第一章
习题及参考答案
1-1. 测得某三角块的三个角度之和为180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。 【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2”
相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10
-4
%
1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm ，已知其最大绝对误差为1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？
【解】 绝对误差＝测得值－真值，即： ?L ＝L －L 0 已知：L ＝50，?L ＝1μm ＝0.001mm ，
测件的真实长度Ｌ0＝L －?L ＝50－0.001＝49.999（mm ）
1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？
【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计
测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 1-4. 在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20μm ，试求其最大相对误差。 【解】因 ?L ＝L －L 0 求得真值：L 0＝L －?L ＝2310－0.020＝2309.98（mm ）。
故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10
-4
%＝0.000866%
1-5. 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2
（h 1+h 2）/T 2
给定。今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2
，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。由
得：
当（h 1+h 2）有微小变化
g 的最大相对误差为：
（m/s 2
）
、T 有ΔT
变化时，g 的变化量为：
如果（h
1+h
2
）测出为（1.04220±0.0005）
0.001m/s 2，即：
m，为使g的误差能小于
就是
求得：
1-6.检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？
【解】引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：
所以该电压表合格。
1-7.为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：
式中：Δx
m 为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，x
m
为标称量程上限。选定仪表后，被测
量x的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差r
x
越小，测量越准确。
1-8.用两种方法分别测量L
1=50mm，L
2
=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方
法测量精度的高低。
【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：
δ
1＝50.004－50＝0.004（mm）；δ
2
＝80.006－80＝0.006
（mm）
两种测量方法的相对误差分别为：
δ
1／L
1
＝0.004/50=0.008 % 和δ
2
／L
2
＝0.006/80=0.0075 %
显然，测量L
2尺寸的方法测量精度高些。
由于：
1-9.多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；在射击场中，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高。
【解】两种射击的射击偏差即绝对误差分别为：
δ
1＝0.1（km）；δ
2
＝2（cm）＝2×10-2（m）
两种射击的相对误差分别为：
δ
1／L
1
＝0.1/10000=0.001 % 和δ
2
／L
2
＝2×10-2/50=0.04 %
多级弹导火箭的射击精度高。
1-10.若用两种测量方法测量某零件的长度L
1
=110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm ；而用
第三种测量方法测量另一零件的长度L
2
=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测量方法精度的高低。
【解】测量长度L
1的两种测量方法的测量误差分别为：δ
1
＝±11（um）；δ
2
＝±9（um）
两种测量方法的相对误差分别为：
δ
1／L
1
＝±11 um /110mm＝±11/110000＝±0.01%
δ
2／L
1
＝±9um/110mm＝±9/110000 ＝±0.0082%
用第三种测量方法的测量误差为：δ
3
＝±12（um）
δ
3／L
2
＝±12 um /150mm＝±12/150000＝±0.008%
显然，第三种测量方法精度最高。而测量L
1
时有测量误差±11 um的测量方法精度最低。
第二章
误差的基本性质与处理
习题及参考答案
2-1.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－
【解】（1）误
差服从正态分
布时
（2）误差服从反正弦分布时
因反正弦分布的标准差为：
（3）误差服从均匀分布时
因其标准差为：
2-2.测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。
【解】①选参考值，计算差
值
，］中的概
率。
，所以区
间［
，］＝［，］，
故
，所以区
间［
，］＝［
，］，故
和残差
表中。
序号x iΔx i
1 236.45 0.45 +0.0
2 0.0004
2 236.37 0.37 -0.06 0.0036
3 236.51 0.51 +0.08 0.0064
4 236.34 0.34 -0.09 0.0081
5 236.39 0.39 -0.04 0.0016
6 236.48 0.48 +0.05 0.0025
7 236.47 0.47 +0.04 0.0016
8 236.40 0.40 -0.03 0.0009
或依算术平均值计算公式，n=8
，直接求
得：
②计算标准差：用贝塞尔公式计算：
2-3.用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。
【解】（1）用别捷尔斯法计算
（2）用极差法计算
8个测量数据的极差为：ω
n
=
查教材P18表2-4，n=8时d
n
=2.85
（3）最大误差法计算
8个测量数据的最大残差为：
查教材P19表2-5，n=8时，1/K’
n
＝0.61
2-4.测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
【解】①选参考值，计算差值
或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：
（g）
( g )
( g )
=236.51
－236.34=0.17，
(g)
( g )
和残差
表中。
（mA）
序号x iΔx i
1 168.41 -0.09 -0.078 0.006084
2 168.54 0.04 +0.052 0.002704
3 168.59 0.09 +0.102 0.010404
4 168.40 -0.10 -0.088 0.007744
5 168.50 0 +0.012 0.000144
②计算标准差：用贝塞尔公式计算： ［若用别捷尔斯法计算： ［用极差法计算：n=5时d n
=2.33，
下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误
差数据： 或然误差： 平均误差： 算术平均值的标准差 算术平均值或然误差R ： 算术平均值平均误差T ： 2-5. 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数
据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
【解】①求算术平均值
②求残余误差：各次测量的残余误差依次为0，0.0001，
0.0003，0，-0.0004。
③求测量列单次测量的标准差 用贝塞尔公式计算： 用别捷尔斯公式计算： ④求算术平均值的标准差
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极
限误差 因假设测量值服从
正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1正态分布积分表，得置信系数t=2.6。故：
( mA )
］
(mA) ］
( mA )；
( mA )
：
( mA )
( mA )
：
(mm) （mm ）
（mm ）
；
单次测量的极限误差： 算术平均值的极限误差： ⑥求得测量结果为：
2-6. 对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准
差σ=0.005mm ，若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置
信限。
【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t 分布求置信限（极限误差）。 已知：P=95%，故显著度α=1－P ＝0.05；而自由度ν＝n －1＝5－1＝4。 根据显著度α=0.05和自由度ν查附录表3 的t 分度表，得置信系数ta=2.78。 所以算术平均值的置信限为： 2-7. 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm ，若要求测量结果的置信限为±0.005mm ，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。
【解】① 若测量误差符合正态分布规律
已知置信概率：P=99%，查正态分布表有：t=2.6，
则置信限为：
求得：n=4.32，取n=5.
② 若测量误差符合t 分布 已知置信概率：P=99%，则显著度α=0.01，
由置信限：
当显著度α=0.01时，ν=7，查t 分度表，有t a =3.50，满足上述等式。 即求得：n=ν+1=8为必要的测量次数。
2-8. 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次。
【解】本题与2-7相似。
① 若测量误差符合正态分布规律
已知置信
概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96，
则极限误差为：
求得：n=1.7，取n=2.
（mm ）
（mm ）
±2.6× =±0.005（给定值） ±0.005
有关系：t a
±1.96× =±
0.0015（给定值）
② 若测量误差符合t 分布 已知置信概率：
P=0.95，则显著度α=0.05，
由极限误差：
当显著度α=0.05时， ν=3，查t
分度表，t a =3.18 >
ν=4，查t 分度表，t a =2.78 <
即求得：n=ν+1=4+1=5为必要的测量次数。
2-9. 已知某仪器测量的标准差为0.5μm 。①若在该仪器上，对
某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm ，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm ）为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
【解】① 单次测量的极限误差以3σ计算，δlim x =3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm)
所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015 (mm)
② 重复测量10次，计算其算术平均值为：
取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm).
③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值，计算差值
±0.0015
有关系：t a （不合要
求）
（满足要
求）
26.2025(
mm).
和残差 表中。
用贝塞
尔公式计算：(mm).
序 号 x i
Δx i
1 26.2025 0.0005 0
0 2 26.2028 0.0008 +0.0003 9×10-8
3 26.2028 0.0008 +0.0003
9×10-8 4 20.2025 0.0005 0 0 5 26.2026 0.0006 +0.0001 1×10-8 6 26.2022 0.0002 -0.0003 9×10-8 7 20.2023 0.0003 -0.0002
4×10-8 8 26.2025 0.0005 0 0 9 26.2026 0.0006 +0.0001 1×10-8 10 26.2022
0.0002
-0.0003
9×10-8
算术平均值的标准差：
取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3
此时①的测量结果为26.2025±0.00021 (mm)；②的测量结果为26.2025±0.00021 (mm).
* 或以两组不等精度测量来表示测量结果：（以下计算需要该仪器测量的标准差资料）两组测量的权之比为：
加权算术平均值为：
加权算术平均值的标准差为：
故①、②测量的测量结果表
达为：26.2025±3
2-10.某时某地由气压表
得到的读数（单位为Pa）
为102523.85，102391.30，
102257.97，102124.65，
101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术
平均值及其标准差。
【解】由计算加权算术平均值及其标准差的公式直接计算。
加权算术平均值为：
加权算术平均值的标准差的计算，先求各测量结果的残余误差：
(mm).
=26.202
5±0.00021
(mm).
（mm）
（mm）
=26.202
5±0.00021
(mm)
，，，
，，，
算术平均值的标准差为： ∵
∴ 2-11. 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，
α2
=24°13’24”，其
标准差分别为σ1=3.1”，σ2
=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。
【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。
取： 选取
加权算术平均值的标准差的计算，
先求两测量结果的残余误差：
算术平均值的标准差为：
2-12. 甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量5次，测得值如下： α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°
2’15”， α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°
2’45”；
试求其测量结果。
【解】①对于每一组的测量，是等精度测量，分别先求各组
的算术平均值。
（Pa ）
，可由公
式直接计算加权算术平均值和标准差：
，
用贝塞尔公
式计算各组的标准差：
两测量列的算术平均值的标准差：
②确定各组的
权
③求加权算术平均值
④求加权
算术平均值的标
准差
或：
⑤测量结果：
2-13.试证明n个
相等精度测得值
的平均值的权为
n乘以任一个测量值的权。
【证明】因为等精度测量，
可设n个测得值的标准差
均为σ，且其算术平均值
的标准差为：
；
又设各测量值的权相等，即：
2-14. 重力加速度的20次测
量具有平均值为9.811m/s 2、标准差为0.014 m/s 2
。另外30次测量具有平均值
9.802m/s 2
、标准差为0.022 m/s 2
。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。
【解】已知20次测量的标准差，30次测量的标准差，由此可确定其权的大小。
然后再按不精度测量有关
公式直接计算。
50次测量的加权算术平均值：
50次测量
的加权算术平均
值的标准差：
或：
2-15. 对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，
14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。
【解】先计算算术平均值：
① 根据残余误差观察法：计
算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。 ② 采用不同公式计算标准差比较法。
。n 个相
等精度测得值的平均值的权为
，则：n 个相等精度测得值的平均值的权
与各测得值的权（i=1,2…,n ）的比为 →
，证毕。
。各测量
数据的残余误差分别为：
按贝塞尔公式： 用别捷尔斯法计算： 令： 因为：
③ 按残余误差校核法：前5
个残余误差和与
后5个残余误差的差值△为
两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有
系统误差。
（为什么会得
出互为矛盾的结论？问题出在本题给
出的数据存在粗大误差----这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）
2-16. 对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较
得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。
【解法一】用t 检验法进行检验
前4次测量的算术平均值： 后6次测量的算术平均值：
由ν=4+6-2=8及取α=0.05，查t 分布表，得t a =2.31。 因
【解法二】用秩和检验法进行检验。将两组数据按从小到大混合排
列成下表：
已知：n 1=4，n 2=6；计算秩和
T ：
T=5.5+7+9+10=31.5，查表：T -=14，T +=30；
因：T=31.5> T +=30，可判断两组数据可能存在系统误差。
，故无根
据怀疑测量列存在系统误差。
；
，可判断
两组数据可能存在系统误差。
【解法三】用计算数据比较法检验。两组数据的算术平均值和标准差分别为：
第一组数据：
第二组数据： [注：若以极差法计算
标准差，计算结果也相近：
两组数据算术平均值之差为：
其标准差为：
因：<
（以上计算，本人经过多次推导，应该无误！解法三
得出了与
前两
种方法互为矛盾的结论，原因何在？请同学们仔细分析。）
（本人分析原因如下：①所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布，因此不能用t 检验法检验；②解法三在计算标准差时，因测量次数少，用贝塞尔公式计算标准差误差大；极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布；③解法二适合非正态分布的误差，得出的结论正确；④以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围，有局限性。）
2-17. 等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V ）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V ）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。试用t 检验法（取α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。
【解】计算两组测量结果的算术平均值：
由ν
=10+10-2=18及
取α=0.05，查t 分布表，得t a =2.1。
因
；
；
； ]
，故两组数据间无系统误差。
，故无根
据怀疑两组数据间存在线性系统误差。
2-18.
对某量进行了12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，
20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。
【解】先计算算术平均值：
①根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律
地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。
②按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为
两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。
③采用不同公式计算标准差比较法。
按贝塞尔公式：
用别捷尔斯法计算：
令：
因为：
（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）
2-19.对某量进行两组测量，测得数据如下：
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
【解】将两组数据按从小到大混合排列成下表：
T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174
。各测量
数据的残余误差分
别为：
，故无根
据怀疑测量列存在系统误差。
已知
n
1
=n
2
=15，因组数据的
的次序计算秩和：
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
i
50.82 50.83 50.87 50.89
y50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 50.85
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
i
50.82 50.83 50.87 50.89
y
i
50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 50.85
x
i
0.6
2
0.8
6
1.1
3
1.1
3
1.1
6
1.1
8
1.2
1.2
1
1.2
2
1.2
6
1.3
1.3
4
1.3
9
1.4
1
1.5
7
y
i
0.9
9
1.1
2
1.2
1
1.2
5
1.3
1
1.3
1
1.3
8
1.4
1
1.4
8
1.5
1.5
9
1.6
1.6
1.8
4
1.9
5
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x
i
0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 y0.99 1.12 1.21 1.25
因n 1=n 2=15>10，秩和T 近似服从正态分
布。
其中数学期望和标准差σ分别为：
选取置信概率99%（显著度0.01），即取 因
2-20. 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，
29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。
【解】将有关计算数据：平均值、残差
直接求得15个数据的算术平均值及其标准
差：
则置信
系数t 为：
，由附录
表1查得：，
，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。 表中： ；
T 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 x i
50.82
50.83 50.87 50.89 y i 50.75 50.78 50.78 50.81
50.82
50.85
x i
0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 y i 0.99 1.12 1.2
1 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 T 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 x i 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30
y i
0.99 1.12
1.21
1.25 T 16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 x i
1.34 1.39 1.41
1.57
y i
1.31 1.31
1.38
1.41
1.48 1.50
1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
序 号 x i
1 28.53 -0.04 0.0016 0.03 0.0009
2 28.52 -0.05 0.0025 0.02 0.0004
3 28.50 -0.07 0.0049 0 0
4 29.52 0.9
5 0.9025 5 28.53 -0.04 0.001
6 0.03 0.0009 6 28.53 -0.04 0.0016 0.03 0.0009
7 28.50 -0.07 0.0049 0 0 8
28.49
-0.08
0.0064
-0.01
0.0001
①用莱以特准则判别粗大误差
因
再对剩余的14个测得
值重新计算，得：
由表知第14个测得值的残余误差：
再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。
②用格罗布斯准则判别
已经计算出15个测量数据的统计特征量：
将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：
首先判别是否含有粗大误差：
查表2-13得：
则：
故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。
再对剩下的14个测得值计算，判断是否含有粗大误差。已知：
查表2-13得：
则：
故第14个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。
再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。
③用狄克松准则判别
将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：
判断最小值与最大值是否包含粗大误差。因n=15，以统
计量和计算
，故第4
个测量数据含测量误差，应当剔
除。
,
，
，故也含
粗大误差，应剔除。
，。
，
，
,
，
和
查表2-14得，因：
故：)和（即所测的第4和第14个测量值）包含粗大误差，应予剔除。
再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。
1220 1219 1218 1217 1216 1215 1214 1213 1212 1211 1210 测得电
阻值R/
Ω
①绘出测量结果的统计直方图，由此可得到什么结论？
②求测量结果并写出表达式。
③写出测量误差概率分布密度函数式。
【解】①测量结果的统计直方图如下。由此可看出电阻值的阻值偏差基本符合正态分布。
②可以把200次等精度测量看作11组不等精度的测量（每组测量次数不同）。根据测量次数确定各组的权，有：
求各组残余误差选取
电阻参考值。求加权算术平均值：