《相似形》基础测试
一、选择题：
1．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于………………………………（ ）
（A ）
91 （B ）－9 （C ）9 （D ）－9
1
2．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则d 等于……（ ） （A ）1 cm （B ）10 cm （C ）
25 cm （D ）5
8
cm ．
3．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是………………………………（ ）
（A ）
DB AD ＝EC AE （B ）BC DE ＝EC AE （C ）AD AB ＝AE AC （D ）EC DB ＝AC
AB
4．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有………（ ）
（A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对
5．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有………………（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对
6．下列判断中，正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似 （B ）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似 （D ）邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似
7．如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是……………（ ）
（A ）△ABE ∽△DGE （B ）△CGB ∽△DGE （C ）△BCF ∽△EAF （D ）△ACD ∽△GCF
8．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为………（ ） （B ）
23 （C ）2 （D ）2
5
（A ）1
9．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，在条件（1）∠ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝∠ACB 中，一定使△ABC ∽△ACD 的个数是……………（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则AC ︰BC 的值为………（ ）
（A ）9︰4 （B ）9︰2 （C ）3︰4 （D ）3︰2
11．如图，点A 1、A 2，B 1、B 2，C 1、C 2分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点，且ABC 的周长为l ，
则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为…………………………（ ）
（A ）
31l （B ）3l （C ）2l （D ）3
1l
12．如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1、S 2、
S 3、S 4，则S 1︰S 2︰S 3︰S 4等于……………………………（ ）
（A ）1︰2︰3︰4 （B ）2︰3︰4︰5 （C ）1︰3︰5︰7 （D ）3︰5︰7︰9
（二）填空题：（每题2分，共20分）
13．如果x ︰y ︰z ＝1︰3︰5，那么
z
y x z
y x +--+33＝___________．
14．已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）． 15．如图，l 1∥l 2∥l 3，BC ＝3，
EF
DE
＝2，则AB ＝___________． 16．如图，已知DE ∥BC ，且BF ∥EF ＝4︰3，则AC ︰AE ＝__________．
17．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于______．
18．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 中点，且DE ⊥AC ，则CD ︰AD ＝__________．
19．如图∠CAB ＝∠BCD ，AD ＝2，BD ＝4，则BC ＝__________．
20．如图，在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝12 cm ，AD 是∠BAC 的外角平分线，
DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝__________cm ．
21．如图，在△ABC 中，M 、N 是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么
△MON ∽△AOC 面积的比是____________．
22．如图，在正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，BF 与AC 交于点G ，则△BGC 与四边形CGFD 的面积之
比是_____________．
（三）计算题（每题6分，共24分）
23．如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，求线段BF 的长．
24．如图，已知△ABC 中，AE ︰EB ＝1︰3，BD ︰DC ＝2︰1，AD 与CE 相交于F ，求
FC EF ＋FD
AF
的值．
25．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形．
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数．
26．如图，矩形PQMN 内接于△ABC ，矩形周长为24，AD ⊥BC 交PN 于E ，且BC ＝10，AE ＝16，求△ABC
的面积．
（四）证明题：（每题6分，共24分）
27．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
28．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．
29．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．
30．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG ∥BE交AB于G．
求证：FG＝FC．
（五）解答题（8分）
31．（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交 OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD 中，OE ⊥BC ，DC ⊥BC ，
∴ OE ∥DC ．∵
DC OE ＝2
1
，∴ FD EF ＝DC OE ＝21．∴ ED EF ＝31．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是 d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．② ()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比 例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为： 1 2 长短＝＝ 全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于 黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?．
相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称 比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， （4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边
对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答 （）51加速度学习网 整理 相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段
相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A
相似三角形 一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把 a, b,c,d 四 a c 个实数成比例表示成： 或者a : b=c ： d ,期中b ， c 称为比例内项，a ，d 称为比例外项。 b d a c a c 等式两边同乘以 bd ，可得ad=bc ，反过来等式 ad=bc 同除以bd ，可得 =一 b d b d 2、比例线段：在四条线段 a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。 a b 3、比例中项：如果三个数a, b, c 满足比例式 ，那么b 叫做a 、c 的比例中项， 此时有b = ac 。 b c 那么这四条线段 4、黄金分割：如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 PB,使 AP AP 帀，那么称线段AB 被点P 黄 金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，比值叫做黄金比。 全二长二 ? 0.618 2 5、比例式变形: a c a_ b c_d b d - b 或旦亠 b b d a c ” ■ * * b _d 一 =b ，（交换内项） c -交换外项） b a d 聖?（同时交换内外项） c a 3，那么a r e a 仁如果b = 3 a + b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若，贝U 的值是 b 5 b 8 3 3 B C 、- D 5 5 2 3、若 4x=5y,则 x : y = 例 4、 x —yz yz_x 5、已知g = y ，则j 的值为 13 7 y 例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么 x 3y z x_3y z
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得 到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长
第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 3 ，再根据相似多 边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”； （5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．
《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．
注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D
初中相似三角形基本知识点和经典例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初三相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项， 那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比 例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．
拔高相似三角形习题集 适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用. 一、基础知识（不局限于此) (一)．比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2。比例性质: (1）基本性质: bc ad d c b a =?=ac b c b b a =?=2 (2）合比定理:d d c b b a d c b a ±=±?= (3）等比定理:)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3。黄金分割:如图,若AB PB PA ?=2,则点Ｐ为线段AB 的黄金分割点． 4.平行线分线段成比例定理 （二)相似 1.定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形。 2．相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （１)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （２)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 ● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ● (４)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4。相似三角形的性质 ● (1)对应边的比相等,对应角相等。 ● (2)相似三角形的周长比等于相似比。 ● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6。梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。 7.相似三角形的应用： 1、利用三角形相似，可证明角相等;线段成比例(或等积式）; ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 （三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例1.如图在４×4的正方形方格中,△ABC 和△D ＥＦ的顶点都在长为1的小正方形顶点上． B
圆中的基本图形和常见数学思想圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。 把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。让他们熟悉圆中常用的数学方法。归纳了以下几个方面的内容，概述如下。 1 圆中基本图形主要有 这个图形中涵盖了： １、垂径定理及其推论； ２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍； ３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系； ４、直径所对的圆周角是直角 这个图形中涵盖了： １、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角， ２、相似关系; ３、割线定理 这个图形中涵盖了： １、弦切角等于所夹弧所对的圆周角， ２、相似关系;
３、切割线定理 这个图形中涵盖了： １、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 这个图形中涵盖了： １、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。 ２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系， ４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系 这个图形中涵盖了： １、同弧所对的圆周角相等， ２、相似关系， ３、相交弦定理 这个图形中涵盖了： １、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径 ２、相似关系，射影定理，
３、直角三角形的外心在斜边的中点 ４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半 这个图形中涵盖了： 1、切线长定理 2、连心线垂直平分公共弦 3、圆的对称性 这个图形中涵盖了: 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。 这个图形中涵盖了: 正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。 这个图形中涵盖了: 正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。
相似三角形知识点总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1）基本性质： ① bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． （2）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （3）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成
极客数学帮，以数学为专业，初中部张前海老师总结到，相似三角形在初中数学中所占比例大，且难度高，特别是在成都中考中，相似是一个必考内容，那么相似又有哪些知识点呢？如何快速解决相似压轴题呢？ 一、相似常见类型 1、 A 型（仿 A 型）相似 ①A 型相似②仿A型相似 已知：在三角形ABC 中， DE // BC 。已知：在三角形ABC 中， ADEC 。则： ADE ~ABC则： ADE ~ACB 2、 8 型（仿 8 型）相似 ①8 型相似②仿8型相似 已知 :AB//CD已知：则： ABE ~ DCE则： A C ABE ~ CDE
3、 K 型相似 已知：B ADEC 90已知：则：ABD ~DCE则： 4、子母型相似B ACE D ABC ~CDE 已知：BAC D已知：BAC ADC 90 AB2BD BC 则：BAC ~BDA则: AC2CD CB—射影定理 AD 2BD CD 二、相似常见结论 1、 若 DE//AB，则DG GE AF BF 2、
AB BD 若 AD 平分BAC ，则 AC CD 3、 若四边形 ABCD 是平行四边形， 则 AE2EF FG 4、 若DAC DBC ，则ADE ~BCE ， 可推导出AEB ~DEC 即上下相似可得左右相似 同理，左右相似可得上下相似 三、相似三角形常见解题技巧 1、三角形叉叉图（即三角形内部画一把叉） 此类题目常常考察求线段比例或者线段长度 AE 、AF、CD、CE ，知二求二 图中四对线段比 ED BF BD EF 常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线 遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例 2、三角形的可解性 在一个三角形中，必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量，若已 知其中任意三个不全为角的条件，则可求出其他八个条件（简称知三求八）。
初三相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：12 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
内容提要 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 第二套： 注意：①定理中“对应”二字的含义;②平行→相似（比例线段）→平行。 二、相似三角形性质:1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。 三、相关作图:①作第四比例项;②作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。 2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 ⑴ )(,为中间比n m n m d c n m b a ==⑵'',,n n n m d c n m b a === ⑶),(,''' '''n m n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。 5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论 (骨干定理) 平行线分线段成比例定理 (基本定理) 应用于△中 相 似三 角形 判定定理定理1 定理2 定理3 Rt △ 推论 推论的 逆定理 推论
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）
相 似三角形基本知 识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等， 对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是 a ： b ＝m ：n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ： d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或 a:b ＝b:c 时，我们 把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a = ?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） ． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
相似三角形知识点总结 1. 比例线段的相关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 中考试题分类汇编 相似三角形 一、选择题 1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ） A.60° B.70° C.80° D.120° 2、如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 ： 9 B ．1 ： 3 C ．1 ： 8 D ．1 ： 2 3、图为?ABC 与?DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。若?ABC 与?DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。 4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米 5、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ） A B C D O 图1 B A D E