我国人口总量和结构的中长期预测模型
摘要
近年来，由于计划生育政策的实施和人民生育观念的改变，我国人口出现了总量减少、老龄化、性别比例失衡等问题，如何适时调整我国的人口政策已成为国家的重要课题。本文运用差分方程的思想，围绕是否及何时全面放开二胎对我国未来人口总量和人口的老龄化水平、性别比例产生的影响建立了按年龄分组的离散人口模型，并由此对国家的人口政策给出了合理化建议。
针对问题一，考虑到人口主要由妇女的生育情况决定，以及不同的年龄结构对未来人口的较大影响，在分析近几年我国人口数据后，将人口按年龄每5岁划分为一个年龄组，相应地，年份的也每5年划分为一个时段，然后根据近几年自然增长率数据，首先对2015年各个年龄组的人口做出预测，之后提出生育模式的概念，表示生育率按年龄的分布情况，并进行曲线拟合，建立了基于Leslie 矩阵的人口预测模型，计算当前总和生育率约 1.22，代入模型，运用迭代法求解。对未来30年我国的人口总量和结构进行了预测。得出保持当前生育情况不变，我国人口总量在未来30年将持续减少，并在2045年减少到10.3亿，人口老龄化加剧，性别比例失衡有所缓解的结论。
针对问题二，通过对我国城镇化水平和国民收入情况的分析，估算出放开二胎后的总和生育率约为1.9，在模型一的基础上，通过改变总和生育率和人口的初始分布，建立了2016年和2020年放开二胎后的按年龄分组的人口模型，并进行对比，发现方案一（2016年放开二胎）到2045年人口总量约11.1亿，方案二（2020年放开二胎）则30年后约为10.5亿，两种方案老龄化水平、性别失衡情况均优于政策未调整时的情况，其中方案一对人口老龄化修复效果更好，方案二对性别比例失衡修复效果较好。
针对问题三，在问题一、二的基础上对未来我国的劳动力数量进行预测，并提出国家综合考虑经济、人口老龄化、性别比例、社会稳定的影响，尽早逐步放开二胎的建议。
关键词：人口预测，二胎政策，年龄结构，Leslie矩阵，差分方程模型，总和生育率
一、问题重述
1.1引言
我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响。人口问题也是我国的根本问题。我国由于人口基数大，国家实施了计划生育的政策，虽说人口的自然增长率较之前有一定的降低，人口的递增速度也有所减缓。但是，近年来，我国人口面临着人口总量减少，老龄化进程加速,出生人口性别比严重失调，等不良现象。
1.2问题的提出
问题一：利用现有的相关人口统计数据，在当前生育政策实施的情况下，通过建立数学模型来研究我国人口在结构及数量上在近阶段的变化情况，并对其未来情况进行一定的预测，以适应整个中国国情与经济的形势。
问题二：为了解决上述人口结构的一些的问题，我们也还得考虑如何对该政策进行一定的改变，如是否何时全面放开二胎，来改善我国人口老龄化，男女比例失调等现象。从而使我国人口向一个比较乐观的方向发展。
问题三：考虑劳动力数量的变化对是否及何时全面开放二胎政策进行讨论，给出人口政策建议。
二、问题分析：
2.1 关于人口数量与结构的分析
随着人们生活水平和社会医疗水平的提高，我国人口的平均寿命显著变长。在人口的数量和结构上
从表一中，我们可以看出，自2002年实施计划生育以来，我国人口变化有如下特点：
○1人口的数量持续增加，到2013年底，我国的人口达到13.6亿，这与我国的人口基数大这一点是分不开的。
○2我国的老年人比重逐渐增加，少儿的比重逐渐降低，而总抚养比重却出现降低，这充分说明了我国人口老龄化但劳动人口增加的现象。
所以，在本文中，我们将通过2013年的人口数量及结构的相关数据，基于Leslie模型【2】，结合中国当今的人口情况，对其作一定的改进与分析，最终对未来时间的人口数量以及年龄结构进行一定的预测与分析。
2.2 二胎政策相关问题的分析
所谓二胎政策，是指农村户口的话，头一抬是女的就可以生第二胎，但是前提条件是年满28周岁的夫妇，否则两胎要相隔四年才能生第二胎，如果头一抬是男的，无论是什么户口，则只能生一胎。
所以，如果考虑是否需要全面实施二胎政策，则需要我们从原来的计划生育政策中改变一定的条件，也即是要我们探究在基本保持人口增长速度保持较慢的情况下，使人口的男女性别出现均衡以及老龄化的进程得到减缓。所以，我们将会对上述所建立的数学模型作一定的参数修正，同时也用其对未来近几年进行一定的预测。并能使其达到相关的预期目标。通过对其所得相关结果给予一定的分析与讨论，我们将从中对该政策是否实施、什么时候实施以及怎么实施给予最终的结果。
三、模型假设
1、假设在所研究的时间内环境稳定，即不考虑战争、传染病等突发事件的影响；
2、由于所用数据为《中国统计年鉴》数据库的数据，故假设所用数据均真实有效，具有统计分析价值；
3、不考虑我国和其他国家之间的人口迁移对我国人口情况带来的影响；
4、假设各地人口政策基本相同，人口政策调整以后能够得到立即有效的实施；
5、不考虑多胞胎和丁克、同性恋或因其他特殊原因不生育的人群的影响，或者假设它们的影响相互抵消。
6、假设生育模式只和妇女的年龄有关，且年龄按周岁计算；
7、假设在所研究时期内各年龄人口的存活率与时间无关，与2013年相同；
8、根据生理特征，女性的生育年龄在15--49岁，当年龄不在此区间时，假设生育率为0；
9、假设各年龄组的生育率只在政策调整时改变。
四、符号说明
符号
含义 t
第t 年
)(t x i
第t 个时间段第i 年龄组的总人数 i b
第i 个年龄组女性的生育率 []21,i i
育龄妇女所在年龄组范围 )(t k i 第t 个时间段第i 个年龄组的女性比
)(t f
第t 个时间段出生的婴儿数
i h
生育模式
)(t β
第t 个时间段的总和生育率 i d 第i 个年龄组人口死亡率 i s 第i 个年龄组人口存活率 )(t x
按年龄分组的人口分布向量
L
参数矩阵 A 参数矩阵 B 参数矩阵 n
最大年龄组
)0(x
2015年人按年龄组的人口分布向量
i x )0(
2015年第i 年龄组的人数 b
2013年自然增长率
五、模型建立
第t 个时间段出生的婴儿的数量为第t 个时间段所有育龄期妇女平均每位女性生育的婴儿数（生育率）之和
∑==
2
1
)()()()(i i i i i
i
t x t k
t b t f （1）
其中)()(t b t k i i 为第i 个年龄段女性的人数
将生育率)(t b i 分解为生育模式i h 与总和生育率)(t β之积，其中生育模式
)(t h i 可以由往年统计数据经曲线拟合再离散得到。总和生育率为第1个年龄段的
每位女性一生平均生育的婴儿数。
i i h t t b )()(β=
（2）
12
1
=∑=i i i i
h
（3）
由（1）（2）（3）式可得
∑==
2
1
)()()()(i i i i i i t x t k h t t f β
（4） ∑==
2
1
)()
(i i i i
t b
t β
（5) 第i 个年龄段人口的存活率i s ，1,...,2,1-=n i 则
第1+i 个年龄段的总人数为第i 个年龄段存活下来的总人数，即
1,...2,1,...,2,1,0),()1(1-===++n i t t x s t x i i i （6）
)1(2+t x 是第t 个时间段出生的婴儿中存活下来的数量
)()1(12t f s t x =+，这里)()(1t x t f =，从而
)(),()()()1(122
1
t k h s r t x t r t t x i i i i i i i i ==
+∑=β （7）
按年龄组分组的人口分布向量
,...2,1,0,)](),...,(),([)(21==t t x t x t x t x T n （8）
由生育率i b 和存活率i s 构成的矩阵
1
2311
21
00000
00000
0n n n b b b b b s L s s --??
? ? ?= ? ? ??
?
可以将L 分解为A 和B 两个矩阵
1
21
000000000
00000
0n s A s s -?? ? ?
?= ? ? ??
?
120
00000000000000000
0i i r r B ?? ? ?
?= ? ? ??
?
（7）、（8）可以表示为
)()()()1(t Bx t t Ax t x β+=+ （9） 从而只需由统计资料得到人口的初始分布)0(x 及存活率i s 、女性比i k ，合理给定今后的i s 、i k 、i h 就可以设定不同的的总和生育率)(t β来预测和控制未来的人口总量和年龄结构。
六、模型求解
6.1问题一的求解
6.1.1对年龄分组和时段划分
通过对《中国统计年鉴》的查阅，为了更好地利用数据，决定将人口年龄以每5岁为一个年龄组，即按年龄划分为+---95,9490,,95,40 共20个年龄组，即20=n ，育龄妇女所在年龄组为10,4,4945,2420,191521==---i i 其中 ，相应地，每5年划分为一个时间段。
6.1.2对2015年人口按年龄分布的预测
首先对进入20世纪以来我国人口的出生率，死亡率，自然增长率（‰）作图
发现自08年以后自然增长率变化不大，故以2013年的自然增长率近似作为2014年增长率对2015年总人口进行预测，2年之内，人口的年龄结构不会发生大的变化，故以2013年各年龄组人口比例作为15年的比例。
i i c b a x *2)^1(*)0()0(+=
6.1.3各个年龄组存活率i s 的确定
为简化模型，已经假设各年龄组的存活率不随时间变化，由于数据仅可以查到2013年，所以设2013年为最近的时段的最后一年，2008年的第i 年龄组人口经过一个时段都长到了13年的第1+i 年龄组，所以
年龄组总人口
年第年龄组总人口
年第i i s i 08113+=
，19,2,1 =i
同理，12年和07年，11年和06年，10年和05年，09年和04年的i s 符合类似的表达式，将它们分别计算并求5组i s 的均值，结果如表
i
1 2 3 4 5 6 7 i s
0.987 0.949
0.995 0.996 0.925
0.929
0.986 i
8 9 10 11 12 13 14 i s
0.989 0.922 0.708 0.995 0.824 0.715 0.751
i
15 16 17 18 19 20 i s
0.761
0.607
0.437
0.329
0.213
从而矩阵A 为
0.949 0.995 0.996 0.925 0.929 0.986 0.989 0.992 0.708 0.995 0.824 0.715 0.751 0.761 0.607 0.437 0,329 0,213
00000.987000000.9490000000.2130A ?? ? ? ? ? ? ???=
6.1.4各个年龄组性别比例)(t k i 的确定
通过对20132009,20082004,2003
1999---年（其中数据缺省的年份略去）各个年龄组的男性与女性人数之比均值作图，发现其图像相差不大，如图
不同时间段各年龄组男女性别比图
故假设在一定时期内)(t k i 与时间无关，记作i k
由于社会的发展，以后的情况和近几年更相似，故以近五年年龄组的女性比作为以后若干时间段的女性比，
)(i y 为i 年龄组的女性为100时男性人数值，则
))(100/(100i y k i +=， 计算结果如下表所示
各年龄组女性比例表
i
1 2 3 4 5 6 7 i k
0.4542 0.4546 0.46 0.4724 0.4918 0.5003 0.4968 i
8 9 10 11 12 13 14 i k
0.4952 0.4945 0.4963 0.4927 0.4948 0.4942 0.498
i
15 16 17 18 19 20 i k
0.5029
0.5224
0.5547
0.6033
0.6752
0.7397
6.1.5生育模式i h 的确定
m m m k g h =，通过作图发现是明显的Lipschtz 函数，用Matlab 中的guassian 函数进行了拟合，得到i h 的表达式，从而计算出i h 的具体数值，如表四所示。
拟合表达式x h 2797.6)57.26((08107.0?
?
? ??--=x x e
h
拟合参数
误差平方和 确定系数 校正后的确定数
均方根误差 0.0009738 0.9657
0.9635
0.005516
dx h h x x x
i ?=
2
1
2
1,x
x 限个年龄组年龄的上、下分别为第i
10,9,8,7,6,5,4=i
计算i h 向量为[]0052.00104.00753.01934.03812.02795.00560.0=i h 6.1.6总和生育率的计算
∑==
2
1
)
()(i i i i
t b t β
以2013 年的总和生育率作为以后政策未调整时的总和生育率，据育龄妇女生育数据，见附录，222.1=β
6.1.7矩阵B 的确定
)(1t k h s r i i i =10
,9,8,7,6,5,4=i 0.0025
0.0051 0.0368 0.0948 0.1882 0.1357 0.0261=i r 从而0
00.02610.0025000
000000
0000000000
0B ??
? ?
?=
? ? ??
?
6.1.8按年龄组分布的人口向量的计算 B t A L )(β+=
)0()(x L t x t =
6.1.9性别比例的计算
女性人口的计算：第t 个时段女性人口数：
∑=?20
1
i i t 该年龄段女性比例年龄组总人口个时段第
第t 个时间段男性人口的计算：总人口-女性人口 男女比例：男性人口数/女性人口数
6.1.10老年抚养比
老年抚养比=65+岁人口数/15-64岁人口数
6.1.11老少比的计算
老少比=65+岁人口数/0-15岁人口数
表2.未全面放开二胎时的人口数量（千万）及结构
年份 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045
0-4岁 7.80 6.64 5.95 4.94 4.31 4.05 3.80 5-9岁 7.67 7.70 6.56 5.87 4.87 4.25 3.99 10-14岁 7.08 7.28 7.31 6.22 5.57 4.62 4.03 15-19岁 8.44 7.04 7.24 7.27 6.19 5.54 4.60 20-24岁 11.97 8.40 7.01 7.21 7.24 6.17 5.52 25-29岁 11.45 11.07 7.77 6.49 6.67 6.70 5.71 30-34岁 10.15 10.63 10.28 7.22 6.03 6.20 6.23 35-39岁 10.36 10.01 10.48 10.14 7.12 5.94
6.11
40-44岁12.75 10.25 9.90 10.37 10.03 7.04 5.88 45-49岁12.05 12.65 10.16 9.82 10.29 9.95 6.99 50-54岁8.55 8.53 8.96 7.20 6.95 7.28 7.04 55-59岁8.68 8.50 8.49 8.91 7.16 6.92 7.25 60-64岁7.16 7.16 7.01 6.99 7.34 5.90 5.70 65-69岁4.82 5.12 5.12 5.01 5.00 5.25 4.22 70-74岁3.42 3.62 3.84 3.84 3.76 3.76 3.94 75-79岁2.61 2.60 2.76 2.93 2.92 2.86 2.86 80-84岁1.57 1.58 1.58 1.67 1.78 1.77 1.74 85-89岁0.65 0.68 0.69 0.69 0.73 0.78 0.78 90-94岁0.19 0.21 0.23 0.23 0.23 0.24 0.26 95+岁0.04 0.04 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 总计137.40 129.74 121.39 113.08 104.25 95.27 86.68 女性67.30 63.58 59.52 55.51 51.26 46.92 42.73 男性70.11 66.16 61.86 57.56 52.98 48.35 43.95 男女比例 104.18 104.06 103.93 103.69 103.35 103.06 102.84
0-4 22.55 21.62 19.82 17.03 14.75 12.92 11.83 5-64 106.38 99.36 92.43 86.64 80.03 72.89 65.23 65+ 8.48 8.75 9.14 9.41 9.47 9.46 9.62 老年人口抚养
0.0797 0.0880 0.0989 0.1086 0.1183 0.1298 0.1475 比
老少比0.3760 0.4046 0.4614 0.5523 0.6419 0.7321 0.8135 作图
未放开二胎时男女比例图
6.2问题二的求解
β
85
=
.1
2016年放开二胎时，初始分布为2015年的人口分布向量2020年放开二胎时，初始分布为2020年初的人口分布向量计算结果见表三
放开二胎后男女比例图
6.3问题三的求解
劳动人口数=15-64岁人口总数计算结果如下表
年份2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 未放开二胎106.38 99.36 92.43 86.64 80.03 72.89 65.23 2016年放开106.38 99.36 92.43 86.64 84.98 82.27 77.9 2020年放开106.38 99.36 92.43 86.64 80.03 77.33 69.98
可见，未来30年，我国劳动力人口数量减少，政策变化前后，前20年劳动力人口相差不大，但20年后未放开二胎的劳动力人口明显少于放开二胎，且放开时间越早，劳动力人口越多。
致国家卫生和计划生育委员会的一封信
尊敬的领导：
您好！我写这封信是想就我国的人口政策提出一些建议。
2014年，全国各省陆续放开单独二胎政策。但是目前，中国的生育率已经远远低于更替水平，未来人口结构极度老化和急剧萎缩不可避免。从单独二胎政策实施一年情况来看，2014年申请人数远远低于预期，并未出现生育高峰，“单独二胎”的实践效果并不理想，我通过对是否全面放开二胎和放开二胎的时间建立数学模型，预测未来30年我国人口的总量和结构，（预测结果见附录）认为全面放开二胎是完全有必要的，它对于缓解我国人口老龄化、性别比例失调等问题具有一定积极意义，且30年内不会引起人口总量的上升。通过对2016年和2020年放开二胎的对比，认为考虑我国的劳动力数量和人口老龄化问题带来的挑战，兼顾到社会稳定，不可一蹴而就，建议尽早逐步放开二胎政策。
此致
敬礼
2015年5月29日
七、模型分析
7.1问题一的分析：由结果可知，保持当前生育情况不变，我国人口总量在未来30年将持续减少，并在2045年减少到10.3亿，人口老龄化加剧，性别比例失衡有所缓解。
7.2问题二的分析：通过对我国城镇化水平和国民收入情况的分析，估算出放开二胎后的总和生育率约为1.9，在模型一的基础上，通过改变总和生育率和人口的初始分布，建立了2016年和2020年放开二胎后的按年龄分组的人口模型，并进行对比，发现方案一（2016年放开二胎）到2045年人口总量约11.1亿，方案二（2020年放开二胎）则30年后约为10.5亿，两种方案老龄化水平、性别失衡
情况均优于政策未调整时的情况，其中方案一对人口老龄化修复效果更好，方案二对性别比例失衡修复效果较好。
7.3问题三的分析：在问题一、二的基础上对未来我国的劳动力数量进行预测，未来30年，我国劳动力人口数量减少，政策变化前后，前20年劳动力人口相差不大，但20年后未放开二胎的劳动力人口明显少于放开二胎，且放开时间越早，劳动力人口越多。
这些结果符合常识，因而模型具有一定的说明效果。
八、模型的评价
8.1优点
首先，本文采用定性与定量、理论与实证相结合的方法进行研究，使得所建立的模型具有一定的依据。
然后，本文运用Leslie模型，通过建立动态数学模型，分别对人口总数及人口结构进行预测分析。在人口结构中，对全国人口总数、男女人口数、人口年龄结构、人口老龄化等方面等随时间的变化规律。所以，模型得到的结果全面、简洁、直观、有效。
8.2缺点
本文主要基于2013年人口普查得到的相关数据建立的模型，所以可能对最后的结果产生误差。
基于模型的假设，以及出生率和死亡率都会随时间的变化而有所变化的，数据选取的有限性，因此预测的结果存在一定的误差。
九、参考文献
【1】<<中国统计年鉴>>, https://www.doczj.com/doc/77131897.html,/tjsj/ndsj/2014/indexch.htm
【2】王喜林，刘丽红，中国人口增长模型的建立与预测，2007.6.12
【4】薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京，2008
【5】姜启源谢金星叶俊《数学模型》，北京：高等教育出版社2010年8月
附录
表一表一. 人口年龄结构和抚养比
单位：万人
总人口(年末) 按年龄组分总抚养比少儿
年份0-14岁15-64岁65岁及以上(%) (%人口数比重(%) 人口数比重(%) 人口数比重(%)
1982 101654 34146 33.6 62517 61.5 4991 4.9 62.6 54. 1987 109300 31347 28.7 71985 65.9 5968 5.4 51.8 43. 1990 114333 31659 27.7 76306 66.7 6368 5.6 49.8 41. 1991 115823 32095 27.7 76791 66.3 6938 6.0 50.8 41. 1992 117171 32339 27.6 77614 66.2 7218 6.2 51.0 41. 1993 118517 32177 27.2 79051 66.7 7289 6.2 49.9 40. 1994 119850 32360 27.0 79868 66.6 7622 6.4 50.1 40. 1995 121121 32218 26.6 81393 67.2 7510 6.2 48.8 39. 1996 122389 32311 26.4 82245 67.2 7833 6.4 48.8 39. 1997 123626 32093 26.0 83448 67.5 8085 6.5 48.1 38. 1998 124761 32064 25.7 84338 67.6 8359 6.7 47.9 38. 1999 125786 31950 25.4 85157 67.7 8679 6.9 47.7 37. 2000 126743 29012 22.9 88910 70.1 8821 7.0 42.6 32. 2001 127627 28716 22.5 89849 70.4 9062 7.1 42.0 32. 2002 128453 28774 22.4 90302 70.3 9377 7.3 42.2 31. 2003 129227 28559 22.1 90976 70.4 9692 7.5 42.0 31. 2004 129988 27947 21.5 92184 70.9 9857 7.6 41.0 30. 2005 130756 26504 20.3 94197 72.0 10055 7.7 38.8 28. 2006 131448 25961 19.8 95068 72.3 10419 7.9 38.3 27. 2007 132129 25660 19.4 95833 72.5 10636 8.1 37.9 26. 2008 132802 25166 19.0 96680 72.7 10956 8.3 37.4 26. 2009 133450 24659 18.5 97484 73.0 11307 8.5 36.9 25. 2010 134091 22259 16.6 99938 74.5 11894 8.9 34.2 22. 2011 134735 22164 16.5 100283 74.4 12288 9.1 34.4 22. 2012 135404 22287 16.5 100403 74.1 12714 9.4 34.9 22. 2013 136072 22329 16.4 100582 73.9 13161 9.7 35.3 22.
表二
表二.未放开二胎的人口总量（千万）与人口结构
0-4岁7.80 6.64 5.95 4.94 4.31 4.05 3.80 5-9岁7.67 7.70 6.56 5.87 4.87 4.25 3.99 10-14岁7.08 7.28 7.31 6.22 5.57 4.62 4.03 15-19岁8.44 7.04 7.24 7.27 6.19 5.54 4.60 20-24岁11.97 8.40 7.01 7.21 7.24 6.17 5.52 25-29岁11.45 11.07 7.77 6.49 6.67 6.70 5.71 30-34岁10.15 10.63 10.28 7.22 6.03 6.20 6.23 35-39岁10.36 10.01 10.48 10.14 7.12 5.94 6.11 40-44岁12.75 10.25 9.90 10.37 10.03 7.04 5.88 45-49岁12.05 12.65 10.16 9.82 10.29 9.95 6.99 50-54岁8.55 8.53 8.96 7.20 6.95 7.28 7.04 55-59岁8.68 8.50 8.49 8.91 7.16 6.92 7.25 60-64岁7.16 7.16 7.01 6.99 7.34 5.90 5.70 65-69岁4.82 5.12 5.12 5.01 5.00 5.25 4.22 70-74岁3.42 3.62 3.84 3.84 3.76 3.76 3.94 75-79岁2.61 2.60 2.76 2.93 2.92 2.86 2.86 80-84岁1.57 1.58 1.58 1.67 1.78 1.77 1.74 85-89岁0.65 0.68 0.69 0.69 0.73 0.78 0.78 90-94岁0.19 0.21 0.23 0.23 0.23 0.24 0.26 95+岁0.04 0.04 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 总计137.40 129.74 121.39 113.08 104.25 95.27 86.68 女性67.30 63.58 59.52 55.51 51.26 46.92 42.73 男性70.11 66.16 61.86 57.56 52.98 48.35 43.95 男女比例 104.18 104.06 103.93 103.69 103.35 103.06 102.84 0-4 22.55 21.62 19.82 17.03 14.75 12.92 11.83 5-64 106.38 99.36 92.43 86.64 80.03 72.89 65.23 65+ 8.48 8.75 9.14 9.41 9.47 9.46 9.62 老年人口抚养
0.0797 0.0880 0.0989 0.1086 0.1183 0.1298 0.1475 比
老少比0.3760 0.4046 0.4614 0.5523 0.6419 0.7321 0.8135
表三
表三.2016年放开二胎后人口总量与结构
0-4岁7.80 11.96 10.71 8.89 7.75 7.57 8.57 5-9岁7.67 7.70 11.81 10.57 8.77 7.65 7.47 10-14岁7.08 7.28 7.31 11.20 10.03 8.33 7.26 15-19岁8.44 7.04 7.24 7.27 11.15 9.98 8.28 20-24岁11.97 8.40 7.01 7.21 7.24 11.10 9.94 25-29岁11.45 11.07 7.77 6.49 6.67 6.70 10.27 30-34岁10.15 10.63 10.28 7.22 6.03 6.20 6.23 35-39岁10.36 10.01 10.48 10.14 7.12 5.94 6.11 40-44岁12.75 10.25 9.90 10.37 10.03 7.04 5.88 45-49岁12.05 12.65 10.16 9.82 10.29 9.95 6.99 50-54岁8.55 8.53 8.96 7.20 6.95 7.28 7.04 55-59岁8.68 8.50 8.49 8.91 7.16 6.92 7.25 60-64岁7.16 7.16 7.01 6.99 7.34 5.90 5.70 65-69岁4.82 5.12 5.12 5.01 5.00 5.25 4.22 70-74岁3.42 3.62 3.84 3.84 3.76 3.76 3.94 75-79岁2.61 2.60 2.76 2.93 2.92 2.86 2.86 80-84岁1.57 1.58 1.58 1.67 1.78 1.77 1.74 85-89岁0.65 0.68 0.69 0.69 0.73 0.78 0.78 90-94岁0.19 0.21 0.23 0.23 0.23 0.24 0.26 95+岁0.04 0.04 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 总计137.40 135.05 131.40 126.71 121.01 115.27 110.82 女性67.30 65.99 64.07 61.73 58.99 56.29 54.16 男性70.11 69.06 67.32 64.97 62.01 58.98 56.66 男女比例104.18 104.64 105.08 105.24 105.12 104.77 104.62 0-4 22.55 26.94 29.83 30.66 26.56 23.54 23.30 5-64 106.38 99.36 92.43 86.64 84.98 82.27 77.90 65+ 8.48 8.75 9.14 9.41 9.47 9.46 9.62 老年人口抚养
0.0797 0.0880 0.0989 0.1086 0.1114 0.1150 0.1235 比
老少比0.3760 0.3247 0.3066 0.3068 0.3566 0.4017 0.4129
表四
表四.2020年放开二胎后人口总量与结构
中国人口增长预测 摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。 本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt =+，利 y ae c 用logistic模型求出人口最大上限 x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测 m 2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率
一、问题的重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、符号说明 nianfen 年份 chusheng 出生率 bata0 估计的参数值 nlinfit 非线性拟合函数 1 y出生率函数 2 y死亡率函数 m x人口上限 t 时间 x（t）人口增长函数 X(0)中国各年人口总数 X(1) X(0)的一次累加序列 Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列 -a 发展系数 b 灰色作用量 )0(?x人口预测值 c 均方差 k ?相对误差 三、模型的假设 1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略； 2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响； 3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。 四、模型的建立与求解 4.1中国人口短期预测的模型建立与求解 根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt y ae c =+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一） 处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋 向一个固定值，即最大容纳量x m，由logistic模型求出。假设x m 在短时间内不会改变， 则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。 设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x m 为中国人口的最大容纳量。
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 dN =(24.1) bN dt 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得ln N = b t + a，即 =(24.2) ()a bt N t e+ 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为ln N = a + b t，令 y = ln N或N = e y
- 160 - 第三章 综合实验 160 变换后的拟合函数为 y (t ) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b 的9个方程的线性方程组 ????? ??? ?? ?? ???=+=+=+=+=+=+=+=+=+5505 .319685322.319675133.319664920.319654763.319644698.319634503.319624213.319613918.31960b a b a b a b a b a b a b a b a b a (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示 为 AU = f (24-5) 显然A 矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A 的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A ， b = A T f 。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 20011 年 7 月4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长模型 摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能过较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。针对题目所提要求，我们首先建立了Malthus模型。此模型假设人口增长率为常数，即人口按指数增长。但实际上人口增长率受环境、资源等多重因素影响，并不是常数。用Malthus模型计算1982~2005年的中国人口总量并与实际值比较发现，在短期内(1982~1995)Malthus模型能过较准确的计算出人口总量，但中长期的计算值误差较大，所以此模型只适用于短期的人口预测。为使人口预报特别是中长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，注意到，自然资源、环境条件等因素对人口起着阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。假设人口增长率随着人口总量的增加线性递减，从而建立了性能更好的Logistic 模型。经对比发现，作为短期预测，Malthus模型和Logistic模型不相上下，但作为中长期预测Logistic模型比Malthus模型更合理一些。
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
人口增长预测 数学实验 指导教师：何仁斌 城市建设与环境工程学院环境工程1班 姓名：郑惋月 学号：20096545
人口增长预测 摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。 模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。我们要验证该模型是否适用。取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。 模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。 最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。 关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
中国人口增长预测模型 张孟琦、王光昭、陈阔 指导教师：杨亚莉 （空军工程大学，西安 L25） 摘要：本文从中国60年代开始出现的回声婴儿潮现象，以及如今中国城乡人口生育差异和男女比例失调等特点出发，将市、镇、乡中不同性别人口按年龄段分别处理，并引入农村人口向城镇迁移的因素，建立起一个关于中国人口增长的常微分方程组初值问题的数学模型和Leslie矩阵迭代模型。还利用该模型对中国未来人口的增长变化进行了预测。并通过MATLAB软件编程分别建立长、短期男女人口比例模型，针对男女比例失调问题，就中国男女比例变化趋势对未来中国人口的增长变化的影响进行了预测与讨论。 关键词：回声婴儿潮；男女比例；老龄化；城镇化
1、引言： 近年来中国出生人口性别比持续升高，第五次全国人口普查为117，2003年抽样调查为119，个别省份超过130。2005年1%抽样调查为118.58。城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。预计到2020年，20－45岁男性将比女性多3000万人左右。同时，中国也是目前世界上唯一一个采取干涉生育措施的国家，因此我们想就此对我国未来男女比例的影响做出分析。 在这里我们要引入回声婴儿潮（Echo baby boom）的概念来分析我国的人口情况。下图（底图来源：世界银行）是中国1962年以来40多年间的人口自然增长率曲线(蓝色)： 因为1962年之前有过5年左右的非自然增长，所以我们把50年代的数据不计入分析过程。进入60年代，随着“三年困难时期”结束，生产在一定程度上恢复稳定，又加上鼓励生育，所以在1962
年-1971年期间第一个稳定的婴儿潮B，其峰值发生在1966年（红线1）。70年代中期开始调整了生育政策，并且随着生产生活的模式的变化，之后人口增长率陡降。80年代以后，婴儿潮B的大多数女性开始进入生育年龄（当时全国平均是22岁），开始迎来了第二批稳定生育高峰，婴儿潮C，这个C的形状是B的复制，就像回声一样一波一波的，所以称为（第一）回声婴儿潮，发生在1982年-1991其峰值出现在1988年（红线2，即1966+22，完全符合生育年龄均值）。现阶段是平均生育年龄是27岁，随着回声婴儿潮C中出生的人口逐渐进入生育年龄，理论上潮D的峰值应该出现在2015年，但是尽管现在全国已经放开二孩政策，近几年的曲线却较为平缓，回声婴儿潮D并没有如期而至。通过分析，我们认为这主要是由于人们生育观念改变导致的，因而我们可以认为在未来如果不考虑世界大战、重大灾害等重大事件，总人口自然增长率将不会有较大波动，我们将在这个条件下建立模型推算未来的男女比例。 2.模型的预备知识 2.1模型假设 1）不考虑国境间人口流动对人口统计的影响； 2）不考虑所统计的数字中的人口漏报的现象； 3）不考虑各地方生育法规的灵活性政策对全国人口政策影响； 4）不考虑针对少数民族的特殊政策；
实验24 人口预测的最小二乘模型 表 24-1 世界人口数据（单位 亿） 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。作出这一预测结果所用 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数 N 不是很大时，在不长的 时期内，人口增长率与人口数 N 成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微 分方程描述为 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达 式中a 和b 均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确 定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是 经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为 3.6974 杓-4 为了计算方便，将上式两边冋取对数，还原为 y = ln N 或 In N = a + b t ,令 N = e y 变换后的拟合函数为 dN dt bN 其中，b 为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得 N(t) a bt e (24.1) In N = b t + a ，即 (24.2) 图24-1指数函数图形与原始数据散点图
y(t) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数(y = In N )计算，得下表 表24-2世界人口数据(单位：亿) 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1, 2, ……,9)可列出关于两个未知数 a、b的9个方程的线性方程组 a 1960 b 3.3918 a 1961 b 3.4213 a 1962 b 3.4503 a 1963 b 3.4698 a 1964 b 3.4763 a 1965 b 3.4920 a 1966 b 3.5133 a 1967 b 3.5322 a 1968 b 3.5505 (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示为 AU = f (24-5) 显然A矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时 乘以A的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A, b = A T f。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解(广义解)。由于原方程组一般无解，将最小二乘解 代入下式计算 R = f -A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的 逼近程度。 三、问题求解的计算机实验 输入下面命令
中国人口增长预测与控制 摘要 近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。 对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。 对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。 对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口
中国人口预测模型 专业：数学与应用数学姓名：蒲世吉指导教师：焦玉娟 摘要本文针对我国人口现状，综合考虑城镇和乡村男女性比率、出生率、死亡率及国内人口迁移等因素，建立人口发展方程，结合最优控制原理及曲线拟合等技术，分别建立了城镇和乡村男、女性人口变化模型.通过实际数据的检验，结果表明该模型能够较好地刻画我国目前的人口现状,从而用它可以预测我国人口的未来发展趋势并为国家进行相关人口政策的制定提供必要的理论指导. 根据模型预测，在2015年，我国人口将达到139846万人；在2030年，我国人口将达到峰值144679万人；在2050年将达到141527万人.这与国家人口发展战略研究报告中预测的数据接近.从全国总人口变化曲线上直接看来，在国家人口政策相对稳定的情况下，2030年后我国人口逐渐有所减少. 关键词人口模型,人口发展方程,最优化控制原理,人口增长率 ABSTRACT This paper concerns the status of our country's population,with consideration of the sex ratio ,birthrate ,mortality and inland migration of counties and towns, this paper establish both the male and female population model of the chinese counties and towns with optimal control theory and curve fitting and so on. Through checking the model with real data, the results manifest that this model
一、问题重述 人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国实行计划生育政策，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但该政策实施30多年来，其负面影响也开始显现。如临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应进行了大量的研究和评论。 党的十八届三中全会《决定》提出，启动实施单独两孩政策。这是新时期我国生育政策的重大调整完善，备受社会关注。 请解决以下问题： （1）针对国家卫生计生委副主任王培安单独二孩不会导致人口大增的人口预测，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对单独二孩会不会导致人口大增进行分析，并发表自己的独立见解。 （2）建立数学模型，针对深圳市讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 二、问题分析 问题1、启动实施单独二胎政策，是经过充分的论证和评估的。对于我国目前为什么要放开二胎政策这个问题，以及为什么单独二孩不会导致人口大增是有以下情况决定的。 进入本世纪以来，我国人口形势发生了重大变化。一是生育水平稳中趋降，我国目前总和生育率为1.5-1.6，如果不实行单独二胎新政策，总和生育率将继续下降。二是人口结构性问题，劳动年龄人口开始减少，人口老龄化速度加快，出生人口性别比长期偏高。三是家庭规模持续缩减。四是城乡居民生育意愿发生很大变化，少生优生、优育优教的生育观念正在形成。 通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化来验证单独二孩政策的必要性以及单独二孩不会导致人口大增的预测。