1 多项式除以单项式
运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式中的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
在进行多项式除以单项式时，应注意以下几点：
（1）多项式除以单项式运算的基本思路是：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，即先把多项式各项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加；
（2）多项式除以单项式，相除后所得的商仍是多项式，且项数与原多项式的项数相同。这也是检验是否漏除的方法之一
例 计算： 2362743
19132
）（）（ab b a b a -÷-． 分析 这是多项式除以单项式和幂的乘方的混合运算，在运算中要先算乘方再算乘除，除法运算时要把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，再根据单项式除以单项式的法则进行计算.
解：原式
。
）（169
19191329
191322626262746
26274-=÷-÷=÷-=b a b a b a b a b a b a b a b a 在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式中的项数相同，另外要明确除式与被除式中各项的符号，相除时要带着符号进行．
总之，通过以上例题的分析，我们在整式除法运算时应注意以下问题：
（1）多重运算时，先算乘方，再算乘除。
（2）单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的.
（3）我们只研究结果为整式的单项式除法，所以单项式相除的结果中的字母少于或等于被除式的字母，而结果的次数为被除式、除式的次数之差.
（4）多项式（没有同类项）除以单项式，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项. 不要把上题中“-1”这一项漏掉。
13.4.2多项式除以单项式 1、(12a3-6a2+3a)÷3a； 2、(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)； 3、[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x 4、(6a3+4a)÷2a 5、 2 4 3 2 2 3 29 2 1 ) 3( 2 ) 3 (y x y xy x x xy÷ ?? ? ?? ? - - 6、[]x y x y x y x6 ) (4 ) 2 )( 2 (2÷ - + - + 7、(12x3-8x2+16x)÷(-4x) 8、(6xy+5x)÷x 9、(15x2y-10xy2)÷5xy 10、(8a2-4ab)÷(-4a) 11、(25x3+15x2-20x)÷(-5x) 12、［(x+y)(x-y)-(x-y)2］÷2y 13、化简求值：求 ] [ {}) 2 ( 42 2 3 3 3 4 3 5xy y x y x y x y x÷ ÷ ÷ ÷的值，其中3 ,2= - =y x 14、化简求值：已知2008 2= -y x， 求[ ]x y x y x y x y x8 ) 2 5 )( 2 ( ) 2 3 )( 2 3(÷ - + - - +的值 15、计算： （1）2 2 3 49 9 3 4 36x x x x÷ ? ? ? ? ? + + -；（2）()23 3 4 5 4 2 35.0 6 1 2 1 25 .0b a b a a a b a- ÷ ? ? ? ? ? - -． 16计算： ()1 2 13 9 6 3- + +÷ - +n n n n a a a a；()()() []() []3 3 4 53 2b a a b a b a b a+ ÷ - - + + - +．
如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法
∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再
2017年08月02日sunpeichun的初中数学组卷 一．选择题（共12小题） 1．计算（6x3﹣2x）÷（﹣2x）的结果是（） A．﹣3x2B．﹣3x2﹣1 C．﹣3x2+1 D．3x2﹣1 2．若长方形面积是2a2﹣2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是（）A．6a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．6a﹣2b D．3a﹣b+3 3．计算[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷（4ab）的结果（） A．2ab B．1 C．a﹣b D．a+b 4．计算（25x2y﹣5xy2）÷5xy的结果等于（） A．﹣5x+y B．5x﹣y C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1 5．计算（14x3﹣21x2+7x）÷（﹣7x）的结果是（） A．﹣x2+3x B．﹣2x2+3x﹣1 C．﹣2x2+3x+1 D．2x2﹣3x+1 6．计算：（﹣2x3y2﹣3x2y2+2xy）÷2xy，结果是（） A．B． C．D． 7．下列各式，计算结果错误的是（） A．（3a2+2a﹣6ab）÷2a=a﹣3b+1 B．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b2）÷（﹣4a2）=a﹣3b+ab2 C．（4x m+2﹣5x m﹣1）÷3x m﹣2=x4﹣ D．（3a n+1+a n+2﹣12a n）÷（﹣24a n）=﹣a﹣a2+ 8．多项式x12﹣x6+1除以x2﹣1的余式是（）
A．1 B．﹣1 C．x﹣1 D．x+1 9．要使12x6y3z÷（△）=4x5z成立，括号中应填入（） A．3xy3z B．3xy2z C．3xy3 D． 10．若3x3﹣kx2+4被3x﹣1除后余5，则k的值为（） A．﹣10 B．10 C．﹣8 D．8 11．计算[（﹣a2）3﹣3a2（﹣a2）]÷（﹣a）2的结果是（） A．﹣a3+3a2B．a3﹣3a2C．﹣a4+3a2D．﹣a4+a2 12．现规定：f（x）=8x5﹣12x4+6x3．若M（x）=f（x）÷（﹣2x2），则M（﹣2）的值为（） A．﹣2 B．﹣14 C．60 D．62 二．填空题（共9小题） 13．已知一个多项式与﹣4a2的积为12a4﹣16a3+4a2，则这个多项式为．14．（﹣3y n+1+4y n+2﹣12y n）÷=﹣24y n﹣1． 15．= ． 16．欢欢、盈盈和贝贝各写了一个整式，欢欢写的是：2x2y，盈盈写的是：4x3y2﹣6x3y+2x4y2，贝贝写的整式恰好是盈盈写的整式除以欢欢写的整式的商，则贝贝写的式子是． 17．据测算，甲型H7N9病人的唾液中，一个单位体内的唾液中有甲型H7N9病毒106个，某种消毒液一滴可杀死5×104个甲型H7N9病毒，医院要将一个甲型H7N9患者的一个单位体积的唾液中的所有甲型H7N9病毒全部杀死，至少需要滴这种消毒液？
《多项式除以单项式》典型例题 例1 计算: (1)— 36x4+4x3+9x2〕+9x2; (2) 0.25a3b2—1a4a5—1a4b3L(—0.5a3b2). I 3 丿2 6 丿 例2 计算： (2)2(a + b 5 -3(a +(-a-b j?a(a + b 3】. 3 例3 (1)已知一多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7一28x6y5? 7y 2x3y2, 求这个多项式. (2)已知一多项除以多项式a24a - 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 , 求这个多项式. 例5计算题： (1) (16x4_8x3—4x)“4x ；(2) (-4a312a2b-7a3b2) “(-4a2); (3)(4a m18a m 2-12a m)，4a m」. 例6 化简： (1)[(2x y)2-y(y 4x)-8x]」2x ； (2)4(4x2-2x 1)(； * (4X6-X3)“(-*X3) 3 2 2 1 例7 计算[(p q) -2(p q) --(p q)?: [-(p q)]- 3 3 参考答案 例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式 (1) 3a n16a n2-9a「3a n」
除以单项式的运算，进而求出最后的结果. 解：（1）原式--36x4-〉9x2? 4 x^ 9x29x29x2 3 =-4x2x 1 27 （2）原式 = 0.25a3b2*（—0.5a3b2）十—1 a4b54 （—0.5a3b2片〔丄a4b3h（—0.5a3b2） I 2 丿I 6 丿 ---ab3-ab 2 3 = ab3 -ab」 3 2 说明：运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处. 例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就 是多项式除以单项式. 解：（1）原式=3a n1'3a n」-6a n3a n4 -9a^:'3a n4 二a22a3-3a = 2a3a2-3a （2）原式=2（a + b 5—3（a + b f +（—a —b『卜a（a + b 3】 = （a+bi -^（a+b）-￡ 2 2 2 2 3 3 1 =a 2ab b a a -- 2 2 2 例 3 解：（1）所求的多项为21x5y7-28x6y5+7y（2x3y2 3哄—7x5y4） 二21x5y7-28x6y556x9y7亠-7x5y4 --3y34xy -8x4y3 (2)所求多项式为 a24a -3 2a 1 2a 8 = 2a‘ 8a2-6a a24a -3 2a 8 3 2 =2a 9a 5 说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。根据是“被除式=除式X 商式+余式”. 例4 分析：本题为混合运算，要按运算顺序逐步计算.
《多项式除以单项式》典型例题 例1 计算： (1) 36 x 4 _ 4 3 9x 2 9x 2 ； ( 2 ) 0.25a 3b 2 a 1 a 0 丄 a i b s 0.5a 3b 2 ? 3 2 6 例2 计算： (1) 3a n 1 6a n 2 9a n 3a n 1 ； (2) 2 a b 5 3 a b 4 a b 3 a a b 3 ? 求这个多项式. 求这个多项式. 例4 5ab 2 3 a 2a 2 5ab 2 3 _J b 5a 2, 2 ，b . 2 例5 计算题： (1) (16 x 4 8x 3 4x) 4 x ； (2)( :4a 3 12a 2b 7a 3b 2 ) ( 4a 2 )； (3) (4a m 1 8a m 2 12a ra ) 4a m 1 . 例6 化简： (1) [(2x y)2 y(y 4x) 8x] 2x ； () 2 4(4x 2 2x 1)伫 1 ‘ (4x 6 x 3> 1 (— 3 ) X 2 4 4 例7 计算Kp q )3 2(p Q )2 2 q)] 丄(p 例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5 y 4 的积为 2lx 5 y 7 28x 6 y 5 7 y 2x 3 y 2 3 (2)已知一多项除以多项式a 2 4a 3所得的商是2a 1,余式是2a 8 ,
3 3 参考答案 例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果. 解：(1)原式36x°9X24 X3 9x29x29x2 3 4x2Ax 1 27 (2)原式 0.25a3b2 0.5a3b2 1 1a ib s 2 0.5a3b21 a ib 3 6 0.5a3 b2 ab3_ ab 2 3 ab3Lab -1 3 2 说明：运算结果，应当按某一字母的降幕(或升幕)排列，这样对于检验运算的正确性极有好处. 例2分析：(1)题利用法则直接计算?(2)题把a b看作一个整体，就 是多项式除以单项式. 解：(1)原式1 3a11 1 6a n 2 3a11 1 9a n 3a a2 2a3 3a 2a3 a 2 3a (2)原式=2 a b 5 3 a b4 a b 3 a a b 3 a b2 3. a b i 2 2 a 2 2a b b22a 3a J 2 2 2 例 3 解：(1)所求的多项为21x5y 7 28x6 y5 7 y 2x3 y2 37x5 y4 21x5 y7 28x6 y5 56 x9 y7 7x5 y4
15.3.3整式的除法 多项式除以单项式 (2) 2a 2b (-3b 2c) ÷(4ab 3) （3） ()743 42413a x y ax y ??-÷- ???
（4） 总结： 多项式除以单项式 (a+b+c)÷m= a ÷m + b ÷m + c ÷m 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 练习题： (1) (6xy+5x)÷x 。 (2) (15x 2y – 10xy 2)÷5xy 。 2xy )2xy y (4x (3)a ab)(a (2)m bm)(am (1)222÷+÷+÷+
(3) (8a 2 -4ab)÷(-4a) 。 (4) (25x 3 +15x 2– 20x ) ÷(-5x). ()()()()()() 32354432321147721510205-÷--÷-a a a x y x y x y x y
（7） （8）(28a 3－14a 2+7a)÷(7a)； (9)(36x 4y 3－24x 3y 2+3x 2y 2)÷(－6x 2y)； (10)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x ］÷2x . [] .4)(2)()(102222的值，求式子已知y y x y y x y x y x ÷-+--+=-
小结： 1、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个多项式，再把所得的商相加。 2、应用法则转化多项式除以单项式为单项式除以单项式。 3、运算中应注意的问题： (1)所除的商应写成最简的形式； (2)除式与被除式不能交换； 4、整式混合运算要注意运算顺序，还要注意运用有关的运算公式和性质，使运算简便。
多项式除以单项式 一、教材分析 分析本节课在教材中的地位和作用,以及在分析数学大纲的基础上确定本节课的教学目标、重点和难点。首先来看一下本节课在教材中的地位和作用。 1、多项式除以单项式在整式的运算中的地位和作用是很重要的。初中阶段要培养学生的运算水平、逻辑思维水平和空间想象水平以及让学生根据一些现实模型，把它转化成数学问题，从而培养学生的数学意识，增强学生对数学的理解和解决实际问题的水平，在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心。运算水平的培养主要是在初一阶段完成。多项式除以单项式作为整式的运算的一部分,它是整式运算的重要内容之一,它是整个初中代数的重要部分。 2、就第一章来说, 多项式除以单项式是本章的一个重点。整式的运算这个章，多项式除以单项式是很重要的一块，整式的混合运算是这个章的难点,但混合运算是以各种基本运算为基础的。在整式范围内实行的各种运算：加、减法能够统一成为加法,乘法、除法和乘方能够统一成乘法,所以乘法的运算是本章的关键,而除法又是学生接触到的较复杂的整式的运算,学生能否接受和形成在整式的运算中转化思考方式及推理的方法等，都在本节中。 从以上两点不难看出它的地位和作用都是很重要的。 接下来,介绍本节课的教学目标、重点和难点。 新课程标准是我们确定教学目标,重点和难点的依据。重点是多项式除以单项式的法则及其应用。多项式除以单项式，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，所以多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。 难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。因为，故多项式除以单项式的法则也能够看做是乘法对加法的分配律的应用。 二、教材处理 本节课是在前面学习了单项式除以单项式的基础上实行的,学生已经掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识,所以我没有把时间过多地放在复习这些旧知识上,而是利用学生的好奇心，采用生动形象的课件引例，让学生自主参与，亲自参加探索发现，从而获取知识。在法则的得出过程中,我引进了现代化的教学工具微机,让学生在微机演示的一种动态变化中自己发现规律归纳总结，这不但增加了课堂的趣味性提升了学生的水平。而且直接地向学生渗透了数形结合的思想。在法则的应用这个环节我又选配了一些变式练习,通过书上的基本练习达到训练双基的目的,通过变式练习达到发展智力、提升水平的目的。这些我将在教学过程的设计中具体体现。而且在做练习的过程中让学生互相提问，使课堂在学生的参与下积极有序的实行。 三、教学方法 在教学过程中,我注重体现教师的导向作用和学生的主体地位,。本节是新课内容的学习,教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者,把教师的点拨和学生解决问题结合起来,为学生创设情境,从而持续激发学生的求知欲望和学习兴趣,使学生轻松愉快地学习持续克服学生学习中的被动情况,使其在教学过程中在掌握知识同时、发展智力、受到教育。 四、教学过程的设计。 1、回顾与思考，通过单项式除以单项式法则的复习，完成四道单项式除以单项式的练习题，为本节课探索规律，概括多项式除以单项式的法则做好铺垫。 2、探索规律：法则的得出重要体现知识的发生，发展，形成过程。我通过了一个尝试练习启发学生自主解答，使学生该过程中体会多项式除以单项式规律。因为采用了较灵活的教
多项式除以单项式教学设计 一、教学准备 1、教材分析 多项式除以单项式是初中数学教学的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，一方面多项式除以单项式是对前面单项式除以单项式的复习与巩固，另一方面学习多项式除以单项式为进一步学习多项式除法的应用做好知识准备。 2、学情分析 学生能进行单项式除以单项式的运算，但计算理解上个体差异比较明显。 3、教学目标 知识与技能目标：能够进行多项式除以单项式的计算； 过程与方法目标：经历探索整式除法运算法则的过程，能充分应用转化与类比的数学思想； 情感与态度目标：通过小组交流活动，培养合作精神，学生在探索问题的过程中，体验解决问题的喜悦。 4、教学重点 掌握多项式除以单项式的法则及简单计算 5、教学难点 对多项式除以单项式的算法的理解 二、教学过程 整体教学过程更多由学生自己讨论交流，领悟方法，本着这个思路我设计了以下几个步骤： 1、知识准备，通过对单项式除以单项式法则和同底数幂的除法复习，已两
道习题，为本课学习做好准备。 例1（1）4a100b20÷2a39b2 （2）-3x3y2z÷6x2y2 2、探索规律 活动一：水桶的体积如图1所示，杯子的体积如图2所示，你知道水桶可以倒多少杯水吗?写出你的计算方法. 独立思索，教师展示出列式，分析类型为多项式除以单项式。 活动二：探究多项式与单项式相除的法则 计算下列各题，说说你的理由. (1)(ad+bd)÷d= ; (2)(a2b+3ab)÷a= ; (3)(xy3-2xy)÷(xy)= . （在此处可以提出类比多项式乘以单项式来探索） 根据活动2的分析，不难得出： (1)(ad+bd)÷d=a+b=ad÷d+bd÷d； (2)(a2b+3ab)÷a=ab+3b=a2b÷a+3ab÷a； (3)(xy3-2xy)÷(xy)=[xy3+(-2xy)]÷(xy)=xy3÷(xy)+(-2xy)÷(xy)=y2－2 由此，你可以得出什么样的结论？ 结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 3、例题解析 由学生自己计算，然后小组之间相互纠正。
多项式除以单项式 教学建议 知识结构 重点、难点分析 重点是多项式除以单项式的法则及其应用。多项式除以单项式，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。 难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。由于 ，故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。 教法建议 （1）多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算，因此建议在学习本课知识之前对单项式的除法运算进行复习巩固。 （2）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项。 （3）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算。 （4）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。
教学设计示例 教学目标： 1．理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。 2．运用多项式除以单项式的法则，熟练、准确地进行计算． 3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．训练学生的综合解题能力和计算能力．4．培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质． 重点、难点： 1．多项式除以单项式的法则及其应用． 2．理解法则导出的根据。 课时安排： 一课时． 教具学具： 投影仪、胶片． 教学过程： 1．复习导入 （l）用式子表示乘法分配律． （2）单项式除以单项式法则是什么 （3）计算：
数学教案多项式除以单项式 知识结构 重点、难点分析 重点是多项式除以单项式的法则及其应用。多项式除以单项式，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。 难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。由于，故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。 教法建议 （1）多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算，因此建议在学习本课知识之前对单项式的除法运算进行复习巩固。 （2）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项。 （3）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算。 （4）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。 教学设计示例 教学目标： 1．理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。 2．运用多项式除以单项式的法则，熟练、准确地进行计算． 3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．训练学生的综合解题能力和计算能力．4．培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质．
重点、难点： 1．多项式除以单项式的法则及其应用． 2．理解法则导出的根据。 课时安排： 一课时． 教具学具： 投影仪、胶片． 教学过程： 1．复习导入 （l）用式子表示乘法分配律． （2）单项式除以单项式法则是什么？ （3）计算： ① ② ③ （4）填空： 规律：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 2．讲授新课 例1 计算： （1）（2）
多项式除以单项式 知识点复习 1、多项式除以单项式法则： （1）语言叙述：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 （2）字母表示：(a b c)m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷。 2、方法总结：①乘法与除法互为逆运算；②被除式=除式×商式+余式。 分层递进 A 层练习 1、下列计算正确的是（ ） A 、322(a a a)a a a ++÷=+ B 、423(8x 6x 2x)(2)4x 31x x -+÷-=-+- C 、221(a b 2ab)212ab ab -÷ =- D 、12684226342(9x y 6x y )3x 32y x y x y -÷=- 2、计算：42(9x 15x 6)3x x -+÷= 。 3、计算：22(12m n 15mn )(6mn)-+÷-= 。 4、填空：()32( )41284a a a a -=-+。 5、若一个长方形的面积为231210x y x -，宽为22x ，则这个长方形的长为 。 6、计算： [](3x 2y)(3x 2y)(x 2y)(3x 2y)3x +--+-÷ B 层练习 7、按如图所示的程序计算，最后输出的答案是（ ）。 A 、3a B 、21a + C 、2a D 、a 8、计算：2123(10x 8x 4x )(2x )m m m m -+--+÷-
9、已知多项式32241x x --除以多项式A 的商式为2x ，余式为1x -，求多项式A 。 10、已知一个等边三角形框架的面积为22242a a b ab -+，一边上的高为2a ，求该三角形 框架的周长。 C 层练习 11、观察下列各式: ， ， ， ， …… (1)若20182017(x 1)(x 1)x 1m x x -÷-=++++,请求出m 的值； (2)写出(x 1)(x 1)n -÷-的结果； (3)求值:①220181222++++；②2320181(2)(2)(2)(2)+-+-+-++-。
1 / 4 《多项式除以单项式》典型例题 例1 计算： （1）2234993436x x x x ÷??? ??++-；（2）() 233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷??? ??--． 例2 计算： （1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ； （2）()()()[]()[] 334532b a a b a b a b a +÷--++-+． 例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式． （2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式． 例4 ()()() 2232232521525b a b ab a a ab -????????-?-． 例5 计算题： （1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-； （3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ． 例6 化简： （1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+； （2）)4 1()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++- 例7 计算)].(3 1[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+
参考答案 例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果． 解：（1）原式()2223249993 4936x x x x x x ++÷+ ÷-= 127442++-=x x （2）原式 ()()() 2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷??? ??-+-÷??? ??-+-÷= ab ab 3 1213++-= 2 1313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处． 例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式． 解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a a a a a 3232-+= a a a 3223-+= （2）原式=()()()[]()[] 334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()2 1232 -+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4 532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()() 457956757562821y x y x y x y x -÷+-= 343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为 () ()()8212342+++-+a a a a
《单项式除以单项式》典型例题 例1 计算： （1）223247173y x z y x ÷-； （2）()?? ? ??-÷-2232232y x y x ； （3）()()2 6416b a b a -÷-． 例2 计算： （1）33233212116??? ??-?÷xy y x y x ； （2）3 2232512152??? ??-÷??? ?????? ??xy y x y x ． 例3 计算： （1）()()[]()()[] 234564y x x y y x y x +?-÷+-； （2）()()[]()()[]2 35616b a b a a b a b a -+÷-+．
参考答案 例1 分析 ：（1）题根据法则分三部分求商的因式：①37 173-=÷??? ??-作为商的系数；②224x x x =÷，1022==÷y y y ，同底数相除，作为商的因式；③3z ，只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．（2）题应先算乘方，再算除法．（3）题应用()b a -作为整体进行运算． 解：（1）223247 173y x z y x ÷- ()() 322247173z y y x x ?÷?÷???? ??÷-=323z x -= （2）()?? ? ??-÷-2232232y x y x ??? ??-÷=2236238y x y x ()() 2226238y y x x ÷÷????????? ??-÷= y x 4316-= （3）()()2 6416b a b a -÷- ()()()[]26416b a b a -÷-÷=()4 4b a -= 说明：在运算结果中要注意不多不漏，如（1）题1022==÷y y y ，商式里不能多出字母y ，被除式里3z 不能漏掉． 例2 分析：此题是乘方、乘除混合运算，要注意运算顺序，有乘方有要先算乘方． 解：（1）3 3233212116??? ??-?÷xy y x y x ?? ? ??-?=338132y x x 344y x -= （2）32232512152??? ??-÷??? ????? ? ??xy y x y x ?? ? ??-÷?=3324361251411258y x y x y x 272y x -=
整式除法（2）-----多项式除以单项式 教学目标： 1、知识与技能：理解多项式除以单项式的算理，会进行简单的多项式除以单 项式运算。 2、过程与方法：经历探索多项式除以单项式法则的过程，体会知识之间的联 系和转化、化归思想方法。 3、情感、态度与价值观：培养学生分析、思考能力，发展有条理的表达能力。教学重、难点与关键： 重点：会进行简单的多项式除以单项式的运算 难点：商的符号的确定 关键：准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。 教时安排：1课时 教学方法：类比法 教学用具：多媒体，PPT 教学过程： ㈠复习提导入 ⒈叙述同底数幂的除法性质，并用式子表示。 回忆：我们是用什么方法推导出同底数幂的除法性质的呢？ ⒉叙述单项式除以单项式的法则。 回忆：我们是用什么方法推导出单项式除以单项式的法则的？ ㈡知识产生和发展过程的教学设计 ⒈问题讨论： 同学们，根据我们刚才对上面两种运算的推导，你们能够得出多项式除以单项式的法则吗？请大家讨论并自己试着推导一下。 ÷ 推导:(am+bm+cm)m=a+b+c ⒉结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：与单项式乘以多项式进行对比。 ㈢例题讲解 ⒈例1 计算()32 1(28147)7 a a a a -+÷()() 4332222 2(36243)6 x y x y x y x y -+÷-
⒉例2 化简 [(2x+y)2-y(y+4x)-8x] ÷2x ㈣课堂练习1． (1) (6xy+5x)÷x (2) (15x2y-10xy2)÷5xy (3) (8a2b-4ab2)÷4ab (4) (4c2d+c3d3)÷(-2c2d) 2．（1） (16m3-24m3)÷(-8m2) （2）（9x3y-21xy2)÷（7xy2 ) （3） (25x2+15x3y-20x4)÷(-5x2)（4） (-4a3+12a2b-7a3b3)÷(-4a2) ㈤小结：这节课我们具体学习了什么内容？ 1、多项式除以单项式的法则内容； 2、有关多项式除法混合运算的顺序。 ㈥作业：课本42 页习题（2 ） ㈦板书设计： ㈧教后记：
多项式除以单项式 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
多项式除以单项式教学建议 知识结构 重点、难点分析 重点是多项式除以单项式的法则及其应用。多项式除以单项式，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。 难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。由于，故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。 教法建议 （1）多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算，因此建议在学习本课知识之前对单项式的除法运算进行巩固。 （2）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项。
（3）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算。 （4）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。 教学设计示例 教学目标： 1．理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。 2．运用多项式除以单项式的法则，熟练、准确地进行计算． 3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．训练学生的综合解题能力和计算能力． 4．培养学生耐心细致、严谨的思维品质． 重点、难点： 1．多项式除以单项式的法则及其应用． 2．理解法则导出的根据。 课时安排： 一课时．
8.4 整式除法（2）-----多项式除以单项式 教学目标： 1、知识与技能：理解多项式除以单项式的算理，会进行简单的多项式除以 单项式运算。 2、过程与方法：经历探索多项式除以单项式法则的过程，体会知识之间的 联系和转化、化归思想方法。 3、情感、态度与价值观：培养学生分析、思考能力，发展有条理的表达能 力。 教学重、难点与关键： 重点：会进行简单的多项式除以单项式的运算 难点：商的符号的确定 关键：准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。 教时安排：1课时 教学方法：类比法 教学用具：多媒体，PPT 教学过程： ㈠复习提导入 ⒈叙述同底数幂的除法性质，并用式子表示。 回忆：我们是用什么方法推导出同底数幂的除法性质的呢？ ⒉叙述单项式除以单项式的法则。 回忆：我们是用什么方法推导出单项式除以单项式的法则的？ ㈡知识产生和发展过程的教学设计 ⒈问题讨论： 同学们，根据我们刚才对上面两种运算的推导，你们能够得出多项式除以单项式的法则吗？请大家讨论并自己试着推导一下。 ÷ 推导:(am+bm+cm)m=a+b+c ⒉结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：与单项式乘以多项式进行对比。 ㈢例题讲解 ⒈例1 计算()32 1(28147)7 a a a a -+÷ ()() 4332222 2(36243)6 x y x y x y x y -+÷- ⒉例2 化简[(2x+y)2-y(y+4x)-8x] ÷2x ㈣课堂练习1． (1) (6xy+5x)÷x (2) (15x2y-10xy2)÷5xy (3) (8a2b-4ab2)÷4ab (4) (4c2d+c3d3)÷(-2c2d)
多项式除以单项式（2） 学习目标：1、掌握多项式除以单项式的法则。 2、能运用法则进行运算。 学习重点：会进行多项式除以单项式运算。 学习难点：多项式除以单项式商的符号确定。 知识链接：单项式除法法则。 学习过程： 一. 知识回顾： 1. 单项式除以单项式的法则： 2.计算：（1）、(-64a4b2c)÷(3a2b) （2）、.(-0.375x4y2)÷(-0.375x4y) 二. 自学探究： 1. 张大爷家一块长方形的田地，它的面积是6a2+2ab，宽为2a，聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗？ （1）、回忆长方形的面积公式： （2）、已知面积和宽，如何求田地的长呢？ （3）、.列式计算： 2、.通过上面的问题，你能总结多项式除以单项式的法则吗？ 多项式除以单项式的法则： 3、分析范例： 例3：计算：（1）、.(20a2-4a)÷4a （2）、[(a+b)2-(a-b)2]÷2ab （3）、(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy) 注：学生示范，教师做适当点拨。
三. 自我展示： 计算：（1）、(6a2b+3a)÷a （2）、(4x3y2-x2y2)÷(-2x2y) （3）、20m4n3-12m3n2+3m2n)÷(-4m2n) （4）、[(2a+b)2-b2]÷a 四. 检测达标： A组： 计算：（1）、(16m2-24mn)÷8m （2）、(9x2y-6xy2)÷(-3xy) （3）、(25x2-10xy+15x)÷5x （4）、(4a3-12a2b-2ab2)÷(-4a) B组： 选择： （1）、16m÷4n÷2=( ) (A) 2m-n-1 (B)22m-n-1 (C)23m-2n-1 (D)24m-2n-1 （2）、[(a2)4+a3?a –(ab)2]÷=( ) (A) a9+a5–a3b2 (B)a7+a3–ab2 (C)a9+a4–a2b2 (D)a9+a2–a2b2 C组： 1、已知|a–?|+(b+4)2=0，求代数式：[(2a+b)2+(2a+b)(b–2a) –6b]÷2b 的值。 2、已知3x3–12x2–17x+10能被ax2+ax–2整除，它的商式为x+5b，试求a, b值。 五.谈谈对本节课的收获和感想。
多项式除以单项式导学案 学习目标： 1、理解和掌握多项式除以单项式的运算法则. 2、运用多项式除以单项式的运算法则，熟练、准确地进行计算. 3、培养创新精神与探究能力。 学习重点：多项式除以单项式的运算法则及其应用. 学习难点：理解法则导出的根据. 学习过程 一.导 问题1： 1、单项式除以单项式法则是什么？ 2、计算：①346x y z -÷3332x y ??- ??? ②349m n ÷()2463mn n ??-?- ??? ③()()()3233625a b c a b c a b c ??-÷--÷--???????? 二．学 问题2：计算下列各式。 （1）()m bm am ÷+ （2）()a ab a ÷+2 （3）()xy xy y x 22422÷+ ①说说你是怎样计算的。 分析：以（1）将m(a+b)=am+bm 反过来可得： ()m bm am ÷+ = 分析（2）： 分析（3）： ②还有什么发现吗？ 问题3：归纳出多项式除以单项式的法则: 三.讲 计算 ⑴()32281477a a a a -+÷ ⑵()()4332222362436x y x y x y x y -+÷- （3）［()()x y x y y x 822-+-+］÷2x
练习: 四.小结 多项式除以单项式的法则: 五．堂清 1.计算 （1） （2） (3) (4) (5) （6） 2、已知某长方形的面积为a ab a 2642+-，它的一边长为2a ，求这个长方形的另一边。 3.先化简,再求值：［()()()xy y x y x y x 42222+-++-］÷2x 其中x=4,y=2 。 )21()213( 2)3()69( 12222xy xy xy y x xy xy y x -÷+-÷-）（）（()y y xy ÷+3()m mc mb ma ÷++()()d c d c d c 233226-÷-()()xy xy y x 73422÷+[]2)(2)()(22=÷--+b a b a ()()()[] =÷-+-+y y x y x y x 42222