对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）
平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )
A．4 平行四边形的判定： 1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4：对角线相互平分的四边形是平行四边形 14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC． 过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE，交AD于点F； 求证：四边形AECF为平行四边形 练习： 1、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD， ∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60° ∴EF∥BC， 又∵EC=EF， ∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°， ∴CF∥BD ∴四边形BCFD为平行四边形． 2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN 与CM相交于点Q。试说明PQ与MN互相平分。 3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D 的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形． 15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交 AC于点G。 求证：AF＝DF 【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。 ∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。 ∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。 练习： 1、如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD 于N ，交BD 于F ，连结AF 、CE ． (1)求证：四边形AECF 为平行四边形； 【答案】（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形（已知）， ∴BC ∥AD （平行四边形的对边相互平行）。 又∵AM 丄BC （已知），∴AM ⊥AD 。 ∵CN 丄AD （已知），∴AM ∥CN 。∴AE ∥CF 。 又由平行得∠ADE=∠CBD ，又AD=BC （平行四边形的对边相等）。 在△ADE 和△CBF 中， ∠DAE=∠BCF=90 ，AD=CB ，∠ADE=∠FBC ， ∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE=CF （全等三角形的对应边相等）。 ∴四边形AECF 为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 2、如图：在 ABCD 中，H F G E ,,,分别是四条边上的点，且,AE CF BG DH ==, 试说明：EF 与GH 相互平分． 例题2：如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在BC 边上，AB 边上有一点F ，且BF=DC ，连接EF 、EB ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ； （2）求证：四边形EFCD 是平行四边形 练习： 1、如图1,在△OAB 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB 为一边,在△OAB 外作等边三角形OBC,D 是OB 的中点,连接AD 并延长交OC 于E. (1)求点B 的坐标. (2)求证:四边形ABCE 是平行四边形. (3)如图2,将图1中的四边形ABCO 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为FG,求OG 的长. 【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8, ∴AB=4,OA=4√3,∴B(4√3,4). (2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8. ∵D点为OB的中点,∴OD=4. 又∵AD是Rt△OAB斜边的中线, OB=OD, ∴AD=1 2 ∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°. 又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形, ∴OE=4,∴E(0,4), ∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB, ∴四边形ABCE是平行四边形. (3)∵GA=GC,∴GA2=GC2. 即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(4√3)2=(8-OG)2,∴OG=1. 16.平行四边形的判定（三）:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例题1：如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形 练习： 1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．Array ． 例题2：如图所示，试证明：四边形PONM是平行四边形． 练习： 1、在ABCD 中,分别以AD,BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE,DF. 求证:四边形BEDF 是平行四边形. 2、四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足 ，则这个四边形一定是( ) A ．平行四边形 B ．两组对角分别相等的四边形 C ．对角线互相垂直的四边形 D ．对角线相等的四边形 3、等边△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD=BE ，以AD 为边作等边△ADF ，如图．求证：四边形CDFE 是平行四边形． 4、如图所示，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论． 证明：四边形ADEF 是平行四边形． 连接ED 、EF ， ∵△ABD 、△BCE 、△ACF 分别是等边三角形， ∴AB=BD ，BC=BE ，∠DBA=∠EBC=60°． ∴∠DBE=∠ABC ． ∴△ABC ≌△DBE ． 同理可证△ABC ≌△FEC ， ∴AB=EF ，AC=DE ． ∵AB=AD ，AC=AF ， ∴AD=EF ，DE=AF ． ∴四边形ADEF 是平行四边形 17.平行四边形的判定（四）:对角线相互平分的四边形是平行四边形 例题1：已知A （2,3）B （-2,5），A 、B 点关于原点的对称点分别为C 、D ，依次连接A 、B 、C 、D 点，则四边形ABCD 是什么四边形？ 例题2、如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，过A 、C 两点分别作 AE BD ⊥于E 点，CF BD ⊥于F 点，求证：四边形AECF 是平行四边形 练习： 1、如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC ， DF cd ab d c b a 222222+=+++ ⊥AC ，E 、F 是垂足，G 、H 分别是BC 、AD 的中点，连接EG 、GF 、FH ，HE 为公园 中小路，问小明从B 地经E 地，H 地到F 地，与小强从D 地经F 地，G 地到E 地，谁的路程远？ 2、如图所示，在 ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，且AF =CE ，求证：四 边形BEDF 是平行四边形． 3、如图，在 ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM =CN ， DE =BF ，求 证：四边形MFNE 是平行四边形 18.坐标平行四边形 知识点总结：若A 、B 、C 为已知点，则求一点D 与他们构成平行四边形，则有三个点1D 、2D 、3D ，则有1D =A+B-C 2D =A+C-B 3D =B+C-A （按照中点坐标公式和对角线相互平分性质） 例题1、已知点A （﹣1，0），B （2，﹣1），D （0，1）．请在直角坐标系中找一点C 与A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形，则点C 的坐标为 ______________________. 练习： 1、若以A （，0），B （2，0），C （0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第 四个顶点不可能在【 】 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、已知点D 与点A （8，0），B （0，6），C （a ，﹣a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为 ． 例题2、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两条直角边0A 、08分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程27120x x -+=的两根(OA<0B)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒l 个单位长度的速度向点O 运动；同时，动 点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标。(2)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由 练习： 1、如图x C y BC轴于点，BA轴于A点，B(3,4)，四边形ABCD沿直线EF折叠，点⊥⊥ A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且AF=2．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由 19.动点平行四边形 例题1：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、 Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动， Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是 Q C 平行四边形？ 练习： 1、如图，在△ABC中，AB=AC，射线AM∥BC，点P从点A出发沿射线AM运动，同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设运动时间为t（s）． （1）连接PQ、AQ、PC，当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是 平行四边形； （2）若BC=6cm，点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s，填空： ①当t为_______s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形； （1）证明：∵D为AC中点， ∴AD=CD， ∵AM∥BC， ∴∠PAC=∠ACB， 在△ADP和△CDQ中， ∠PAD ＝∠DCQ AD ＝CD ∠ADP ＝∠CDQ ， ∴△ADP ≌△CDQ （ASA ）， ∴PD=DQ ， 又∵AD=CD ， ∴四边形AQCP 是平行四边形； （2）①当Q 在线段BC 上，AP=QC 时，以A 、Q 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形， 由题意得：t=6-4t ， 解得：t=， 当Q 在C 的右边时，AP=QC 时，以A 、Q 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形， 由题意得：t=4t-6， 解得：t=2， 故答案为：或2； 2、如图，∠ABM 为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连接AD ，作 BE ⊥AD ，垂足为E ，连接CE ，过点E 作EF ⊥CE ，交BD 于F ． （1）求证：BF=FD ； （2）点D 在运动过程中能否使得四边形ACFE 为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A 的度数． ∴CB=CE ， ∴∠CEB=∠CBE ． ∵∠CEF=∠CBF=90°， ∴∠BEF=∠EBF ， ∴EF=BF ． ∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°， ∴∠FED=∠EDF ， ∵EF=FD ． ∴BF=FD ． （2）能．理由如下： 若四边形ACFE 为平行四边形，则AC ∥EF ，AC=EF ， ∴BC=BF ， ∴BA=BD ，∠A=45°． ∴当∠A=45°时四边形ACFE 为平行四边形． 3、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝23，P 是AC 上的一个动点． （1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数； （3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积． 4、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到 达A 点，运动停止。点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿O-B-A 运动。 （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式。 （3 ）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第 四个顶点M 的坐标。 20.性质和判定综合 例题1、如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF∥BE． 求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB． （2）四边形ABCD 是平行四边形． 解：（1）因为DF∥BE， 所以∠AFD ＝∠CEB ． 又因为AF=CE ， DF=BE ， 所以△AFD≌⊿CEB． D A C B （2）由(1)△AFD≌⊿CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， 所以AD ∥BC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形． 例题2：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE BD 、BF 为 邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE （点P 、 E 在直线AB 的同侧），如果BD B 1 4 A ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为【 】 A.41 B.53 C.51 D.4 3 【答案】D 。 【考点】平行四边形的判定和性质。 【分析】过点P 作PH∥BC 交AB 于H ，连接CH ，PF ，PE 。 ∵AP BE，∴四边形APEB是平行四边形。∴PE AB。， ∵四边形BDEF 是平行四边形，∴EF BD 。 ∴EF∥AB。∴P，E ，F 共线。 设BD=a ， ∵1BD AB 4 =，∴PE=AB=4a。∴PF =PE ﹣EF=3a 。 ∵PH∥BC，∴S △HBC =S △PBC 。 ∵PF∥AB，∴四边形BFPH 是平行四边形。∴BH=PF=3a。 ∵S △HBC ：S △ABC =BH ：AB=3a ：4a=3：4，∴S △PBC ：S △ABC =3：4。故选D 。 练习: 1、如图，ABC ?是等边三角形，P 是三角形内任一点，,//,//BC PE AB PD AC PF //，若ABC ?周长为12，求PD+PE+PF 的值． 2、图3是某城EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF=FC ．甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1市部分街道示意图，图中AF ∥BC ，路车，路线是B →A →E →F ，乙乘2路车，路线是B →D →C →F ．假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 点，?请说明理由． 3、已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE （1）求证：△AEM≌△CFN； A B C D E F （2）求证：四边形BMDN 是平行四边形. 【答案】证明：(1） ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC。 ∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD。 ∴∠EAM=∠FCN。 又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA ）。 （2） ∵由（1）△AEM≌△CFN， ∴AM=CN。 又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD 。∴BM DN 。 ∴四边形BMDN 是平行四边形。 【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。 6、如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=AB ，BF=BD ， 连接CE ，DF ，相交于点M ，求证：CD=CM. 7、如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，BE=1，∠AEP=90°， 且EP 交正方形外角的平分线CP 于点P ，交边CD 于点F ， （1）的值为 ； （2）求证：AE=EP ； （3）在AB 边上是否存在点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． （1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠D ， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在Rt △ABE 中，AE= = ， ∵sin ∠BAE==sin ∠FEC=， F E M C B A D ∴=， （2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； （3）答：存在． 证明：作DM⊥AE于AB交于点M， 则有：DM∥EP，连接ME、DP， ∵在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MD EP， ∴四边形DMEP为平行四边形．
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