1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证
）
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：
αβ
αγβγ
//,// ==????
a b a b
面面平行性质
???
?
? 面面平行性质
αγβγαβ
//////??
??
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理
PA AO PO
a
a OA a PO
a PO a AO
⊥
?
⊥?⊥
⊥?⊥
α
α
α
,为
在内射影
则
线面垂直判定1面面垂直判定
a b
a b O
l a l b
l
,
,
?
=
⊥⊥
?⊥
?
?
?
?
?
α
α
a
a
⊥
?
?⊥
?
?
?
α
β
αβ
线面垂直定义
l
a
l a
⊥
?
?⊥
?
?
?
α
α
面面垂直性质，推论2
αβ
αβ
β
α
⊥
=
?⊥
?⊥
?
?
?
?
?
b
a a b
a
,
αγ
βγ
αβ
γ
⊥
⊥
=
?⊥
?
?
?
?
?
a
a
面面垂直定义
αβαβ
αβ
=--
?⊥
?
?
?
l l
，且二面角
成直二面角
3. 平行与垂直关系的转化：
线线∥线面⊥面面∥
线面垂直判定2面面平行判定2
线面垂直性质2面面平行性质3
a b
a
b
//
⊥
?⊥
?
?
?
α
α
a
b
a b
⊥
⊥
?
?
?
?
α
α
//
a
a
⊥
⊥
?
?
?
?
α
β
αβ
//
αβ
α
β
//
a
a
⊥
⊥
?
?
?
a
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
）
5. 唯一性结论：
1. 三类角的定义：
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b
、
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
》
（三）空间距离： 求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。 求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。
【典型例题】
（一）与角有关的问题
例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF
·
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 120°
解：取AC中点G，连结EG、FG，则
EG PC FG AB
∥∥
，
==
1
2
1
2
∴∠EGF为AB与PC所成的角
在△EGF中，由余弦定理，
cos∠
··
EGF
EG FG EF
EG FG
=
+-
=
+-
??
=-
222222
2
537
253
1
2
∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°
%
∴选A
（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）
A B C D
....
13
13
3
6
3
3
26
26
解：
设正四棱锥的高为，斜高为
h h h
'=+
?
?
?
?
?
2
2
1
2
由题意：
1
2
41
1
2
161
2
2
22
??+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+=?
h
∴h26
=
∴侧棱长PB h OB
=+=+
?
?
?
?
?=
22
2
6
2
2
26
2
∴∠
cos PBO
OB
PB
===
2
2
26
2
13
13
∴选A
（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3
111111
ABCD A B C D P A D Q
-
A B E F CD EF
11
上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
|
③二面角P—EF—Q的大小为定值；
④三棱锥P—QEF的体积为定值
其中正确命题的序号是___________。
解：
平面即是平面
QEF A B CD
11
∴上定点到面的距离为定值
A D P A
B CD
1111
∴①对，②错
二面角——，即面与面所成的角，且平面角∠为定P EF Q PDF A B CD PDA
111
【
值，∴③对
因为∥，且为定值，∴为定值
A B DC EF S
QEF
11?
又点到平面的距离为定值，∴为定值，∴④对
P QEF V
P QEF
-
综上，①③④正确。
例2. 图①是一个正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线，请在图（
2）的正方体中将MN ，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题： （1）求MN 和PQ 所成角的大小； （2）求四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比； |
（3）求二面角M —NQ —P 的大小。
解：（1）如图②，作出MN 、PQ
∵PQ ∥NC ，又△MNC 为正三角形 ∴∠MNC ＝60°
∴PQ 与MN 成角为60°
（）·213V V S MQ M NPQ Q PMN PMN --==
?
#
=
==1621
61
6···正方体
S MQ S MQ V PMN PMDN ?
即四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA 交PQ 于O 点，则MO ⊥PQ
又NP ⊥面PAQM ，∴NP ⊥MO ，则MO ⊥面PNQ 过O 作OE ⊥NQ ，连结ME ，则ME ⊥NQ ∴∠MEO 为二面角M —NQ —P 的平面角 在Rt △NMQ 中，ME ·NQ ＝MN ·MQ
设正方体的棱长为a
;
ME
a a
a
a MO a
===
2
3
6
3
2
2
·
，又
在中，∠
Rt MEO MEO
MO
ME
a
a
?sin===
2
2
6
3
3
2
∴∠MEO＝60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。
例3. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
:
解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）
∵PA＝PD，∴OA＝OD
于是OB平分AD，点E为AD中点
∴PE⊥AD
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
@
∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°
又，∴·
PE PO PE o
====
3603
3
2
3
2
sin
即为P点到面ABCD的距离。
（2）由已知ABCD 为菱形，及△PAD 为边长为2的正三角形 ∴PA ＝AB ＝2，又易证PB ⊥BC 故取PB 中点G ，PC 中点F 则AG ⊥PB ，GF ∥BC 又BC ⊥PB ，∴GF ⊥PB
.
∴∠AGF 为面APB 与面CPB 所成的平面角 ∵GF ∥BC ∥AD ，∴∠AGF ＝π－∠GAE
连结GE ，易证AE ⊥平面POB
又，为中点PE BE G PB ==3
∴∠∠PEG PEB o =
=1
260
∴GE PE o
==?
=cos603123
2
在中，Rt AGE AE AD ?==1
21
∴∠tan GAE GE AE =
=32
}
∴∠GAE =arctan
32
∴∠AGF =-πarctan
32
所以所求二面角的大小为π-arctan
32
（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA
P B （，，
），（，，）003203320
PB G AG 的中点的坐标为（，
，），连结03343
4
又（，
，），（，，）A C 1320233
20-
由此得到（，，），（，，），GA PB →
=-
-→=-1343403323
2
-
BC →
=-（，，）200
于是·，·GA PB BC PB →→=→→=00 ∴⊥，⊥GA PB BC PB →→→→
∴、的夹角为所求二面角的平面角GA BC →→
θ
于是··cos ||||θ=→→→→=-GA BC GA BC 27
7
∴所求二面角大小为π-arccos
27
7
（二）与距离有关的问题
]
例4. （1）已知在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离都是14，那么点P 到平面ABC 的距离是（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 解：设点P 在△ABC 所在平面上的射影为O
C
∵PA ＝PB ＝PC ，∴O 为△ABC 的外心
△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°
∴BC o
=+-???=91529151202122cos
由
，∴a
A
R R sin ==?
=221232
73
!
()
∴PO =-=1473
7
2
2
（）在直三棱柱中，，，∠2221111ABC A B C AB BC BB ABC -====
90E F o
，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的AA C B E F 111
长度为___________。
解：（采用展开图的方法）
将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCC B B A ABB B BCC 1111111
，
连接，则为所求的最短路径EF EF
如图①，EF A E A F =+=+?? ???
=
121222
132222
2
如图②展开，EF =++?? ??
?
=
+()21227222
2
2
如图③展开，EF =?? ???++?? ?
?
?
=
321213222
2
比较这三种方式展开，可见沿表面从到的最短路径长度为
。E F 3
22
点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。
(
（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是（ ）
A R
B R
C R
D R .
.
.
.
12
14
32
13ππππ
解：
()
由题意∠AO B o o o o
136014013090=-+=
（O 1为小圆圆心）
又由题意O A O B R 112
2==
则中，?O 1AB AB R =
∴△AOB 为正三角形（O 为球心） ~
∴∠AOB =
π3
∴、两点球面距离为
A B R π3
∴选D
例5. 如图，四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 中点。 （1）求证：AF ∥平面PEC ；
（）若＝，，二面角——为，求点到平面2AD 2CD P CD B F PEC o
=2245
距离。
—
解：G 为PC 中点，连结FG 、EG 又∵F 为PD 中点
∴，又∥∥FG CD AE CD
==121
2
∴∥FG AE =
∴四边形AEGF 为平行四边形
∴∥，又面，面AF EG EG PEC AF PEC ??
∴AF ∥平面PEC 》
（2）∵CD ⊥AD ，又PA ⊥面ABCD
∴AD 为PD 在面ABCD 上射影 ∴CD ⊥PD
∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，且∠PDA ＝45° 则△PAD 为等腰直角三角形 ∴AF ⊥PD ，又CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AF
∴AF ⊥面PCD
#
作FH ⊥PC 于H ，则AF ⊥FH 又EG ∥AF ，∴EG ⊥FH
∴FH ⊥面PEC ，∴FH 为F 到面PEC 的距离
在Rt △PEG 中，FH ·PG ＝PF ·FG
∴FH =
?+=2222
1
2
2
方法2：（体积法）
∵AF ∥面PEC ，故只要求点A 到面PEC 的距离d
由即··V V S d S PA
A PEC P AEC PEC AEC --==131
3??
> 易证AF ⊥面PCD ，∴EG ⊥面PCD
∴EG ⊥PC
()
∴·S PC EG PEC
?==++?=1212
2222222
22
2
S AE BC AEC ?=
?=??=121
2222
∴·d S PA S AEC PEC =
=?=??22
221
（三）对命题条件的探索
例6. （1）如图已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（）
{
66
>≥
A a
B a
..
<<<≤
0606
C a
D a
..
解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE
由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE
所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则
AD＞2AB＝6
∴选A
】
（2）如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P为（）
A. K
B. H
C. G
D. B
分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。
而平面PEF中，EF为定直线，连BC'则F为BC'中点
'''
?
?AC B EF AB AB PEF A B PEF
故中，∥∥平面，∥平面
考虑到若P为K点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK
·
即它们也都平行于平面PEF，不合题意。
同理P也不能为H点，若P为B'点时，EF与B'A'共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF），可见只能取G点。
故选C
例7. 如图，是棱长为的正方体11111ABCD A B C D
（）线段上是否存在一点使得⊥平面若存在，确定的位
111A B P A B PAC P ?置；若不存在，说明理由。 （）点在线段上，若二面角——的大小是，求点位221P A B C AP B P arctan
置；
$
（）点在对角线上，使∥平面，求
。3111Q B D A B QAC B Q
QD
解：（1）（用反证法）
假设⊥面，则⊥BA PAC A B AC 11
∵∥，易知与成A C AC A B A C o
1111160 即与成角，与⊥矛盾A B AC A B AC o
1160
∴不垂直于平面A B PAC 1
∴不存在点P 满足题目条件 ;
（2）过B 作BH ⊥AP 于H ，连CH
由于⊥面，故⊥CB ABB A CH AP 11
即∠BHC是二面角C—AP—B的平面角
∴∠
tan BHC
BC
BH
==2
即
AB
BH
=2
即在中，
Rt BHA
BH
AB
?=
1
2
∴∠BAH＝30°
（
在中，，又
?ABP
PB AB
AB
sin sin
30105
1
?
=
?
=
∴PB=
+
=
-
1
2
62
4
62
2
（）由于∥，∴∥面
3
1111
A B D C A B D AC
∴点是直线与面的交点
Q B D D AC
11
下面求Q点的位置。
设∩，显然∽
AC BD O QOD QD B
=??
11
∴
B Q
QD
B D
DO
1112
==
]
（四）对命题结论的探索
例8. （）正方体中，点在侧面及其边界上运动，1
111111
ABCD A B C D P BCC B
-
并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（）
A B C
.线段
1
B B
C .线段1
C BB CC .11中点与中点连成的线段
D BC B C .中点与中点连成的线段1
~
分析：从条件AP ⊥BD 1出发，可知AP 必在过A 点且与BD 1垂直的平面B 1AC 上 ∴点P 必在B 1C 上 ∴选A
（2）如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（ ）
A. 直线AB 上
B. 直线BC 上 >
C. 直线CA 上
D. △ABC 内部
解：连结AC 1
∵AC ⊥AB ，又AC ⊥BC 1 ∴AC ⊥面ABC 1
又面，∴面⊥面且为交线AC ABC ABC ABC AB 1
则C 在面ABC 上的射影必在交线AB 上 ∴选A
$
例9. 在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1。 （1）求证：平面CBD ⊥平面ABD ； （2）是否存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为30°如果存在，求出CD 的长；如果不存在，请找出一个角θ，使得存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为θ。
解：（1）∵AB ⊥BC ，AB ⊥BD
∴⊥平面，又面AB BCD AB ABD ?
∴面ABD
⊥面CBD
？
（2）设CD ＝x ，在面CBD 内作CE ⊥BD 于E 由（1）知平面ABD ⊥面BCD ，且BD 为交线 ∴CE ⊥平面ABD
作EF ⊥AD 于F ，连结CF ，则CF ⊥AD
∴∠CFE 为“二面角”C —AD —B 的平面角，且∠CFE ＝30°
又在Rt △BCD 中，CE ·BD ＝CB ·CD
∴CE x x x x =
?+=
+11
122
又∵CD ⊥BC ，又BC 为AC 在面BCD 上射影 }
∴CD ⊥AC
则在Rt △ACD 中，CF ·AD ＝AC ·CD
∴CF x x =
+222
在中，∠·Rt CEF CFE CE
CF
x x x x x x ?sin ==
++=++=
2
22
2
122
221
12
解出，无实数解。x 2
3=-
故不存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为30°
又∠·，sin CFE x x x =
++=
++∈?? ???
2
222
21
1211
1221
∴∠，CFE ∈?? ???
π
π42
(
故θ可以取45°～90°之间的任意角。 点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。
【模拟试题】
一. 选择题。
1. PA 、PB 、PC 是从P 引出的三条射线，两两成60°，则PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）
A. 12
B. 32
C.
33
D.
63
2. 在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为（ ）
）
A. 13
B. 12
C. 223
D. 32
3. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）
A.
11
B.
41
C. 7
D.
61
4. 已知A 、B 、C 是球面上的三点，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，球 心O 到平面ABC 的距离为11，则球的表面积为（ ）
A. 36π
B. 72π
C. 144π
D. 288π
5. △ABC 边上的高线为AD ，BD a CD b ==，，且a b <，将△ABC 沿AD 折成大小为
θ的二面角B —AD —C ，若
cos θ=
a
b ，则三棱锥A —BCD 的侧面△ABC 是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
）
C. 直角三角形
D. 形状与a ，b 的值有关的三角形
6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二. 填空题。
7. 如图，在三棱锥P —ABC 中，PA PB PC BC ===，且∠BAC =
π
2，则PA 与底面
ABC 所成角的大小为___________。
&
8. 如图，矩形ABCD 中，AB BC ==43，，沿AC 把△DAC 折起，当四面体的体积最大时，直线AD 与平面ABG 所成角的正弦值是___________。
9. 如图，正方体ABCD A B C D -1111棱长为1，M 、N 分别为B C D C 1111、中点，则点C 到截面MNDB 的距离是___________。
三. 解答题。
10. 如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于
B C 11、，将?AB C 11沿B C 11折起到?A B C 111的位置，使点A 1在平面BB C C 11上的射影
恰是线段BC 的中点M ，求：
（1）二面角A B C M 111--的大小； %
（2）异面直线A B 11与CC 1所成角的大小。（用反三角函数表示）
11. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF ＝1，M
是线段EF 的中点。 （1）求证：AM ∥平面BDE ； （2）求二面角A —DF —B 的大小； （3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60°。
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：
一、选择题 1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ） 2 3 + 为 （ ） C 、120； 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ） A 、34； B 、312a ； C 、24 a ； D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ） A 、在y 轴上的截距是6； B 、在x 轴上的截距是6； C 、在x 轴上的截距是3； D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ） A 、平行； B 、相交或异面； C 、异面； D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为A 、12-； B 、12 ； C 、2-； D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ） A 2； B 2a ； C 2； D 2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ． 60° 9、下列叙述中错误的是 （ ） A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B 、三点,,A B C 确定一个平面； C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面； 图（1） 1 A
D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ） A 、两条平行直线； B 、一点和一条直线； C 、两条相交直线； D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ） A 、25π； B 、50π； C 、125π； D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为 ； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．． 和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ． 15、过点（1 16、已知,a b （1） a b αβ////,，则a b //； （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α?//，则a α//； （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； M
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l
1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
必修二立体几何常考证明题 一．证明线线平行，线面平行，面面平行 1．利用三角形中位线 2. 利用平行四边形 考点1：线面平行的判定（利用三角形中位线） 例1：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 考点2：线面平行的判定（利用平行四边形） 例2：已知正方体111 1 ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ； 练习： 1、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，求证：直线AE ∥平面PFC A E D 1 C B 1 D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
2正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。 （1）求证：直线AB 1∥平面C 1DB ； 3、 如图，已知ABCD PA 矩形 所在平面，N M 、分别为PC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：PAD MN 平面//； 4、如图，在三棱锥D-ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB=BC=a ，E 为 BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF=3FC ． （1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ； （3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． A 1 C 1 C B A B 1
考点3：面面平行的判定 例7：如图，在正方体111 1 ABCD A BC D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1 1 C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 5、棱长为a 的正方体AC 1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点． （1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面； （2）求证：面AMN ∥面EFBD ．
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积：
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。 求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．
4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（ 1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的 结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1 ）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（ 3）把几何问题转化为 代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高 级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：
公理4 (a//b,b// c a I Ic ) 面面平行性质I I a, a II b a ,b 线线//| 疋 a II线面平行判定 ----------------- > 线面// | 疋 / / 线面平行性质 a II a II a II 2.线线、线面、面面垂直关系的转化: 三垂线定理、逆定理 PA , A0为PO 在内射影 a 则a OA a PO a PO a AO 线线丄 a, b a // b a b A a II ,b II // 面面平行判定1 面面平行性质1 I I / / / / O I a, I I 线面垂直判定1 a b 线面丄屯 面面垂直判定 推论2 l，且二面角I 线面垂直定义面面垂直性质, 成直二面角 3.平行与垂直关系的转化:
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形， 且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。 （1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
重点高中立体几何证明平行的专题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1 ＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA E F B A C D P （第1
4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
C B A D C 1 A 1 必修二立体几何经典证明试题 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥, 由题设知0 1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥, 又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ； （Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132 +???=1 2， 由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1， ∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点且1 2 DF AB = ，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD = 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB . 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。 因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =I ，所以PH ⊥平面ABCD 。 （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。 因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。 则1122EG PH = =， 111 332 E BC F BCF V S E G FC AD EG -?=?=????=2。 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。因为E 是PB 的中点，所以1 // 2ME AB =。 因为1 // 2DF AB =，所以//ME DF = ，所以四边形MEDF 是平行四边形，所以//EF MD 。 因为PD AD =，所以MD PA ⊥。因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥。 因为PA AB A =I ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。 3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ， 分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为
1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）
2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图 例2题图 例3题图
空间几何证明 1、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 2、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 3、已知正方体1111ABCD A BC D -， O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面. 5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 6、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥； （2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1
7、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 、 F 、 G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 8、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面 BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ； （2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．