例题.
已知在1atm（绝压），温度为30℃时用清水吸收空气中的SO2，其平衡关系为：y*=26.7x。如果在吸收塔内某截面测得气相中SO2的分压为P=31mmHg, 液相中SO2浓度为C AL=0.05 kmol/m3，气相传质分系数为k G=1.5kmol/m2.h.atm, 液相传质分系数为k L=0.39 m/h, 且溶液的密度ρs等于水的密度。试求在塔内该截面上：
（1）气—液相界面上的浓度C Ai(kmol/m3) 和P Ai( atm)
(2) K G和K L及相对应的推动力。
补充作业.
在湿壁塔中用水吸收氨，测得气相传质总系数K G = 2.8 ×10-4kmol/m2.s.kPa。在塔中某一点总压强为1atm，气相浓度为8% NH3，溶液浓度为0.064 kmol/m3，气液相平衡关系符合亨利定律，即P A* = 9.36 ×10-3 C A。设气膜的传质阻力占总传质阻力的85%，试求：（1）气相及液相的传质分系数k G、k L各为多少？
（2）界面处的气相及液相浓度各为多少？
必修二第二章综合检测题 一、选择题 1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面 2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3B．4C．5D．6 3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面 4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90° 5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a?α，b?αB．a?α，b∥α C．a⊥α，b⊥αD．a?α，b⊥α 6．下面四个命题：其中真命题的个数为() ①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. A．4B．3C．2D．1 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论： ①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有() A．①②B．②③C．②④D．①④ 8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是() A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b 9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成
第二章 例题： 1、某人投资一项目200，000元，期限4年，要求回报率为12%，计算4年后应得到的本利和。 2、某项投资4年后可以取得100，000元的收入，年利率为12%，计算其收入的现值。 3、C公司每年末向银行借款20000元,年利率为10%,计算其第四年末应归还的本息为多少? 4、现在存入银行一笔钱，准备在以后五年中每年末得到10000元，如果利息率为10％，现在应存入多少钱？
5、某人每年年初存入银行1000元，银行存款年利率为8％，问第10年末的本利和应为多少？ 6、某企业租用一设备，在10年中每年年初要支付租金5000元，年利息率为8％，问这些租金的现值是多少？ 7、某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利息率为8％，银行规定从第四年起，每年年末偿还本息1000元，至第9年末还完，问这些款项的现值应为多少？ 8、某企业拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发3万元奖学金，若利息率为6％，问企业目前应为其至少准备多少钱？
练习： 1、某人参加一项少儿人寿保险，保险公司给出的方案如下：从出生开始至14周岁止每年年末交存360元。如果年收益率为8%。 （1）计算14周岁末的终值； （2）如果保费可以在参加保险时一次性交纳，问一次性应交纳多少？ 2、某人年初存入银行1万元，年利率4％。要求计算： （1）每年复利一次，5年后账户余额是多少？ （2）每半年复利一次，5年后账户余额是多少？ （3）如果该人分5年每年末都存入相等金额，每年复利一次，则为达到本题第一问所得账户余额，每年末应存多少钱？ （4）如果该人分5年每年初都存入相等金额，每年复利一次，则为达到本题第一问所得账户余额，每年初应存多少钱？
浮力与升力补充习题 1.体积相同的实心铜球与铅球都浸没在水中，则（） A.铜球受的浮力大 B. 两球受的浮力一样大 C.铅球受的浮力大 D. 无法比较 2.两只乒乓球分别用细线吊在同一 高度并相距8cm左右，如图9-14所示, 如果向两乒乓球中间吹气（气流方向与纸面垂直），则两乒乓球将（） A.不动 B. 向两边分开 C.向中间靠近 D. 向纸内运动 3.一艘轮船从东海驶入长江后，它所受的浮力（） A.变小 B. 不变 C. 变大 D. 不能确定 4?潜水艇在水中可以自由的上浮和下沉，它的浮沉是靠改变下列哪个物理量来实现的 （） A.所受的浮力 B ?水的密度 C ?自身的重力 D ?水的压强 5.把一个重为10N体积为0.8dm3的物体浸没在水中，放手后该物体将（） A.上浮 B .下沉 C .悬浮 D .无法确定 6.下列说法正确的是（） A.用盐水选种时，瘪谷子会浮起来，饱满的谷子会沉下去，因为盐水对饱满谷子无浮力作用 B.铁块放在水中要沉下去，放在水银中会浮起来，因为只有水银对铁块有浮力作用 C.一块石头从屋顶上自由落下，可见空气对石头没有浮力作用 D.所有的液体和气体对浸在它们里面的物体都有浮力作用 7.一个均匀圆柱体悬浮在液体中，如果把圆柱体截成大小不等的两部分，再放入该液体中，则（） A.两部分都上浮 B.两部分都悬浮 C.体积大的上浮，体积小的下沉 D.体积小的上浮，体积大的下沉 8.关于物体受到的浮力，下列说法中正确的是（）
A.漂在水面的物体比沉在水底的物体受到的浮力大
B.物体排开水的体积越大受到的浮力越大 C.物体没入水中越深受到的浮力越大 9.大军将一支密度计分别放入两种不同的液体中，如图9-15所示。若两种液体的密度分别 P甲、p乙，静止时密度计所受浮力分别为F甲、F乙，则( ) A.p甲〉p乙F 甲=F乙 B.p甲＜p乙F甲＞F乙 C.p乙〉p甲F甲＜F乙 D.p乙〉p甲F 甲=F乙 10.用图像来描述物理过程或物理规律是很直观的。如图9-16 (a) —立方体木块，下 面用一段细线与之相连，细线另一端固定在在容器底(容器高比细线与木块边长之和大得 ( ) 11.饺子是大家喜爱的食品，在水中煮一会儿会漂起来，是因 为饺子受热膨胀，浮力___________ (填“变大” “变小”或“不 图 9-15 D.物体的密度越大受到的浮力越大 9-16 多)。现向容器中慢慢加水，如图9-16 (b)所示。若细线中的拉力用F表示，容器中水的深度用h表示。那么, 在图9-17中可以正确描述拉力F随随深度h的变化关系的图像是甲无 图 9-17 图 9-18
高一数学必修二第二章经典练习题 第I卷（选择题） 请修改第I卷的文字说明 一、单项选择 ）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确B．仅①、④正确 C．仅①正确D．四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（） A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条 3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（） A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（） A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E是SB 的中点,则AE SD ，所成的角的余弦值为( ) A. 1 3 D. 2 3 9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED 与D1F所成角的大小是 （） A． 1 5 B。 1 3 C。 1 2 D 10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A.若//,,// m n m n αα ?则 B.若,, m m n n αβα ?=⊥⊥ 则 C.若//,//,// m n m n αα则 D.若//,,,// m m n m n αβαβ ?= I则 11. 在三棱柱 111 ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是 侧面 11 BB C C的中心，则AD与平面 11 BB C C所成角的大小是 ( ) A．30o B．45o C．60o D．90o 12. 已知直线l、m，平面α、β，且lα ⊥，mβ ?，则// αβ是l m ⊥ 的 A.充要条件 B.充分不必要条件
圆经典例题精析 考点一、圆的有关概念和性质 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( ) (A)4个(B)3个(C)2个(D)1个 【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念， 【思路点拨】其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对. 【答案】B. 2．下列判断中正确的是( ) (A)平分弦的直线垂直于弦 (B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 (C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 (D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【考点】垂径定理 【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径； B理由同A；D中平分弧的直线的直线应过圆心. 【答案】C. 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60°，则( ) (A)(B) (C)的度数=的度数(D)的长度=的长度 【思路点拨】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB=∠A′OB′，所以的 度数=的度数. 【答案】C. 4．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130°
【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补. 【思路点拨】可连结OC，则由半径相等得到两个等腰三角形， ∵∠A+∠B+∠ACB=360°-∠O=260°，且∠A+∠B=∠ACB，∴∠ACB=130°. 或在优弧AB上任取一点P，连结PA、PB，则∠APB=∠O=50°， ∴∠ACB=360°-∠APB =130°. 【答案】D. 总结升华：圆的有关性质在解决圆中的问题时，应用广泛，运用简便. 举一反三： 【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____. 【考点】垂径定理. 【思路点拨】本题可用几何语言叙述为：如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长. 【解析】由题意可知：CD⊥AB，AD=BD，且圆心O在CD的延长线上.连结OA， 则OD===5(米).所以CD=13-5=8(米). 【答案】8米. 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD=__________°. 【考点】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°. 【思路点拨】AB是直径，则∠ADB=90°，∠ACD=∠ABD=15°，可求得∠BAD. 【答案】75°. 【变式3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长. 【解析】因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=(1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF
经济数学基础第2章导数与微分第一章典型例题与综合练习 第一节典型例题 一、极限计算 例1求极限lim n n n n n →∞ ++ -+ 2 2 1 254 解：原式= ++ -+ →∞ lim n n n n n 2 2 1 254 = ++ -+ →∞ lim n n n n n 1 11 2 54 2 2 = 1 2 例2求极限lim x x x x → - -+ 1 2 2 1 32 解：lim x→1 x x x x x x x x x x x 2 2 11 1 32 11 12 1 2 11 12 2 - -+ = -+ -- = + - = + - =- →→ lim ()() ()() lim 例3求极限lim sin x x x → -+ 11 2 解：lim x→0 11 2 -+ x x sin=)1 1( 2 sin )1 1 )( 1 1( lim 0+ + + + + - →x x x x x =lim x→0 x x sin2× lim x→0 - ++ 1 11 x= ) 2 1 ( 2 1 - ? =4 1 - 例4求极限lim() x x x →∞ + - 1 1 2 1 解：lim() x x x →∞ + -= 1 1 2 1lim() x x x →∞ - 1 1 2 lim() x x →∞ - 1 1 2 =+ - →∞ -? - lim()() x x x 1 1 2 2 1 2lim() x x →∞ - 1 1 2
经济数学基础 第2章 导数与微分 =+-? ???? ?→∞--lim()x x x 11221 2 lim() x x →∞-1121 e 21?=-e 1= 二、函数的连续性 例1讨论函数?? ???>+=<=0 2100e )(x x x a x x f x 在x =0处的连续性，并求函数的连续区间. 解：因为 a f x x x x ==+=+-→→)0(,1)21(lim ,1e lim 0 ，所以1 )(lim 0 =→x f x 当1≠a 时， ) (lim )0(0 x f f x →≠，即极限值不等于函数值，所以x =0是函数的一个 间断点，且当1≠a 时，函数的连续区间是),0()0,(+∞?-∞. 当1=a 时， ) (lim )0(0 x f f x →=，即极限值等于函数值，所以x =0是函数的一个连 续点，且当1=a 时，函数的连续区间是),(+∞-∞. 三、函数的可导性 例1设函数 f x ax b x x x ()=+>≤???002 若函数f x ()在点x =0处连续且可导，应如何选取系数a b ,? 解：因为0 )0(,)(lim ,0lim 0 20 ==+=+-→→f b b ax x x x 所以当b =0时函数f x ()在点x =0处连续. 又因为0 )(lim )0()0(lim lim )0(2 000=??=?-?+=??='---→?→?→?-x x x f x f x y f x x x '===+→→+ +f y x a x x a x x ()lim lim 000?????? 所以当a =0，b =0时函数f x ()在点x =0处可导.
一、简答题： 31、比较 H2O分子和 NH3 分子键角的大小并说明原因。 32、能否说“溶度积大的化合物其溶解度肯定大”，为什么？（p339例10-2） 33、解释事实：HgCl2为白色，在水中溶解度较大；HgI2为黄色或红色，在水中溶解度较小； 34、已知氮、氢、氟的电负性分别为：X N=3.04、X H=2.2、X F =3.98，NH3分子中键 角∠HNH = 106.6°、NF3分子中键角∠FNF = 102°。解释：（p102） （1）NH3分子键角大于NF3分子键角；（2）NH3分子偶极矩大于NF3分子偶极矩。 35、（1）解释SiO2的熔点高于SO2；（原子晶体与分子晶体）（2）已知离子Be2＋、O2－、Li ＋和F－的离子半径依次为35 pm、132 pm、68 pm和133 pm。解释BeO 的熔点高于LiF。 (晶格能、离子键能) 36*、已知△f G?(NO) = 86.6 kJ·mol－1，试判断反应N2＋ O2 = 2NO在室温和101.3kPa下能否自发进行？ 37*. 决定化学反应自发性的因素有哪些？什么情况下温度对化学反应自发方向有影响？ 38*.已知反应 2C（s） + O2（g）= 2CO（g）的自由能变（?r G?m）与温度（T）的关系为：?r G?m /kJ.mol-1 = - 232600 – 168 T/K 故可说,随反应温度的升高, ? r G?m更负，反应会更彻底。此说法正确吗？为什么 39*．什么叫可逆反应和不可逆反应? 标准平衡常数K?的物理意义是什么? 40. 举例说明缓冲溶液是如何发挥其缓冲作用的？ 41. 已知O3、NO2-、CO2的键角分别为1170、1160和1800，运用所学的分子结构方面的知识， 讨论它们的中心原子轨道的杂化类型和大π键的类型，并且画图表示。(p90) 42．电子能层与能级组有何不同？ 43. 共价键饱和性与方向性的根源是什么？(p87) 44. BF3是平面三角形而NF3却是三角锥形，试用杂化轨道理论加以说明。(p88) 45.为什么He＋中3S和3P轨道的能量相等,而在Ar＋中的3S和3P轨道的能量却不相等? 46．用MO法判断O2＋，O2，O2-，O22- 键的稳定性和磁性的大小，并说明原因。(p97) 47．核外电子运动有哪些基本特点？(3个p64) 48.已知Cd2＋的半径为97pm，S2- 的半径为184pm，解释为什么CdS不是 NaCl 型晶格，而 是ZnS 型晶格？ 二、计算题： 51、在1.0 L 、0.10 mol·dm－1氨水溶液中，应加入多少克NH4Cl 固体才能使溶液的 pH 值等于9.00。（忽略固体的进入对溶液体积的影响 , K b[NH3·H2O]= 1.76×10－5 ，NH4Cl的分子量为53.50 ） 解：溶液的pH 值等于9.00，则 C （OH－）== 1.0×10－5 mol / L 假设在1.0 L 、0.10 mol / L氨水溶液中，应加入x mol 的NH4Cl (s) 则：NH3· H2O === NH4＋＋OH－ [平衡] / mol / L ：0. 10－1. 0×10－5 x＋1. 0×10－5 1. 0×10－5 [NH4＋] [ OH－]/[ NH3· H2O ] ==κb ( x＋1. 0×10－5 ) ( 1. 0×10－5 ) / ( 0. 10－1. 0×10－5 ) == 1.76 × 10-5 X = 0.176 mol / L 应加入的NH4Cl固体的质量为： 0. 176 mol / L × 1L × 53. 5 g ·mol－1 = 9 . 416 g 。
圆周运动专题总结 知识点一、匀速圆周运动 1、定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的 相等，这种运动就叫做匀速周圆运 动。 2、运动性质：匀速圆周运动是 运动，而不是匀加速运动。因为线速度方向时刻在变化，向 心加速度方向，时刻沿半径指向圆心，时刻变化 3、特征：匀速圆周运动中，角速度ω、周期T 、转速n 、速率、动能都是恒定不变的；而线速度 v 、加速度a 、合外力、动量是不断变化的。 4、受力提特点： 。 随堂练习题 1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．匀速圆周运动是匀速运动 B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C ．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动 D ．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 2.关于向心力的说法正确的是（ ） A ．物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B ．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小 C ．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力 D ．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力 3.在光滑的水平桌面上一根细绳拉着一个小球在作匀速圆周运动，关于该运动下列物理量中 不变的是（A ）速度 （B ）动能 （C ）加速度 （D ）向心力 知识点二、描述圆周运动的物理量 ⒈线速度 ⑴物理意义：线速度用来描述物体在圆弧上运动的快慢程度。 ⑵定义：圆周运动的物体通过的弧长l ?与所用时间t ?的比值，描述圆周运动的“线速度”， 其本质就是“瞬时速度”。 ⑶方向：沿圆周上该点的 方向 ⑷大小：=v = ⒉角速度 ⑴物理意义：角速度反映了物体绕圆心转动的快慢。 ⑵定义：做圆周运动的物体，围绕圆心转过的角度θ?与所用时间t ?的比值 ⑶大小：=ω = ，单位： （s rad ） ⒊线速度与角速度关系： ⒋周期和转速： ⑴物理意义：都是用来描述圆周运动转动快慢的。 ⑵周期T ：表示的是物体沿圆周运动一周所需要的时间，单位是秒；转速n （也叫频率f ）： 表示的是物体在单位时间内转过的圈数。n 的单位是 （s r ）或 （m in r ）f 的单位：
第11章 《光的干涉》补充习题解答 1．某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化? 解: υ不变，为波源的振动频率；n n 空 λλ= 变小；υλn u =变小． 2．什么是光程? 在不同的均匀介质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同？在光程差与相位差的关系式2π ?δλ ?=中，光波的波长要用真空中波 长，为什么？ 解:nr δ=．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相同，为t C δ ?= ． 因为δ中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。 3．在杨氏双缝实验中，作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？试说明理由。 (1)使两缝之间的距离变小； (2)保持双缝间距不变，使双缝与屏幕间的距离变小； (3)整个装置的结构不变，全部浸入水中； (4)光源作平行于1S 、2S 连线方向的上下微小移动； (5)用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝。 解: 由λd D x = ?知，(1)条纹变疏；(2)条纹变密；(3)条纹变密；(4)零级明纹在屏幕上作相反方向的上下移动；(5)零级明纹向下移动． 4．在空气劈尖中，充入折射率为n 的某种液体，干涉条纹将如何变化？ 解：干涉条纹将向劈尖棱边方向移动，并且条纹间距变小。 5．当将牛顿环装置中的平凸透镜向上移动时，干涉图样有何变化？ 解：透镜向上移动时，因相应条纹的膜厚k e 位置向中心移动，故条纹向中心收缩。 6．杨氏双缝干涉实验中，双缝中心距离为0.60mm ，紧靠双缝的凸透镜焦距为2.5m ，焦平面处有一观察屏。 （1）用单色光垂直照射双缝，测得屏上条纹间距为2.3mm ，求入射光波长。 （2）当用波长为480nm 和600nm 的两种光时，它们的第三级明纹相距多远？ 解：（1）由条纹间距公式λd D x = ?，得 332.3100.6105522.5 x d nm D λ--?????=== （2）由明纹公式D x k d λ=，得 9 2132.5()3(600480)10 1.50.610 D x k mm d λλ--?=-=??-?=? 7．在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m 。
第五章 相似矩阵和二次型 ? 要点和公式 ? 1 向量的内积 [定义] n 维向量???? ?? ? ??=??????? ??=n n b b b a a a M M 2121 ,βα的内积为 []αββαβαT T ==,n n b a b a b a +++=Λ2211 向量内积的性质（设α,β,γ是n 维向量，k 为实数） ①[][]αββα,,= ②[][] ,,βαβαk k = ③[][][]γβγαγβα,,,+=+ ④0],[≥αα，等号成立当且仅当0=α. []],[],[,2ββααβα?≤ (Cauchy-Schwarz 不等式) 2 向量的长度 [定义] n 维向量???? ?? ? ??=n a a a M 21α的长度(范数)为 2 2221],[n T a a a +++===Λααααα 向量长度的性质 ①0≥α，等号成立当且仅当0=α ② αα?=k k ③βαβα+≤+ (三角不等式) 3 正交向量 非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα 零向量与任何向量正交 非零正交向量组是线性无关的 齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成的集合 一组两两正交的单位向量r ααα,,,21Λ称为正交单位向量组，即 [] ,0 ,1 ? ??≠==j i j i j i 若若，αα 若正交单位向量组r ααα,,,21Λ是向量空间的基，则称之为规范正交基。 4 正交矩阵 [定义] 若A 为方阵，且E A A =T (或E AA =T ，或T A A =-1 )， 则称A 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则 ①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1 n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基). 4 矩阵的特征值和特征向量 [定义] 设A 是方阵，若Ax =λx (其中λ是数，x 是非零向量)，则称数λ是A 的特征值，非零向量x 是A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量. 凡是使得0=-E A λ的λ值都是矩阵 A 的特征值； A 的属于特征值λ0的全体特征向量是O x E A =-)(0λ的解集合中除零向量外的全体解向量，其最大无关组含有)(0E A λ--R n 个线性无关的特征向量. n 阶对角阵或上(下)三角阵的特征值就是其n 个主对角元. 设n 阶方阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21Λ，则 ①)(tr 21A =+++n λλλΛ [tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹] ②A =n λλλΛ21 若21,ξξ都是A 的属于特征值λ0的特征向量，则2211ξξk k +(其中k 1, k 2为任意常数，但O ξξ≠+2211k k )也是A 的属于特征值λ0的特征向量. 设λ0是方阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量， 则，① k λ0是k A 的一个特征值； ②m 0λ是m A 的一个特征值； ③)(0λ?是)(A ?的一个特征值； [其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=--Λ?是关于变量x 的k 次多项式，E A A A A 0111)(c c c c k k k k ++++=--Λ?] ④若A 可逆，则1 0-λ是1-A 的一个特征值. 并且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λ?,1 0-λ的特征向量. A 和A T 有特征值相同(特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。 如果λ0是n 阶方阵A 的一个k 重特征值，则k ≥ n -R (A -λ0E )，即，k ≥ 属于λ0的线性无关的特征向量的最大个数. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 设A 有m 个不同的特征值:m λλλ , , ,21Λ，属于λi 的线性无关的特征向量有r i 个(i =1,2,…,m )，则所有这些向量(共m r r r +++Λ21个)构成的向量组是线性无关的. 5 相似矩阵 [定义] 若P -1AP =B (其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似. 矩阵的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性 若存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B (即A 和B 相似)，则 ① P -1(k A )P =k B (即k A 和k B 相似) ② P -1A m P =B m (即A m 和B m 相似)； ③ P -1?(A )P =?(B ) [即?(A )和?(B )相似] ④ 若A 可逆，则B 也可逆，且P -1A -1P =B -1 (即A -1和B -1相似) 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。 若A 和B 相似，则①R (A )=R (B )；②B A =
1. 在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重 力加速度为g ＝10 m/s 2 ，若已知女运动员的体重为35 k g ，据此可估算该女运动员( ) A ．受到的拉力约为350 2 N B ．受到的拉力约为350 N C ．向心加速度约为10 m/s 2 D ．向心加速度约为10 2 m/s 2 图4－2－11 2.中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在某区湘府路上的离奇交通事故． 家住公路拐弯处的先生和先生家在三个月连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图4－2－12所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( ) A ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 B ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动 C ．公路在设计上可能(东)高外(西)低 D ．公路在设计上可能外(西)高(东)低 图4－2－12 3. (2010·部分重点中学联考)如图4－2－13所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长 略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( ) A ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2πR g B ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πR g C ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg D ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于2mg 图4－2－13 4.图示所示, 为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转 速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说确的是( ) A ．从动轮做顺时针转动 B ．从动轮做逆时针转动 C ．从动轮的转速为r 1r 2n D ．从动轮的转速为r 2 r 1 n
电阻应变片传感器例题与习题例题：
例2-3 采用阻值为120Ω灵敏度系数K =的金属电阻应变片和阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大。当应变片上的应变分别为1和1 000时，试求单臂、双臂和全桥工作时的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解：单臂时40U K U ε=，所以应变为1时660102410244--?=??==U K U ε/V ，应变为1000时应为330102410244--?=??==U K U ε/V ；双臂时2 0U K U ε=，所以应变为1时 6 6 01042 10242--?=??==U K U ε/V ，应变为1000时应为 33 010*******--?=??==U K U ε/V ；全桥时U K U ε=0，所以应变为1时 60108-?=U /V ，应变为1000时应为30108-?=U /V 。从上面的计算可知：单臂时灵敏度
最低，双臂时为其两倍，全桥时最高，为单臂的四倍。 例2-4 采用阻值R=120Ω灵敏度系数K=的金属电阻应变片与阻值R=120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V。当应变片应变为1000时，若要使输出电压大于10mV，则可采用何种工作方式（设输出阻抗为无穷大） 解：由于不知是何种工作方式，可设为n，故可得： 得n要小于2，故应采用全桥工作方式。 例 2-5 解：（1）沿纵向粘贴时： 由 112 10t E0.49 E210N/m σ σεεμε =??=== ? ， 6 R R R K K20.490.9810 R ε ε - ? ? =?=?=?=? （2）沿圆周向粘贴时： 66 R 0.30.49100.14710 R με-- ? =-=-??=-? 例2-6 解： 按题意要求圆周方向贴四片相同应变片，如果组成等臂全桥电路，当四片全感受应变 时，桥路输出信号为零。故在此种情况下，要求有补偿环境温度变化的功能，同时桥路输出 电压还要足够大，应采取两片 3 1 R R、贴在有应变的圆筒壁上做敏感元件，而另两片 4 2 R R、
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
2.1轴对称与轴对称图形 姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念． 学习过程: 一、创设情境 观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动 活动一折纸印墨迹 问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？ 概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点． 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称， 直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、 点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面 联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？ 活动三
把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系 三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.
经典例题 类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有 （） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 故选C 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确． 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C． 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B.
C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），， 【变式2】求下列各式中的 （1）（2）（3） 【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）． A．－1 B．1－ C．2－ D．－2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】： 类型四．实数绝对值的应用
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E
第十一章氧化还原滴定补充习题 1 . 下面是测定As2O3-As2O5惰性物试样中两组分含量的分析流程图, 请将条件填在横线上。 (2) (5) 滴定剂______ 滴定剂______ (3) │(4) (6) │(7) pH______│指示剂______ 酸度_____│加______试剂 (1) ↓↓ 加______试剂┌──────┐┌───┐┌───┐ 试样──────→│As(Ⅲ)As(Ⅴ)│─────→│As(Ⅴ)│→│As(Ⅲ)│ 溶解└──────┘└───┘└───┘ [ 测As(Ⅲ) ] [测As(Ⅲ)+As(Ⅴ)含量] 2. 某同学配制0.02 mol/L Na2S2O3500 mL, 方法如下: 在分析天平上准确称取Na2S2O3·5H2O 2.482 g, 溶于蒸馏水中,加热煮沸, 冷却,转移至500 mL 容量瓶中, 加蒸馏水定容摇匀, 保存待用。请指出其错误。 3. 今有含PbO 和PbO2的混合物, 用高锰酸钾法测定其含量。称取该试样0.7340 g, 加入20.00 mL 0.2500 mol/L 草酸溶液, 将PbO2还原为Pb2+, 然后用氨水中和溶液, 使全部Pb2+形成PbC2O4沉淀。过滤后将滤液酸化, 用KMnO4标准溶液滴定, 用去0.04000 mol/L KMnO4溶液10.20 mL。沉淀溶解于酸中, 再用同一浓度的KMnO4溶液滴定, 用去30.25 mL。计算试样中PbO 和PbO2的质量分数。 [M r(PbO2)= 239.2, M r(PbO)= 223.2] 4. 设计用碘量法测定试液中Ba2+的浓度的方案, 请用简单流程图表示分析过程, 并指出主要条件: 滴定剂、指示剂以及Ba2+与滴定剂的计量关系。 5. 某同学拟用如下实验步骤标定0.02 mol/L Na2S2O3, 请指出其三种错误(或不妥)之处, 并予改正。 称取0.2315 g 分析纯K2Cr2O7, 加适量水溶解后, 加入1 g KI, 然后立即加入淀粉指示剂, 用Na2S2O3滴定至蓝色褪去, 记下消耗Na2S2O3的体积, 计算Na2S2O3浓度。[M r(K2Cr2O7)= 294.2] 6. 为何测定MnO4-时不采用Fe2+标准溶液直接滴定, 而是在MnO4-试液中加入过量Fe2+标准溶液, 而后采用KMnO4标准溶液回滴? 7. 称取0.8000g含Cr和Mn的钢样，溶解处理成Fe3+，Cr2O72-，Mn(Ⅱ)的试液。先在F-存