复数专题及答案（一）
1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．
【考点定位】复数的运算．
【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．
2.【2015高考，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i
-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i
【答案】C
【解析】
32222i i i i i i i i
-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.
【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考容，属于容易
题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.
3.【2015高考，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）
A ．32i -
B ．32i +
C ．23i +
D ．23i -
【答案】D ．
【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．
【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，
属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数
的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．
4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z
+-=i ，则|z|=( )
（A ）1 （B （C （D ）2
【答案】A
【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)
i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.
【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.
5.【2015高考，理1】复数()i 2i -=（ ）
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】A
考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.
【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面对应的点的位置等.
6.【2015高考，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．
为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-
【答案】A
【解析】i i i i -=?=?31514607,所以607i 的共轭复数．．．．
为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.
【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，
7.【2015高考，理2】若复数z 满足1z i i
=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+
【答案】A 【解析】因为1z i i
=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
8.【2015高考，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i
-在复平面所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.
【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.
【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，
要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面一一对应的点为(,)Z a b .
9.【2015高考，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ，则（a +bi ）（a -bi ）=________.
【答案】3
【解析】由a bi +=得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.
【考点定位】复数的运算.
【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要
相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a bi +=据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-
22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．
10.【2015高考，理9】i是虚数单位，若复数()()
12i a i
-+是纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】2
-
【解析】()()()
12212
i a i a a i
-+=++-是纯虚数，所以20
a+=，即2
a=-. 【考点定位】复数相关概念与复数的运算.
【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.
11.【2015高考，3】设复数z满足234
z i
=+（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】5
【解析】22
|||34|5||5||5
z i z z
=+=?=?=
【考点定位】复数的模
【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：
2211
1212
22
||
||||||||||.
||
z z
z z z z z z
z z
==?=
，，
12.【2015高考，理1】已知
()2
1
1
i
i
z
-
=+（i为虚数单位），则复数z=（）A.1i+ B.1i- C.1i
-+ D.1i
--
【答案】D.
【考点定位】复数的计算.
【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运
算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数
的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.
13.【2015高考，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142
i +
【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+?==?=+且
【考点定位】复数相等，共轭复数
【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.
【2015高考，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.
【考点定位】复数概念，充要关系
【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.
复数专题及答案（二）
一、选择题
1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i
＝( )
A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A
[解析] 3＋2i
2－3i
＝
(3＋2i)(2＋3i)
(2－3i)(2＋3i)
＝
6＋9i＋4i－6
13
＝i.
2．(2010·文)在复平面，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案] C
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2
2
＝2，y
＝5＋3
2
＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是
( )
A．－1
B．4
C．－1和4
D．－1和6
[答案] C
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.
[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
4．(文)已知复数z＝
1
1＋i
，则z－·i在复平面对应的点位于( )