专题限时集训(一)A 【基础演练】
1．A [解析] 依题意得P ＝{x ∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，故?UP ＝{2}．
2．D [解析] 依题意得A ＝{－1,0,1}，因此集合A 的子集个数是23＝8. 3．B [解析] 根据特称命题的否定得命题綈p 应为：任意x ∈0，π2，sinx≠1
2
.
4．B [解析] 因为当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；又命
题q 是假命题，例如f(x)＝?
??
??
－x ＋1，x≤0，
－x ＋2，x>0.综上可知，“p 或q”是假命题．
【提升训练】 5．B [解析] 由
x －2
x ＋3
<0得－3 6．B [解析] 依题意p 且q 为真命题，则p ，q 都为真命题．若p 为真命题，则m<0；若q 为真命题，则m≥－2.所以p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围为[－2,0)． 7．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝? ?? ?? log2x ，x≥1， x －1，x<1的图像可以得出其是增函数；反之， 不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 8．A [解析] 由“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”得2lgy ＝lgx ＋lgz ，则有y2＝xz(x>0，y>0，z>0)， y 是x ，z 的等比中项；反过来，由“y 是x ，z 的等比中项”不能得到“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”，例如y ＝1，x ＝z ＝－1.于是，“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件． 9．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a 4≤3，即a≥ －12. 由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4 10．任意x ∈R ，x>1且x2≤4 [解析] 因为特称命题p ：存在x0∈M ，p(x0)的否定为綈p ：任意x ∈M ，綈p(x)，所以题中命题的否定为“任意x ∈R ，x>1且x2≤4”． 11．{5,6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B∩(?UA)＝{5,6}． 12．①④ [解析] 对于①，“存在x0∈R,2x0>3”的否定是“任意x ∈R ，2x≤3”，所以①正确；对于②，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3·cos2x ＋ π 3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π 2，所以②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f′(x0)≠0”，容易知 该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x0)＝0，故③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. 专题限时集训(一)B 【基础演练】 1．C [解析] 依题意得?RA ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，所以(?RA)∩B ＝{x|0≤x≤1}． 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1 3．C [解析] 因为a2－a ＋1＝a －122＋34≥3 4>0，所以由a －1a2－a ＋1<0得a<1，不能得到|a|<1； 反过来，由|a|<1得－1 <0”是“|a|<1”成立的必要不充分 条件． 4．D [解析] 对于A ，命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x2－5x －6＝0”的充分条件，选项B 不正确；对于C ，命题“存在x0∈R ，使得x20＋x0－1<0”的否定是：“任意x ∈R ，使得x2＋x －1≥0”，因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny”是真命题，因此它的逆否命题也为真命题，选项D 正确． 【提升训练】 5．A [解析] 依题意得A ＝{x|－5 πx 3＝12得πx 3＝2kπ±π 3 ，即x ＝6k±1，k ∈Z. 令－5<6k ＋1<6得－1 6，又k ∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A∩B ＝{－1,1,5}． 6．D [解析] 因为任意x ∈R,2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin 3π 4－cos 3π4＝22＋2 2 ＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题． 7．C [解析] 依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x ＋b2，由函数f(x)是偶函数，得a·b ＝0，又a ，b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得a·b ＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax ＋b)2为偶函数”是“a ⊥b”的充要条件． 8．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4. 9．C [解析] 依题意得f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．因此，当f(0)<0时，不能得到函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点；反过来，当函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图像可知，此时f(0)<0.综上所述，f(0)<0是函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点的必要不充分条件． 10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －y b ＝1相切，则 1＝ ab a2＋b2 ，即ab ＝a2＋b2. 11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cosθ>0时，θ ∈????0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为????0，π2 ????0，π 2，所以p 是q 成立的必要不充分条件． 12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16 1．D [解析] 由题意可得? ?? ?? x>0，log3x≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图像． 3．C [解析] 依题意，因为5≥4,4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以 f(3)＝23＝8. 4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1 b ＝logA3＋logA5 ＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】 5．B [解析] 由loga2<0得0 6．A [解析] 由条件知，0 1＋27 13＝11＋3＝14，则f(f(27))＝f 14＝????log414 －1 －2＝|－1－1|－2＝0. 9．B [解析] 由f(x ＋3)＝－1f x ，得f(x ＋6)＝－1 f x ＋3＝f(x)，知6为该函数的一个周期， 所以f(107.5)＝????6×18－12＝f ????－12＝－1f ????52＝－1f ??? ?－52 ＝－1－10＝1 10. 10．C [解析] 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x －1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0， f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x －1)＝0；当x ＝0时，f(0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增． 11．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－ em －1em ＋1＝－1 2 . 12.??? ?32，3 [解析] 依题意，得????? 3－a>0，a>1，3－a ·1－a≤loga1， 即??? ?? a<3， a>1，a≥32， 解得3 2 ≤a<3. 13．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知故命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题． 专题限时集训(二)B 【基础演练】 1．C [解析] 依题意，得????? x ＋2>0，1－lg x ＋2≥0，即????? x ＋2>0， x ＋2≤10， 解得－2 2,8]． 2．B [解析] y ＝－1 x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确； y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误． 3．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12 3 4．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③. 【提升训练】 5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝??? ? ? x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0， 画出函数f(x) 的图像，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减． 6．D [解析] 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3. 7．B [解析] 依题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，即30－2×0＋a ＝0，求得a ＝－1. 又当x<0，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(3－x ＋2x ＋a)＝－3－x －2x ＋1，于是f(－2)＝－32－2×(－2)＋1＝－4. 8．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx → ＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图像． 9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝???? ? x ＋1，x≤0，－x ＋1，0 x －3，x≥2， 在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x －1)和y ＝t(|t|<1)的图像(如图)，由图像知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是 (2,4)． ，则f(a)＝log2a ＝3，求得a ＝8；若a≤0，则f(a)＝－2a ＝3，此时无解．于是a ＝8. 11．－1 4 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)， 进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14 . 12．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图像关于 y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图像的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图像关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确． 13．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】 1．B [解析] 依题意，因为f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－121－12＝1 2>0，所以函 数f(x)的零点x0∈(1,2)． 2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图像可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选 项可知图像应为B.故选B. 3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－1 2 满足．故选C. 4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋1 2的图像，可得交点个数为 3. 【提升训练】 5．B [解析] 分析选项中所给图像，只有B 两侧的函数值是同号的，所以不能用二分法求解．故选B. 6．B [解析] 记F(x)＝x3－12x －2，则F(0)＝0－12－2＝－4<0，F(1)＝1－12－1＝－1<0，F(2) ＝8－1 2 0＝7>0，所以x0所在的区间是(1,2)．故选B. 7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4 ? ???? 640 2 ，故选C. 9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1,3])和y ＝m(x ＋1)的图像(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0 4 . 10．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，由此可得k ＝3.故填3. 11．(0,1) [解析] 画出函数f(x)＝? ???? 2x －1，x>0， －x2－2x ，x≤0的图像(如图)，由函数g(x)＝f(x)－m 有3 个零点，结合图像得0 12．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得 ????? f 0＝2m ＋1<0， f －1＝2>0，f 1＝4m ＋2<0，f 2＝6m ＋5>0 ?????? m<－12 ， m ∈R ，m<－1 2 ， m>－56 . ∴－56 . (2)抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组????? Δ＝4m2－42m ＋1≥0，f 0＝2m ＋1>0， f 1＝4m ＋2>0， 0<－m<1，得－1 2 － 2. (这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0,1)内过) 13．解：(1)当x ＝0时，t ＝0； 当0 ＝1x ＋ 1x ∈???? 0，12，即t 的取值范围是 ??? ?0，12. (2)当a ∈????0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋2 3， 则g(t)＝??? －t ＋3a ＋2 3 ，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a 2 . ∵g(t)在[0，a]上单调递减，在???? a ， 12上单调递增， 且g(0)＝3a ＋23，g ????12＝a ＋76，g(0)－g ????12＝2????a －14. 故M(a)＝??? g ????12，0≤a≤14 g 0，14 2， 即M(a)＝??? a ＋76，0≤a≤1 4 ，3a ＋23，14 2. ∴当且仅当a≤4 9 M(a)≤2. 故当0≤a≤49时不超标，当49 2时超标． 14．解：(1)当m ＝2，x ∈[1,2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋7 4 . ∵函数y ＝f(x)在[1,2]上单调递增， ∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1,2]上的最大值为4. (2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0,1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx. ∵h′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1 x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0,1]上是增函数，∴ h(x)≤h(1)＝0. 当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx. ∵h′(x)＝－2x ＋1 x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－x －12x ＋1x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数， ∴h(x) 专题限时集训(四)A 【基础演练】 1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1 b .故选B. 2．D [解析] 由1x <12，得1x －1 2<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2. 故选D. 3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y≥29x·3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当 2x ＝y ＝1时取等号)． 4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2,2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2×(－2)＋2＝－2. 【提升训练】 5．A [解析] 依题意，由a ＋d ＝b ＋c 得a2＋2ad ＋d2＝b2＋2bc ＋c2；由|a －d|<|b －c|得a2－2ad ＋d2 6．A [解析] 依题意，a2<1＋x 对任意正数x 恒成立，则a2≤1，求得－1≤a≤1. 7．C [解析] 依题意，当x>0时，不等式为lnx≤1，解得0 ? x －2≤0，y －1≤0， x ＋2y －2≥0 表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且 A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S ＝1 2 ×2×1＝1.故选A. 9．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3,4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7， 所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ·3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127×2b a ·a b ＝257＋247 ＝7. 10．(1，＋∞) [解析] 依题意，当a ＝0时，不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x ＋a>0的解集为R ，必须满足? ?? ?? a>0， Δ＝4－4a2<0，解得a>1.故填(1，＋∞)． 11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v 202 v ＝400v ＋ 16v 400≥2 400v ·16v 400 ＝216＝8.故填8. 12．8 [解析] 依题意，函数y ＝a2x －4＋1(a>0且a≠0)过定点A(2,2)，又A 在直线x m ＋y n ＝1， 所以2m ＋2 n ＝1.于是m ＋n ＝2m ＋2n (m ＋n)＝4＋2n m ＋2m n ≥4＋22n m ·2m n ＝8. 13.????34，43 [解析] 根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx ＋1＋1(m>0，m≠1)恒过定点(－1,2)．将点(－1,2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7.由于(－1,2)始终落在所给圆的内部或 圆上，所以a2＋b2≤25.由????? a ＋b ＝7，a2＋b2＝25，解得????? a ＝3，b ＝4，或??? ?? a ＝4， b ＝3. 这说明点(a ，b)在以 A(3,4)和B(4,3)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34，4 3. 专题限时集训(四)B 【基础演练】 1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝3 8，∴x<2xy< x ＋y 2 2．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －c b ∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －c b ，a>0，b<0. ∴－a b >0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方． 3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是a ＋b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x2＋y2＋2xy xy ≥2xy ＋2xy xy ＝4.故选D. 4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于???? ? x0≤0，1 2或??? x0>0，x0>1， 解得x0<0或x0>1.故选D. 【提升训练】 5．C [解析] 因为0 1－x 的大小．因为1＋x － 11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<1 1－x .故选C. 6．B [解析] 依题意知，－12和1 3是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则 ??? －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ， 解得? ???? a ＝－12， b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解 得－2 7．C [解析] 依题意，函数f(x)＝x ＋a x －2(x>2)的图像过点A(3,7)，则a ＝4.于是，f(x)＝x ＋4 x －2 ＝(x －2)＋ 4x －2＋2≥2x －2·4 x －2 ＋2＝6.故选C. 8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋1 2 y 经过点(1,2)时，z 得最小值为2.故选A. 9．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域??? x ＋3y 3x －y ≤0， x2＋y2≤4. 由图形知，不等式组表 示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝1 2 ×π×22＝2π. 10．k≤2 [解析] 依题意，不等式x2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则x2－1>k(x －1)对x ∈(1,2)恒成立，所以k 11．6 [解析] 如图，依题意，S ＝1 2·2a·a ＝a2＝4，所以a ＝2. 分析可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(2,2)时，zmax ＝2×2＋2＝6. 12．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝2 2－1 ＝22＋2，即 tmin ＝2＋2 2. 专题限时集训(五) 【基础演练】 1．C [解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C. 2．C [解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥1 3 . 3．C [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在区间[0,1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】 5．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3 t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s′(2)＝2×2－ 322＝13 4 (m/s)．故选D. 6．B [解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝2ax ，因为f(x)在区间(－∞，0)内是减函数，则f′(x)<0，求得a>0，且此时b ∈R.故选B. 7．A [解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－3≥－3， ∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tanα≥－3， ∴0≤α<π2或2π 3 ≤α<π. 8．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x 在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图像先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图像的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图像符合要求． 9．C [解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝3mx2＋2nx.依题意??? ? ? f －1＝－m ＋n ＝2，①f′ －1＝3m －2n ＝－3，② 解得 ? ?? ?? m ＝1， n ＝3，所以f′(x)＝3x2＋6x ＝3x(x ＋2)．由此可知f(x)在[－2,0]上递减，又已知f(x)在[t ，t ＋1]上递减，所以[－2,0]?[t ，t ＋1]，即? ?? ?? t≥－2， t ＋1≤0，解得－2≤t≤－1.故选C. 10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f′(x)＝ex ，所以f′(x0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)． 11．－13 [解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝－3x2＋2ax ，由函数在x ＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a ＝3.于是f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x ，由此可得f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f(m)min ＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f′(n)min ＝f(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13. 12．－2，2 3[解析] ∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立，∴f(x)是R 上的增函数．又f(－x)＝－f(x)， ∴y ＝f(x)是奇函数．由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，∴mx －2<－x ，即mx －2＋x<0在m ∈[－2,2]上恒成立．记g(m)＝xm －2＋x ，则? ???? g －2<0，g 2<0，即? ?? ?? －2x －2＋x<0，2x －2＋x<0，求得－2 13．解：(1)f′(x)＝1k (x2－k2)e x k >0， 当k>0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k ，＋∞)，f(x)的减区间为(－k ，k)， 当k<0时，f(x)的增区间为(k ，－k)，f(x)的减区间为(－∞，k)和(－k ，＋∞)． (2)当k>0时，f(k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有任意x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1 e . 当k<0时，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2 e ， 所以任意x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k2e ≤1 e ?－1 2 ≤k<0. 综上，k 的范围为－1 2 ，0. 14．解：(1)令f′(x)＝1x －a x2 ＝0，得x ＝a. 当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝a e ； 当0 e . (2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0， 所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2. 当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立； 当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立； 当1 因为函数图像在点(－2，f(－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0. 所以切点坐标为(－2,12)， 且? ???? f －2＝8＋4a －2b ＝12，f′ －2＝－12－4a ＋b ＝－16， 解得a ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，当x<1时，f(x)＝－x3＋x2， 令f′(x)＝－3x2＋2x ＝0可得x ＝0或x ＝2 3 f(x)在(－1,0)和23，1上单调递减，在0，2 3 上单调递增， 对于x<1部分：f(x)的最大值为max ???? ?? f －1，f 23＝f(－1)＝2； 当1≤x≤2时，f(x)＝c·lnx ， 当c≤0时，c·lnx≤0恒成立，f(x)≤0<2， 此时f(x)在[－1,2]上的最大值为f(－1)＝2； 当c>0时，f(x)＝clnx 在[1,2]上单调递增，且f(2)＝c·ln2. 令c·ln2＝2，则c ＝2ln2，所以当c>2ln2时， f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝c·ln2； 当0 ln2时，f(x)在[－1,2]上的最大值为f(－1)＝2. 综上可知，当c≤2 ln2时，f(x)在[－1,2]上的最大值为2； 当c> 2 ln2 时，f(x)在[－1,2]上的最大值为c·ln2. (3)f(x)＝??? ?? －x3＋x2x <1，clnx x ≥1 ， 根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设M(－t ，t3＋t2)，N(t ， f(t))，(t>0)． 若t<1，则f(t)＝－t3＋t2， 由∠MON 是直角得，OM →·ON → ＝0，即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0， 即t4－t2＋1＝0.此时无解； 若t≥1，则f(t)＝c·lnt.由于MN 的中点在y 轴上，且∠MON ＝90°，所以N 点不可能在x 轴上，即t≠1.同理有OM →·ON →＝0，即－t2＋(t3＋t2)·clnt ＝0，c ＝1t ＋1l nt . 由于函数g(t)＝ 1 t ＋1l nt (t>1)的值域是(0，＋∞)， 则实数c 的取值范围是(0，＋∞)． 专题限时集训(六)A 【基础演练】 1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°·cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－ 2 2 . 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝1 2，故sin15°－cos15°＝ －22 . 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝s inx －cosx 2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ， 所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx≥0，即sinx≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x≤5π 4. 3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝ 1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝12 13 ，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－ 5 13－1213＝－23 .故选D. 4．－π 6 [解析] 由正弦函数的性质知，正弦函数图像的对称中心是其与x 轴的交点，∴y ＝ 2sin2x0＋π3＝0，又x0∈????－π20 ，∴x0＝－π6.故填－π6. 【提升训练】 5．A [解析] 由sinθ＋cosθ＝2，得θ＝2kπ＋π4，所以tanθ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋3 1－3 ＝－2 － 3.故选A. 6．C [解析] 周期T ＝2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π 3.故选C. 7．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π23＝f 3π4＝sin 3π4＝2 2 .故选C. 8．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3，因为f(x)在???? 0， π6上单调递增，所以f π7 7 ，所以c 5π 3 ，所以 ????sin 5π3＋acos 5π3＝1＋a2，所以????－32＋12a ＝1＋a2，即34a2＋32a ＋14 ＝0，求得a ＝－33.于是g(x)max ＝1＋a2＝1＋13＝233.故选B. 10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2kπ＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ????2kπ＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2kπ＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx ＝13.故填13 . 11.74[解析] 依题意，将函数y ＝sinωx ＋5π6的图像向右平移π 3个单位长度后，所得图像对应的函数解析式是y ＝sinωx ＋ 5π6－π3ω(ω>0)，它的图像与函数y ＝sinωx ＋π 4 的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2kπ(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin ＝74.故填7 4. 12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝1 2sin2x ，画出函数的图像，分析知③，④是正确的．故 填③，④. 13．解：(1)因为f(x)＝ 32sin2x －12cos2x ＝sin2x －π6 ， 故f(x)的最小正周期为π. (2)当x ∈0，π2时，2x －π6∈－π6，5π 6， 所以f(x)∈－1 2 ，1， 于是函数f(x)在????0，π2上的值域为－1 2 ，1. 14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π 6＋a. 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π. (2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π 3 . 所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f(x)min ＝f －π 2＝－3＋a ； 当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π 3 ＝2＋a. 由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1. 15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2π ω＝π(ω>0)，∴ω＝2. ∵f π4＝cos2×π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sinφ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3 ， 列表如下： 图像如图． (3)∵f(x)> 22，即cos2x －π3>22 ， 得2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π 4，k ∈Z ， 即2kπ＋π12<2x<2kπ＋7 12π，k ∈Z ， 即kπ＋π24 24 π，k ∈Z. ∴所求x 的取值范围是???? ??x ?? kπ＋π24 24π，k ∈Z . 专题限时集训(六)B 【基础演练】 1．B [解析] 因为sinα＝35，α是第二象限的角，所以tanα＝－3 4.又因为tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ1－ta nαtanβ ＝1，所以－34 ＋tanβ 1＋34 tanβ＝1，求得tanβ＝7.故选B. 2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x≤3π 4，满足题意， 所以f(x)可以是－cosx. 3．B [解析] 依题意得点P 到坐标原点的距离为sin240°＋1＋cos40°2＝2＋2cos40°＝2＋22cos220°－1＝2cos20°.由三角函数的定义可得cosα＝ sin40°2cos20°＝2sin20°cos20° 2cos20° ＝ sin20°＝cos70°，因为点P 在第一象限，且角α为锐角，所以α＝70°.故选B. 4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π 4是最小 正周期为π的奇函数．故选B. 【提升训练】 5．A [解析] 依题意得cosθ＝±35.又因为sinθ－cosθ>1，所以cosθ＝－3 5，于是sin2θ＝ 2sinθcosθ＝2×45×－35＝－24 25 . 6．D [解析] 平移后得到的函数图像的解析式是f(x)＝Acosx·sinωx ＋π6ω＋π 6，这个函数是奇 函数，由于y ＝cosx 是偶函数，故只要使得函数y ＝sinωx ＋π6ω＋π 6是奇函数即可，根据诱导 公式和正弦函数性质，则只要π6ω＋π 6＝kπ(k ∈Z)即可，即ω＝6k －1(k ∈Z)，所以ω的可能值 为5. 7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图像上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π 2－x ，－y ， 由题意知该点必在f(x)的图像上，所以－y ＝sin π2－x ，即g(x)＝－sin π 2－x ＝－cosx.依题意得 sinx≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0,2π]，解得3π4≤x≤7π 4 .故选B. 8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sinωx ＋φ＋π4，由T ＝2π ω＝ π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z)，即φ＝kπ＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π 2， 所以φ＝π4于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π 2 上单调递减． 9．A [解析] 作出点P 在x 轴上的投影C ，因为函数周期为T ＝2ππ2，则|AC|＝14T ＝1 2，|PC| ＝1.在Rt △APC 中，tan ∠APC ＝ |AC||PC|＝12，同理tan ∠BPC ＝|BC||PC|＝3 2 ，所以tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC)＝12＋3 2 1－12× 32 ＝8.故选A. 10.13 [解析] 因为cosθ＝－35，且θ是第三象限角，所以sinθ＝－45于是cosθsinθ－1＝－3 5－45 －1＝13 .故填13 . 11.36565 [解析] 由已知sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)] ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)·sin(α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－56 65.则(sinα＋cosα)2＝1 ＋sin2α＝1－ 5665＝965，当π2<α<3π4时，sinα＋cosα>0，即sinα＋cosα＝365 65 . 12．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tanφ＝n m .因为f π 4是它的最大值， 所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，φ＝2kπ＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2kπ＋π 4＝ m2＋n2sinx ＋π4，且tanφ＝n m ＝tan2kπ＋π4＝1，即n m ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4. ①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π 4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确； ②当x ＝ 7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图像关于点7π 4 ，0对称，②正确； ③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π 2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确； ④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π 4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π， 即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，m n ＝1成立，所以⑤正确． 故填①②③⑤. 13．解：(1)函数f(x)＝sin2x ＋π 4 ＋φ. 又y ＝sinx 的图像的对称轴方程为x ＝kπ＋π2(k ∈Z)，令2x ＋π4＋φ＝kπ＋π2，将x ＝π 6代入， 得φ＝kπ－π 12(k ∈Z)． ∵0<φ<π，∴φ＝ 11π 12 . (2)由(1)知f(x)＝sin2x ＋ 7π6 . 由－π2≤x≤0，得π6≤2x ＋7π6≤7π6 ∴当2x ＋ 7π6＝7π6，即x ＝0时，f(x)min ＝－1 2 14．解：(1)f(x)＝2sin2???? ωx ＋π4＋2cos2ωx ＝1－cos ??? ? 2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ??? ? 2ωx ＋π4＋2， ∵函数f(x)的图像上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝ 2π 3(ω>0)，∴ω的值为3 2 ， ∴函数f(x)＝2sin ??? ?3x ＋π 4＋2， ∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2kπ＋π2，即x ＝2kπ3＋π 12 (k ∈Z)． (2)y ＝f(x)的图像向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ????3????x －π8＋π4＋2＝2sin ????3x －π 8＋2， 再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ????－3x －π8＋2＝－2sin ????3x ＋π8＋2， 函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ???? 3x ＋π8单调递增区间． 由2kπ－π2≤3x ＋π8≤2kπ＋π 2， 解得23kπ－5π24≤x≤23kπ＋π 8 (k ∈Z)． 故y ＝g(x)的单调减区间为????23＋5π24，23kπ＋π8(k ∈Z)． 15．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π 3 ＝sin2x ＋2π3－3????cos2x ＋2π 3＋1 ＝sin2x ＋ 2π3－3cos2x ＋2π 3 － 3 ＝2sin2x ＋π 3－ 3. ∵－1≤sin2x ＋π 3 ≤1， ∴－2－3≤2sin2x ＋π 3－3≤2－3， 又T ＝2π 2 ＝π， 即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈????0，π6时，2x ＋π3∈???? π3，23π， ∴sin2x ＋π 3∈??? ?32，1， 此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π 3 ∈[3，2]． 由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2 m ， ∴ 3≤－2 m ≤2，即??? 2 m ＋3≤0，2 m ＋2≥0， 解得－ 23 3 ≤m≤－1. 即实数m 的取值范围是???? － 23 3 ，－1. 专题限时集训(七) 【基础演练】 1．A [解析] ∵