2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期中数学
试卷
一、选择题（每小题0分，共计60分）
1. 已知集合A ＝{x|4≤x <8}，B ＝{x|2 C.{x|4 D.{x|2 2. 已知f(x)={?lg x,x >0 a x +b,x ≤0 且f(0)＝2，f(?1)＝4，则f （f(?2)）＝（ ） A.?1 B.2 C.3 D.?3 3. 设α是第二象限角，cos α=?3 5，则tan α＝（ ） A.4 3 B.3 4 C.?3 4 D.?4 3 4. 与?525°的终边相同的角可表示为（ ） A.525°?k ?360°(k ∈Z) B.165°+k ?360°(k ∈Z) C.195°+k ?360°(k ∈Z) D.?195°+k ?360°(k ∈Z) 5. 已知函数f(x)＝?x 2+4x ，x ∈[m,?5]的值域是[?5,?4]，则实数m 的取值范围是（ ） A.(?∞,??1) B.(?1,?2] C.[?1,?2] D.[2,?5) 6. 已知tan (π?α)=?2 3，且α∈(?π,??π 2)，则cos (?α)+3sin (π+α)cos (π?α)+9sin α 的值为（ ） A.?1 5 B.?3 7 C.1 5 D.3 7 7. 函数y =1 2sin 2x +sin 2x ，x ∈R 的值域是（ ） A.[?12,?3 2] B.[?32,?1 2] C.[?√22+12, √2 2 +1 2] D.[? √22 ?12, √2 2 ?1 2] 8. 已知0<α<π 2，?π 2<β<0，cos (α?β)=?5 13，sin α=4 5，则sin β＝（ ） A.7 25 B.?7 25 C.56 65 D.?56 65 9. 函数y ＝sin 2x +cos 2x 如何平移可以得到函数y ＝sin 2x ?cos 2x 图象（ ） A.向左平移π 2 B.向右平移π 2 C.向左平移π 4 D.向右平移π 4 10. 给定两个向量a → =(3,4)，b → =(2,1)，若(a → +xb → )⊥(a → ?b → )，则x 的等于（ ） A.?3 B.3 2 C.3 D.?3 2 11. 设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则DA → +EB → +FC → =( ) A.12DA → B.13DA → C.14DA → D.0→ 12. 已知函数f(x)＝sin (2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π 6)|对x ∈R 恒成立，且f(π 2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是（ ） A.[kπ?π 3,?kπ+π 6](k ∈Z) B.[kπ,?kπ+π 2](k ∈Z) C.[kπ+π 6,?kπ+ 2π3 ](k ∈Z) D.[kπ?π 2,?kπ](k ∈Z) 二、填空题（每小题0分，共计20分） 13. 函数y =√x?4|x|?5 + 1 log 3(x?3) 的定义域为________ 14. 函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0,?ω>0,?φ∈[0,?2π)）的图象如图所示，则φ＝________． 15. 若奇函数f(x)在其定义域R 上是减函数，且对任意的x ∈R ，不等式f(cos 2x +sin x)+f(sin x ?a)≤0恒成立，则a 的最大值是________． 16. 如图，O 为直线A 0A 2017外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2017中任意相邻两点的距离相等，设 OA → 0=a → ，{OA → _{2017}?=?\overset{??rig?tarrow?}{b}}，用a → ，b → 表示{OA → _{0}?+?OA → _{1}?+??cdots ?cdots?+?OA → _{2017}}，其结果为________． 三、解答题（70分，解答题须写出解题过程） 17. 已知集合A ＝{x|5x >1}，集合B ={x|log 13 (x +1)>?1}． (Ⅰ)求(?R A)∩B ； (Ⅱ)若集合C ＝{x|x 18. 化简： （1）sin 10(1+√3tan 70)； （2）已知a 为第三象限角，化简：cos α√1?sin α 1+sin α+sin α√1?cos α 1+cos α． 19. 已知cos α=1 7，cos (α?β)=13 14，且0<β<α<π 2， （1）求tan α的值； （2）求β． 20. 设f(x)=2√3sin(π?x)sin x?(sin x?cos x)2． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的 图象向左平移π 3个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(π 6 )的值． 21. 如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=A sin(ωx+2π 3 )(A>0,?ω>0)，x∈[?4,?0]时的图象，且图象的最高点为B(?1,?2)．赛道的中间部分为长√3千米的直线跑道CD，且CD?//?EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE ?． （1）求ω的值和∠DOE的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE?上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值． 22. 已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)（其中ω>0，x＝R，|φ|<π）的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,?0)，又f(2+x)＝f(2?x)，f(0)<0． （1）求这个函数解析式； （2）设关于x的方程f(x)＝k+1在[0,?8]内有两个不同根a，β，求a+β的值及k的取值范围． 参考答案与试题解析 2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期中数学 试卷 一、选择题（每小题0分，共计60分） 1. 【答案】 D 2. 【答案】 A 3. 【答案】 D 4. 【答案】 C 5. 【答案】 C 6. 【答案】 A 7. 【答案】 C 8. 【答案】 D 9. 【答案】 D 10. 【答案】 A 11. 【答案】 D 12. 【答案】 C 二、填空题（每小题0分，共计20分） 13. 【答案】 (4,?5)∪(5,?+∞) 14. 【答案】 π4 15. 【答案】 ?3 16. 【答案】 1009(a → +b → ) 三、解答题（70分，解答题须写出解题过程） 17. 【答案】 （1）依题意有A ＝{x|x >0}，B ＝{x|?1 ∵ A ＝{x|x >0}，∴ ?R A ＝{x|x ≤0}，∴ (?R A)∩B ＝{x|?1 ∵ B ＝{x|?1 sin 10(1+√3tan 70)=sin 10(1+√3sin 70 cos 70 )= sin 10(cos 70+√3sin 70) cos 70 ， = 2sin 10cos 10 sin 20 =1； ∵ a 为第三象限角，则cos α√ 1?sin α1+sin α +sin α√ 1?cos α1+cos α ， ＝cos α?√(1?sin α)2 1?sin 2α+sin α√(1?cos α)2 1?cos 2α， ＝?(1?sin α)?(1?cos α)＝?2+sin α+cos α． 19. 【答案】 因为cos α=17，cos (α?β)=1314，且0<β<α<π 2，∴ α?β>0 所以sin α=√1?(1 7)2=4√3 7 ， ∴ tan α=sin α cos α= 4√3 717 =4√3； cos (α?β)=1314，且0<β<α<π 2，∴ α?β>0， α?β∈(0,?π 2)， ∴ sin (α?β)=√1?cos 2(α?β)=√1?(13 14)2= 3√3 14 ， cos β＝cos [(α?(α?β)]＝cos αcos (α?β)+sin αsin (α?β) =1 7× 1314 + 3√314 × 4√37=1 2 ， ∵ 0<β<α<π2 ，∴ β=π3 ． 20. 【答案】 解：(1)∵ f(x)=2√3sin (π?x)sin x ?(sin x ?cos x)2 =2√3sin 2x ?1+sin 2x =2√3?1?cos 2x 2?1+sin 2x =sin 2x ?√3cos 2x +√3?1 =2sin (2x ?π 3)+√3?1， 令2kπ?π2≤2x ?π3≤2kπ+π 2，k ∈Z ， 即kπ?π 12≤x ≤kπ+5π 12，k ∈Z ∴ 函数的增区间为[kπ? π12 ,?kπ+ 5π12 ]，k ∈Z ． (2)把y =f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得y =2sin (x ?π 3)+√3?1的图象； 再把得到的图象向左平移π 3个单位， 得到函数y =g(x)=2sin x +√3?1的图象， ∴ g(π 6 )=2sin π 6 +√3?1=√3． 21. 【答案】 由条件，得A ＝2，T 4=3． ∵ T = 2π ω ，∴ ω=π 6． ∴ 曲线段FBC 的解析式为y =2sin (π6 x + 2π3 )． 当x ＝0时，y =OC =√3．又CD =√3，∴ ∠COD =π 4,∠DOE =π 4． 由（1），可知OD =√6． 又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE 上，故OP =√6． 设∠POE ＝θ，0<θ<π 4，“矩形草坪”的面积为S =√6sin θ(√6cos θ?√6sin θ)=6(sin θcos θ?sin 2θ) =6(1 2sin2θ+1 2 cos2θ?1 2 )=3√2sin(2θ+π 4 )?3． ∵0<θ<π 4，故2θ+π 4 =π 2 ,θ=π 8 ,S取得最大值． 22. 【答案】 由题意x＝2是对称轴，又f(x)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,?0)． ∴T＝4(6?2)＝16，∴ω=π 8．∴sin(π 8 ×6+φ)=0，∴3π 4 +φ=kπ,k∈Z， 结合f(0)＝sinφ<0且|φ|<π得φ=?3π 4 ． ∴f(x)=sin(π 8x?3π 4 )． 令t=π 8x?3π 4 ，由x∈[0,?8]得t∈[?3π 4 ,π 4 ]． 所以原题即转化为g(t)＝sin t，t∈[?3π 4,π 4 ]与y＝k+1的图象有两个不同交点的问题． 作出它们的图象如下： 由图可知，当y＝k+1的图象介于y＝?1和y=?√2 2 之间时，有两个交点． 故?1 2，即?2 2 时方程有两个不同的实数根t1，t2． 易知t1+t2=2×(?π 2 )=?π， ∴π 8α?3π 4 +π 8 β?3π 4 =?π，整理得α+β＝4． 故a+β的值是4，k的取值范围为(?2,??1?√2 2 ]．
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