝EF 分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等， 但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅 助线。 作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB 从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB 从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE 在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等） 故∠GDF＝∠FEC 又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC 所以DF＝EF 例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F。 求证：为定值。 分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等 于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定 值究竟是多少呢我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时， DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。 要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB ＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。 如果注意到高，联想到三角形面积，则 可采用如下简单的证法： 连接AD 则由，得： 又AB＝AC 边上的高＝定值
等腰三角形 1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q． （1）求证：． （2）求的度数． （3）求证：． 【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到． （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中， ≌， ．
（2）由（1）知，≌，． ， 即 ．（3）在和中， ≌， ， ． 又， ， 即， ． 【点拨】 （1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等． （2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等． 2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长． 【分析】由AM平分，，可得，，
则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长． 解：在中，，， ． AM平分， ， ， ． 在中，， ． 【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法． 3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明． 证明：延长CE、BA交于点F． ， ． 在和中， ≌，
，即． ， ． 在和中， ≌， ， ． 【点拨】 （1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系． （2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线． 4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G． 求证：DG=GE． 【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论． 证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）． ∴∠DFB=∠ACB． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠B=∠DFB． ∴DB=DF．
等腰三角形及三线合一经典试题 难题 1．等腰三角形的对称轴是（ ） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G
E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图， 中， ，试说明： ． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1
三角形证明题练习 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 与D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是（ ） 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） 3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，则 S △ABD ：S △ACD =（ ） 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数 为（ ） 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（ ） 6．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠AOD ，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（ ） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交BC 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（ ） 8．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ） 9．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则BC 等于（ ） A ． 13 B ． 10 C ． 12 D ． 5 A ． 5个 B ． 4个 C ． 3个 D ． 2个 A ． 4：3 B ． 3：4 C ． 16：9 D ． 9：16 A ． 70° B ． 80° C ． 40° D ． 30° A ． 30° B ． 36° C ． 40° D ． 45° A ． 145° B ． 110° C ． 70° D ． 35° A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． 不能确定
等腰三角形经典试题(有难度)
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等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x
EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A 180°－2x 30°
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数 延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30°E A C B D F 1 2
第一章三角形的证明检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（） A.15 7 B. 12 5 C. 20 7 D. 21 5 3. 如图，在△ABC 中，，点D在AC 边上，且，则∠A的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④△≌△． 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（） A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（） A.5 B.2 C. 4 5 D.1 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E ，如果cm ，那么△的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形. 13.（2015?四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________. 15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则 _________，_________. 16.(2015?江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线， 则△ABD与△ACD的面积之比是. 17. 如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 . 18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜 边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.
第一讲等腰三角形 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一 边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2A ?-∠. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
等腰三角形计算和证明题集锦11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上 的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB， ∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180° AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点 E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
等腰三角形练习题 一、计算题 1、如图， ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB ，求∠A 的度数。 2、如图，CA=CB ，DF=DB ，AE=AD ，求∠A 的度数。 3、如图， ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=070，求∠AFD 的度数。 4、如图， ABC 中，AB=AC ，BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 5、如图， ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，∠BAD=030，在AC 上取点E ，使AE=AD ，求∠EDC 的度数。 6、如图， ABC 中，∠C=090，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=1 2 ，DE+BC=1，求∠ABC 的度数。 7、如图， ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD ，求∠B ：∠C 的值。 二、证明题
8、如图， ABC中，∠ABC、∠CAB的平分线交于点P，过点P作D E∥AB，分别交BC、AC于点D、E。求证：DE=BD+AE。 9、如图， DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE之间有什么样的大小关系。 60，角平分线AD、CE交于点O。求证：AE+CD=AC 10、如图， ABC中，∠B=0 100，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。 11、如图， ABC中，AB=AC，∠A=0 13、如图， ABC中，∠1=∠2，∠EDF=∠BAC，求证：BD=ED。 15、如图， ABC中，AB=AC，BE=CF，EF交BC于点G。求证：EG=FG。 16、如图， ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD，求证：AF=FC。 17、如图， ABC中，AB=AC，AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD。
等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．
￥ 练习一 一、选择题 1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（） Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝ 2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( ) A．50° B．65° C．70° D． 75° 3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（） / A．过顶点的直线B．底边的垂线 C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线 二、填空题 4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）． 5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________． 6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________． ！ 三、解答题 8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC． （写出每步证明的重要依据） … 9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上， 且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数
。 一、选择题 1．B 2．B 3．C 二、填空题 4．底角，等边对等角 ~ 5．50° 6．36°或90° 7．16或17 三、解答题 8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知） ∴∠ABD=∠ADB（等边对等角） ∵AD∥BC（已知） } ∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠CBD（等量代换） ∴BD平分∠ABC．（角平分线定义） 9．45 练习2 …
一、选择题 1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各 边中点，则图中共．有正三角形( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( ) ! A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3 二、填空题 3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________． 4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________． 5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形． 6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______． 三、解答题 7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．> 8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点， 且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数． （ 9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形． \ A Q C P B
1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 E 2. 如图，已知：ABC ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且 CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D 3. 已知：如图，A B C ?中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。求证： DCB 2BAC ∠=∠。 C 4.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。求证：AE ＝AF 。 A E F B D 5. 如图，ABC ?是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，求1∠的度数 C A 1 D B 2 3 6.已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=2∠ACB, AD ⊥BC 于D ． 求证：DC=AB+BD ． 7. 已知：如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 延长线于F ，连结AF ． 求证：∠B=∠CAF. 已知：如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 的中点, DF ⊥AC 于F, 延长DF 到E, 使EF=DF, 连结AE, 求：∠E 的度数．
一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30? ，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论： ①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4 个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
1 等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x
2 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15°
3 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 C D E P E A C B D F 1 2 A B C D E
新知：等腰三角形 1.等腰三角形的定义： 2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 7.等腰三角形的判定： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2.在同一三角形中，等角对等边 8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 9.等边三角形的性质： ⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 ⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 ⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） ⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 10.等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义） ⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 (4)两个内角为60度的三角形是等边三角形 (5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。 (6)等边三角形的性质与判定理解： 11、三角形中的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 等腰三角形的性质应用及判定 例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。