高考数学――概率统计专题复习学案（精品推荐）【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．
【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】
题型1 抽样方法
【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999
-〕中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是〔〕
A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对
分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样．
解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．
点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．〔2〕系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；
④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体．
例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔〕
A．24B．18C．16D．
分析：依照给出的概领先求出x的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．
解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380
x=?=，如此一年级和二年级学生的总数是3733773803701500
+++=，三年级
学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是
64
50016
2000
?=．答案C．
点评：此题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析咨询题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为动身点考查随机抽样和分层抽样的知识．
例3．〔2018江苏泰州期末第2题〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并依照所得数据画了样本的频率分布直方图〔如以下图〕．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面
的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在[)2500,3500〔元〕月收入段应抽出 人．
分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．
解析：依照图能够看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是
()0.00050.00035000.4+?=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000?=，
故抽取25人．
点评：此题把统计图表和抽样方法结合起来，要紧目的是考查识图和运算能力．
题型2统计图表咨询题 例4〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第2题〕从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情形进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：假设某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，那么该班学生中能报A 专业的人数为
A ．10
B ．20
C ．8
D ．16
分析：依照图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．
解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++?=，人数为0.45020?=．
点评：在解决频率分不直方图咨询题时容易显现的错误是认为直方图中小矩形的高确实是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．
例5 〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题〕某篮球运动员在一个赛季的40场竞赛中的得分的茎叶图如下图，那么这组数据的中位数是 ；众数是 ．
分析：依照茎叶图和中位数、众数的概念解决．
解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个〔或是最中间两个数的平均数〕，故从茎叶图能够看出中位数是23；而众数是样本数据中显现次数最多的数，故众数也是23．
点评：一表〔频率分布表〕、三图〔频率分布直方图、频率折线图、茎叶图〕、三数〔众数、中位数、众数〕和标准差，是高考考查统计的一个要紧考点．
例5〔2018高考广东文11〕为了调查某厂工人一辈子产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，
[)85,95由此得到频率分布直方图如图，那么这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．
分析：找出频率即可．
解析： ()200.0400.00251013?+?=????．
点评：此题考查频率分布直方图，解题的关键是明确那个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．
题型3 平均数、标准差〔方差〕的运算咨询题
例6 〔2018高考山东文9〕从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，那么这100 人成绩的标准差为〔 〕
A 3
B 210
C ．3
D ．85
分析：依照标准差的运算公式直截了当运算即可．
解析： 平均数是5204103302301103100
?+?+?+?+?=， 标准差是 ()()()()()22222205310433033302310131008010304082101005s ?-+?-+?-+?-+?-=+++===．
答案B ．
点评：此题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确明白得统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清晰，解答并不困难．
例7．〔中山市高三级2018—2018学年度第一学期期末统一考试理科第9题〕假设数据123,,,
,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，那么数据12331,31,31,
,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方
差为 ．
分析：依照平均数与方差的性质解决．
解析：16,18
例8．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第3题〕如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分不为
A ． 84，4.84
B ．84，1.6
C ． 85，1.6
D ．85，4
解析：C
题型4 用样本估量总体
例8〔2018高考湖南文12〕从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情形如下表所示：
那么该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．
解析：60 由上表得23211500023060.500
-?=?= 点评：考查样本估量总体的思想．
题型5．线性回来分析
例9．〔2007高考广东〕下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 〔吨〕与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对比数据
3
6
2.5
4.5〔1〕请画出上表数据的散点图；
〔2〕请依照上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回来方程y bx a =+；
〔3〕该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试依照〔２〕求出的线性回来方程，推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
分析：此题中散点图好作，此题的关键是求y 关于x 的线性回来方程y bx a =+，它既能够由给出的回来系数公式直截了当运算，也能够遵循着最小二乘法的差不多思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．
解析：
〔1〕散点图如右；
〔2〕方法一：设线性回来方程为y bx a =+，那么
2222
22222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-
∴79 3.5 4.52
b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-， 即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．
因此线性回来方程为0.70.35y x =+．
方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -??-===
==-? 93.50.70.352
a =-?=，因此线性回来方程为0.70.35y x =+． 〔3〕100x =时，0.70.3570.35y x =+=，因此推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
点评：此题考查回来分析的差不多思想．求线性回来方程的方法一这实际上是重复了回来系数公式的
推导过程，那个地点的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而那个时候，当13336172
a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就能够解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回来系数的运算公式，一样考试中都会给出那个公式，但要注意各个量的运算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估量值，不是完全确定的值．关于此题我们能够运算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这讲明x ，y 具有专门强的线性相关性，讲明讲明变量对预报变量的奉献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感受是十分符合的．此题容易用错运算回来系数的公式，或是把回来系数和回来常数弄颠倒了．
例10．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试第17题〕为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一时期的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7
〔1〕他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的证明；
〔2〕该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，假设该生的物理成绩达到115分，请你估量他的数学成绩大约是多少？并请你依照物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
分析：成绩的稳固性用样本数据的方差判定，由物理成绩估量数学成绩由回来直线方程解决．
解析：〔1〕12171788121001007
x --+-++=+
=； 69844161001007
y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22
S S >数学物理，因此物理成绩更稳固．
〔2〕由于x 与y 之间具有线性相关关系，依照回来系数公式得到 497??0.5,1000.510050994
b a ===-?=， ∴线性回来方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳固性，将有助于物理成绩的进一步提高．
点评：?考试大纲?在必修部分的统计中明确指出〝①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能依照给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程〞．2007年广东就以解答题的方式考查了那个咨询题，在复习备考时不可掉一轻心．
题型6 古典概型与几何概型运算咨询题
例11 〔2018高考江苏2〕一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．
分析：枚举差不多事件总数和随机事件所包含的差不多事件的个数后，依照古典概型的运算公式运算． 解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，差不多事件的总数是36，故那个概率是31369
=．或是数形结合处理．
点评：古典概型的运确实是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性咨询题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的运算．
例12．〔2018年福建省理科数学高考样卷第4题〕如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，那么该点落到圆内的概率是
A ．4π
B ．4π
C ．44π-
D ．π
分析：确实是圆的面积和正方形面积的比值．
解析：依照几何概型的运算公式，那个概率值是4
π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一样有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率运算一起进行综合考查．
例13．〔2018高考山东文18〕现有8名奥运会理想者，其中理想者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的理想者各1名，组 成一个小组． 〔1〕求1A 被选中的概率；
〔2〕求1B 和1C 不全被选中的概率．
分析：枚举的方法找出差不多事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的运算公式解决．
解析：〔1〕从8人中选出日语、俄语和韩语理想者各1名，其一切可能的结果组成的差不多事件空间
Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，
231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
由18个差不多事件组成．由于每一个差不多事件被抽取的机会均等，因此这些差不多事件的发生是等可能的．
用M 表示〝1A 恰被选中〞这一事件，那么M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，，
122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
事件M 由6个差不多事件组成，因而61()183
P M ==． 〔2〕用N 表示〝11B C ，不全被选中〞这一事件，那么其对立事件N 表示〝11B C ，全被选中〞这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，}，事件N 有3个差不多事件组成， 因此31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166
P N P N =-=-=． 点评：此题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、〝正难那么反〞等数学思想方法，考查分析咨询题解决咨询题的能力．
题型7 排列组合〔理科〕
例14．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第9题〕由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,那么19a =
A ．2014
B ．2034
C ．1432
D ．1430
分析：按照千位的数字查找规律． 解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即
2014，答案A ．
例15．〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题〕有3张都标着字母A ，6张分不标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，假设任取其中6张卡片组成牌号，那么能够组成的不同牌号的总数等于 ．〔用数字作答〕
分析：由于字母A 是一样的，没有区不，故能够按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．
解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =?=；含两个字母A 时，
24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=． 点评：解决排列、组合咨询题的一个差不多原那么确实是先对咨询题分类、再对每一类中的咨询题合理地分步，依照排列组合的有关运算公式和两个差不多原理进行运算．
题型8 二项式定理〔理科〕
例15．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第12题〕
1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如下图，那么实数a 的值为___________．
分析：依照点列的图能够明白012,,a a a 的值，即能够通过列方程组解决．
解析：由图123,4a a ==，又依照二项展开式113n n
a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13
a =． 点评：此题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的咨询题，解决咨询题的差不多动身点是方程的思想．
例16〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第4题〕
假设23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，那么5a 等于
A ．56
B ．56-
C ．35
D ．35- 分析：依照展开式的系数之比求出n 值．
解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．
点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区不，不把符号弄错了．
题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差〔理科的重要考点〕
例17．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第19题〕在一个盒子中，放有标号分不为1，2，
3的三张卡片，现从那个盒子中，有放回．．．
地先后抽得两张卡片的标号分不为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．
〔1〕求随机变量ξ的最大值，并求事件〝ξ取得最大值〞的概率；
〔2〕求随机变量ξ的分布列和数学期望．
分析：依照对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量能够取那些值，然后依照其取这些值的意义，分不运算其概率．
解析：〔1〕x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，
3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．
有放回抽两张卡片的所有情形有933=?种，9
2)3(==∴ξP ．
〔2〕ξ的所有取值为3,2,1,0．
0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情形，
1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情形，
2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情形．
91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，9
2)2(==ξP ． 那么随机变量ξ的分布列为：
因此，数学期望9
93929190=?+?+?+?=ξE ． 点评：有放回的〝取卡片、取球〞之类的咨询题，其差不多事件的总数要由分步乘法计数原明白得决，这是一类重要的概率模型．
例18．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试加试第4题〕某次乒乓球竞赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，竞赛采纳五局三胜制，按以往竞赛体会，甲胜乙的概率为23
． 〔1〕求竞赛三局甲获胜的概率；
〔2〕求甲获胜的概率；
〔3〕设甲竞赛的次数为X ，求X 的数学期望．
分析：竞赛三局甲即指甲连胜三局，能够按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式运算，也能够将咨询题归结为三次独立重复试验，将咨询题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，能够分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲竞赛的次数也确实是本次竞赛的次数，注意当三局就终止时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．
解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，
〔1〕竞赛三局甲获胜的概率是：333328()327
P C ==
； 〔2〕竞赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327
P C ==； 竞赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381
P C ==； 甲获胜的概率是：3456481
P P P ++=． 〔3〕记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．
333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；
()P X 33'P P + 44'P P + 55'P P +
因此甲竞赛次数的数学期望是：
1882168107()3()4()5()27272727818127
E X =?++?++?+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为差不多考查点的概率试题，但那个地点又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类竞赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．
题型11 正态分布
例19.〔2018高考湖南理4〕设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,假设(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,那么c = ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
分析：依照正态密度曲线的对称性解决．
解析：B 依照正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122
c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．
例20〔2018高考安徽理10〕设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函
数图像如下图．那么有
A ．1212,μμσσ<<
B ．1212,μμσσ<>
C ．1212,μμσσ><
D ．1212,μμσσ>>
分析：依照正态密度曲线的性质解决．
解析：A 依照正态分布),(2
σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．
点评：考试大纲对正态分布的要求是〝利用实际咨询题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义〞，那个考点多次显现在高考试卷中． 【专题训练与高考推测】
文科部分
一、选择题
1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，通过适当的时刻后，再从池中捕得100条鱼，
假设其中有记号的鱼为10条，试估量鱼池中共有鱼的条数为 〔 〕
A ．1000
B ．1200
C ．130
D ．1300
2．x 与y 之间的一组数据： x 0 1 2
3
y 1 3 5 7
那么y 与x 的线性回来方程为y a bx =+必过点
〔 〕
A ．()2,2
B ．()1.5,0
C ．()1,2
D ．()1.5,4 3．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，假设采纳下面的方法选取：先用简单随机抽样从
2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，那么每人入选的概率
〔 〕
A ．不全相等
B ．均不相等
C ．都相等，且为200750
D ．都相等，且为40
1
4．依照某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%．现
有一血液为A 型病人需要输血，假设在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为
〔 〕
A ．15%
B ．20%
C ．45%
D ．65%
5．4张奖券中只有1张能中奖，现分不由4名同学无放回地抽取．假设第一名同学没有抽到中奖券，那么
最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 〔 〕
A ．14
B ．13
C ．12
D ．1 6．有如下四个游戏盘，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，那么可中奖．小明期望中奖，他应选择的游戏盘
是 〔 〕
二、填空题 7．归直线方程为0.50.81y x =-，那么25x =时，y 的估量值为 ．
8．假设由一个2*2列联表中的数据运算得2
4.013K =，那么有 把握认为两个变量有关系．
9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采纳
分层抽样的方法进行抽样，甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，那么乙生产线生产了 件产品．
10．如图：M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，那么弦MN 的
长度超过2R 的概率是 ．
三、解答题
11．一个质地平均的正方体玩具的六个面上分不写着数字1,2,3,4,5,6，现将那个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分不为,a b ，曲线:
1x y C a b
+=． 〔1〕曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；
〔2〕曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．
12．某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表： 年收入x 〔万元〕 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支出y 〔万元〕 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
〔1〕依照表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；
〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．
理科部分
一、选择题
1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()22
2f x x bx a =++有两相异零点的概率是
〔 〕 A ．16 B ．14 C ．13 D ． 12
2．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分不为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，那么y 与x 的线性回来方
程可能是
〔 〕 A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+
D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．炸
中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，那么军火库发生爆炸的概率是 〔 〕
A ． 0.006
B ．0.4
C ． 0.5
D ． 0.6
6．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，
然后把两数相加得和，那么取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是
〔 〕
A ．1649
B ．1549
C ．27
D ．1349
7．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发觉该场地内共落有300片
树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据能够估量出草坪的面积约为
〔 〕
A ．2768m
B ．21632m
C ．21732m
D ．2
868m
8．6名同学报考,,A B C 三所院校，假如每一所院校至少有1人报考，那么不同的报考方法共有
〔 〕
A ．216种
B ．540种
C ．729种
D ．3240种
二、填空题
9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽
取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ．
10． 5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11． 假设2x =，那么50(1)x +展开式中最大的项是 项．
三、解答题
13．甲、乙两运动员进行射击训练，他们击中的环数都稳固在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不阻碍．射
击环数的频率分布条形图如下：
假设将频率视为概率，回答以下咨询题．
〔1〕求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；
〔2〕假设甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分
布列及E ξ．
15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：
〔1〕有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列；
〔2〕不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．
16
〔1〕依照表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；
〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．
【参考答案】
文科部分
1．解析：B 依照用样本估量总体的思想，池中有记号的鱼的频率是
110，故鱼池中鱼的条数是1200条． 4．解析：D 过样本中心点．选D ．
7
．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是2007
50． 8．解析：D 只有O 型和A 型，依照互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1
张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是
13． 10．解析：A 选择游戏盘的原那么是中奖的概率大，A 中中奖的概率是
38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π
，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69?-=
12．解析：95%
15．解析：差不多事件的总数是．
〔1〕,a b 1≤，即22
111a b +≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个差不多事件，故所求的概率是1136
； 〔2〕曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，差不多事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369
=．
16．解析：〔1〕由题意知，年收入x 为讲明变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图〔如下图〕．
从图中能够看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此能够用线性回来方程刻画它们之间的关系．
6x =∵， 1.83y =，102
1406i i x ==∑，102135.13i
i y ==∑，10
1117.7i i i x y ==∑， 0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-?=．
从而得到回来直线方程为0.1720.798y x =+．
〔2〕0.17290.798 2.346y =?+=万元．
理科部分
1．解析：D 依照题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知那个概率为12
． 2．解析：A 线性回来直线一定过样本中心点()2.5,3.5，应选A ．
3．解析：D 设A B C ，，分不表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．那么()0.2P A =，()0.3P B =，
()0.1P C =．设D 表示〞军火库爆炸〞，那么D A B C =．又A
B C ，，∵彼此互斥， ()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．
4．解析：A 差不多事件总数为7749?=个，而满足条件的差不多事件个数为16个：
(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，． 故所求事件的概率为1649
．
5．解析：B 依照随机模拟的思想，能够认为树叶落在该场地上是随机的，如此椭圆草坪的面积和整个矩
形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比． 23009660401632()300
m -??=． 6．解析：B 先将6名同学分成()()()1,1,4;1,2,3;2,2,2三组，再分配到三所院校．其中()()
1,1,4,2,2,2涉及到平均分组，注意考虑分组的专门性．540!3121
332224262336111246=??
? ??++A C C C C C C C C ，选B ． 7．解析：二 2，80、60、50 总体人数为400302250952++=〔人〕，∵9525190=……余2，400805
=，3022605-=，250505
=，∴从高二年级中剔除2人，因此从高一，高二，高三年级中分不抽取80人、60人、50人．
8．解析：6322 5101(2)(22x x x x
++=+，其展开式的第1r +项为10101022211010()(22r r r r
r r r r x T C C x x
----+==，令10022r r --=，那么5r =，即展开式中的常数项是第6项，该项的值为55
21063222
C -=632． 9．解析：30 设第1r +项为1r T +且最大，那么有115050*********(2)(2)29(2)(2)
r r r r r r r R r r r r C C T T r T T C C --+++++??????=??????≥≥≥≥． ∴50(1)x +展开式中第30项最大．
10． 解析一：
〔1〕甲运动员击中10环的概率是：10.10.10.450.35---=
设事件A 表示〝甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)〞，那么()0.350.450.8P A =+=．
事件〝甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上〞包含三种情形：
恰有1次击中9环以上，概率为()()12
1130.810.80.096P C =-=；
恰有2次击中9环以上，概率为()()212230.810.20.384P C =-=·
； 恰有3次击中9环以上，概率为()()303330.810.80.512P C =-=·． 因为上述三个事件互斥，因此甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率1230.992P P P P =++=．
〔2〕记〝乙运动员射击1次，击中9环以上〞为事件B ，那么()10.10.150.75P B =--=．
因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，因此ξ的可能取值是0,1,2．
因为()20.80.750.6P ξ==?=；
()()()10.810.7510.80.750.35P ξ==?-+-?=；
()()()010.810.750.05P ξ==-?-=． 因此ξ的分布列是
因此00.0510.3520.6 1.55E ξ=?+?+?=．
解析二：
〔1〕设事件A 表示〝甲运动员射击一次，恰好命中9环以上〞(含9环，下同)，那么()0.350.450.8P A =+=．
甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为 ()3
00030.810.80.008P C =?-=·． 因此甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率010.992P P =-=．
〔2〕同解析一．
11．解析：〔1〕有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3．又由于每次取到黑球的概率均为
15，3次取球能够看成3次独立重复试验，那么1~35X B ?? ???
，． 03
31464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴；
121
31448(1)55125P X C ????==
?= ? ?????；21231412(2)55125P X C ????==?= ? ?????；30
33141(3)55125P X C ????==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 64125 48125 12125 1125
〔２〕不放回抽样时，取到的黑球数Y 可能的取值为0,1,2，且有：
03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15
C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为
Y 0 1 2
P 715 715 115
12．解析：〔1〕由题意知，年收入x 为预报变量，作散点图〔如下图〕．
从图中能够看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此能够用线性回来方程刻画它们之间的关系．
6x =∵， 1.83y =，1021406i i x ==∑，102135.13i i y ==∑，101117.7i i i x y ==∑，
0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-?=．
从而得到回来直线方程为0.1720.798y x =+．
〔2〕0.17290.798 2.346y =?+=万元．
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?
第十三章概率与统计本章知识结构图
第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.
()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的
全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
第16讲概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ． 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对 立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的 概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中 两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰 好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指 两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个 事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关 系是根本不同． 解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独 立， 则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次， 求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用
18题-高考数学概率与统计知识点
高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结
的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的 分布列如下： 称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n (3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性 高三数学概率统计知识 点归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题． 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标 题高考数学概率与统计 知识点 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8 高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 2.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值 i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 为随由概 率的性质可知，任一离散型随机变量的 分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 2017年高考数学—概率统计（解答+答案） 1.（17全国1理19．（12分）） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． 用样本平均数x 作为μ的估计值?μ ，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2 (,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.09≈． 2.（17全国1文19．（12分）） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212 s ==≈，18.439≈，16 1 ()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑， 其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． （1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()() n i i x x y y r --= ∑， 0.09≈． 大题专项：统计与概率问题 一、解答题 1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解：(1)由已知,有P (A )= C 22C 32+C 32C 3 2C 8 4=6 35. 所以,事件A 发生的概率为6 35. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )= C 5k C 3 4-k C 8 4(k=1,2,3,4). 所以,随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望E (X )=1×1 14+2×3 7+3×3 7+4×1 14=5 2. 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,用“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D (ξ1),D (ξ2),D (ξ3),D (ξ4),D (ξ5),D (ξ6)的大小关系. 解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A , 第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P (A )=50 140+50+300+200+800+510=50 2 000=0.025. 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质 ?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ． [解答过程]1 . 20提示: 51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热 反应的概率为__________.（精确到0.01） [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力. [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为 33244555550.800.200.800.200.800.94 C C C ??+??+?=. 故填0.94. 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……， ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 鑫榜教育概率与统计（理） 江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______ 安徽理（20）（本小题满分13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超 过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p , p , p ，假设p , p ,p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立. （Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q ，其中q,q ,q 是p,p , p的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （Ⅲ）假定p p p ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达 到最小。 北京理17．本小题共13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。 （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果X=9 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。 12 2 2 （注：方差s2x1 x x2 x K x n x ，其中x为x1，x2，??x n的平均数） n 福建理13．盒中装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球3 个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2 个球颜色不同的概率等于__________ 。 福建理19．（本小题满分13 分）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数X 依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准 A ，X≥为标准B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数X1 的概率分布列如下所示： x15678 P0．4a b0．1 且X1 的数字期望EX1=6，求 a，b 的值； II ）为分析乙厂产品的等级系数X2 ， 从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据 如 下： 3533855634 6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2 的数学期望． III ）在（I）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 专题十二概率统计大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年的全国新课标1理数试卷，发现8年8考，每年1题．以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，位置为18题或19题，难度为中档题.2019年仍将以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，难度仍为中档题. （二）历年试题比较： 的最大值点 ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 个零件中其尺寸在 ．是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ． ，确定 y w 8 2 1 () i i x x =-∑ 6 3 （Ⅰ）根据散点图判断，y=a 二乘估计分别为：测量这些产品的一项质量指标值， 区间 ， 作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 【解析与点睛】 （2018年（20）【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此 . 的最大值点为 （2）由（1 （i180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即 所以 . （ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. . 点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. （2017年）【解析】 试题分析：（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在 （ii ）由 ，得μ的估计值为?9.97μ =，σ的估计值为?0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 ，因此μ的估计高三数学概率统计知识点归纳
题 高考数学概率与统计知识点
2017年高考数学—概率统计(解答+答案)
2020高考理科数学大题专项练习：统计与概率问题
高考数学概率与统计知识点
高考数学概率与统计(理科)部分分类汇编
高考数学复习+概率统计大题-(理)
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