专题一、板块模型与传送带模型中的动力学问题
1．如图所示，传送带的水平部分长为L，传动速率为v，在其左端无初速度释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间可能是( )
A.L
v
＋
v
2μg
B.
L
v
C.
2L
μg
D.
2L
v
2．如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s，动摩擦因数μ＝0.5，在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m＝0.5 kg的物体．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．
3．如图所示，长为L＝2 m、质量为M＝8 kg的木板，放在水平地面上，木板向右运动的速度v0＝6 m/s时，在木板前端轻放一个大小不计，质量为m＝2 kg的小物块．木板与地面、物块与木板间的动摩擦因数均为μ＝0.2，g＝
10 m/s2.求：
(1)物块及木板的加速度大小．
(2)物块滑离木板时的速度大小．
4．如图所示，质量M＝8 kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一F
＝8 N的水平推力，当小车向右运动的速度达到v0＝1.5 m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m＝2 kg的小物块，小物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，小车足够长，取g＝10 m/s2.求：
(1)放小物块后，小物块及小车的加速度各为多大；
(2)经多长时间两者达到相同的速度；
(3)从小物块放上小车开始，经过t＝1.5 s小物块通过的位移大小为多少？
专题二、板块模型与传送带模型中的功能关系、动量守恒问题
1．如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0从左端滑上小车．物块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2.要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0不超过多少？
2．如图所示，固定的光滑圆弧面与质量为6 kg的小车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2 kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2 kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h ＝1.25 m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出．已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均为μ＝0.5，小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g＝10 m/s2.求：
(1)滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；
(2)小车C上表面的最短长度．
3．如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为m
＝2 kg、m B＝1 kg、m C＝2 kg.开始时C静止，A、
A
B一起以v
＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右
运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 碰撞．求A与C碰撞后瞬间A的速度大小．
4．如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件（可看做质点）轻轻放在皮带的底端，经过时间1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，g取10 m/s2，求：
（1）工件与传送带间的动摩擦因数；
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。
5．一质量为M＝2 kg的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中，子弹从物块中穿过，如图甲所示，地面观察者记录了小物块被击穿后的速度随时间的变化关系，如图乙所示，图中取向右运动的方向为正方向，已知传送带的速度保持不变，g取10 m/s2。
（1）指出传送带的速度v的方向及大小，说明理由。
（2）计算物块与传送带间的动摩擦因数。
（3）计算物块对传送带总共做了多少功？系统有多少能量转化为能？
专题三、板块模型与传送带模型中的临界问题
1．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是
μmg 。现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为（ ） A ．
5
mg
3μ B ．
4mg
3μ C ．
2
mg
3μ D ．mg 3μ
2．如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为
2
μ
．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ．现对A 施加一水平拉力F ，则：
A ．当F ＜2μmg 时，A 、
B 都相对地面静止
B ．当F ＝mg μ38时，A 的加速度为g μ31
C ．当F ＞3μmg 时，A 相对B 滑动
D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过g μ2
1
3．如图所示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A 、B 两端相距 3 m ，另一台倾斜，其传送带与地面的倾角
θ＝37 °，C 、D 两端相距4.45 m ，B 、C 相距很近．水平部分AB 以v 0＝5 m/s 的速率顺时针转动．将一袋质量为10 kg 的大米无初速度放在A 端，到达B 端后，米袋继续沿倾斜的CD 部分运动，不计米袋在BC 处的机械能损失．已知米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5，g ＝10 m/s 2，cos 37°＝0.8，求：
(1)若CD部分传送带不运转，米袋能否运动到D端？
(2)若要米袋能被送到D端，CD部分顺时针运转的最小速度为多大？
专题一、板块模型与传送带模型中的动力学问题
1.解析当小木块刚放到传送带上时μmg＝ma得a＝μg
设小木块加速到v时运动的距离为L0，由v2＝2aL0得L0＝
v2 2μg
(1)当L≤L0时，小木块一直加速，v≥at得t≤
v
μg
或由L＝
1
2
at2得t＝
2L
μg 或由L ≤12vt 得t ≥2L
v
，故C 、D 正确． (2)当L >L 0时，小木块先加速后匀速，加速阶段有v ＝at 1得t 1＝v
μg
匀速阶段有L －L 0＝vt 2得t 2＝L v －v
2μg
由t ＝t 1＋t 2得t ＝L v ＋v
2μg
，故A 正确．
答案 ACD
2.解析 (1)传送带顺时针转动时，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，相对传送带向下匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mg (sin 37°－μcos 37°)＝ma
则a ＝g sin 37°－μg cos 37°＝2 m/s 2， 根据l ＝12
at 2
得t ＝4 s.
(2)传送带逆时针转动，当物体下滑速度小于传送带转动速度时，物体相对传送带向上运动，则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下，设物体的加速度大小为a 1，由牛顿第二定律得
mg sin 37°＋μmg cos 37°＝ma 1
则有a 1＝mg sin 37°＋μmg cos 37°
m
＝10 m/s 2
设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t 1，位移为x 1，则有
t 1＝v a 1＝1010 s ＝1 s ，x 1＝12
a 1t 21＝5 m 当物体运动速度等于传送带速度瞬间，有mg sin 37°>μmg cos 37°，则下一时刻物体相对传送带向下运动，受到传送带向上的滑动摩擦力——摩擦力发生突变．设当物体下滑速度大于传送带转动速度时物体的加速度为a 2，则 a 2＝mg sin 37°－μmg cos 37°m ＝2 m/s 2 x 2＝l －x 1＝11 m 又因为x 2＝vt 2＋12 a 2t 22，则有10t 2＋t 2 2＝11， 解得：t2＝1 s(t2＝－11 s舍去) 所以t总＝t1＋t2＝2 s. 答案(1)4 s (2)2 s 3.解析(1)物块的加速度a m＝μg＝2 m/s2，对木板有：μmg＋μ(M＋m)g＝Ma M， 解得a M＝3 m/s2. (2)设物块经时间t从木板滑离，则： L＝v 0t－ 1 2 a M t2－ 1 2 a m t2 解得t1＝0.4 s或t2＝2 s(因物块已滑离木板，故舍去) 滑离木板时物块的速度：v＝a m t1＝0.8 m/s. 答案(1)2 m/s2 3 m/s2(2)0.8 m/s 4.解析(1)小物块的加速度a m＝μg＝2 m/s2， 小车的加速度a M＝F－μmg M ＝0.5 m/s2. (2)由a m t＝v0＋a M t，解得：t＝1 s. (3)从小物块放上小车开始1 s，小物块的位移 s 1＝ 1 2 a m t2＝1 m， 1 s末小物块的速度v＝a m t＝ 2 m/s 在接下来的0.5 s小物块与小车相对静止，一起做加速运动，且加速度a＝F M＋m ＝0.8 m/s2， 这0.5 s小物块的位移s2＝vt1＋1 2 at2 1 ＝1.1 m， 小物块1.5 s通过的总位移s＝s1＋s2＝2.1 m. 答案(1)2 m/s20.5 m/s2(2)1 s (3)2.1 m 专题二、板块模型与传送带模型中的功能关系、动量守恒问题 1.解析要使物块恰好不从小车上滑出，需满足物块到小车右端时与小车有共同的速度v，则m2v0＝(m1＋m2)v， 由功能关系有1 2 m 2 v2 ＝ 1 2 (m1＋m2)v2＋μm2gL， 代入数据解得v0＝5 m/s， 故要使物块不从小车右端滑出， 物块滑上小车的速度v0不能超过5 m/s. 答案 5 m/s 2.解析(1)设滑块A滑到圆弧末端时的速度大小为v1，由机械能守恒定律 有：m A gh＝1 2 m A v2 1 ，① 代入数据解得v1＝2gh＝5 m/s. ② 设A、B碰后瞬间的共同速度为v2，滑块A与B碰撞瞬间与车C无关，滑块 A与B组成的系统动量守恒，m A v 1 ＝(m A＋m B)v2，③ 代入数据解得v2＝2.5 m/s. ④ (2)设小车C的最短长度为L，滑块A与B最终没有从小车C上滑出，三者最终速度相同设为v3， 根据动量守恒定律有：(m A＋m B)v2＝(m A＋m B＋m C)v3 ⑤ 根据能量守恒定律有：μ(m A＋m B)gL＝1 2 (m A＋m B)v22－ 1 2 (m A＋m B＋m C)v23⑥ 联立⑤⑥式代入数据解得L＝0.375 m．⑦ 答案(1)2.5 m/s (2)0.375 m 3.答案 2 m/s 解析因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为v A，C的速度为v C，以向右为正方向，由动量守恒定律得 m A v0＝m A v A＋m C v C① A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为v AB，由动量守恒定律得 m A v A＋m B v0＝(m A＋m B)v AB② A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足 v AB＝v C③ 联立①②③式，代入数据得 v A＝2 m/s④ 4.【答案】（1） 3 2 （2）230 J （2）从能量守恒的观点，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能、势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量。在时间t 1，皮带运动的位移x 皮＝v 0t 1＝1.6 m 在时间t 1，工件相对皮带的位移x 相＝x 皮－x 1＝0.8 m 在时间t 1，摩擦生热Q ＝μmg cos θ·x 相＝60 J 工件获得的动能E k ＝12mv 02 ＝20 J 工件增加的势能E p ＝mgh ＝150 J 电动机多消耗的电能W ＝Q ＋E k ＋E p ＝230 J 。 5.【答案】（1）2 m/s （2）0.2（3）36 J （2）由题图可知，a ＝Δv Δt ＝42 m/s 2＝2 m/s 2 由牛顿第二定律得，滑动摩擦力F f ＝Ma ，其中F f ＝μF N ，F N ＝Mg ， 所以物块与传送带间的动摩擦因数μ＝a g ＝2 10 ＝0.2。 （3）由题图可知，传送带与物块存在摩擦力的时间只有3 s ，传送带在这段时间的位移 x ＝vt ＝2×3 m＝6 m 所以物块对传送带所做的功为W ＝－F f x ＝－4×6 J＝－24 J 选传送带为参考系，物块相对于传送带通过的路程x ′＝ v ′2 t ＝6 2 ×3 m＝9 m ， 所以转化为能E Q ＝F f x ′＝4×9 J＝36 J 。 专题三、板块模型与传送带模型中的临界问题 1.答案：B 2．【答案】CD 当F ＞3μm g 时，F ＞f max ，AB 间会发生相对滑动，A 相对B 发生滑动，选项C 正确； A 对B 的最大摩擦力为2μmg，B 受到的地面的最大静摩擦力为 3 2 μmg，无论F 为何值，B 的加速度不会超过3 2122 mg mg a g m μμμ-==，选项D 正确．故选CD. 3.解析 (1)米袋在AB 部分加速时的加速度a 0＝ μmg m ＝μg ＝5 m/s 2， 米袋的速度达到v 0＝5 m/s 时，滑行的距离s 0＝v 20 2a 0＝2.5 m 米袋到达B 点的速度为v 0＝5 m/s ， CD 部分不运转，米袋在CD 部分的加速度大小设为a ，有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma ， 得a ＝10 m/s 2， 米袋能滑上的最大距离s ＝v 20 2a ＝1.25 m<4.45 m ， 故米袋不能运动到D端． (2)设CD部分运转速度为v时米袋恰能到达D端(即米袋到达D点时速度恰好为零)，则米袋速度减为v之前的加速度大小为a1＝g sin 37°＋μg cos 37°＝10 m/s2， 米袋速度小于v后所受摩擦力沿传送带向上，继续匀减速运动直到速度减为零，该阶段加速度大小为a2＝g sin 37°－μg co s 37°＝2 m/s2， 由运动学公式得v2 －v2 2a1 ＋ v2 2a2 ＝4.45 m 解得v＝4 m/s， 即要把米袋送到D点，CD部分的最小速度为4 m/s. 答案(1)不能(2)4 m/s
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