解直角三角形应用中的模型
◆类型一叠合式
1.如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A′处,测得点D的仰角为67.5°.
已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,2≈
1.414)()
A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米
第1题图第2题图
2.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东30°方向,马上以40海里/时的速度前往救援,海警船到达事故船C 处所需的时间大约为________小时(用根号表示).
3.如图,某小区①号楼与?号楼隔河相望,李明家住在①号楼,他很想知道?号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60°,然后到42米高的楼顶A 处,测得C点的仰角为30°,请你帮助李明计算?号楼的高度CD.
4.埃航MS804客机失事后,国家主席亲自发电进行慰问,埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救.如图,其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出,继续沿原方向直线航行2000米后到达B点,在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号).【方
法10】
5.如图所示,一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α,其中tanα=23,无人机的飞行高度AH为5003米,桥的长度为1255米.
(1)求点H到桥左端点P的距离;
(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度AB.
◆类型二背靠式
6.某滑雪场举办冰雪嘉年华活动,采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图,通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°,另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米,点A、D、B在同一直线上,则雪道AB的长度为() A.300米B.1502米
C.900米D.(3003+300)米
第6题图第7题图
≈,cos67°≈,tan67°≈,3≈1.73).【方法10】
7.如图,在东西方向的海岸线上有A、B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2小时后相遇在点P处,则乙货船每小时航行________海里.
8.小宇在学习解直角三角形的知识后,萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法,他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°,测得对面楼房顶端A的仰角为30°,并量得两栋楼房间的距离为9米,请你用小宇测得的数据求出对面楼房A B的高度(结果保留到整数,参考数据:2≈1.4,3≈1.7).
9.如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B地.已知B 地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整数,参考数据:sin67°12512
13135
⊥BC,AB∥DE,求旗杆AB的高度(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈.计算2.
3
解析:如图,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D.在△R t ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=60海里,∴CD=AC=30海里.在△R t CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD
sin∠CBD
2
3.解:如图,作AE⊥CD.∵CD=BD·tan60°=3BD,CE=BD·tan30°=
3
BD,∴AB 10.如图,某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度,沿旗杆正前方23米处的点C
出发,沿斜面坡度i=1∶3的斜坡CD前进4米到达点D,在点D处安置测角仪,测得旗杆顶部A的仰角为37°,量得仪器的高DE为1.5米.已知A,B,C,D,E在同一平面内,AB
343
554
结果保留根号).
参考答案与解析
1.C
2
1
2
=90°-30°=60°,∴BC=
CD
=203(海里),∴海警船到达事故船C处所需的时
间大约为203÷40=
3
(小时).
3
=CD-CE=BD=42米,∴BD=213米,CD=3BD=63米.
∠CBD==3,∴CD=3x米.∵AB=2000米,∴AD=(x+2000)米.∵∠CAD=45°,∴tan∠CAD==1,∴3x=x+2000,解得x=10003+1000,∴CD=3(10003+1000)
5.解:(1)在△R t AHP中,∵AH=5003米,由tan∠APH=tanα==
(2)设BC⊥HQ于C.在△R t BCQ中,∵BC=AH=5003米,∠BQC=30°,∴CQ=
速度出发,∴∠PAC=30°,AP=4×2=8(海里),∴PC=AP×sin30°=8×=4(海里).∵23
3
答:号楼的高度CD为63米.
4.解:如图,过C作CD⊥AB于D,交海面于点E.设BD=x米.∵∠CBD=60°,∴tan CD
BD
CD
AD
=(3000+10003)(米),∴CE=CD+DE=3000+10003+500=(3500+10003)(米).答:黑匣子C点距离海面的深度为(3500+10003)米.
AH5003
=23,
HP PH
可得PH=250米.∴点H到桥左端点P的距离为250米.
BC
tan30°=1500米.∵PQ=1255米,∴CP=245米.∵HP=250米,∴AB=HC=250-245=5(米).答:这架无人机的长度AB为5米.
6.D
7.22解析:作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的
1
2
乙货船从B港沿西北方向出发,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin45°=4÷
∴乙货船航行的速度为42÷2=22(海里/时).
2
2
=42(海里),
8.解:在△R t ADC中,∠ACD=30°,tan∠ACD=,CD=9米,∴AD=CD·tan∠ACD =9×
3BD
=33(米).在△R t CDB中,∠BCD=45°,
∠ABD=67°,∴AD=AB·sin67°≈520×=480(km),BD=AB·cos67°≈520×=
=(km),∴AC=AD+CD=480+≈480+115=595(km).
3
=
∴∠DCF=30°.∵CD=4米,∴DF=CD=2米,CF=CD·cos∠DCF=4×=23(米),∴
AD
CD
3CD
=AD+BD=33+9≈14(米).
答:对面楼房AB的高度约为14米.
9.解:过点B作BD⊥AC于点D.∵B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,∴
125
1313
200(km).∵C地位于B地南偏东30°方向,∴∠CBD=30°,∴CD=BD·tan30°=200×20032003
33
答:A地到C地之间高铁线路的长为595km.
3
3 10.解:如图,延长ED交BC的延长线于点F,则∠CFD=90°.∵tan∠DCF=i=
13
3
,
13
22
BF=BC+CF=23+23=43(米).过点E作EG⊥AB于点G,则GE=BF=43米,GB=EF =ED+DF=1.5+2=3.5(米).又∵∠AEG=37°,∴AG=GE·tan∠AEG=43·tan37°≈33米,则AB=AG+BG≈(33+3.5)米,故旗杆AB的高度约为(33+3.5)米.