探究点 1：牧人饮马问题
最短路径问题
想一想：
1.现在假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A，点B 的距离的和最短？
2.如果点A,B 分别是直线l 同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点P，都保持PB 与PB′的长度相等？
要点归纳：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接A B′，与直线l相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C 使AP +BP 最短吗？
（1）（2）
证明：当点P 在点C 左侧时，PA +PB =PA +PB'＞AB'（两边之和大于第三边）
当点P 在点C 右侧时，PA +PB =PA +PB'＞AB'（两边之和大于第三边）
只有当点P 和点C 重合时，PA +PB =PA +PB'=AB'；
此时可以得到线段AB'为AP +BP 的最小值。
要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
接下来我们来研究一下这个模型的特点，点A 和B 为直线外的两个定点，并且在直线的同侧，点P 是直线上一个动点，像这样，已知两个定点，一个动点和动点所在的直线这种模型，我们把它称为“两定一动一直线”模型。
【例1】（2017?天津）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP 最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【分析】点P 为AD 上一个动点，点B 和E 为AD 同侧的两个定点，符合“两定一动一直线” 解题模型。
第一步：找出定点的对称点，这道题容易知道点B 和点C 是对称点，不需要再作图；
第二步：连接对称点和另外一个定点。易知答案为B。
【例2】（2018 天津）如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP 最小值的是（）
A．AB B．DE C．BD D．AF
【分析】审题后得知符合“两定一动一直线”解题模型，连接CE，CE 就是AP+EP 最小值，但是选项没有CE（出题老师真坏），不过由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，我们可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP 最小值等于线段AF 的长，
故选：D．
研究完了“牧人饮马”这个基本问题，接下来咱们继续研究几个和“牧人饮马” 相
关的图形。
图形一：点A 和B 在直线l 同侧，点P 为直线上的一个动点，问点P 在何处时|PA﹣PB|最大？
【分析】
连接直线AB 交直线l 于点P’，移动点P 的位置，分别在P’左侧，和P’重合，在P’右侧三种情况。可知当点P 和P’重合时，|PA﹣PB|最大。利用三角形三边关系中的两边之差大于第三边可以进行证明，在这里不再赘述。
对图形一我们还可以继续思考，既然|PA﹣PB|有最大值，那么有最小值吗？
通过画图我们可以知道当P 运动到第二个图的时候，我们发现PA=PB，此时|PA﹣PB|=0，最小值就是0，那么这个点P 是如何找到的呢？
我们知道PA=PB，根据线段垂直平分线的判定，我们知道点P 在AB 的垂直平分线上。又因为点P 直线上，此时我们可以确定点P 在AB 垂直平分线和直线的交点处。如下图所示: 【例3】如图，正方形ABCD 中，AB=7，M 是DC 上的一点，且DM=3，N 是AC 上的一动点，求|DN﹣MN|的最小值与最大值．
【分析】当N 点DM 的垂直平分线与AC 的交点，|DN﹣MN|=0，再利用三角形三边的关系得到|DN﹣MN|≤DM，当点N 运动到C 点时取等号，从而得到|DN﹣MN|的最大值．
【解答】解：当ND=NM 时，即N 点DM 的垂直平分线与AC 的交点，|DN﹣MN|=0，
因为|DN﹣MN|≤DM，当点N 运动到C 点时取等号，此时|DN﹣MN|=DM=3，
所以|DN﹣MN|的最小值为0，最大值为3．
图形二：点A 和B 在直线l 两侧，点P 为直线上的一个动点，问点P 在何处时|PA﹣PB|最大？在何处最小呢？
【分析】我们已经知道两个定点在同侧的情形，此时我们可以借鉴轴对称的知识把“两侧问题”转化为“同侧问题”，也就是把未知的知识转化为已知的知识。
第一步：作点B 的对称点B’；第二步：连接AB’，交直线于点P’，此时P’满足|PA﹣PB|最大为AB’的长。
当点P 为线段AB’的垂直平分线和直线的交点时|PA﹣PB|最小为0
【例4】（2018?东营）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，
7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．【需要利用八年级下学期一次函数的知识】
【分析】要使得MB﹣MA 的值最大，只需取其中一点关于x 轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x 轴交点即为所求．
【解答】解：取点B 关于x 轴的对称点B′，则直线AB′交x 轴于点M．点M 即为所
求．设直线AB′解析式为：y=kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
∴直线AB′为：y=﹣2x﹣3，
当y=0 时，x=﹣
∴M 坐标为，0）
故答案为：（﹣，0）
探究二、角的内部定点问题（一定两动两直线问题）
问题一：点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得△PCD 周长最小。
【分析】作图方法如下所示
可知当△PCD 周长最小时，周长等于P’P’’的长。
当△PCD 周长最小时，请大家思考以下几个问题；
思考一：，连接OP’和OP’’，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？
【分析】由对称知OP=OP’，OP=OP’’，∴OP’=OP’’，∴△OP’P’’为等腰三角形。
思考二：若∠AOB=30°，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？若∠AOB=45°，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？
【分析】由对称知∠1=∠2 ，∠3=∠4.∠2+∠3=30°，则∠1+∠4=30°，从而∠1+∠2+∠3+∠4=60°，即∠P’OP’’=60°。∵OP’=OP’’∴△OP’P’’是等边三角形。
同理可知当∠AOB=45°时，∠P’OP’’=90°，△OP’P’’是等腰直角三角形，在这里不再专门画
图解释。
思考三：若∠AOB=30°，0P=2，△OP’P’’的周长是多少呢？△PCD 的周长是多少呢？
由思考一和思考二知：OP=OP’=OP’’=P’P’’=2，可知△OP’P’’的周长为6，△PCD 的周长=P’P’’=2。
【练习】（2015?营口）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】分别作点P 关于OA、OB 的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB 于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；
PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠COD，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【解答】解：分别作点P 关于OA、OB 的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB 于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P 关于OA 的对称点为D，关于OB 的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P 关于OB 的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN 周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD 是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
思考四：如果△PCD 的周长等于OP 的长，∠AOB 为多少度呢？
∵△PCD 的周长=P’P’’，△PCD 的周长等于OP
∴OP=OP’=OP’’=P’P’’
∴△OP’P’’为等边三角形。
即∠P’OP’’=60°
∵∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠2+∠3=30°
即∠AOB=30°
思考五：若∠AOB=x°，你能用含x 的式子表示∠PCD+∠PDC 吗？你能用含x 的式子表示∠CPD 吗？
（1）∠PCD+∠PDC=2x°
证明：在四边形OEPF 中，∠PEO=∠PFO=90°可知∠AOB+∠EPF=180°
在△PP’P’’中，∠PP’P’’+∠PP’’P’+∠P’PP’’=180°
得∠PP’P’’+∠PP’’P’=∠AOB=x°
由于P’C=PC，PD=P’’D
所以∠CP’P=∠CPP’，∠DPP’’=∠DP’’P
因为∠PCD 为△CP’P 的外角，∠PDC 为△PDP’’的外角
则∠PCD=∠CP’P+∠CPP’=2∠CP’P，∠PDC=∠DPP’’+∠DP’’P=2∠DP’’P
所以∠PCD+∠PDC=2∠CP’P+2∠DP’’P=2 （∠CP’P+∠DP’’P ）=2 （∠PP’P’’+∠PP’’P’ ）=2∠AOB=2x°。
（2）∠CPD=180°-2x°
由（1）知∠PCD+∠PDC=2x°，根据三角形内角和可以得知∠CPD=180°-2x°
【例5】（2012?兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD
上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，
作出A 关于BC 和CD 的对称点A′ ，A″ ，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【解答】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交CD 于N，
则A′A″即为△AMN 的周长最小值．∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质
等知识，根据已知得出M，N 的位置是解题关键．
总结：如果这道题利用思考五给的公式我们可以进行秒杀，不信我们来试试
∵∠BAD=120°∴∠C=60°，∴∠AMN+∠ANM=2∠C=120°。
【练习5】（2015?遵义）如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是
BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】据要使△AEF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作
出A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于E，交CD 于F，
则A′A″即为△AEF 的周长最小值．作DA 延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F 的位置是解题关键．
总结：利用思考五的公式：∠EAF=180°-2∠C=180°-2×50°=80°
问题二：点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得PD+CD 最小。
下面我演示一下作图步骤
总结：以后看到角的内部一个定点，角的两边上有两个动点这种类型题，第一步：做对称点；第二步：过对称点向其中一条直线作垂线，垂线段的长度即为最小值。
动态演示
思考一：点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得PC+CD 最小，这
个提问和问题二一样吗？解决办法一样吗？
求PC+CD 最小值，其实需要作P 关于OA 的对称点P’，此时PC+CD 最小值为P’E 的
长度。
∴ ， ∴ ∴A'E=
，
思考二：点 P 如果在∠AOB 的边上，在 OB 上找点 D ，在 OA 上找点 C ，使得 PD+CD 最小， 作图方法发生变化了吗？
作图方法仍然是过点 P 作关于 OB 的对称点 P’，再过点 P’作垂线，PD+CD 最小值为 P’E 的长度。
思考三：如果点 P 在∠AOB 的外部呢？在 OB 上找点 D ，在 OA 上找点 C ，使得 PD+CD 最小，作图方法发生变化了吗？ 此时 PD+CD 最小值为 PE 此时 PD+CD 最小值为 P’E
【例】（2018?十堰）如图，Rt △ABC 中
，点 D ，E 分别是边
BC ，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为
．
【分析】作 A
关于
BC 的对称点 A'，连接 AA'，交 BC 于 F ，过 A'作 A'E ⊥AC 于 E ，交 BC 于 D ，则 AD=A'D ，此时 AD+DE 的值最小，就是 A'E 的长； Rt △ABC 中 ，
∴BC=
=9，
S △ABC =AB ?AC=BC?AF ， ∴3× =9AF ， AF=2
，
∴AA'=2AF=4
，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE ， ∴∠A'=∠C ，
∵∠AEA'=∠BAC=90°， ∴△AEA'∽△BAC ，
，
即AD+DE 的最小值；故
答案为：．
【例】（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（）
A． B．C．D．2
作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，
则此时PA+PC 的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，），
∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得，
由三角形面积公式得×OA×AB=×OB×AM，
∴AM=，
∴AD=2×=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=AD=，由勾股定理得：DN= ，
∵C（，0），
∴CN=3﹣﹣=1，
在Rt△DNC 中，由勾股定理得=，
即PA+PC 的最小值，
故选：B．
【练习】（2014?鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 是AB 上的动点，E 是BC 上的动点，则AE+DE 的最小值为（）
A．3+2 B．10 D．
解：如图，作点A 关于BC 的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB 交BC、AB 分别于点E、D，则A′D 的长度即为AE+DE 的最小值，AA′=2AC=2×6=12，
∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= = =10，
∴sin∠BAC===，
∴A′D=AA′?sin∠BAC=12×=，
即AE+DE 的最小值．
故选：D．
【练习】（2017?泰安）如图，∠BAC=30°，M 为AC 上一点，AM=2，点P 是AB 上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ 的最小值为．
解：作点M 关于AB 的对称点N，过N 作NQ⊥AC 于Q 交AB 于P，
则NQ 的长即为PM+PQ 的最小值，
连接MN 交AB 于D，则MD⊥AB，DM=DN，
∵∠NPB=∠APQ，
∴∠N=∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，AM=2，
∴MD=AM=1，
∴MN=2，
∴NQ=MN?cos∠N=2×= ，
故答案为：．
【练习】（2012?鄂州）在锐角三角形ABC 中，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，
M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是．
解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE 即为CM+MN
的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，
∴△BCE 是等腰直角三角形，
∴CE=BC?cos45°=4
=4．故答案为：4．
思考四：点P、Q 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得四边形PQDC 周长最小。
【例】已知，A（4，﹣1），B（2，﹣4），在x轴上找一点C，y轴上找一点D，使|AC+CD+BD|最小，求这个最小值．
【答案】∵A（4，﹣1），B（2，﹣4），
∴A′（4，1），B′（﹣2，﹣4）
∴|AC+CD+BD|的最小值为=．
【例】（2015?武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP+PQ+QN 的最小值是．
解：作M 关于OB 的对称点M′，作N 关于OA 的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，M′N′=
=．
故答案．
【练习】如图，∠MON=20°，A、B 分别为射线OM、ON 上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q 分别为射线OM、ON 两动点，当P、Q 运动时，线段AQ+PQ+PB 的最小值是（）
A．3 C．2
解：作A 关于ON 的对称点A′，点B 关于OM 的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON 分别为P，Q，连接OA′，OB′，
则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，
∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，
∵cos60°=，=，
∴∠OA′B′=90°，
∴A′B′==2，
∴线段AQ+PQ+PB 的最小值是
．故选：D．
探究三、先平移再利用将军饮马
如图，在直线l 上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d 。
【分析】AM+MN+NB 最小，也就是说只需要AM+NB 最小即可。我们会想到两点之间线段最短这个知识点，但是点M 和点N 不是同一个点，问题就不那么简单，不过我们可以借助“转化”的思想，通过平移把点M 和点N 移动到“同一个点”从而达到解决问题的目的。
接下来我通过作图演示一下
【例】（2013?鄂尔多斯）如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．
C． D．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN 是河的宽时，MN 最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI 等于河宽．连结IB 交河的b 边岸于N，作MN 垂直于河岸交a 边的岸于M 点，所得MN 即为所求．
故选：D．
问题1：如果点A 和点B 在同侧时，AM+MN+NB 最小，此时问题该怎么解决呢？
【分析】借助上面的探究我们已经知道要想把点M 和点N 变为同一个点需要通过平移解决问题，当平移过后我们发现点A 和点B 在直线的同侧，刚好符合“两定一动一直线”模型，那么问题就好办了。
【例】在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示．点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正
半轴上，且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，
EF=3．当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标是（）
A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（2，0）
【分析】以D、E、F 为顶点作平行四边形DEFD′，作出点B 关于x 轴对称点B′，则易得到
B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，确定F 点坐标，也即可得到E 点坐标．
【解答】解：以D、E、F 为顶点作平行四边形DEFD′，作出点B 关于x 轴对称点B′，如图，
∵B（6，4），
∴B′的坐标为（6，﹣4），
∵DD′=E F=3，D（0，2），
∴D′的坐标为（3，2），
设直线D′B′的解析式为y=kx+b，
把B′（6，﹣4），D′（3，2）代入得，
，
解得k=﹣2，b=8，
∴直线D′B′的解析式为y=﹣2x+8，
令y=0，得﹣2x+8=0，解得x=4，
∴F（4，0），E（1，0）．
【例】（2010 天津市中考）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点
A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点．
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、
F 的坐标．
（温馨提示：可以作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E，此时△CDE 的
周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）
【分析】（1）由于C、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE+CE 有最
小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小；（2）由于DC、EF 的长为定值，如果四边形CDEF 的周长最小，即DE+FC 有最小值．为
此，作点D 关于x 轴的对称点D′，在CB 边上截取CG=2，当点E 在线段D′G 上时，四边形CDEF 的周长最小．
【解答】解：（1）如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE．若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′+CE′=D′E′+CE′＞CD′=D′E+CE=DE+CE，
可知△CDE 的周长最小．
∵在矩形OACB 中，OA=3，OB=4，D 为OB 的中点，
∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，
∴
∴点E的坐标为（1，0）；
（2）如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，在CB 边上截取CG=2，连接D′G 与x 轴交于点
E，在EA 上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC 为平行四边形，有GE=CF，
又DC、EF 的长为定值，
∴此时得到的点E、F 使四边形CDEF 的周长最小．
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，．
∴
∴
∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）
【练习】已知点A（3，4），点B（﹣1，1），在x轴上有两动点E、F，且EF=1，线段EF 在x 轴上平移，当四边形ABEF 的周长取得最小值时，点E 的坐标为．
【分析】欲使四边形ABEF 的周长最小，由于线段AB 与EF 是定长，所以只需BE+AF 最小．为此，先确定点E、F 的位置：过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点E，在x 轴
上截取线段EF=1，则点E、F 的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，
然后令y=0，即可求出点E 的横坐标，进而得出点E 的坐标．
【解答】解：如图2，过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点E，在x 轴上截取线段EF=1，则此
时四边形ABEF 的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣
1）．设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则，
解得．
∴直线A′B′的解析式为x+，
当y=0 时x+=0，解得．
故线段EF 平移至如图2 所示位置时，四边形ABEF 的周长最小，此时点E 的坐标为，
0）．
故答案为：（﹣，0）．
【练习2】已知平面直角坐标系中A、B 两点坐标如图，若PQ 是一条在x 轴上活动的线段，
且PQ=1，求当BP+PQ+QA 最小时，点Q 的坐标．
【分析】如图把点B向右平移1个单位得到E（1，3），作点E关于x轴的对称点F（1，﹣
3），连接AF，AF与x轴的交点即为点Q，此时BP+PQ+QA的值最小．求出直线AF的解析式，即可解决问题．
【解答】解：如图把点B向右平移1个单位得到E（1，3），作点E关于x轴的对称点F（1，
﹣3），连接AF，AF与x轴的交点即为点Q，此时BP+PQ+QA的值最小．
设最小AF 的解析式为y=kx+b，则，解得，
∴直线AF 的解析式为x﹣，
令y=0，得到，
∴Q（，0），
故答案为（，0）．
问题2.当MN 由水平方向变为竖直方向时，如何求解AM+MN+NB 的最小值，相比问题1，作图方法发生变化了吗？
当MN 变为竖直方向的时候，点A 平移方向也发生了变化，这样做的目的是让四边形AA’NM
为平行四边形。最终得到AM+MN+NB 的最小值为A’B+d。
【例】如图，已知直线a∥b，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为．试在直线a 上找一点M，在直线b 上找一点N，满足
MN⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB= ．
【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM+NB 的值最小即可．过
A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=MN，连接A'B，则A'
B 与直线b
的交点即为N，过N 作MN⊥a 于点M．则A'B 为所求，利用勾股定理可求得其值．
【解答】解：过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线
b 交于点N，过M 作直线a 的垂线，交直线a 于点N，连接AN，过点B 作BE⊥AA′，交
射线AA′于点E，如图．
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM 是平行四边形，
∴AM=A′N．
由于AM+MN+NB 要最小，且MN 固定为4，所以AM+NB 最
小．由两点之间线段最短，可知AM+NB 的最小值为A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=，
∴BE==，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B==8
所以AM+NB 的最小值为
8．故答案为：8．
【练习】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P 到直线l1的距离为6，点Q 到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ= ．
【分析】作PE⊥l1于E 交l2于F，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ 最短．作QD⊥PF 于D ．首先证明四边形ABCP 是平行四边形，PA+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：作PE⊥l1于E 交l2于F，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ 最短．作QD⊥PF 于
D．在Rt△PQD 中，PD=18，
∴DQ==，CD=PD﹣PC=18﹣8=10，
∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四边形ABCP 是平行四边形，
∴PA=BC，
∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．
故答案为16．
【练习】如图，水平距离为80 米（BC=80 米）的A，B 两村庄隔着一条小河，并且河宽15
米，A 与河l1的距离为40 米，B 与河l2的距离为20 米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B 两村庄来往的最短路程是米．【分析】在AC 上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB 的值最小．
【解答】解：在AC 上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB 的值最小．
∵AA′=EF，AA′∥EF，
∴四边形AA′FE 是平行四边形，
∴AE=A′F，
在Rt△A′BC中==100 米，
∴AE+EF+FB=BA′+AA′=115 米．
故答案为115．
【例】如图，两个村庄A 和B 被一条河隔开，现要在河上架设一座桥MN．请你为两村设计桥址，使由A 村到B 村的距离最小（假定两河岸m、n 是平行的，且桥要与河垂直）．要求写出作法，并说明理由．
【分析】两点间直线距离最短，使BCMN 为平行四边形即可，即BC 垂直河岸且等于河宽，接连AC．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥n，且使BC等于河宽，连接AC交直线m于M，作MN∥BC
即可．理由：两点之间线段最短．
【练习】如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【思考】如果A、B 两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离呢？
【进一步的思考】如果A、B 两地之间有三条平行的河流呢？
【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行，又该如何建桥呢？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用粗实线画出来．【解答】解：如图 1 所示：从A 到B 的路径AMNB 最短；
【思考】如图2 所示：从A 到B 的路径AMENFB 最短；
【进一步的思考】如图 3 所示：从A 到B 的路径AMNGHFEB 最短；
【拓展】如图3 所示：从A 到B 的路径AMNEFB 最短．
模型1 定直线与两定点
将军饮马模型汇总
模型作法结论
当两定点A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB 最小。
当两定点A、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB 最小。
当两定点A、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使
PA -PB 最大。
当两定点A、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使
PA -PB 最大。
连接AB 交直线l 于点P，点P
即为所求作的点。
作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P 即为所求作的点。
连接AB 并延长交直线l 于点
P，点P 即为所求作的点。
作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。