第四章习题解答
4-1 一束电子进入1.2T 的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大?
解：∵磁矩为μ的磁矩，在磁场B 中的能量为：
U = -μ·B = -sz μ B
电子自旋磁矩 sz μ=±B μ
∴电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =B μ B – (-B μB) =2B μ B ∴u = 2B μ B =2 ×0.5788×410-eV ·1T -× 1.2 T = 1.39 ×410- eV
4-2 试计算原子处于23/2D 状态的磁矩μ及投影μz 的可能值.
解：由23/2D 可知 S=12 J=32
L=2 ∴j g =32+12(1)(1)(1)S S L L J J +-++=32+121323223522
?-??=45 又j μ=j g B
μ
45B μ =1.55 B μ ∴μ=1.55 B μ
又,j z j j B m g μμ= 又3113,,,2222
j m =-- ∴,142×255
j z B B μμμ=±=± 或,346×255
j z B B μμμ=±=± 即,6226(,,,)5555
j z B μμ=--
4-3 试证实:原子在63/2G 状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.
解：由63/2G 可知：S =52 J = 32
L = 4
∴ 57
4531(1)(1)3122··03522(1)22×22
J S S L L g J J ?-?+-+=+=+=+ ∴ (1)0J j B j j g μμ=+=
即原子在63/2G 状态的磁矩等于零。
解释：∵原子的总角动量为 J L S =+，而处于63/2G 态原子各角动量为： (1)4(41)20 4.47L L L =+=+== 5535(1)(1) 2.9622S S S =+=+== 3315(1)(1) 1.94222J J J =+=+==
则它们的矢量关系如图示：
L 和S 同时绕J 旋进，相对取项保持不变
由三角形余弦定理可知：
22222211()[(1)(1)(1)]22
L J L J S L L J J S S ?=+-+++-+= 22355715[45]222222=?+?-?=
而222221573515()(45)2222224S J S J L ?=+-=?+?-?=-
∴相应的磁矩 2B B S S g S S μμμ=-=-
B B L g L L μμμ?=-=-
S L μμμ=+
由于磁矩μ随着角动量绕J 旋进，因而对外发生效果的是μ在J 方向上的分量。其大小计算如下：
()(2)L S B J J J L J S J J J J
μμμμμ?+?===-?+? 1515(2)024B J
μ=--?= 此结果说明，μ垂直于J ，因而原子总磁矩0J μ=
4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为21/2S ,质量为107.87u.
解：原子束通过非均匀磁场时，如果磁场B 在Z 方向，可以证明：落在屏幕上的原子束偏离中心的距离为：
,33J Z Z B B d D B d D Z Mg KT Z Z KT
μμ????==?? （式中T 为炉温，d 为不均匀磁场的线度，D 是磁场中心到屏的距离，
Z B Z ??是横向不均匀磁场梯度，,J Z μ是原子的总磁矩在Z 方向的分量），分裂后的原子束偏
离中心的最大距离 Z = 3B Z g
B d D J KT Z μ??? 对21/2S ： S=12，L=0，J=12
∴1333122213222
222g ?=+=+=?? Z ′=2Z
又 Z ′=2.0mm ∴ Z=10mm
Z B Z ??=2
223B B
Z KT Z mv JgdD JgdD μμ??= 3272
123
10107.87 1.6610400120.10.250.9274102
T m ----????=?????? 23
25
2.868102.3210--?=? 211.2410T m --=??
4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图19.1),不均匀横向磁场梯度为 / 5.0/Z B Z T cm ??= ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,使用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离．
解：设在屏上偏离x 轴的距离为2Z
∴2Z =3Z B Z B dD mjgj KT
μ?-? 由 43/2F 可知 32S = 32
J = 3L = ∴353431(1)(1)31222·3522(1)22522
J S S L L g J J ?-?+-+=+=+=+? 3113,,,2222J m =- 要求线束边缘间的距离，则J m 取32 热平衡时 232250100K mV KT E meV meV ===?=
∴23Z B Z B dD Z mjgj KT
μ?=? =533210305.7881052510010
cm --??????? =0.52cm
∴222 2.52 1.04Z Z cm cm ==?=
4-6 在史特恩-盖赫拉实验中,原子态的氢从温度为400K 的炉中射出,在屏上接受到两条氢束线,间距为0.60cm.若把氢原子换成氯原子(基态为23/2P ),其它实验条件不变,那么,在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束的间距为多少?
解：在史—盖实验中，原子束分裂条数等于2J+1，对Cl ，基态为23/2P ，即32
J =，因此屏上可接受到的氯束线为32142
?+=条,而原子束在屏上分裂的相邻两束的间距为：
dD Z=g 3KT Z B B Z
μ??? 对于确定的实验装置和实验条件，dD g
3KT Z B B Z μ??=A 为一定值，于是有： 1122
Z g Z g ?=? 因为加热原子蒸气的炉温为400K ，远小于510K ，此时，炉中的氢原子处于基态（21/2S ），对于基态氢原子 L=0 S ≠0 则1g =2
对于基态氯原子 L=1 S=1/2 J=3/2
朗德因子为 2131234223523222
g ?-?=+=?? ∴ 22114/30.600.402
g Z Z g ?=
?=?=（cm ）
4-7 试问波数差为29.6cm-1的赖曼系主线双重线,属于何种类氢离子?
解：赖曼系第一条谱线是由n=2向n=1跃迁产生的，不考虑精细结构时，其波数为 2222113()124
RZ RZ υ=-= 当n=1时，L=0 电子态为1S
当n=2时，L=0，1 电子态为2S 和2P ，按选择定则，此谱线只能来自2P →1S 的跃迁。由于电子自旋和轨道运动的相互作用，2P 能级具有双层结构—21/22P 和
23/2
2P 。双层能级间隔： 243(1)R Z T n l l α?=+。1S 能级 L=0 S=12 故j 只能取12一种值，能级是单层的，故2P →1S 谱线的精细结构波数差仅决定于2P 的双能级间隔
T υ?=?=24
3(1)
R Z n l l α+ 即 34
2(1)n l l Z R υα+=?35221(11)29.6811.09710(1/137)??+?==?? ∴ Z = 3
4-8 试估计作用在氢原子2P 态电子上的磁场强度.
解：2P 态电子绕核的半径为：r =02220120.53 2.12n r n a A A ==?=
轨道运动的速率 v = 8
6310 1.110/2137c
m s n α?==?? ∴1969
2289201
1 1.610 1.1109104(3100.21210)Zev B T c r πε--??????==???=0.39T
4-10 锌原子光谱的一条谱线(3S1-3P0)在B 为1.00T 的磁场中发生塞曼分裂,试问:从垂直于磁场方向观察,原谱线分裂为几条?相邻两谱线的波数差等于多少?是否属于正常塞曼效应?并请画出相应的能级跃迁图.
解：锌原子的谱线（3310S P →）的塞曼效应图如下：
由图可知，原谱线分裂成3条，塞曼效应中分裂后的谱线与原谱线波数差可表示为：
2211()v m g m g L ?=-
其中， 11146.710046.74e eB L m T T m m c
π---==??= 对于31S ：0S ≠，0L = ∴22g = 对于30P ：3112122201
g ?-?=+? 不确定 ∵21J = 有21m =，0，-1 ∴22(2,0,2)m g =-
∵10J =，有10m = ∴110m g =
∴11(2,0,2)(2.0.2)46.7(93.4,0,93.4)v L m m --?=-=-?=-
∴沿垂直于B 方向可看到三条谱线。
由于0S ≠，且谱线分裂间隔不是一个洛仑兹单位，故属于反常塞曼效应。
4-11 试计算在B 为2.5T 的磁场中,钠原子的D 双线所引起的塞曼分裂.
解：a N 原子D 双线，1589.0D nm =，谱线由223/21/233P S →跃迁产生，
2589.6D nm =，由221/21/233P S →产生。
（1）1D 的塞曼分裂223/21/233P S →
上能级23/23P ：2222131,,,4/322
L S J g ====，在外磁场中，上能级分裂为4个支能级：23113,,,2222
M =--，它们的原能级之差为： 2262(,)33
B m g B μ=±± B B μ 下能级21/23S ：1111111110,,,2,,2222
L S J g M =====-，在外磁场中，下能级分裂为两个支能级，它们个原能级之差为
11B B m g B B μμ=±
根据选择定则0,1m ?=±共有6种跃迁方式，分裂后的谱线和原谱线的波数差：
~2211()v m g m g L ?=-