三角函数复习专题
、核心知识点归纳:
★★★ 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
质
数y sin x y cosx y tanx
图象y L
3 n
' 了T 21
y]
\ 尸2/叩■u_14ro 0\ i F ■
号Viy *
T ■—
定义域R R x x k —,k
2
值域1,11,1R
最值当x 2k - k
2
时，y max 1 ；
当x 2k -
2
k 时，y min 1 .
当x 2k k 时，
y
max
1；
当x 2k
k 时，y min 1 ?
既无最大值也无最小值
周期性22
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调性在2k -,2k 一
2 2
k 上是增函数；在
3
2k —,2k —
2 2
k 上是减函数.
在2k ,2k k
上是增函数；在
2k ,2k
k 上是减函数.
在k 一，k
2 2
k 上是增函数.
对称性对称中心k ,0 k
对称轴
x k —k
2
对称中心
k —,0 k
2
对称轴x k k
对称中心
土,0 k
无对称轴
★★ 2.正、余弦定理： 在 ABC 中有:
b c _ _ —一
2R ( R 为ABC 外接圆半径) sin B sinC
一
a ①正弦定理： ------
sin A
a 2Rsin A
b 2Rsin B
c 2Rsin C
sin A
sin B
sinC
a
2R b
2R c 2R
注意变形应用
②面积公式：
S
ABC
1 1 abssin C acsin B
2 2
2 a .2
2 b c
2bccos A ③余弦定理：
b 2 2
2 a c
2ac cos B
2
c 2
,2
a b
2ab cosC
cosA
b 2 2
2
c a
2bc cosB
2 a 2 2
c b
2ac cosC 2 a 2 2
b c
三、例题集锦：
考点一：三角函数的概念
1.如图，设 A 是单位圆和x 轴正半轴的交点， P 、Q 是
单位圆上的两点，
O 是坐标原点，
AOP 一， AOQ
6
…3 4.
.
(1)右Q(—,—)，求cos — 的值；(2)设函数f
5 5
6 ,
0,
.
I
*
O P O Q ，求f 的值域.
2.已知函数 f(x) J3sin2x 2sin 2x. (I)若点 P(1, J 3)
在角 的终边上，求f ()的值；(口)若x ［一,一］,求f (x)的值域.
6 3
考点二：三角函数的图象和性质 3.函数 f (x) Asin( x ) (A 0,
0,| | ―)部分图象如图所示.(I)求f (x)的最
2
小正周期及解析式; 值和最小值.
(n)设g(x) f (x) cos2x ,求函数g(x)在区间x [0,—]上的最大
-bcsin A 2
2ab
考点三、四、五： 同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换
4. 已知函数 f(x ) sin(2x —) cos 2x . (1)若 f( ) 1,求 sin cos 的值；(2)求 函数f (x)的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心
5. 已知函数 f (x) 2sin xcos x 2cos 2 x
(x R,
0)，相邻两条对称轴之间的距离等于 —.(I)求f (打)的值；(n)当
x
0,—时，求函数f (x)的最大值和最小值及相应的 x 值.
2
2
6、 已知函数 f (x) 2sin x sin(— x) 2sin x 1 (x R).
2
(I )求函数f(x)的最小正周期及函数 f (x)的单调递增区间；
,、皿 x 0 寸2 兀 兀 工 ,,, (□)右 f (—) —
x °
(—,—)求 cos 2冷的值.
2 3 '
4 4'
冗 7 J2
冗 Tt
7、已知 sin(A -) —^— , A (一，一).
4 10 4 2
5 一一 ..........
(n)求函数 f (x) cos2x - sin Asin x 的值域.
2
考点六：解三角形
2sin AcosB sinCcosB cosC sin B . (I)求角B 的大小；(口)设向量m (cos A, cos2A) , n (
小值时，tan(A —)值.
4
9. 已知函数 f (x) <3sin 2 x sin xcosx — x R .
2
(n)若x (0,—)，求f (x)的最大值；(m)
2
1
BC…
f(A) f(B)—,求——的值. 2 AB
10、在^ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c 分，且满足 竺上 ^°^旦.(i ) a cos A 求角A 的大小；(口)若a 2J5,求^ ABC 面积的最大值.
11、 在^ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 b 2+c 2-a 2=bc.
(I)求cosA 的值;
8.已知△ ABC 中, 12
一，1),求当m n 取最
5
在ABC 中，若A B ,
(I)求f (一)的值;
4
(i)求角A的大小；(n )设函数f (x) V3sin — co^X
2 2 ,,
3 ............. ________
值兰时，判断△ ABC的形状.
2
2 X , z …cos w，当f (B)取取大
12、在ABC中，内角A、B C所对的边分别为a,b,c ,已知tan B 1
—,tanC
2
1.
（i）求tan A；（n）求ABC的面积.
13、在ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a ,b ,c，且4sin2^-B
2 cos2C
（i）求角C的大小；（n）求sin A sin B的最大值.
局二文科---二角函数专题1
1.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上，则
4
cos2 =A -
5
时间t 0时，点A的坐标是（二匝），则当0 t
2 2
标y关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（）
A、0,1 B「、1,7 C、7,12 D、0,1 和7,12
4.函数f(x) Asin(wx),(A,w,）为常数，A0, w
f （0）的值是
5.已知函数f (x) A tan( x ) ( > 0, 兀
<
),y
B.[-后,屈
C.[-1, 1]
D.[-乎，季]
14.定义在0,一的函数y=6cosx 图像与y=5tanx 图像的交点为
2
P I ,直线PP I 与y=sinx 的图像交于点 P 2,则线段P 1P 2的长为.
16.如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数
y sin 2x ,
(叫￡]
(B)
E ] -
1
(C) (O
,2]
20.设 sin ( —+
4 7 (A) 一 9
、1
, . 一 )=一，贝U sin2
3
(B)
22.已知 tan(x
17.已知 0,函数 f(x) sin( x
-)在侦，)上单调递减
.则的取值范围是()
如下图，贝U f
24
6.函数f (x)
=sinx — cos(x H ------ )的值域为
8.已知函数f (x) sin(2x
)，其中为实数，若f (x)
恒成立，且f(一)
2
f()，则f(x)的单调递增区间是 (A)
—(k 6 Z)
(B)
(k Z)
(C)
7 (k Z ) 3
(D)
—,k 2
(k Z)
P,过点P 作PP I ±x 轴于点
(D)(0, 2]
(C)
1
(D)
29.在^ ABg,角A 、B C 所对应的边为a,b,c
1 一 一
(1)右 sin( A 一) 2 cos A,求 A 的值；(2)右 cos A - ,b 3c ,求 sin C 的值.
6 3
30.如图，△ ABC 中，AB=AC=2 BC=2j3，点D 在BC 边上，/ ADC=45 ,贝U AD 的长度等于
tan
1 1 1 1
A .-
B.-
C.—
D. 一
5
4
3
2
25.若 tan +
1
=4，贝U sin 2
3
26.已知a 为第二象限角， Sin cos ——，贝U cos2 a =
3
(A)-
.技 3
,、..5 (B )--T -
9
、5 (C)
亏
, 5 (D) v 3
27.若 0
—, 一
0 2 2
,cos (― 4
、1
、 ,3
…
)
3 , cos (嘉项 Y ,则
cos (项
(A)
3
53 、6
(C) = (D)— 9
9
28.设为锐角，若cos
4
一 一，则sin （2a —）的值为 6 5 12
31.在 ABC 中,
内角 A, B, C 所对的边分别是 a,b,c ，已知8b=5c, C=2B ，贝U cosC=
(A)— 25
7
（C ）
云
3
5 使
35.如图，正方形 ABCD 的边长为1 ,延长BA 至E sin CED (
)
3 10 A 、 -----
,5
.5 10
36.在 ABC 中，
10
10
15
角A, B,C 所对边长分别为a,b,c,
AE 24 (
D )云
_ 5 cos B — , b 3 则 c
13
1,连接EC 、ED 则 A.
B.
1 C.-
2
D.
34.设 ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cosA 2
2c ，则cosC 的最小值为（
^2,2
右a b
43.已知函数f (x)
tan(2x 4),
(II )设
0,-，若f 侦)2cos 2 ,求的大小
45.设函数
、2
2
f(x^ — cos(2x —) sin x .
(I)求函数
f(x)的最小正周期；
(II )设函数g(x)对任意x R ,有g(x 一) 2
1
g(x) c f (x)，求函数g(x)在［,0］上的解析式.
g(x),且当 x [0, 一]时，
2
47设 f(x) 4cos( x — )sin x cos2 x,其中 0.
6
(i)求函数y f(x)的值域
(n)若y f ( x)在区间
――上为增函数，求
2 2
的最大值.
(I)求 的值及函数f (x)的值域；
(n)若 8.3 一 10 2
................... ...
f (冷) ------ ，且 x 0 (一, 一)，求 f (x ° 1)的值.
5 3 3
(1)求 A ；
(2)若a 2 , ABC 的面积为J3；求b,c .
37.在人ABC 中，B 60：,AC 龙，则AB 2BC 的最大值为
39.设 ABC 的内角A,B,C 所对的边为a,b,c ；则下列命题正确的是
①若ab c 2 ；则C 一 3
③若a 3 b 3 c 3 ；则C 一
2
2
2
2
2 2
-
⑤若(a b )c 2a b ；则 C —
3
②若a b 2c ；则C 一
3
④若(a b)c 2ab ；则 C 一
2
(I)求f (x)的定义域与最小正周期;
48.函数f(x) 6cos 2业 J3cos x 3(
0)在一个周期内的图象如图所示， A
2
为图象的最高点， B 、C 为图象与x 轴的交点，且 ABC 为正三角形.
52.已知a,b,c 分别为 ABC 三个内角A, B,C 的对边，a cosC J3asin C b c 0
. . .. .................... . 2 53.在 ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知cosA = —, sinB = 必cosC. 3
(H )若a =扼，求 ABC 的面积.
中，角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c.已知
(I )求函数f (x)的最小正周期;
59.已知 ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为 4的等差数列，贝U ABC 的 面积为
60.已知等比数列｛a n ｝的公比q=3,前3项和S 3
(I)求数列｛a ｝的通项公式; 最大值为a3,求函数f (x)的解析式
一， x
63.函数y — 2sin x 的图象大致是
2
CA)
CP) fDl
64.函数f (x) =sin ( x
)的导函数y f (x)的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与
y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
(I )求tanC 的值; 54.在△ ABC
A —, bsin(— 4 4 C) csin( B) a
4
(1)求证:
C — (2)若 a
2
J2，求△ ABC 的面积.
56.已知向量 (cos x sin x, sin x) , b ( cos x sin x, 2J 3 cos x),设函数 f (x) a b (x
R)的图象关于直线x
兀对称，其中
为常数，且
2'1
).
(H)若y f(x)的图象经过点 57.在ABC 中，已知
(-,0)，求函数f(x)在区间［0 A^|
AC 3B^| BC .
,3_勺上的取值范围.
(1)求证：tan B 3tan A ;
(2)若 cosC
—，求A 的值. 5
58.已知△ ABC 得三边长成公比为
72的等比数列, 则其最大角的余弦值为
13 3
(II )若函数 f(x) Asin(2x )(A 0,0
p )在x 一处取得最大值，且
6
(1)若a ,点P的坐标为(°，￥3)，则 ;
(2)求ABC面积
65设ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c, (a b c)(a b c) ac.
(I) 求B
、3 1
(II) 右sin Asin C ------------,求C.
4
66在^ ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a2 b2 c2 J3ab .
(i)求A;
(n )设a J3, S ABC的面积，求S 3cos BcosC的最大值，并指出此时B的值.
67在ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b,c,且
3 cos(A B)cos B sin(A B)sin( A c) -.
(i)求sin A的值;(n)若a 4捉，b 5,求向量B A在BC方向上的投影
68已知函数f(x) sin x a cosx的一个零点是力.
4
(I)求实数a的值；
2 2
(n )设g(x) [f (x)] 2sin x ,求g(x)的单调递增区间.
69 在^ ABC 中，内角A, B,C 所对的边分别为a,b,c，已知sin B(tan A tanC) tan Atan C .
(I )求证：a,b,c成等比数列；
(H )若a 1,c 2 ,求^ ABC的面积S.
三角函数
1、在ABC中，已知内角A —,边BC 2^3.设内角B x,面积为y.
3
(1) 求函数y f (x)的解析式和定义域；
(2) 求y的最大值.
2、已知a= (coos , sin ), b = (coos , sin )，其中0v v v
(1)求证：a + b与a — b互相垂直；
⑵若ka + b与a-kb的长度相等，求一的值(k为非零的常数).
3、已知3sin2― +cos2― =2, (coca?cobs乒0),求tanAtanB 的值。
2 2
5、已知 ABC 中，|AC| 1 , ABC 120L BAC
记 f( ) AB?BC ,
(1) 求f()关于的表达式； A r
(2) 求f ()的值域；
6、已知向量 a (sin(- 一), cos-), b (cos(x —), cos —), x [—,],函数
f (x)
a b .
(I) 若cosx 3，求函数 f (x)的值；
5
(II)
将函数f (x)的图象按向量c= (m,n)(0 m
)平移，使得平移后的图象关于原
点对称，求向量c.
9、在 ABC 中，已知内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c,向量m 2sin B, J 3 ,
2
B .
n cos2B,2cos — 1，且 m//n 。
(I)求锐角B 的大小; 3，最小值为一1，求实数a, b 的值
16、在^ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 bcosC 3acosB ccosB.
(I) 求cosB 的值；
(II) 若BA B C 2,且b 2、核，求a 和c b 的值.
.
丸
21、已知向量 m = sin B, 1 cosB ,向量n = (2, 0)，且m 与n 所成角为 3
其中A 、B 、C 是ABC 的内角。
(1)求角B 的大小；(2)求sin A sinC 的取值范围。
3
26、在^ ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，C= 2A, cos A -,
27
(1)求cosC,cosB 的值；(2)若BA BC ——，求边AC 的长。
2
30、已知△ ABC 的面积为3,且满足0 AB AC 6 ,设AB 和AC 的夹角为 (I)求的取值范围;
2 12
2 12 (II)如果b 2,求 ABC 的面积S ABC 的最大值。
10、已知向量 m
J3acos2x,1 , n 1,b
asin2 x , a,b R ,
集合M
x 2cosx 42 x
2,2
,若函数f (x) mn 在x M 时，取得最大值
(II)求函数f( ) 2sin 2( —) — J3cos2的最大值与最小值.
4
33、已知△ ABC 的面积为3,且0 AB?AC 6,设AB 和AC 的夹角为
(1) 求的取值范围；
(2) 求函数f( ) (sin cos )2 2j3cos 2的最大值和最小值。
(D 试问tan A tanB 是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由; (n)求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状 .
(I )求/ A 的大小；
(口)若AB AC 11,求ABC 的周长.
2
40、如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点, 三角形AOB 为正三角形.
(I)求 sin COA ； (n)求 |BC |2 的值.
45、已知函数 f(x)=4sin 2( —+x)-2 J3cos2x-1 (— x —)
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若不等式f(x) — m|<2恒成立， 求实数m 的取值范围
49、已知函数 f(x) = ?,其中=(sin 3 x + cosw x^3cosw x), = cosw x — sin w x,2sin w x)( w > 0),
一 .................. . 丸 右f(x)相邻的对称轴之间的距离不小于 —.
(1)求3的取值范围；
⑵在△ ABC 中，a,b,c 分别为 A,B,C 的对边，a=V3,b+c = 3,当3最大时，f(A) = 1,求^ ABC 的面积.
. .................. . ........................................................... A A
56、已知角A, B, C 为 ABC 的二个内角，其对边分力U 为 a,b, c ，右m ( cos —, sin —),
2
2
, A . A 1
n (cos —, sin —), a 23，且 m n —.
2 2 2
(1) 若 ABC 的面积S J3，求b c 的值. (2) 求b c 的取值范围.
59、在锐角△ ABC 中，已知内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c,且/T(tanA - tanB)
=1 + tanA - tanB.
(1) 若 a 2— ab = c 2 — b 2,求 A 、B 、C 的大小;
(2) 已知向量 m= (sinA , cosA), n= (cosB, sinB)，求 | 3m — 2n | 的取值范围.
36、已知A B 是^ ABC 的两个内角,
—■
—a
-662
—
■
—a
若
B 2
38、在^ ABC 中，已知BC
5 J3，外接圆半径为5.
A 点的坐标为(3,当,
5 5
62、已知函数 f(x) 2 cos 2 x a sin x cos x, f (百)0
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;
(2)若函数f (x)的图象按向量 m (一, 1)平移后得到函数 g(x)的图象，求g(x )的
6
解析式.
64、设向量 a (1 cos ,sin ),b (1 cos ,sin ), c (1,0),
(0, ),
( ,2 ),
(1)求 tan A tan B 的值; (2)求C 的最大值，并判断此时
ABC 的形状.
(I)求角B 的大小;
(II )若 b vT3, a c 4 ,求^ ABC 的面积.
(I)求角 A. (n)求函数 y 二 2sin 2B — cos
盂c 勺夹角为1,勇啪夹角为 68已知A 、B 、C 为 ABC 的三个内角,
2
,且 1 2
—,求 sin -----
3 2
6B . A B A B 3 尺
问重 a ( --------- sin ------- , cos ------- )，且 |a| _寸5
5 2 2 5 的值。
74、 在△ ABC 中，A(cos x, cos2x), B( 43sin x, cosx), C( ,1),0 x ,若^ ABC
的重心在 y 轴负半轴上，求实数
的取值范围.
76、在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c,若
(I)判断△ ABC 的形状；
(n)若c <2,求k 的值.
AB AC BA BC k(k R).
77、在^ ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，且
cosB cosC
b 2a c
78、已知 ABC 中，a 、b 、c 是三个内角 x 2
cosC 4xsin C 6 0的解集是空集.
(1) 求角C 的最大值； (2) 若 c —,
2
A 、
B 、
C 的对边，关于 x
的不等式
84、在^ ABC 中,
(I )求角A; (H )若 m (0,
ABC 的面积S °J 3,求当角C 取最大值时a
2
.................. tan A 角A , B, C 所对边分别为a , b, c,且1 — 1) , n cosB, 2cos 2号，试求|m n|的最小值.
三个内角为A 、B 、C,向量
b 的值.
2c
b
90、已知锐角△ ABC '二sin A —cosA,1十sin A 是共线向量.
2 一2sin A,cos sin A 与向量
黄的最大值.
96、已知f(x) cos( x )( 0, [0,])是R上的奇函数，其图像关于直线x
1 1_
对称，且在区间[—,—]上是单调函数，求和的值。
4 4
98、已知向量a (1 tanx, 1), b (1 sin 2x cos2x, 3)，记f (x) a b.
(1 )求f(x)的值域及最小正周期；(2)若f _ f _ _ 焰，其中0, _，求角
2 2 4 2