13.4 尺规作图 学习目标： 1.掌握三种尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。 2.通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。 3.激情投入，全力以赴，认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学习兴趣 重点：掌握作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的平分线的作法。 难点：尺规作图的理论依据 导学过程 一.自主学习 预习课本 尺规作图定义： 二．作一条线段等于已知线段。 已知：线段MN ＝a ，求作一条线段等于a. 作法： （1） （2） （3） 三．作一个角等于已知角 已知：∠AOB 求作一个角等于∠AOB. 作法：（1）作 O 1P 1； （2）以O 为圆心，以 作弧， 交 ，交 ； （3）以 为圆心，以 作弧， 交 ； （4）以 为圆心，以 半径作弧，交 ； （5）经过 作 。则 即为所求的角。 O D C B A a M N a M N
想一想：为什么两个角相等？你会证明吗？ 四.做已知角的角平分线 已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线. 作法：（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧， 交OA 于C 点，交OB 于D 点； （2）分别以C 、D 两点圆心，以大于2 1CD 长为半径画弧，两弧相交于P 点； （3）过O 、P 作射线OP ，即为所求作的角平分线. 五.练习（尺规作图） 1.任意画出两条线段AB 和CD ，再作一条线段，使它等于 2.任意画出两个角∠1和∠2，使∠1 > ∠2，再作一个角，使它等于∠1—∠2 3.把下图所示的角四等分 4.已知：线段a 和b(a ＞b) 求作：一个等腰△ABC,使它的腰长等于线段a ，底边长等于b 。 O B A O
解读高斯正十七边形的作法 正十七边形的尺规作法： 步骤1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O 步骤2：在x 轴负半轴上取点N ，使|ON|＝ 41，易知|NB|＝417，以N 为圆心，NB 为半径作弧，交x 轴于F 、F’，易知|OF|＝ 2a ，|OF’|＝2b 步骤3：此时|FB|＝122+?? ? ??a ＝242+a ，以F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于G ，此时|OG|＝2 422++a a ＝c 步骤4：.类似地，|F’B|＝122 +?? ? ??b ＝242+b ，以F’为圆心，|F’B|为半径作弧，交x 轴正半轴于点G’，此时|OG’|＝2422++b b ＝e 步骤5：以|CG’|为直径作圆，交y 轴正半轴于点H ，易知OH 2＝1·e
步骤6：以H 为圆心， 21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点K ，则有|OK|＝222OH OG -??? ??＝222e c -?? ? ??＝242e c -步骤7：以K 为圆心，|KH|＝2 1|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L ，则|OL|＝2 42e c c -+步骤8：取OL 的中点M ，则|OM|＝4 42e c c -+＝cos 172π步骤9：过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17，则Α为正十七边形的第一个顶点，A 2为第二个顶点，A 17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。 正十七边形边长的表达式 在上面得到的一系列等式： a ＝2171+-， b ＝2171--， c ＝242++a a ，e ＝2 42++b b ，cos 172π＝4 42e c c -+中，依次求出c ＝4 17234171-++-，
中考总复习---尺规作图专项训练 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段a . 已知：如图，线段MN. 求作：线段AB，使AB = a . 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 题目三：作已知角的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 题目五：已知三边作三角形。题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β ，线段m .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠ β ,AB=m. 课堂测试
C B A C B A A C B C B 1.如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径. 2.如图，107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) 三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？ 3、过点C 作一条线平行于AB ； 4、过不在同一直线上的三点A 、B 、C 作圆O ； 5、过直线外一点A 作圆O 的切线。 6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹) 7、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． （1 ）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图； （2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； （3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由 . C B A
华师大版数学八年级上册 第13章全等三角形 小结——尺规作图（作三角形） 一、课标依据： 1、利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 二、教材分析： 本节课重在发展学生的空间观念，培养学生的动手操作能力，养成研究生学习的好习惯，为以后利用作辅助线的解几何题的学习打下基础。尺规作图与全等知识相结合，对今后的画图作图有很大的帮助，会利用尺规作图解决实际问题。 尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。 三、学情分析： 学生学习本课前已经有一定的动手操作和口头表达能力。已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，积累了一定的尺规作图的学习经验，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理结合操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。 四、教学目标： 知识与能力： 1、经历尺规作图实践操作过程，训练和提高尺规作图的技能，能根据条件利用尺规作出三角形：已知三边作三角形；已知两角及夹边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、会写出三角形的已知、求作，并能简要叙述作法。 3、能对所作三角形给出合理的解释。 过程与方法： 1、在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据。
2017 年中考复习专题《尺规作图》教学设计 一、教材分析 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，如：七下作三角形，九上作等腰三角形，感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、学情分析 学生在学习中，教材介绍了如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；用尺规作一个角等于已知角；用尺规作线段的垂直平分线学习了作已知角的平分线。学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为复习课的学习奠定了良好的知识基础。 三、教学目标 中考基于“课标”而课标要求了会基本作图，它们是作图的基础，是解决更为复杂的尺规作图的基础。作为一节复习课不但要注重基础的扎实，而且还应注重它的运用。为此，本节课的教学目标是：知识与技能：（1）再认识什么是尺规作图；经历基本作图的复习与巩固；学会利用基本图形作“三边” “两边及夹角” “两角及夹边”三角形；底边和底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形；会作三角形的内切圆（内心）和外接圆（外心）；（2）对尺规基本作图题，能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。过程与方法：经历基本作图的复习与巩固，感受尺规作图的几何意义，规范学生的作图语言，积累一些尺规作图的方法与经验，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。情感、态度与价值观：通过复习尺规作图，进一步加强学生的作图能力，使学生养成良好的动手操作、实践探索、合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点 掌握基本作图，并能利用基本作图解决一些实际问题。 五、教学方法和手段（1）教学方法：练习导引复习法（在练习中导引学生复习，让学生在自主学习中掌握本节学习目标） （2）教学手段：多媒体课件（主要用于扩充课堂容量，加强内容的多方面复习）
高斯与正十七边形 数学就象一棵美丽的星球，他那博大精深、简明透彻的数学美就是他的引力场。许许多多人类的精英被他的引力所吸引，投入他的怀抱为他献出了自己毕生的精力。被誉为“数学王子”的伟大数学家高斯就是其中之一。 高斯是个数学天才，幼年时巧妙地计算1＋2＋3＋…＋100为101×50＝5050的故事几乎尽人皆知。其实，学生日期的高斯不仅数学成绩优异，而且各科成绩都名列前茅。小学毕业后，高斯考了文科学校。由于他古典文学成绩突出，入学后直接上了二年级。两年以后高斯又升入了高中哲学班。 15岁时，高斯在一位公爵的资助下上了大学－卡罗琳学院。在那里，他掌握了希腊文、拉丁文、法文、英文有丹麦文，又学会了代数、几何、微积分。语言学和数学是他最喜爱的两门课程。 18岁时，高斯进入了哥廷根大学深造。这时，高斯面临着一个非常痛苦的选择：是把语言学作为自己的终生事业？还是把数学作为自己的终生事业？两棵下不了决心进行最后的选择。 后来，一次数学研究上的突破改变了两个引力场的均衡。高斯终于下定决心，飞向了数学之星。 事情是这样的，尺规作图是几何学的重要内容之一，从古希腊开始，人们一直认为正多边形是最美的图形，因此，用尺规作图法能够作出哪些正多边形，历来就是一个极具魅力的问 题。到高斯的时代，人们已经解决了边数是n 23?、n 24?、n 25?、n 253??（=n 0,1， 2,3……）的正多边形的尺规作图问题。但是，还没有人能作出正7边形、正11边形、正17边形等等。很多人认为，当边数是大于5的素数时，那样的正多边形是不可以用尺规作图完成的。 高斯一直对正多边形尺规作图问题非常着迷。经过持久地，如醉如痴的思考与画图，于1796年3月30日，19岁的高斯出人意料地作出了正17边形。并且，他把正多边形作图问题与高次方程联系起来，彻底解决了哪些正多边形能作出，哪些正多边形不能作出。他证明 了一切边数形如122+t （=t 0,1，2,3，……）的正多边形都只可以作出，而边数为7、11、14，……的正多边形是作不出的。 正17边形作图问题不仅震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵。他再也无法控制自己，在数学美的巨大引力的作用下，飞向了自己理想的星球－他选择了数学。 从此，高斯的数学成就象喷泉一样涌了出来。他在几乎所有的数学学科中留下了自己的光辉成就，成为伟大的数学家。 高斯直到晚年还十分欣赏使自己走上数学之路的正17边形，对数学美的赞叹与追求伴高斯渡过了他的一生。高斯逝世后，人们按照他的遗嘱，在他的雕像下面建立了一座正17边枎的底座，用他非常欣赏的《李尔王》中的诗句赞美道：“你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身”。
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图 有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、
三角形的尺规作图教学案 课题：三角形的尺规作图 课型：新授课 课程标准： 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 教材分析： 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 学情分析： 学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 学习目标： （1）认识什么是尺规作图； 会利用基本作图作“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”三角形； （2）对尺规基本作图题，能写出已知，求作和作法或口头表述作法，并能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。 学习评价： 通过第一环节，检测目标一的达成 通过第二环节，检测目标二的达成 学习过程： 第一环节：基本作图回顾 活动内容：通过自主学习练习的方式复习尺规作图的四个基本作图。 活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。 活动过程： （1）已知：如图，线段AB A B
求作： :线段A`B`,使得A`B`=AB. 作法与示范： 作法 示范 （1） 作射线A ′C ′； A ′ C ′ （2）以点A ′为圆心，以A B 的长为半径画 弧，交射线A ′C ′于点B ′。A ′B ′就是所作的线段。 A ′ B ′ C ′ 实际教学效果：学生在六年级接触过作一条线段等于已知线段，但是由于相隔时间比较长，所以有一部分同学遗忘，这时通过小组的交流合作，互帮互助，学生在合作中回忆起了作图的步骤，同时也在其中体会到了交流合作的重要性。而在本节课当中，教师应在学生原有水平的基础上，规范学生的解题步骤，使得学生实现从原来的会按顺序作出图来到按照程序化的方式规范作图的转变。 （2）已知： ∠AOB 。 求作： ∠A`O`B` 使∠A`O`B`=∠AOB 。 作法与示范： 第二环节：尺规作三角形 活动内容：通过小组合作练习的方式复习运用尺规作三角形。 作法 示范 （1）作射线O ’A ’ A' O' （2）以点O 为圆心，以 任意长为半径画弧， 交OA 于点C ，交OB 于点D ； D B A C O A' O' （3）以点O ’为圆心，以 OC 长为半径画弧， 交O ’A ’于点C ’； D B A C O A' C'O' （4）以点C ’为圆心，以 CD 长为半径画弧， 交前面的弧于点D ’； D B A C O A' C' D' O' （5）过点D ’作射线O'B ’。 ∠A'O'B' 就是所求作的角。 D B A C O B' A' C'D' O'
课题 1.4三角形的尺规作图课型自学互学展示 学习目标1、能够利用尺规作三角形. 2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性. 3、培养学生实际动手能力和合作、自主探究的能力. 重点根据题目的条件作三角形. 难点探索作图过程. 环节 预设 学法建议课堂设计 自学作三角形的几种方法和情形，然后尝试作三角形饼清楚必须的条件，练习后巩固作角及三角形. 自学课本一、前置作业 1、全等三角形的判定方法有: 2、你都学过哪些尺规作图？ 3、 称为尺规作图. 4、作一条线段等于已知线段. 已知：线段AB. 求作：线段A′B′ ，使A′B′＝AB. A B 5、作一个角等于已知角. 已知：∠AOB. 求作：∠A’O’B’ 使∠A’O’B’＝ ∠AOB.
认真思考充分发挥小组作用 [做一做]： 已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知：线段a，c，∠α． 求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α． 作法与过程： [做一做] 已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知：线段∠α，∠β，线段c. 求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.
已知线段c b a ,,，如何用直尺（没有刻度）和圆规作 ABC 使得c AB b AC a BC ,,(三边符合三角形的条件) a b c 作法：[动脑筋] 你能用尺规作一个等腰三角形，使它的底边长为a ，底边上的高为b 吗？ a b [选一选] 1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）A 、已知三边 B 、已知两边及夹角 C 、已知两角及夹边 D 、已知两边及其中一边的对角 2、以下列线段为边能作三角形的是（ ）A 、2厘米、3厘米、5厘米 B 、4厘米、4厘米、9厘米 C 、1厘米、2厘米、3厘米 D 、2厘米、3厘米、4厘米
步骤一： 给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17/4,y=(-1-根号17/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17/4 y1+y2=(-1-根号17/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
尺规作图一、熟练掌握尺规作图题的规范语言 用直尺作图的几何语言：1. ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 用圆规作图的几何语言：2. ①在××上截取××＝××；；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；. ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；1.已知： 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 一般要保留作图当不要求写作法时，作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.3.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找.痕迹. 作法 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，可见在解作图题不需要写出作法，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，. 时，保留作图痕迹很重要五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .
AB = a . AB，使求作：线段作法： AP；）作射线（1AB=a . AP上截取）在射线（2 AB就是所求作的图形。则线段 题目二：作已知线段的中点。MN. 已知：如图，线段 . MNO是的中点）求作：点O，使MO=NO（即作法：（１）分别以M、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， Q；两弧相交于P， O．（２）连接PQ交MN于就是所求作的ＭＮ的中点。O则点与ＭＮ有何关系？）（试问：PQ 题目三：作已知角的角平分线。，已知：如图，∠AOB ）。（即OP平分∠AOB 使∠求作：射线OP, AOP＝∠BOP 作法： 1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，（；，N分别交OA，OB于M、Ｎ为圆心，大于（2）分别以M 内于Ｐ；的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 。（3）作射线OP 则射线OP 就是∠AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。MON（如图1）．求作一 个角等于已知角∠
学习内容尺规作图 学习目标 1.了解尺规作图的意义. 2.了解基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知角 的角平分线，并能掌握基本骤. 3.会解尺规作图题，会写已知、求作和作法，能掌握准确的作图语言. 学习重点作图的步骤。 学习难点掌握准确的作图语言。 导学过程复备栏【设问导读】 活动1：阅读课本第81-83页中间内容，并解决下面问题. 1．只用作几何图形的方法, 称为尺规作图. 2．尺规作图时，直尺用来画、和，圆规用来 画圆和. 3．根据下面图形填空.（1）连接AB两点；（2）延长线段AB到点C，使 BC= ⑶在射线AM上截取AB= ；⑷以点O为圆心，以m为画 弧交OA，OB分别于C，D. 4.已知线段MN,作一条线段AC=MN 的步骤是: 第一步: ___________________________, 第二步:__________________________,AC就是所要作的线段. 5.已知∠AOB,作一个∠A′O′B′=∠AOB的步骤: 第一步:_________________________; 第二步: _________________________;
第三步:_____________________; 第四步:__________________________; 第五步:_______________________________________. 所以∠A′O′B′就是所作的角. 图5 图6 图7 6.如图6,所作的是∠AOB的平分线OC,根据图中的作图痕迹, 可知其作图的步骤是: 第一步: _________________________________________________ 第二步: _________________________________________________ 第三步: ___________________________________________ ⑵证明：如图7，连结EC、DC， 7.把∠AOB四等分步骤:⑴:先把∠AOB_______等分;⑵:把得到的两个角分别再______等分. 【自学检测】 1、(1) 在直线AB上截取AC,使它等于射线OD.( ) (2) 作直线OC平分∠AOB.( ) (3) 以点O为圆心作弧.( ) (4) 以OC为半径画弧.( ) (5) 在线段AB上截取AC=a ( ) (6) 经过已知角的内部一点作角的平分线.( )
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的 表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释
2019版七年级数学上册第一章三角形1.4三角形的尺规作 图导学案鲁教版五四制 学习目标： 在给出的两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。 学习方法：自主探究与小组合作交流相结合． 学习重难点：利用三角形的全等解决问题 学习过程： 模块一预习反馈 一、学习准备 （1）回忆判定全等三角形的方法有_______、______、______、______。 （2）尺规作图时，用_______画直线、射线和线段,用________画弧或圆. 二、教材精读 1.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知：线段a，c，∠α。求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。 作法与过程： ①作一条线段BC=a； ②以B为顶点，为一边，作角∠DBC= ； ③在射线上截取线段BA= ； ④连接，ΔABC就是所求作的三角形。 2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知：线段∠α，∠β，线段c 。 求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 作法：①作___________=∠α； ②在射线_____上截取线段________=c；
③以____为顶点,以_______为一边,作∠____=∠β, _______交______于点______.ΔABC就是所求作的三角形. 3.已知三角形的三边,求作这个三角形. 已知：线段a，b，c。求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a。 作法：（1）作一条线段BC=a； （2）分别以B，C为圆心，以 c，b为半径画弧，两弧交于A点 （3）连接AB,AC。 △ABC就是所求作的三角形 模块二合作探究 1.已知∠α和∠β、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β，且∠α的对边等于a。 (提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ。由此转换成已知∠β和∠γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。) 作法：1、 2、 3、 4、 5、 △ABC就是所求作的三角形 模块三形成提升 1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，第一步应为（）
步骤一： 给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA， 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点， 再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。 连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
课题：《尺规作图》 课题：《尺规作图》教学设计 【课标要求】 ①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。 ②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 ③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。 ④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。【教材分析】 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，如：七下作三角形，九上作等腰三角形，感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 【学情分析】 学生在七年级上册的学习中，教材（139页）介绍了如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；在七年级下册的学习中，教材（77页）学习了用尺规作一个角
等于已知角；九年级上册（27页）学习了用尺规作线段的垂直平分线、（34页）学习了作已知角的平分线。学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为复习课的学习奠定了良好的知识基础。 【教学目标】 中考基于“课标”而课标要求了四个基本作图，它们是作图的基础，是解决更为复杂的尺规作图的基础。作为一节复习课不但要注重基础的扎实，而且还应注重它的运用。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）再认识什么是尺规作图；经历四个基本作图的复习与巩固；学会利用基本图形作“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”三角形；底边和底边上的高作等腰三角形；会作三角形的内切圆（内心）和外接圆（外心）； （2）对尺规基本作图题，能写出已知，求作和作法或口头表述作法，并能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。 过程与方法：经历四个基本作图的复习与巩固，感受尺规作图的几何意义，规范学生的作图语言，积累一些尺规作图的方法与经验，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 情感、态度与价值观：通过复习尺规作图，进一步加强学生的作图能力，使学生养成良好的动手操作、实践探索、合作交流的学习习惯。 【教学重点、难点】 （1）教学重点：四个基本作图的运用，画图，写出尺规作图的作法。 （2）教学难点：画图，写出尺规作图的作法，尺规作图的应用。 【教学方法和手段】 （1）教学方法：练习导引复习法（在练习中导引学生复习，让学生在自主学习中掌握本节学习目标） （2）教学手段：多媒体课件（主要用于扩充课堂容量，加强内容的多方面复习）【使用教材的构想】 以教材中所涉及的尺规作图为主要训练题型，以近三年的中考题加以应用拓展，充分调动学生的学习主动性，在动手实践、合作交流中对知识进行梳理，以达到本节复习目标。 【教学流程设计】 本节课教学设计了六个环节：第一环节基本作图回顾，第二环节尺规作三角形，第三环节与圆有关的尺规作图，第四环节知识应用与拓展，第五环节课时小结，第
初中基本尺规作图总结与典型例题 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
1.3.1尺规作图 一、学习目标： 1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。 2、通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力。 3、通过画图，培养学生的作图能力及动手能力 二、学习重难点： 重点：会作一个角等于已知角 难点：熟练掌握相等角的作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。 探究案 三、合作探究 学生阅读教材，并回答问题： （1）什么是尺规作图？ （2）什么是基本作图？ 一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，前面我们学过的用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面我们将再学习一种新的基本作图。 议一议： 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。 作法： (1)作射线O′A′. (2)以点 ___为圆心，以 ____ 为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D. (3)以点 _____为圆心，以 ____长为半径画弧，交O′A′于点C′.
(4)以点 _____为圆心，以 _____长为半径画弧，交前面的弧于点D′. (5)过点D′作射线 ______ ∠A′O′B′就是所求作的角. 想一想： 通过以上作图过程。你能证明∠A′O′B′=∠AOB吗？如何验证?(小组交流) 随堂检测 1．尺规作图的画图工具是( ) A．刻度尺、圆规 B．三角板、量角器 C．直尺和量角器 D．无刻度的直尺和圆规 2.下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是( ) A.已知腰和底边，求作等腰三角形 B.已知两条直角边，求作直角三角形 C.已知高，求作等边三角形 D.已知腰长，求作等腰三角形 3.利用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，那么说明∠A’O’B’=∠AOB的依据是。 4.如图，已知∠α和∠β(∠α>∠β).求作∠AOB，使∠AOB=2∠α-∠β