一.判断正误(每题2分，共20分)
(1) T(2)F(3)F(4)F(5)F(6)T(7)T(8)F(9)F(10)T(11)F(12)T(13)T(14)T(15)T 二、计算（每题5分，共35分）
1．t
e t t
f -+=)(
00)()()(t e t dt t t t f t g -∞
∞
-+=-=?
δ --------5分
2．221212()[()*()()*[()]()*()()t t d d
g t f t f t f t f t e u t t e u t dt dt
δ--=
=== 3．s
s e s s e s s X --+=+=11)( --------1分
)1()()]([)(1
-+==-t u t s X L t x δ ----------4分
4．()()n x n a u n = ()z
X z z a =
- ----------1分 )1()(-=n u n h 1
()1
H z z =- ----------1分
1
1
1()()*()(()())[]()()(1)1n
z a y n x n h n z X z H z z u n z a z a
---====--- ----------3分
5．12
11
1()(1)(12)
z z X z z z ----++=--
1
)(lim )0(==∞
→z X x z -----------3分
因为极点位于单位圆外，所以序列不收敛，()x ∞不存在 ------------2分 6．()[(50)(120)][(50)(50)][(120)(120)]50
120
F F Sa t Sa t U U U U π
π
ωωωωω=+=
+--+
+--
-----------1分
信号最高角频率120/,m rad s ω=最高频率 60
,2m m f Hz ωππ
=
= -----------2分
故最低抽样频率120
2,s m f f Hz π
==奈奎斯特间隔1,120
s s T s f π=
= ---------2分 7．
1111()1;11
()sgn();
2(1)2();11
(
1)sgn()2();2F j F t j F F t j ωωωπδωπδωω---=+==+=+
----------1分
三、 (共15分) 1()
d
f t dt
(1) ----------3分
2()t
f d ττ
-∞
?
----------3分
(2)1212()*()[
()]*[()]t d
f t f t f t f d dt
ττ-∞=? ------3分
]
)1(.)1([*)]4(.)2([.ττττδδd u d u t t t
t ??∞
-∞
---+---=
1
1
[(2)(4)]*[(1)(1)]
t t
t t d u t d u t δδττ-=---+--??
)]1()1()1()1[(*)]4()2([---++---=t u t t u t t t δδ
2
4
t
1
t -1 (-1)
1
(1)
----------2分 ----------2分
(1)(1)2(3)(3)(5)(5)t u t t u t t u t =-----+--
---------3分
------3分
四、（20分）
)()()()(6)(7)(2
222t e t e dt d
t e dt d t r t r dt d t r dt d ++=++
特征方程 0672
=++αα
特征根 6,121-=-=αα -------2分
齐次解为 t
t h e A e A t r 621)(--+= --------2分
特解为B ，对0t +≥，代入方程得6B ＝1，所以1
6
B = --------2分 利用冲激匹配法求常数：
????
????????=?+=?++'=)()()()()()()()()(22
t u a t r t u b t a t r dt d
t u c t b t a t r dt d δδδ ------4分
代入原方程得 6,1-==b a -------2分 因而有
1 t
2 3 4 5 2
6
f(t)
??
?-='+='=+=-+-+6
)0()0(1)0()0(r b r r a r ---------2分
所以 ?????
-=--=++661
612121A A A A 解得
3031
,512
1=-=A A ---------2分 因而系统的完全响应为 61
311
()5
306
t
t r t e e --=-+
+， 0t > ----2分 瞬态响应为6131530
t t e e ---+
，稳态响应为1
6。 --------2分 五． (15分)
解：（1）系统函数为11()()
()()1()
Y s H s H s F s kH s =
=
-， ------2分 又121()21(2)(1)
s H s s s s s =
-=++++， 所以2
(2)(1)
()(3)21(2)(1)s
s s s H s s s k s k
s s ++==+-+-++。 ------3分
（1） 要使系统稳定，必须满足30k ->，即3k <。 ------4分 （2） 边界稳定条件是30k -=，即3k =。带入()H s 可得： ------3分
2()2
s
H s s =
+， 所以()cos 2()h t tu t =。 ------3分 六、(共15分) 解：
(1) 设A 处信号为
()f t ，频谱为：()F ω，B 处信号为()g t ，频谱为：()G ω
()()cos()c f t x t t ω=
1
()=
[()()]2c c F X X ωωωωω++-
1
|()|=
[|()||()|]2c c F X X ωωωωω++- -------2分
---------2分
()()cos()[()cos()]cos()11
()()cos(2)22c c c c g t f t t x t t t x t x t t ωωωω===
+
---------2分
11
()=
()[(2)(2)]24c c G X X X ωωωωωω+++-
11
|()|=
|()|[|(2)||(2)|]24c c G X X X ωωωωωω+++- --------2分
m c ωω-- c
m ωω-
ω
()|G ω
0.5
m c ωω-+ m c
ωω+m ω- m ω 0.25
m c ωω-- c
m ωω-
ω
()|F ω
0.5
m c ωω-+ m c
ωω+
----------2分
(2)要使y(t)=x(t), ()H j ω的幅度频谱特性如下图所示：
0m c m ωωωω≤<-
----------5分
七．（15分）
系统的差分方程为 ()2(1)()(1)y n y n x n x n +-=--， 其中激励函数2
()x n n =，且(1)2y -=。 1) 试画出离散系统的结构图
-----4分
2) 试求它的完全响应。并指出其中的自由响应，强迫响应，零输入响应，零状态响应各分量。
特征方程 20α+= 特征根
12α=- -----1分
方程的齐次解为 1()(2)n
h y n C =- -----1分
0ω 2
0ω-
ω
()|H j ω
令特解为12D n D +代入方程得 1221
,39
D D == ------2分 则完全解121
()(2)39
n
y n C n =-+
+ -----1分 将边界条件(1)2y -=代入，解得146
9
C =-， -----1分
因而完全响应：4621
()(2)939n y n n =--++ -----1分 自由响应：46
()(2)9n h y n =-- -----1分 强迫响应：21
()39
p y n n =+ ------1分
零输入响应：1()(2)n zi y n C =-，将(1)2y -=代入，14C =-，所以2()(2)n zi y n +=--
-----1分
零状态响应：1021
()()()(2)939
n zs zi y n y n y n n =-=-
-++ -----1分 * 本题也可以采用z 变换方法求解
八、(20分) 解：
(1) 在初始状态为零条件下对差分方程两边进行z 变换，
121() 2.5()()()Y z z Y z z Y z z X z ----+= 1122(z)()(z)1 2.5z 2.51Y z z
H z X z z z --=
--+－＝＝+ 2()()
320.5z z H z z z =
--- ------3分
零极点分布图：
Re z
jIm z
。 ?
?
0.5
2
-------2分 (2) A ．若收敛域为z 2>，说明1()[()]h n Z H z -=是个右边序列
单位样值响应1
1
22
h()[()][(
)](20.5)()320.53
n n z z n Z H z Z u n z z --=-=---＝
-------2分
B ．若收敛域为0.5z 1<<，说明1()[()]h n Z H z -=是个双边序列
1122()[()][()]*2(1)0.5()
320.53n n z z h n Z H z Z u n u n z z --=-=-----2
＝-*3
-----2分
C ．若收敛域为z 0.5<，说明1()[()]h n Z H z -=是个左边序列
-----2分
（3）A ：由于n<0时，()0h n =，所以是因果系统。 ------1分
由于
(),n h n ∞
=-∞
→∞∑所以是不稳定系统。对于因果系统，也可由极点分布判断系统的稳
定性。由于H(z)有一个在单位圆外的极点，故为不稳定系统。 ------2分 B:由于n<0时，2()*2(1)03
n
h n u n =-
--≠，所以是非因果系统。 -----1分 h (n)是一个双边指数衰减序列，
(),n h n ∞
=-∞
∑有界所以是稳定系统。 ----2分
C.由于n<0时，()0h n ≠，所以是非因果系统。 -----1分
由于
(),n h n ∞
=-∞
→∞∑所以是不稳定系统。 -----2分