教学时间：1.5
教学内容：分数的初步认识、数学广角练习题
习题设计：
一、用分数表示下面各阴影部分。
二、填空。
1．7
3的分子是（ ），分母是（ ），读作（ ）。 2．分子是4，比分母少5，这个分数是（ ）。
3．把1条绳子平均分成8份，每份是这条绳子的()()，3份是这条绳子的()()
。 4．94是（ ）个91，（ ）个31是3
2。 5．)
(141> 6．妈妈买了9支铅笔，给小冬5支，小立4支，小冬拿了这些铅笔的
) () (，小冬拿了这些铅笔的
) () (。 7.十二分之十一写作（ ）。
8、4天是一个星期的( )；5个月是一年的( )。
9、 再涂（ ）块，涂色部分就占 56
三、在○里填上“>”，“<”或“=”。
19○13 29○59 23○13 710元○810 元 44○88
15○18 66○1 14○17 18○14 38千克○78
千克
四、判断（对的打√，错的打×）。
1．6
5读作五分之六。（ ） 2．两个分数的分母相同，分子大的分数比较大。（ ）
3．3个81和8个3
1相等。（ ） 4．a
a 31 （a ≠0）（ ） 5. 两个分数的分子相同，分母小的分数比较小。（ ）
6、3个13 和7个17 一样大。 （ ）
五、选择正确的答案填在（ ）里。 女同学占全班的9
5，表示（ ）。 （1）把全班人数平均分成5份，女同学占9份。
（2）把全班人数平均分成9份，每份是5。
（3）把全班人数平均分成9份，女同学占5份。
六、聪明题。
一条绳子剪去1米，还剩下9米。
（1）剪去的占这条绳子的)
() (。 （2）剩下的占这条绳子的)
() (。 （3）剩下的比剪去的少的是这条绳子的
) () (。 7、数学ABC 。
把线段AF 平均分成5份。根据图填空，再看看你还想到了哪些？
1．AB 是AF 的)
() (。
2．AB 是BF 的) ()
(。 七、解答 请把小动物们的序号填在合适的位置。
教学时间：1.4
教学内容:复习分数的初步认识、数学广角
教学目标：
1、进一步巩固对分数的初步认识，理解含义，并能使学生正确、熟练地计算简单的分数加减法。
2、使学生能用分数与他人交流，并能对生活中的一些简单分数发表自己的观点
重点难点：
能应用分数表达自己的见解，提高分析问题、解决问题的能力。
教具准备：
投影片，小彩笔
教学过程
一、复习梳理
1、这节课我们复习“分数的初步认识”，这学期我们学会了分数的哪些知识？
板书：认识几分之一和几分之几
读、写分数
比较大小
简单的分数加、减法
2、这些知识中哪些你有点忘记或者还有问题的？
二、基本练习
1、看图说一说能否用分数表示，能的说出分数。
2、抽取其中一个分数说一说各部分名称。
3、比较大小
问：你能比较题1中哪两个分数的大小？（生自由比较）
问：你是怎样比较这些分数的大小的？
练习：从小到大排一排
① 2/10 8/10 6/10 ② 1/5 1/10 1/7 ③ 1/8 3/8 1/16
4、分数加减法
1/4+2/4 = 8/10 -1/10 = 2/5 + 3/5=
1- 8/10= 1/8+3/8 + 2/8= 8/9-2/9-5/9 =
说一说：计算这些分数加减法要注意什么？（分子相加减，分母不变）
练一练：数学书126页第9题、第10题。
5、解决问题
①把一张纸平均分成5份，用这样的1份做幸运星，3份做花，做幸运星用了这张纸的几分之几？做花用了这张纸的几分之几？一共用了这张纸的几分之几？做幸运星比做花少用了这张纸的几分之几？
②小明倒了一杯水，第一次喝了这杯水的 2/10，第二次喝了这杯水的 5/10，还剩这杯水的几分之几没喝？
三、拓展练习
1、完成123页第1
2、11题
指导第11题
先问：你觉得一共有多少种不同的分数？
练习并校对
可能有学生用不同方法表示4/8 ，教师可问：这几个分数的大小是怎样的？
2、说出涂色部分占整个图形的几分之几。
①（见课件）
②完成123页动脑筋
3、爬山坡比赛
丁丁用了1/8 小时，东东用了 2/8小时，明明用了1/2 小时，谁跑得最快？
教学内容：数学广角—数与形
教学目标：1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。教学伊始，从观察、分析例1中图与算式的关系入手，引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的
小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。2．借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。教学例2时，从观察抽象的算式特点开始，先通过简单的计算找到得数规律，再借助多种几何图形直观验证计算过程及结果，使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法。3．通过举一反三，培养数学能力。
教学重难点：在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养
教具：课件，小正方形卡片
教学过程：
师：最近呀，老师发现自己有了一项非常神奇的本领，什么本领呢？我发现，只要是从1开始的连续奇数相加，比如1+3，再比如1+3+5（板书），像这样的算式，我都算得特别的快，快到什么程度呢？只要你们说出这些算式，老师基本上就能脱口而出它的答案，你们信吗？不信也没关系，咱们就现场来比一比，找同学来出题，然后老师和你们来比赛，看看老师是不是如传闻中所说的那么快，行吗？咱们先找三个同学来出题，为了公平起见，其他不出题的同学拿出纸和笔来，他们在说的时候，你们就赶紧算，好不好？生：出题（3个同学），老师说得数
师：怎么样，快吗？你们想不想也像老师这样快？你们想不想掌握这个方法呢？直接告诉你们就不好玩了，但是呢，老师可以给你们一点提示，想听吗？我的提示是我是借助图形发现这个方法的。（板书：形）那今天这节课我们就一起来研究数与形（板书：数与形）那到底老师是怎么借助图形发现的呢？我先根据算式中的加数，拿出了若干个图形，比如：1+3，我就先拿一个小正方形，再拿3个小正方形，我发现这些数量的小正方形，刚好可以摆成一个大正方形，接着，我观察图形和算式之间的关系，我就发现了这个方法，你们想不想自己去发现，那复杂的问题，先从简单的开始，先来两个加数的，再来三个加数的，现在自己摆一摆，看看谁最先发现老师的方法。开始吧！
生：动手摆
师：谁发现了这个方法，或者根据你自己摆的图形发现了什么规律，给大家说一说！先说1+3.1在哪？3呢？也就是说这些小正方形的个数就是1+3的和，每行有几个，一共有几行？（鼓励）（板书：1+3=2的平方）谁来给大家说一说下一个？现在，老师把他的方法还原到黑板上，（摆正方形板书：1+3+5=）那除了这个，你还有其他的发现吗？
生：算式的结果等于加数个数的平方（鼓励），
师：你们认同他的想法吗？那能不能举一个具体的例子在说一说呢？
生：举例子
师，那这些同学认为，加数有几个，他们的和就是几的平方，你们认为都能这样算吗？那认为可以这样算的请说明你的理由，认为不能这样算的，也请说明你的理由。可以吗？
生：小组讨论（汇报：必须连续的奇数相加，而且必须是从1开始的）
师：同学们看，借助图形来说理由，我就明白了，那我们从头来看一看，一个小正方形，可以看成是1的平方，（黑板上摆板书：1=1的平方），想要拼成更大的正方形，再增加2个，接着再增加2个，（课件出示），那看来，只要是从一开始的连续奇数相加，就能排成每行每列个数是几的大正方形，结果也即使几的平方，那现在，老师再考考你们速度是不是快乐点，1+3+5+7 1+3+5+7+9+11+13 =9的平方，接下来，老师这个题目有一点点难了，要细心点：1+3+5+7+5+3+1 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1 生：动笔算一算（师巡视）汇报可以到前面指一指
师：现在不但是从1开始的连续的奇数你都能算得很快，稍微变化一点你们也照样算得快，现在，你知道老师是用什么方法来算这些题的了吧!
生：再次计算学生刚开始出的题
师：老师的这个方法，算得快吗？巧妙吗？这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？
生：图形
师：看来，有的计算的问题，借助图形思考，更简单。就像这个问题，借助图形，我们就找到了更巧妙，
更简便的方法，对不对？那计算问题能借助图形思考，图形的问题会不会蕴藏着数的规律呢？（出示四个图形）下面每个图形，各有几个红色的小正方形和几个蓝色的小正方形？
生：回答
师：那请你认真的观察，上面的图形和下面的数字之间有上面关系，有什么规律？
生：讨论汇报：蓝色每增加一个，中间的蓝色就会增加两个，每个图形的左右两边都是固定不变的三个小正方形，
师：为什么蓝色的每增加一个，蓝色的会增加两个呢？
生：回答（指一指，在哪增加）
师：课件出示增加的过程，如果不让你画图，照这样下去，第六个和第十个图形，各有几个蓝色和红色的小正方形？
生：在本上写一写，汇报
师：你们是怎么算出来的呢，能不能解释计算的道理，先说蓝色，再说红色
生：依次加，发现规律（指指看）再说一说规律
师，课件出示蓝色为1 2 3 4时红色增加的过程（红色小正方形的个数=蓝色小正方形的个数*2+6）即使蓝色很多的时候，我们也能算得很快，看来，图形问题也蕴藏着数的规律，找到了他们的规律，解决问题就轻松，容易多了，其实呀数与形之间还有很多的奥秘，有的特殊的数和特殊的形之间还存在着密切的联系，（课件出示1 3 6 10个圆组成三角形），上面有图，下面有数，请你再观察和思考一下，图和数之间存在着怎样的关系。
生：讨论汇报：一共有几行，第一行有几个，第二行有几个。。。。。。第几个图形就有几行，
学生自己画第五第六第七个，下面的数自己写一写，汇报
师：（课件出示第五六七个图形）现在老师如果不让你画图，你可不可以想象一下，第十个图形是什么样的呢？一共有多少个小圆形，现在咱们就不画图，算一算，第十个图形，下面那个数是多少？
生：动笔算，汇报（首行+末行）/2*行数
师：课件出示，你发现了没有，3可以拍成三角形，6 10 55 三角形数，想象28下面一个三角形数什么多少？看黑板上4可以拼成正方形，引出正方形数，16的下一个正方形数师多少？（课件出示正方形数和三角形数的联系，任意一个正方形数还可以拆成相邻的两个三角形数相加）好玩吗，有趣吗？看来，数与形之间还有着千丝万缕的联系，我们以前的学习中就有很多数形结合的例子。
数与形说课稿
各位老师大家好，我今天讲的是人教版小学六年级上册第八单元数学广角中的内容，2011年版数学教育课程标准在原有基础知识，基本技能的基础上增加了基本思想，基本活动经验，
着体现了数学教学中培养学生数学素养的重要性，数形结合的思想是一种重要的数学思想，本节课就是以这一思想为主题的数学课，在准备这节课时，我力求做到以下几点：
一、领会编者意图，准确定位教学目标。
从孩子数学学习开始，数与形的思想就一直伴随在教与学的过程中，如果说过去数形结合的思想是深藏不露的渗透在教与学的过程中，那么，在本节课，数形结合思想，则由幕后，走到了台前，成为了教学的对象与核心，我认为，编者在编排这一内容的时候，他的目的不在于掌握某个具体的知识和技能，而在于促进学生对数形结合思想的进一步体验、总结与自觉应用，因此，我将本节课的教学目标定位为1、体会数与形的联系，进一步积累数形结合解决问题的活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识，2、体验数形结合的数学方法思想价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力，积累活动经验，体验思想方法的价值，激发兴趣，是本节课教学的重点。
我力求做到的第二点是环节清晰，螺旋递进，数与形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的，又是统一的，数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上，围绕着数与形的互相转化与结合，我们将数形结合思想的教学分解为以形助数、以数解形、数形结合三个环节逐渐展开，第一个环节，以形助数教学里从1开始连续奇数相加的和除了按顺序相加，用加法交换律结合律计算还可以有怎样的简便方法，为了探索新的算法，将加数转化为图形，根据加数拿出相应个数的图形排列成正方形，通过观察数与形之间的关系，找到了其中的规律，那就是算式的和等于排列成正方形图形的个数，图形的个数等于正方形每边的个数相乘，每边的个数等于加数的个数，这样借助图形，通过等式的传递性，最终得到了算式的和等于加数个数的平方的简便新算法，这个环节，通过将数转换为形，探究出了新的计算方法，引导学生体验，图形可以帮助计算的优越性，第二个环节以数解形，教学108页做一做第二题，怎样可以算出蓝色正方形和红色正方形的个数，观察和寻找图形排列中数的规律，发现运用这一规律计算并解决问题，这个环节引导学生体验有的图形问题中蕴含着数的规律，运用规律进行计算可以很清晰的解决图形问题，体验计算解决图形问题的优越性，第三个环节数形结合凸显有趣，在这一环节中，有联系二十二第二题的教学，还有对例题一的回顾，借助三角形数、正方形数这些特殊的数与特殊的形，让学生进一步看到数与形之间有趣的联系，感受到数形之间结合与变化的魅力，
第三点，给予学生探究的时间和空间，让学生充分经历和体验，在例题一的教学中，让学生亲自动手根据算式摆图形，学生在动手摆的过程中经历了将数转化为形的过程，体验了数与形的联系，探索发现了简便算法，感受到l了成功的乐趣。
数形结合 一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理： 2222 c b a b a 0.5ab 4=+=-+?）（）（ 解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式（平方差与完全平方）： ））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222 ++=+）（ 解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式：
解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为 2 b a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正（余）弦定理： 解析： （1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2 1 h a 21S ABC =??=?= ?的面积； 即sinC c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，； 综上，得正弦定理：2R sinC c sinB b sinA a ===。 （2）根据勾股定理2 2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即?--=?--=-； 整理可得余弦定理：2ac b c a cosB 2 22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。 5、证明结论），（，2 0x sinx x x tan π ∈>>
4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而 把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四 边形共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） A ．上 B ．下 C ．左 D ．右 第（4）题 图5-1 图5-2 图5-3 …
5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的 圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形 （1 ）（ 2 ）（ 3 ）这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是 块。 9 （2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1 ，再以等腰直角三角形ABA 1 的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形A 1 BB 1 ，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形 的面积S n ＝________。 B1 B2 A1 A O B
中考数学第一轮复习资料 重新整理(超经典)+中考数学总复习资料-数与式 中考数学复习资料大全 目录 第一部分数与代数 第一章数与式 第1讲实数83 第2讲代数式84 第3讲整式与分式85 第1课时整式85 第2课时因式分解86 第3课时分式87 第4讲二次根式89 第二章方程与不等式 第1讲方程与方程组90 第1课时一元一次方程与二元一次方程组90 第2课时分式方程91 第3课时一元二次方程93 第2讲不等式与不等式组94 第三章函数 第1讲函数与平面直角坐标系97 第2讲一次函数99 第3讲反比例函数101 第4讲二次函数103 第二部分空间与图形 第四章三角形与四边形 第1讲相交线和平行线106 第2讲三角形108 第1课时三角形108 第2课时等腰三角形与直角三角形110 第3讲四边形与多边形112 第1课时多边形与平行四边形112 第2课时特殊的平行四边形114
第3课时 梯形116 第五章 圆 第1讲 圆的基本性质118 第2讲 与圆有关的位置关系120 第3讲 与圆有关的计算122 第六章 图形与变换 第1讲 图形的轴对称、平移与旋转124 第2讲 视图与投影126 第3讲 尺规作图127 第4讲 图形的相似130 第5讲 解直角三角形132 第三部分 统计与概率 第七章 统计与概率 第1讲 统计135 第2讲 概率137 第一部分 数与代数 第一章 数与式 第1讲 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= -b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
数形结合 1. 如图 1，大长方形的面积从整体看为 S=m （a +b +c ）， 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成： S ＝ S 1+S 2+S 3＝ ma +mb +mc ； 于是有 m （ a +b +c ）＝ m a +m b +m c 。 。 2. 如图 2，大长方形的面积从整体可以表示成（ a+b ）（m+n ）， 同 时 这 个 大 长 方 形 的 面 积 也 可 以 从 局 部 表 示 成 S ＝ S 1+S 2+S 3+S 4 ＝ ma +mb +na +nb ； 于是有 （ a + b ）（ m+n ）＝ ma +mb +na +nb . 。 3. 如图 3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面 2 2 积，即 a － b ； 若把小长方形 S 4 旋转到小长方形 S 3 的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成 S 1+S 2+ S 3＝ ( a +b )( a －b ) 。 2 2 于是有 ( a +b )( a －b ) ＝a －b 。 4. 如图 4：将边长为 b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角， 2 2 空白部分的面积从整体计算为 a － b ； 其面积为 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形 S 1+S 2 之和， b) 。 2 2 于是有 ( a +b )( a －b ) ＝a －b 。 5. 如图 5，大正方形的面积从整体可以表示为 ( a +b ) 2 ， 从局部可以表示为也可以表示为 S ＝ S 1 + S 2+ S 3 +S 4， 2 2 2 2 同时 S ＝ a +ab +ab +b ＝a +2ab +b ， a b a 2 b a b a 2 b (a b )( a
第1课时数与形(1) 教学内容 人教版六年级上册教材第107页例1及相关练习。 内容简析 本例让学生计算从1开始的连续奇数之和。在计算时,引导学生借助图形,发现规律:连续奇数的等差数列之和等于某平方数。教材把图形与算式对应起来,更具直观性,从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点。显然,学生通过数与形的对照,利用图形直观形象的特点容易得到关于数的规律。 教学目标 1.体会数与形的联系,进一步积累数形结合数学活动经验,培养学生数形结合的数学思想意识。 2.体验数形结合的数学思想方法价值,激发学生用数形结合的思想方法解决问题的兴趣,感受数学的魅力。 3.在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。教学重难点 积累数形结合数学活动经验,体验数学思想方法的价值,激发兴趣。 教法与学法 1.本课时解决从1开始的连续奇数的等差数列之和等于某平方数。教学中通过图形将算式对应起来,引导学生在观察中分析、发现规律。 2.本课时学生的学习主要是通过观察、讨论、交流、总结、等方法来学习,体验数学之美。 承前启后链 教学过程 一、情景创设,导入课题 情景展示法:播放课件,呈现正方形,引导学生发现规律,然后再呈现算 式的形式,再次引导观察发现,然后教师提问:你能发现正方形和算式之间的联系吗?今天,我们就来一起研究这类数与形的规律。
【品析:这种情景导入,让学生分段观察发现,通过提问两者之间的联系,凸显学生思维的矛盾,激活学生的需要,激发学习兴趣。】 比赛引入法: 师:最近老师发现自己有一项非常神奇的本领。什么本领呢?我发现只要从1开始的连续奇数相加,比如,1+3,1+3+5,…像这样的算式,我都算得特别快。你们信吗?不信也没关系,我们现场来比一比。 师生比赛,看谁算得快。 师:我的方法快吗?你们想不想也像老师一样算得快呢? 师:老师给你们一些提示,我是借助图形发现这个方法的,今天这节课我们就来研究——数与形。(板书课题) 【品析:从师生比赛引入,通过设置悬念,激发学生的学习兴趣,从而顺理成章地引出课题】 二、师生合作,探究新知 ◎出示教材第107页例题1中的主题图片,观察分析。 1.教师指导学生观察算式。 1=( )2 1+3=( )2 1+3+5=( )2 提问:你发现算式有什么特点?你能填出括号里的数吗?(让学生充分发表意见)他们的想法正确吗?我们不妨用正方形来摆摆看。 2.教师演示。 (1)教师先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如,1+3,教师就先拿一个小正方形,再拿三个同样的小正方形(贴在黑板上),此时发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形,教师把它们拼成一个大的正方形。 提问:你能发现什么?(学生此时看到正方形,有所感悟,可能猜到是2的平方) (2)师:我们的猜想正确吗?让我们再来试一试。 师:先来两个加数的,再来三个加数的。 师:再次观察,你有什么发现?(学生此时进一步感到猜想的正确) 3.学生操作。
第一单元《数与式》 一、实数的有关概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0. 2、倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a 1.注意:0没有倒数. 3、绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=???≤-≥) 0()0(a a a a 4、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小 6、无理数：无限不循环小数 7、实数分类：实数?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 8、科学记数法：把一个数写成a ×n 10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数） 9、近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 经典例题解析： 1、下列判断中，你认为正确的是（ ） A 、0的绝对值是0 B 、是无理数 C 、4的平方根是2 D 、1的倒数是﹣1 2、如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则等于（ ）
A、﹣ B、 C、﹣2 D、2 3、在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是_________． 4、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，﹣a，1的大小关系表示正确的是（） A、a＜1＜﹣a B、a＜﹣a＜1 C、1＜﹣a＜a D、﹣a＜a＜1 5、如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（） A、a+b＞0 B、ab＞0 C、a﹣b＞0 D、|a|﹣|b|＞0 6、如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是() A．－ 5 B．2－ 5 C．4－ 5 D．5－2 7. 如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||() -++2的结果等于__________ a b a b b a A. 2a B. 2b C. －2a D. －2b 8、下列各数：，0，，0.2，cos60°，，0.3000333…，1﹣中无理数个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学记数法表示为（） A、664×104 B、66.4×105 C、6.64×106 D、0.664×107 10、在显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）
数形结合 1.如图1，大长方形的面积从整体看为 S=m (a +b +c ), 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成： S = S +S+S 3= ma^mk +mc 于是有 m (a +b +c )= mahmb +mc 。 2. 如图2，大长方形的面积从整体可以表示成( 同 时这个大长方形的面积也可以从局部表示成 于是有( a+b ) ( m+n = m3+mt+na +nb . 3. 如图3,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积， 若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成 S +S 2+S 3= ( a +b )( a - b ) o 于是有 (a +b )( a -b ) = a 2 -b 2 。 4. 如图4 :将边长为b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角, 空白部分的面积从整体计算为 a 2- b 2； 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形 [1 Sk Si S, Sa a+b ) (m+n , S = S +S 2+S 3+S = 即 a 2- b 2 ； S 1+S 2之和,
2 2 2 2 于是有 (a +b )( a — b ) = a — b 。 5. 如图5，大正方形的面积从整体可以表示为 (a +b )2 , 从局部可以表示为也可以表示为 S = S + S 2+ S 3+S 4, 同时 S = a 2 +ab +ab +b 2 = a 2 +2ab +b 2 , 于是有(a +b ) 2 = a 2 +2ab +b 2 。 6. 如图6，从整体看，这个图形的面积为 从局部我们可以看出，它分为 6部分， 2 2 所以(a+b ) ( a+2b ) = a +3ab+2b 。 数形结合例题 例1在边长为a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(a >b )(如图1)，把余下的部分 拼成一个长方形(如图 2)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( ) A. (a +b ) 2= a 2+2ab +b 2 B . (a -b ) 2 =a 2 -2ab +b 2 C. a 2-b 2= (a +b ) (a -b ) D (a +2b ) (a -b ) =a 2 +ab-2 b 2 析解：图1的阴影部分面积等于边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形的面积差， 表示为a 2 -b 2 .图2中阴影部分是长方形，其中长为a +b ，宽为a - b ，其面积为(a +b ) (a -b ).根 据两 个图形中阴影部分的面积相等，有 a 2- b 2= (I a b a b 1\ -k 1 ■ ■ ■ b 图1 E2 例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形， 请利用图中空白部分面积的不同表 其面积为 a b a b a b a b (a b)(a b)。 ( a+b ) ( a+2b ), 这6部分的面积之和为 a 2 +3ab+2b 2 . Si Sj s, 隔 (a +b ) (a -b ).故选 C. b 阎5 b b
教案设计 设计说明 本课时的教学内容是“数与形”。根据教材例题的具体内容及形式，本课时在教学设计上有以下特点。 1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。 教学伊始，从观察、分析例1中图与算式的关系入手，引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。 2．借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。 教学例2时，从观察抽象的算式特点开始，先通过简单的计算找到得数规律，再借助多种几何图形直观验证计算过程及结果，使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。 3．通过举一反三，培养数学能力。 在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。 课前准备 教具准备PPT课件 学具准备完全相同的小正方形纸卡若干 教学过程 ⊙问题导入。 1．课件出示问题。
小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸走回家中，用了15分钟。上面几幅图哪幅是描述妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪幅是描述爸爸的？哪幅是描述小兰的？ 2．学生讨论、回答。 (图2是描述妈妈的，因为妈妈在健身中心没停留；图1是描述小兰的，因为她回家路上用了5分钟；图3是描述爸爸的) 3．揭示课题。 借助图形不但能帮我们直观了解小兰离家时间与离家距离的关系，还可以帮我们解决复杂的代数问题，这节课我们就来研究“数与形”。 设计意图：通过解决与图形有关的数学问题，使学生关注图形与数学的关系，在调动学生学习的积极性的同时，为新知的学习作铺垫。 ⊙探究新知 1．教学例1。 (1)课件出示例题。 看图，把算式补充完整。 1＝( )21＋3＝( )21＋3＋5＝( )2 (2)看图与算式，总结发现。 ①观察、讨论。 仔细观察，看一看上面的图形和算式左边有什么关系？ ②汇报发现。 发现一：算式左边的加数的个数与对应的大正方形中每行(或每列)的小正方形的个数相同； 发现二：算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和。 发现三：算式左边的加数和正好等于大正方形中每行(或每列)的小正方形个数的平方。 [算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个
中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（基础） 【中考展望】 1．用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等； (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 2. 热点内容： 在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容. 【方法点拨】 数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结 合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化. 在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中．数与形及其相互关系是数学研究的基本内容． 【典型例题】 类型一、利用数形结合探究数字的变化规律 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是． 【思路点拨】 首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n． 【答案与解析】 第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；
初中数学必考知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两 个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于 负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数 比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数。 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：
（苏科版）2020年中考数学必考经典题学案 专题1 数与式问题 【方法指导】 1.实数运算： （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． （3）实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 2.整式的化简求值： 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 常涉及到整体思想和乘法公式的灵活应用． 3.因式分解 （1）因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等 （2）实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． （3）因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 4.分式的化简求值问题： 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”． （2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1．已知函数f (x )＝???? ?3x ，x≤0，log 2 x ，x>0，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )为奇函数 B ．f (f (14))＝1 9 C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 D ．函数f (x )在R 上是增函数 2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1) 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )
4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x <0的解集为( ) A ．(－2，0)∩(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2) 5．实数x ，y 满足不等式组???? ?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( ) A.215 5 B ．21 C ．20 D ．25 6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y x ＋y 的最小值为( ) A.53 B ．2 C.35 D.12 8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0 中考复习专题一：数与式 【知识要点】 1、实数的分类：有理数，无理数。 2、实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________。 3、 ______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如）。 【典型考题】 1、把下列各数填入相应的集合内：有理数集{ }，无理数集{ }正实数集{ } 2、在实数中，共有_______个无理数 3、在中，无理数的个数是_______ 4、写出一个无理数________，使它与的积是有理数 【复习指导】 解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。考点2：数轴、倒数、相反数、绝对值 【知识要点】 1、若，则它的相反数是______，它的倒数是______。0的相反数是________。 2、一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0的绝对值是__________。 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。 【典型考题】 1、___________的倒数是；0、28的相反数是_________。 2、如图1，数轴上的点M所表示的数的相反数为_________-10123图1M 3、 ,则的值为________ 4、已知，且，则的值等于________-2-1012图2 35、实数在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（）① ② ③ ④ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________。②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果|AB|=2,那么 【复习指导】 经典例题 类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个 数有（） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 故选C 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确． 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C． 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3） ___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），， 【变式2】求下列各式中的 （1）（2）（3） 【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）． A．－1 B．1－C．2－D．－2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】： 类型四．实数绝对值的应用 《数与形》 教学目标：1、使学生通过小组讨论发现图形中隐藏的数的规律，并会应用所发现的规律。 2、通过探究从1开始几个连续奇数相加的和的规律，使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。 3、使学生在解决数学问题的过程中，体现和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。 重点：通过探究从1开始几个连续奇数相加的和的规律，感受数与形相结合的数学思想。难点：整理归纳出从1开始几个连续奇数相加的和的规律，并会灵活运用。 教学准备：练习纸、多媒体 教学过程： 一、课前热身 出示： 问：这是哪里？ 生：学校外面的房子。 师：有什么规律？ 生：从上到下，按照1、3、5、7的顺序排列。 生：从左到右，按照1、2、3、4一个一个增加，然后再3、2、1的顺序减少。 小结1：我们的生活中充满了有趣的现象，只要我们留心，就能发现很多有规律的事情，今天我们就来研究有规律的数学问题。 意图：结合校园外面有规律的空调摆放吸引学生的注意，让学生深刻体会生活中有趣的数学现象。 二、新课铺垫 出示：1+3=（） 1+3+5=（） 1+3+5+7=（） 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=（） 待学生一个一个算完后，问：这些算式有什么特点？ 预：这里的加数都是奇数，得数都是偶数，从1开始连续的奇数…… 板书：从1开始几个连续奇数相加 出示：1＋3＋5 ＋……＋97＋99＝（） 问：这道从1开始连续加到99，你会怎么算？说说你的想法！ 师：想不想算得更快？ 小结2：今天我们就来研究“从1开始几个连续奇数相加的和”的规律。 意图：为接下来探究规律做铺垫。 三、 探究新课 师：为了让同学们尽快发现规律，老师带来了帮手——小正方形 出示： 问：求这里一共有几个小正方形，有哪些算法？ 预：2×2=1+3=1+2+1=4 板书：1+3=2×2=4 （其他算法忽略） 问：这两个2分别表示什么？1在哪儿？3在哪儿？请你们在纸上把1+3这种方法涂一涂，并在下面写上对应的算式。 问：这几种方法，哪种比较快？ 预：2×2 1+3 差不多快 出示： 问：问：求这里一共有几个小正方形，有哪些算法？ 预：1+3+5=3×3=1+2+3+2+1=9 板书：1+3+5=3×3=9 问：这两个3分别表示什么？1在哪儿？2在哪儿？3在哪儿？请你们在纸上把1+3+5这种算法表示出来，并在下面写上算式。 问：这几种方法，哪种比较快？ 出示： 问：求这里一共有几个小正方形，有哪些算法？ 预：1+3+5+7=4×4=1+2+3+4+2+1=16 板书：1+3+5+7=4×4=16 问：这两个4分别表示什么？1在哪儿？2在哪儿？3在哪儿？5在哪儿……请你们在纸上把1+3+5这种方法涂一涂，并在下面写上算式。 问：这几种方法，哪种比较快？ 问：看一看你刚才涂的正方形，再结合下面对应的算式，想一想，从1开始几个连续奇数相加的和的算法有什么规律？给你们1分钟时间思考，然后小组讨论5分钟，组长负责记录，把规律一条一条列在纸上，有道理的一条得1分，派一个代表上来汇报，结合刚才涂好的方格纸。 汇报：从第1小组开始，汇报一条，有道理的，并且其他小组也有的一起打勾，其他小组汇报。 总结归纳出：从1开始几个连续奇数相加的和等于几乘几 中考数学复习专题1《数与式》 考点1 有理数、实数的概念 【知识要点】 1、实数的分类：有理数，无理数。 2、实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________。 3、______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如4），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如π）。 【典型考题】 1、把下列各数填入相应的集合内： 5 1.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73&&π- 有理数集{ }，无理数集{ } 正实数集{ } 2、在实数27 1,27,64,12,0,23, 43--中，共有_______个无理数 3、在4,45sin ,3 2,14.3,3?--中，无理数的个数是_______ 4、写出一个无理数________，使它与2的积是有理数 【复习指导】 解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。 考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值 【知识要点】 1、若0≠a ，则它的相反数是______，它的倒数是______。0的相反数是________。 2、一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________； 0的绝对值是__________。???<≥=) 0____()0____(||x x x 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。 【典型考题】 1、___________的倒数是2 11-；0.28的相反数是_________。 2、如图1，数轴上的点M 所表示的数的相反数为_________ M 3 图1 数形结合例题分析 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图象，易知 两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，， x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解 的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 数形结合思想 、数学结合思想 所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相 互转化来解决数学问题的思想。 数学结合思想的应用包括以下几个方面： (1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维， 提示数学问题的本质； (2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。 二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化： 1．“数”：主要是指数和数量关系。 中学阶段的“数”有以下几类： (1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。 2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。 中学阶段的“形”有以下几类： (1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几 何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域； 三、数形结合思想应用的关键： 1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。数” 四、数形结合思想解决的问题类型： 1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、 集合的运算问题； 2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决 函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题; 7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。 数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路 sin7ix(0 < X < 1) 例6 :(改编题)已知函数f(x)斗' '，若a,b,c 互不相等,且 Iog 2011 x(x >1) f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C ) 例7 .设0中考复习专题一：数与式
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《数与形1》教案-吴培蕾
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