初中数学复习圆中计算与证明
第一组：
1．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（）
A.外离．
B.相交．
C.外切．
D.内含．
2．⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是
（）
ＡＯＢ A．
相交 B．
相切 C．
相离 D．
无法确定 3.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于
A．
B．
C．
D．
4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C
=45°，AB=2，则⊙O的半径为 A．
1 B．
C．
2 D．
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是
cm．
6．已知：如图，在△ABC中，AB
=
AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
A B C D P E ．
O
（2）若PC是圆O的切线，BC =
8，求DE的长．
7．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.
8．如图，⊙O的直径=6cm，点是延长线上的动点，过点作⊙O 的切线，切点为，连结．若的平分线交于点，你认为∠的大小是
否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．
A O
B P C
9.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC
于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交 AB的延长线于点D.（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O 半径的长；
（3）在（2）的条下，当OE＝3时，求图中阴影部分的面积.
10．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，
∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
【参考答案】 D A C B
6.（1）证明：∵AB =
AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．
又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．……2分
（2）解：连结OP，由BC =
8，得CD =
4，OC =
6，OP =
2．
∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴．
由勾股定理，得．
在△OPC中，在△DEC中， 7.解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1分图3 ∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，∴
∠2=∠CBD．
∵ AB∥OC ，∴ ∠2=∠A ．
∴ ∠A=∠CBD．
∵ OB=OC，∴ ，∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ∠OBD=90°．-
- - - - -- - - - - - - - -2分∴ 直线BD与⊙O相切．
- - - - - - - - - - - - - - 3分（2）解：∵
∠D=∠ACB ，，∴ ．-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB =
4，，∴ ，．
∴ ．-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 8.解：∠的大小不发生变化．
…………………………………
1分M P C B A O · 连结， PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=Rt∠．
∵PM是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APM．
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO, ∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A．在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2∠A+2∠APM=90°，∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．
…………………………………… 4分即∠的大小不发生变化．
9.证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.
∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.
∴∠1＋∠AOE＝90°.又∠FCA＝∠AOE，
图① ∴∠1＋∠FCA＝90°.即∠OCF＝90°.
∴FD是⊙O的切线.……………………………………………………2分（2）连接BC（如图②），∵OE⊥AC，∴AE＝EC.又AO＝OB，
∴OE∥BC且.……………3分∴△OEG∽△CBG.
图② ∴.∵OG＝2，∴CG＝4.
∴OC＝6.………………………………………………………………5分
即⊙O半径是6.
（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6.∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.
………6分在Rt△OCD中，.∴
.………………………………………………7分
10．（1）证明:
如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则
∠ABE=90°.∴
∠EAB+∠E=90°.
……………………1分∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
∴ AD是⊙O的切线.
……………………2分（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6, AB=4, ∴ .
…………………………………………………3分∵
∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴ …………………………………………………4分∴ ∴ .
…………………………………………………5分
第二组
1．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的
位置关系是
A．相交
C．外离
D．外切
2．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠BAC 的度数是（）
A．25°
B．50°
C．100°
D．150°
3．若两圆的半径分别是2cm和5cm，圆心距为3cm，则这两圆的位置关系是
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
4．如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠C为20°，则∠AOB 的度数为__________°． 5．如图，小正方形方格的边长为1cm，则的长为___________cm．
6．已知：如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．
（1）求证:AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12.
7．已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DB C
=∠A.
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的
长． 9．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，
DC的延长线与AB的延长线交于点P .（1）求证：PD是⊙O 的切线；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.
10.已知：如图，⊙O的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．
(1) 若，求阴影部分的面积；
(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．【参考答案】 A B D 40 6.解：（1）联结OD
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90° ∴BE是⊙O的直径
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CBD=∠ODB，∴BC∥OD ∵ ，∴BC⊥AC ，∴OD⊥AC -------------------1分
∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线
-------------------2分（2）设⊙O的半径为r，在
△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12 ∴
-------------------3分∵BC∥OD ，∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．
∴．∴ -------------------4分又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC
∴． -------------------5分 7．（1）证明：
∵ AB是⊙O的直径，∴
∠ADB=90°．…………………………
1分∴ ∠ABD +∠A=90°．
又∵∠DBC=∠A．
∴ ∠ABD+∠DBC=90°．
∴ ∠ABC=90°．
∴BC是⊙O的切线．
………………………2分（2）解：
∵ OC∥AD，∠ADB=90°，∴ OE ⊥BD，∠OED =∠ADB=
∠BEC=90°．
∴ BE=BD =3．
………………………4分又∵∠DBC =∠A，∴
△CBE∽△BA D．
∴，即．
∴AD =．
……………………………5分 8．解：（1）直线CE与⊙O 相切．
证明：如图，连结 OD．
∵AD平分∠FAE，∴∠CAD=∠DAE．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∵EC⊥AC，∴OD⊥EC．
∴CE是⊙O的切线．
…………………………………2分
（2）如图，连结BF．
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠AFB=90°．
∵∠C=90°，∴∠AFB=∠C．
∴BF∥EC．
∴AF∶AC=
AB∶AE．
∵ AF∶FC=5∶3，AE=16，∴5∶8=AB∶16．
∴AB=
10．……………………………………………5分
9、（1）证明：连结OC
…………………1分∵PD⊥AE于D ∴∠DCE＋∠E=900 ∵ AB=AE , OB=OC
∴∠CBA=∠E=∠BCO 又∵∠DCE=∠PCB ∴∠BCO＋
∠PCB=900 ∴PD是⊙O的切线……………2分
（2）解：连结AC ………………3分∵ AB=AE=5 AB是⊙O的直径 BE=6 ∴ AC⊥BE且EC=BC=3 ∴
AC=4 又∵ ∠CBA=∠E ∠EDC=∠ACB=90° ∴△
EDC∽△BCA ………………4分∴=
即=
∴ DC=
…………………5分
10.解：(1)
联结OC.∵
PC为⊙O的切线, ∴ PC⊥OC .∴
∠PCO=90°.------------------------------------------
----------------------------1分
∵ ∠ACP=120° ∴ ∠ACO=30° ∵ OC=OA , ∴
∠A=∠ACO=30°.
∴ ∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分∵ OC=4 ∴ ∴ -------------------------------------------3分(2) ∠CMP的大小不变，∠CMP=45° --------------------------------------------------4分由（1）知∠BOC+∠OPC=90° ∵ PM平分∠APC ∴ ∠APM=∠APC ∵ ∠A=∠BOC ∴
∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)=
45°---------------------------5分第三组
1．如图，已知扇形，的半径之间的关系是，
则的长是长的Ａ．倍
Ｂ．
倍Ｃ．2倍
Ｄ．倍
2.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC 面积的比等于
A.
B.
C.
D.3．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是
（）
A.
B.
C.
D.
4．若两圆的半径分别为和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是
A．内含
B．内切
C．相交
D．外切
5．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠BED=30°，⊙O的半径为4，则弦AB
的长是 A．4
B．
C．
2 D．
6．已知，O的半径为3cm，O的切线长AB为6cm，B为切点.则点A到圆上的最短距离是
cm，最长距离是 cm.
7.如图，是⊙O的直径，⊙O交的中点
于，，E是垂足.（1）求证：是⊙O的切线；
（2）如果AB=5,tan∠B=,求CE的长.
8．已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求弦的长．
9．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O 上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．
10．如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，于E，
DA平分.（1）求证：AE是的切线；
（2）若【参考答案】B B A B B ,.
7．(1)
证明：
连接，∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵OA=OB，
∴OD∥AC.………………………………….
1分又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线……………………………..2分
(2) 解：连接AD, ∵是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.在
Rt△ADB中，tan∠B=,AB=5,
∴设AD=x, 则BD=2x, 由勾股定理，得 x2+(2x)2 =25， x =
∴=2………………………………………………….……………………..3分
∵AD⊥BC,BD=CD, ∴AB=AC, ∴∠B=∠C.∴Rt△ADB∽Rt△DEC (4)
分∴ ∴CE =
4 .
…………………………………………………………………………………..5分 8.（1）证明：如图，联结．
…………………………………1分∵ ，，∴ ．∴ 是等边三角形．
∴ ，．
∴ ．
∴ ．…………………………………2分所以，是⊙的切线．
…………………………………3分
（2）解：作于点．
∵ ，∴ ．
又，，所以在中，．
在中，∵ ，∴ ．
由勾股定理，可求．
所以，．
…………………………………5分 9．（1）证明：联结BO，……………………………1分
方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∵AB＝AO，∴∠ABO＝∠AOB，………………2分又在△OBD中，
∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，∴∠OBD＝90°，即
BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．
3分方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO 为等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝
∠ABD，又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，…………………2分∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．
............................................................3分方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上 (2)
分∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．……………………………………………………3分（2）解：∵∠C＝∠E，∠C AF＝∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，…………………… 4分∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，又
∵CF=9，∴EF=6．…………………5分
10.（1）
（2）
08-圆有关的证明题专项练习 2、如图， AE 是△ ABC 外接圆⊙ O 的直径， AD 是△ ABC 的边 BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。 （1）求证： BF=CD （2）若 CD=1， AD=3 ，BD=6 ，求⊙ O 的直径。 5、如图， AB 是⊙O 的直径， D 是AB 上一点， D 是弧 BC 的中 点， AD 、BC 交于点 E ，CF ⊥AB 于 F ，CF 交 AD 于G 。 （1）求证： AD =2CF ； 2）若 AD=4 3，BC =2 6，求⊙ O 的半径 6、如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 H ，E 为AB 延长线上 1、如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AD 是的边 BC 上的高， （1）求证：△ ABE ∽△ ADC ； （2）若 AB=2BE=4DC=8 ，求△ ADC 的面积 . AE 是⊙O 的直径，连 BE.
一点，CE交⊙O于F。
1）求证：BF 平分∠ DFE ； 2）若EF=DF=4 ，BE=5 ，CH=3 ，求⊙ O 的半径 7、如图，Rt △ ABC 内接于⊙ O， D 为弧AC 的中 点，DH ⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。 （1）求证：AC=2DH ； （2）连接AE，若DH=2 ，BC=3 ，求tan∠AEB 的 8、在Rt △ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点，以 连结DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求S VECF。 BD为直径的⊙ O与边AC相切于点E， 9、如图，⊙ O中，直径DE⊥弦AB于H 点， C 为圆上一动 点，
圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。
【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。
【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。
O A B C D E 圆有关的证明题专项练习 1、如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的 高，AE是⊙O的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC； （2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积. 2、如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD是 △ABC的边BC上的高， EF⊥BC，F为垂足。 （1）求证：BF=CD （2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径。 5、如图，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，D 是弧BC的中点，AD、BC交于点E，CF⊥AB于F， CF交AD于G。 （1）求证：AD =2CF； （2）若AD=3 4，BC =6 2，求⊙O的半径 6、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H， E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F。 （1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O的半径 7、如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为弧AC的中点， DH⊥AB于点H，延长BC、HD交于点E。 （1）求证：AC=2DH； （2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB的 值 8、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点， 以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并 延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求ECF S。
9、如图，⊙O 中， 直径DE ⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点， AC 与DE 相交于点F 。 (1)求证△AOG ∽△FAO 。 (2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求CGF S 。 10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ， 连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。 （1）、求证：△CBE ∽△AFB 。 （2）、若∠C=30o，∠CEB=45o,CE=31+, 求ABF S . 11、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，D 为弧AC 的中点，连接BD ，交AC 于G,过D 作DE ⊥AB 于E 点， 交⊙O 于H 点，交AC 于F 点。 （1）、求证:FD=FG (2)、若AF ·FC=32,ED=6，求ADF S 。 12、如图：△AFC 中∠FAC=90°，以AF 上一点O 为圆心，OA 为半径作圆交FC 于D ，交CF 的延长线于点B 。 ⑴求证：△CDA ∽△CAB ⑵过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，DE 交 AF 于M ，若CD=FD=2BF=4。 求A M 的长。 13、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，且AB=BC ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F （1）求证：AC=CF ； （2）若CF=2，BF=3，求ACB C ?的值. 14、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径， BC ∥AE ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F （1）求证：△ACF ～△ABC ； （2）若CF=2DF=2，AD=4，求⊙O 的直径. O B E D F A D F E O A
半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
圆的计算与证明题及答案 一．切线证明与求半径、线段长 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． （1）证明：连接OD， ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠EAD． ∵OE=OA，∴∠ODA=∠OAD．∴∠ODA=∠EAD．∴OD∥AE． ∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切． （2）连接BD，作DG⊥AB于G， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∵AB=6，AD=4，∴BD==2， ∵OD=OB=3，设OG=x，则BG=3﹣x， ∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2， 解得x=，∴OG=，∴DG==， ∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE=DG=，∴AE==， ∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴=，即=， ∴=，∴EF=． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． （1）证明：如图，连接OD． ∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB， ∵DF⊥AB，∴OD⊥DF， ∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切； （2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=， ∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3， 又∵AE=7，∴=，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 1
专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵
初中数学 -圆习题及答案 1.已知AB为⊙ O的直径，BD 2CD，CE//AB切⊙O于C点，交AD延长线于E 点，若⊙ O半径为2cm，求AE的长. 2.如图，PC、PD为大⊙ O的弦，同时切小⊙ O于A、B两点，连AB，延长交大⊙ O于E。 （1）求证：CE BE AC PE ；（2）若PC=8，CD=12，求BE长. 3.如图，⊙ O1和⊙ O2交于A、B两点，小圆的圆心O1在大圆⊙ O2上，直线PEC切⊙ O1于点C，交⊙ O2于点P，E，直线PDF切⊙ O1于点D，交⊙ O2于点P，F，求证：AB∥EF. 4.如图，ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，O、I 分别为ABC 的外心和内心，求证：OI⊥ AK. 5、如图 1 和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点 P，?∠APM∠= CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙ O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （1）（2） 6、2.已知：如图等边△ABC内接于⊙ O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP 至D，使BD AP，连结CD． （1）若AP过圆心O ，如图①，请你判断△ PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O ，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
7. （1） 如图 OA 、OB 是⊙ O 的两条半径，且 OA ⊥OB ，点 C 是 OB 延长线上 任意一点：过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D ，连结 AD 交 DC 于点 E ．求证： CD=CE （2） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于F ，交⊙ O 于 B '， 其他条件不变， 那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么 （3） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙ O 外的 CF ，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的 交点，其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么 8、如图，在⊙ O 中，AB 是直径， CD 是弦， AB ⊥CD 。 理由：过 O 作 OE 、OF 分别垂直于 AB 、CD ，垂足分别为 E 、 F ∵∠ APM=∠CPM 1）P 是优弧 CAD 上一点（不与 C 、 ∠COB ； ∠COB 有 么数量关系？请证明你的结论 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙ C 与y 轴相切，且 C 点坐标为（1，0），直线 l 过点 A — 1，0），与⊙ C 相切于点 D ，求直线 l 的解析式 答案 5、解题思路： （1）要说明 AB=CD ，只要证明 AB 、 角相等， ?只要说明它们的一半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（ 1）AB=CD 对的圆
中考专题复习——与圆有关的计算与证明 【中考要求及命题趋势】 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。 【应试对策】 圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。 第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。 【复习要点】 1、圆的有关概念： （1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。 （2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 （3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。3、垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。 推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________ 4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示： AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距 C
1、如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，AC、BD交于点G。 （1）求证：①AC＝2DE；②OF∥BD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AF的长。 【例题精讲一】切线的性质 例1.1、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H。 （1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH，GF＝3 2，求AG的长。
2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ； （2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为 2 5 ，CD ＝4，求EF 的长。 3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。 （1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°； （2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。
【课堂练习】 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E、F。 （1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。 （1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径为R，AG＝R＋1，CE＝R－1，求弦AG的长。
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
题库:圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长． 第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，
第1题解图∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴PD PE ＝PO PB ， ∵P A＝AO， ∴P A＝AO＝OB， ∴PO PB ＝2 3 ， ∴PD PE ＝2 3 ， ∴ PD PD＋DE ＝2 3 ， ∵DE＝2， ∴PD＝4. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，cos A ＝2 5 ，求DF的长． 第2题图 （1）证明：如解图，连接OD， 第2题解图∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， G
∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1 2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2 5， ∴OA ＝5， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21. 3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN ； (2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径． 第3题图 (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，
（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.
(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，
圆的证明 1．如图， AB是⊙ O的弦（非直径），C、D是 AB上两点，并且 OC=OD，求证： AC=BD． 2．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O与 BC交于点 D，与 AC?交于点 E，求证：△ DEC为等腰三角形． 3．如图， AB是⊙ O的直径，弦AC与 AB成 30°角， CD与⊙ O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证： AC=CD． 4．如图 20-12 ， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为 ? ? D，弧AB AF 求证： AE=BE． ， BF和 AD交于 E，
5．如图， AB是⊙ O的直径，以OA为直径的⊙ O1与⊙ O2的弦相交于D， DE⊥ OC，垂足为 E．（ 1）求证： AD=DC．（ 2）求证： DE是⊙ O1的切线． 6．如图，已知直线MN与以 AB为直径的半圆相切于点C，∠ A=28°．求∠ ACM的度数． 7．如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=5， BC=12，⊙ O的半径为3．若点 O沿 CA移动，当OC等于多少时，⊙O与 AB相切？
如图， PA 和 PB 分别与⊙ O 相切于 A ， B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点 D．连结 OP， CB ．（1）求证： OP∥ CB ； （2）若 PA＝ 12， DB ： DC ＝ 2： 1，求⊙ O 的半径． 如图，已知矩形 ABCD，以 A 为圆心， AD为半径的圆交AC、AB 于 M、E，CE?的延长线交⊙ A 于 F，CM=2，AB=4．（ 1）求⊙ A 的半径；（ 2）求 CE的长和△ AFC的面积． F B E A M C D 如图， BC是半圆 O的直径， EC是切线， C 是切点，割线 EDB交半圆 O于 D，A 是半圆 O上一点， AD=DC，EC=3， BD=2.5 （ 1）求 tan ∠ DCE的值；（ 2）求 AB的长． E D A B O C
2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
圆的证明 1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD ． 2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． 4．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧?? AB AF ，BF和AD交于E， 求证：AE=BE．
5．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线． 6．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．求∠ACM的度数． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3． 若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？
如图，PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点D ．连结OP ，CB ． （1）求证：OP ∥CB ； （2）若PA ＝12，DB ：DC ＝2：1，求⊙O 的半径． 如图，已知矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ，CE?的延长线交⊙A 于F ，CM=2，AB=4． （1）求⊙A 的半径；（2）求CE 的长和△AFC 的面积． 如图，BC 是半圆O 的直径，EC 是切线，C 是切点，割线EDB 交半圆O 于D ，A 是半圆O 上一点，AD=DC ，EC=3，BD=2.5 （1）求tan ∠DCE 的值；（2）求AB 的长． C B A E D M C A E F
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周
角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需
与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值． 第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线； 第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°， 又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，
∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数． 第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．
与圆有关的证明问题 （时间：100分钟总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（） A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形 2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（） A．3对B．2对C．1对D．0对 （1） (2) (3) (4) 3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（） A．①②?③④B．①③?②④ C．①④?②③D．②③?①④ 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，?2.3cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；?③以点C 为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．在⊙O中，C是 AB的中点，D是 A C上的任意一点（与A、C不重合），则（） A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若PA＝4 5 PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长. 第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB， 第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，
(2)解：∵PA ＝4 5PO ，⊙O 的半径为10， ∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45 PO ）2＝10， 解得PO ＝ 503 ， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝OD AO ， ∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝32 3 . 2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cos C ＝3 5 ，AC ＝24，求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，
∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20， ∴AD ＝20， 在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即 AE 20＝16 20 ，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．
C E G P 初 中 几 何 证 明 题 经 典 题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） .如下图做 GH ⊥AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, EO GO CO 即△GHF ∽△OGE,可得 = = ,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。 GF GH CD A D O F B 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） A D .如下图做 GH ⊥AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, EO GO CO 即△GHF ∽△OGE,可得 = = ,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。 GF GH CD B C .如下图做 GH ⊥AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, EO GO CO 即△GHF ∽△OGE,可得 = = ,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。 GF GH CD
A 2 D 2 A 1 D 1 B 1 C 1 B 2 C 2 F E N C D A D 3、如图，已知四边形 ABCD 、A 1B 1C 1D 1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形 A 2B 2C 2D 2 是正方形．（初二） B C 4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于 E 、 F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经 典 题（二） A B M 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OM ⊥BC 于 M ． （1） 求证：AH ＝2OM ； A （2） 若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） O · H E