一、等差数列选择题
1.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸
D .二丈二尺五寸
2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且62
10S S ,则34a a +=( )
A .2
B .3
C .4
D .5
3.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11
B .10
C .6
D .3
4.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4
D .-4
5.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -
B .n
C .21n -
D .2n
6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列
D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列
7.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231
n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )
A .
13
15
B .
2335
C .
1117 D .
49
8.已知等差数列{}n a 中,前n 项和2
15n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )
A .7
B .8
C .7或8
D .9
9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-
B .8
C .12
D .14
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60
B .120
C .160
D .240
11.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( )
A .
32
B .
92
C .2
D .9 12.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从
第2天起每天比前一天多织( ) A .
1
2
尺布 B .
5
18
尺布 C .
16
31
尺布 D .
16
29
尺布 13.已知数列{}n a 的前项和2
21n S n =+,n *∈N ,则5a =( )
A .20
B .17
C .18
D .19 14.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )
A .9
B .12
C .15
D .18
15.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12
B .20
C .40
D .100
16.已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且
*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19
B .20
C .21
D .22
17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S > D .70S <,且80S <
18.若数列{}n a 满足121
()2
n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020
D .2021
19.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23
,且
11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(
23
)n -1
B .(
23)n C .
21
n + D .
1
2
n + 20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121
B .161
C .141
D .151
二、多选题
21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114
a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C .数列{}n a 为递增数列
D .数列1n S ??
?
???
为递增数列 22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( )
A .1:17:2a d =-
B .180S =
C .当0d >时,6140a a +>
D .当0d <时,614a a >
23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .2
3n S n n =- B .2392
-=n n n
S
C .36n a n =-
D .2n a n =
24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,512a =,则下列选项正确的是( ) A .2d =- B .122a =
C .3430a a +=
D .当且仅当11n =时,n S 取得最大值
25.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S > D .110S >
26.已知数列{}2n
n
a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6
D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列
27.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减
D .数列{}n S 有最大值
28.(多选题)在数列{}n a 中,若22
1n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称
{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A .若{}n a 是等差数列,则{}
2
n a 是等方差数列
B .
(){}1n
-是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 29.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ??
?
???
是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项
30.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )
A .若59S S =,则必有14S =0
B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项
C .若67S S >,则必有78S S >
D .若67S S >,则必有56S S >
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一、等差数列选择题 1.D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为
985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差
数列性质求得后5项和. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()
19959985.52
a a S a +=
==(尺),所以59.5a =(尺),由题知
1474331.5a a a a ++==(尺),
所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 2.B 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】
因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6
2
10S S ,
所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 3.A 【分析】
利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】
由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,
213a a d =+=,
解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 4.A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +?+??====.故选A.
5.B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】
因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218
523a d a d a d +=??+=++?,
所以11
1a d =??=?,所以()111n a n n =+-?=,
故选:B. 6.D 【分析】
根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】
由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,
根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;
当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;
当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 7.C 【分析】
利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】
2121S T =12112121()21()22
a a
b b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =211
3111??+=1117.
故选C 8.C 【分析】
215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.
【详解】
2
2152251524n S n n n ??=-=--
??
?, ∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2
1522524y x ??=--
??
?上的横坐标为正整数的离散的
点.
又抛物线开口向上,以15
2x =为对称轴,且1515|
7822
-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C 9.D 【分析】
利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】
147446=32a a a a a ++=∴=,则()
177477142
a a S a +=
== 故选:D 10.B 【分析】
根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()
11515815152
a a S a +==,从而可得出结果.
【详解】
解:由题可知,2938a a a +=+,
由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =, 故()1158
158151521515812022
a a a S a +?=
===?=. 故选:B.
11.A 【分析】
由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】
设公差为d ,则42363
4222a a d --=
==--, 所以5433322
a a d =+=-=. 故选:A 12.D 【分析】
设该女子第()
N n n *∈尺布,前()
N n n *
∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公
差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】
设该女子第()
N n n *∈尺布,前()
N n n *
∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公
差为d ,
由题意可得30130293015015293902
S a d d ?=+=+?=,解得16
29d =.
故选:D. 13.C 【分析】
根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】
因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=?+-?+=. 故选:C . 14.A 【分析】
在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】
在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,
所以139522639a a a =-=?-=, 故选:A 15.B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:
1011045100S a d =+=,
12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.
故选:B. 16.B 【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ??
??
??
为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1n n a ,进
而可得1
n a n
=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为
*12121
0,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12
211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ??
?
???
为等差数列,设其公差为d , 由25111,25
a a a ==可得25112,115a a a ==?, 所以11
11
2
1145d a d a a ?+=????+=???,解得1111
a d ?=???=?,
所以
()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n
=,
所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+≥对任意的*n N ∈恒成立,
又10020n n +
≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 17.A 【分析】
根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断.
【详解】
依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +?=
>
()()1881884
02
a a S a a +?=
=+<
故选:A . 18.B 【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121
()2n n a a n N *++=
∈,则11()2
n n a a n N *+=+∈, 即11
2
n n a a +-=
, 所以数列{}n a 是以1为首项,
1
2
为公差的等差数列, 所以()()11111122
n n a a n d n +=+-=+-?=, 所以2021a =20211
10112
+=. 故选:B 19.C 【分析】 由已知可得数列1n x ??????是等差数列,求出数列1n x ??
????
的通项公式,进而得出答案. 【详解】
由已知可得数列1n x ??
????是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=,故21
n x n =+
故选:C 20.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B
二、多选题
21.ABC 【分析】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),11
4
a =,可得:1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=,利用等差数列的通项公式可得1n
S ,n S ,2n ≥时,()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---,进而求出n a . 【详解】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠()
,且满足1402n n n a S S n -+=≥(),11
4
a =, ∴1140n n n n S S S S ---+=,化为:
1
11
4n n S S --=, ∴数列1n S ??
????
是等差数列,公差为4,
∴()1
4414n n n S =+-=,可得14n S n
=, ∴2n ≥时,()()
1111
44141n n n a S S n n n n -=-=
-=---, ∴()1
(1)41(2)41n n a n n n ?=??
=??-≥-??
,
对选项逐一进行分析可得,A ,B ,C 三个选项错误,D 选项正确. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查数列递推式,解题关键是将已知递推式变形为1
11
4n n S S --=,进而求得其它性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题 22.ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选
项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,
140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,
对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=,故选项B 正确;
对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;
对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,
所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可. 23.BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,
所以1132302
36
a d a d ??
+
=???+=?,解得133a d =-??=?, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
, 故选:BC 24.AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 则52318312a a d d =+=+=,解得2d =-.
所以120a =,342530a a a a +=+=,11110201020a a d =+=-?=, 所以当且仅当10n =或11时,n S 取得最大值. 故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算,前n 项和n S 的最值问题,是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况:
(1)当10,0a d ><时,n S 有最大值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定;
(2)当10,0a d <>时,n S 有最小值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定; 25.ABD 【分析】
转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,
因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确; 所以6S 最大,故B 正确; 所以()113137
131302
a a S a
+?==<,故C 错误; 所以()111116
111102
a a S a
+?=
=>,故D 正确.
故选:ABD. 26.ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+,1(1)2
n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得1
5
d =-. 故选ACD
【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;
由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 28.BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项,取n a n =,则
()()()422444221111n n a a n n n n n n +????-=+-=+-?++????
()()221221n n n =+++不是常数,则{}
2
n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,()
()2
2
111110n n +????---=-=?
???
为常数,则(){
}
1n
-是等方差数列,B 选项
中的结论正确;
对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得22
1n n a a p +-=,则数列
{}2n
a 为等差数列,所以(
)
2
21kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方
差数列,C 选项中的结论正确;
对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得
n a dn m =+,
则()()()()2
2
2
1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,
由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得22
1n n a a p +-=,
则()2
22d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则(
)2202d m d d p ?=?
?+=??,得0p d ==,
此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】
本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题.
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;
B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么
()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确;
C.1111
11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ??????
不是等差数列,故C 不正确;
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型. 30.ABC 【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】
解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以
()
114141402
a a S +=
=,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故
780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;
C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误. 故选:ABC . 【点睛】
本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.