课 题：2.6.1 指数函数1
教学目的：
1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.
2.培养学生实际应用函数的能力 教学重点：指数函数的图象、性质
教学难点：指数函数的图象性质与底数a 的关系. 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛性质之后较为系统地研究的第一个初等函数
前面已将指数概念扩充到了有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识函数图象是研究函数性质的直观图形来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应，二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备
教学过程： 一、复习引入：
引例1（P57）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是x
y 2=.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式为 y 85.0=
在x
y 2=,x y 85.0=中指数x 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新授内容：
1．指数函数的定义：
函数)10(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a ≠1呢？
①若a=0，则当x>0时，x
a =0；当x ≤0时，x
a 无意义.
②若a<0，则对于x 的某些数值，可使x
a 无意义. 如x
)2(-，这时对于x=41，x=2
1，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x ∈R ，x
a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1在规定以后，对于任何x ∈R ，x
a 都有意
义，且x
a >0. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,+∞).
探究2：函数x y 32?=是指数函数吗？ 指数函数的解析式y=x
a 中，x
a 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=x
a +k (a>0且a ≠1，k ∈Z)；有些函数
看起来不像指数函数，实际上却是，如y=x
a - (a>0,且a ≠1)，因为它可以化为y=x
a ??
?
??1，
其中
a 1>0，且a
1
≠1 2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=x
2，y=x
??? ??21，y=x
10，y=x
??
? ??101的图象.
我们观察y=x 2，y=x ??? ??21，y=x
10，y=x
??? ??101的图象特征，就可以得到
)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是y
用描点法画出指数函数y=0.84x 的图象从图上看出y=0.5只需x ≈4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现 例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①5
.27
.1，37.1； ②1
.08
.0-，2
.08
.0-； ③3
.07
.1，1
.39
.0
解：利用函数单调性
①5
.27
.1与3
7.1的底数是1.7，它们可以看成
函数
y=x
7.1，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函
数y=x
7.1在R 是增函数，而 2.5<3，所以，
5.27.1<37.1；
②1
.08
.0-与2
.08
.0-的底数是0.8，它们可以看
成函数 y=x
8.0，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为
0<0.8<1，所以函数y=x
8.0在R 是减函数，而
-0.1>-0.2，所以，1
.08
.0-<2
.08
.0-；
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：
3
.07.1>1；
1
.39.0<1；
3
.07.1>1
.39
.0
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪
个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 四、练习：⑴比较大小：3
2)5.2(- ,5
4)5.2(- ⑵已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：
n m )3
2
()32(>?m < n ；n m 1.11.1
,4
.05
.2- 2.02- ， 6.15.2
五、小结 本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：
课 题：2.6.2 指数函数2
教学目的：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质
2.掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；
3. 培养学生数学应用意识
教学重点：指数形式的函数定义域、值域 教学难点：判断单调性. 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
二、讲授范例：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴1
14
.0-=x y ⑵1
53
-=x y ⑶12+=x y 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x 的取值范围
解（1）由x-1≠0得x ≠1
所以，所求函数定义域为{x|x ≠1}
由 ，得y ≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y ≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令t x ≠-1
1
，考察指数函数y=t 4.0,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得5
1≥
x 011
≠-x
所以，所求函数定义域为{x|5
1≥x } 由 15-x ≥0得y ≥1
所以，所求函数值域为{y|y ≥1} （3）所求函数定义域为R
由x 2>0可得x
2+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1} 通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
例2求函数x
x y 2221-??
? ??=的单调区间，并证明解：设21x x <
则)2)((22221212121
2211212
12
2221212121-+-+----??
? ??=??? ??=??
? ????? ??=x x x x x x x x x x x x y y ∵21x x < ∴012>-x x
当](1,,21∞-∈x x 时，0221<-+x x 这时0)2)((1212<-+-x x x x 即
11
2
>y y ∴12y y >，函数单调递增 当)[∞+∈,1,21x x 时，0221>-+x x 这时0)2)((1212>-+-x x x x 即
11
2
解法二、（用复合函数的单调性）： 设：x x u 22-= 则：u y ?? ? ??=21 对任意的211x x <<，有21u u <，又∵u y ?? ? ??=21是减函数 ∴21y y < ∴x x y 2221-? ? ? ??=在),1[+∞是减函数 对任意的121≤ y ?? ? ??=21是减函数 ∴21y y < ∴x x y 2221-? ? ? ??=在),1[+∞是增函数 引申：求函数x x y 2221-? ? ? ??=的值域 （20≤ 小结：复合函数单调性的判断(见第8课时) 例3设a 是实数，)(1 22 )(R x a x f x ∈+- = 试证明对于任意a,)(x f 为增函数； 分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法 （1）证明：设21,x x ∈R,且21x x < 则 ) 12)(12() 22(222122) 122 ()122()()(2121122121++-= -+= +--+- =-x x x x x x x x a a x f x f 由于指数函数 y=x 2在R 上是增函数,且21x x <, 所以 2122x x <即2122x x -<0， 又由x 2>0得12x +1>0, 22x +1>0 所以)()(21x f x f -<0即)()(21x f x f < 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数 评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性 三、练习： 求下列函数的定义域和值域： ⑴x a y -=1 ⑵31 )2 1 (+=x y 解：⑴要使函数有意义，必须 01≥-x a , 1≤x a 当1>a 时 0≤x ； 当10<x a ∴110<-≤x a ∴值域为10<≤y ⑵要使函数有意义，必须 03≠+x 即 3-≠x ∵ 031≠+x ∴1)2 1 ()21(031 =≠=+x y 又∵0>y ∴值域为 ),1()1,0(+∞ 五、小结 本节课学习了以下内容： 指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性和奇偶性的方法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记： 课 题：2.6.3 指数函数3 教学目的： 1．了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题. 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 3．培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯 教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用 教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：指数函数()0,0≠>=a a a y x 的定义、图像、性质（定义域、值域、单调性） 二、新授内容： 例1（课本第82页 例2）用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=x 2的图象的关系， ⑴y=1 2 +x 与y=2 2 +x . ⑵y=1 2 -x 与y=2 2 -x . 解：⑴作出图像，显示出函数数据表 比较函数y=1 2 +x 、y=2 2+x 与y=x 2的关 系：将指数函数y=x 2的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=1 2 +x 的图象，将指数函数 y=x 2 的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数 y=2 2 +x 的图象 比较函数y=1 2-x 、y=2 2 -x 与y=x 2的关系： 将指数函 数y=x 2的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=1 2-x 的图象，将指数函数y=x 2的 图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=2 2 -x 的图象 小结：⑴ y=m x -2 与y=x 2的关系：当m>0时，将指数函数y=x 2的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数y=m x -2的图象；当m<0时，将指数函数y=x 2的图象向左平行移 动m 个单位长度，就得到函数y=m x -2 的图象例2 ⑴已知函数 x y ?? ? ??=21用计算器或计算机作出函数图像，求定 义域、值域，并探讨x y ??? ??=21与 x y ?? ? ??=21图像的关系 解：?? ???<≥?? ? ??=0,20 ,21x x y x x 定义域：x ∈R 值域：10≤ ? ??=21的图像y 轴右侧的部分翻折到y 轴左侧的到x y ??? ??=21的图像，关 于y 轴对称. ⑵已知函数 1 21-? ?? ??=x y 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨 1 21-?? ? ??=x y 与1 21-? ? ? ??=x y 图像的关系 解：?? ???<≥??? ??=--1,21 ,2111 x x y x x 定义域：x ∈R 值域： 10≤ 关系：将1 21-? ? ? ??=x y （x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1 左侧得到 1 21-?? ? ??=x y 的图像，是关于直线x=1对称 ⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出： 基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式： 以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较 复杂的变换，以后再作研究. 例3探讨函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象的关系，并证明关 于y 轴对称 证：设P(1x ,1y )是函数x a y = )10(≠>a a 且的图象上任意一点 则11x a y = 而P(1x ,1y )关于y 轴的对称点Q 是(-1x ,1y ) ∴ )(111 x x a a y --== 即Q 在函数x a y -=的图象上 由于P 是任意取的,所以x a y =上任一点关于y 轴的对称点都在x a y -=的图象上 同理可证：x a y -= 图象上任意一点也一定在函数x a y =的图象上 ∴ 函数x a y =和x a y -=的图象关于y 轴对称 例 4 已知函数 2 22x x y -+= 求函数的定义域、 值域 解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理 定义域为 R 由2 22x x y -+=得 012222=+?-x x y ∵x ∈R, ∴△≥0, 即 0442≥-y , ∴12≥y , 又∵0>y ，∴1≥y 三、小结 本节课学习了以下内容：函数图像的变换 四、课后作业： 五、板书设计（略） 六、课后记：
相关主题
文本预览