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线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法
线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法

摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的

增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现.

关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法

1 矩阵求解算法

设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤;

第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,

,t r 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =;

第三步:构造矩阵()

1m n r D H F ?-+??

= ?

??,其中 ()()

1100001

0000

1

0n r n r F -?-+-??

?-

?

= ?

?

-?

?

第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解.

2 算法证明

先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为

1,1112,122,110001000100

0r n r n r r rn r c c d c c d B c c d +++?? ? ?

?=

? ? ? ? ??

?

1,1

112,122,1r n r n r r rn

r c c d c c d D c c d +++?? ? ?

= ? ? ???

由上述算法可得H 为

1,11,1

112,12,222,1,210000

1000010r r n

r r n r r r r rn r c c c d c c c d c c c d H ++++++??

?

?

?

?

?

=

?

-

?- ?

? ?

?-?

?

由于()()1t i i i r =≤≤,故从H 得到G 时,H 中的行不需交换位置,即.G H = 那么矩阵B 的增广矩阵的线性方程组为

111,111,

222,112,1,.r r n n r r n n

r r r r rn n x d c x c x x d c x c x x d c c x +++++=--??=--????=---?

1,12,11,1100r r c c cr r α++?? ? ? ? ?+ ?= ?- ? ? ? ? ??? , 1,22,22,2011r r c c cr r α++?? ? ? ? ?+ ?= ? ?

- ? ? ? ?-??

, ,12,001n n rn n r

c c c α-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?-??12000r

d d d η??

? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???

可以验证1,2,n r ααα-是方程组(1)所对应的齐次线性方程组的解,η是方程组(1)

的特解,又12,,n r ααα-的后n r -个分量构成的向量组10

0-?? ? ? ? ???,0010

,

,.01???? ?

?- ? ? ? ? ? ?-??

??

线性无关,把它扩充成维向量组后也线性无关,所以12,,,n r ααα-线性无关,又因为

()r A r =,所以方程组(1)的基础解系中有()n r A n r -=-个向量,因此

12,,,n r ααα-即为方程组(1)的基础解系,特殊情形得证.

对于行最简形矩阵B 为一般情形时,可以通过若干次列交换把它变形为上述特殊情形,但是,列交换将会导致最后结果中对应未知数的次序混乱,即在进行第

i 列与第j 列的交换后,最后结果中i x 与j x 次序也就被交换了,因此,在这过程中,必须记住所进行的一切列交换,以便在最后结果中恢复,但若使用本矩阵求解算法,则可避免上述麻烦,为了叙述方便,还是只证一种特殊情形.

设 121,2112,222,2100001

00

010*******

0r n r n r r rn r c c c d c c d B c c d +++?? ? ? ?

?= ? ? ? ? ??

?

即()()()11,12,t t i i i r ==+≤≤则

12

1,2112,222,2

0r n r n r r rn

r c c c d c c d D c c d +++?? ?

?

= ? ? ??

?

,

121,2112,222,2

00100001000010r n

r n r r rn r c c c d c c d c c d H +++??

? ? ?

?

?

= ?

-

?- ? ? ? ?-?

?, 121,2

112,222,21

000000

1000010r n

r n r r rn r c c c d c c d G c c d +++??

?- ? ?

?

?= ?

?- ?

? ?

?-??

现在证明G 的前n r -个列向量是B 所对应的方程的基础解系,G 的最后一列是该方程组的特解,把矩阵B 的第2列依次与第3列,第4列,第列交换,得到矩阵'B

121,2112,222',2

1

000

10000

1

r n r n r r rn

r c c c d c c d B c c d +++?? ?

?

= ? ? ??

?

设矩阵所对应的方程组的解向量为12(,,

,)T n x x x ,'B 所对应的方程组的解向量为

12(,,

,)T n y y y ,则有

112132122,,,,,,,r r r r r n n x y x y x y x y x y x y ++++======

即若1,2(,

,)T n y y y 是'B 所对应的方程组的解向量,则112,,2(,,,,,)T

r r r n y y y y y y ++是矩阵C 所对应的方程组的解向量,而由上述所证的特殊情形,'B 所对应的方程组的基础解系和一个特解分别为

12'100,100c α?? ? ? ? ? ?= ?- ? ? ? ? ??? 1,22,2,2'

2010r r r r c c c α+++??

? ? ? ? ?= ? ?- ? ? ? ???

,

, 12'

001n n rn n

r

c c c α-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?-??, 2000r

d d d η?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???

由此可得矩阵所对应的方程组的基础解系和特解为

110000c α??

?

- ?

?

?

?= ?

?

?

?

? ?

??, 1,22,22,2010r r r r c c c α+++?? ? ? ? ?

?= ? ?- ? ? ? ???, , 12001n n n r

rn c c c α-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?-??, 12000r d d d η??

? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???

而12,,

,n r ααα-,η即为G 的列向量组,这一情形得证

若B 为起它任意情形,只要重复上上述证明过程,即可得到证明.

3 举例

例 设有线性方程组124567123456712345671234567

1234567232223261

242243629255106

2411242x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=?

?--+-++=??

-+-++-=??--+-+-=?--+-+-=??求其通解.

解方程组的增广矩阵A 为

1201312

21

23216112

4112

1

243629255106121

4

112

42A ---?? ?--- ? ?=--- ?

---- ? ?----??

A 的行最简形矩阵

B 为

12

01312200

13

8120139100

0104

48

00000000000

00

00B ---??

?-- ? ?=--

? ? ? ??

?

划掉B 中的最后两个零行和每行的第一个非零元所在的第一列,第三列,第四列,得矩阵D ,并且()()()11,23,34t t t ===

2312208

12013

910044

8

D ??---

? ?=-

? ?--??

构造矩阵H

2

31220

812013

910044

8

10

000

100000100000

10H ---??

?- ? ?--

?= ?-

?- ? ?- ? ?-?

?

由于()34t =,所以应把中第3行依次与其后的行交换,使之成为第4行,然后因为

()23t =,所以把H 中第2行依次与其后的行交换,使之成为第3行最后因()11t =,故第1行不需与任何行交换,这样变得到矩阵G ,

2

31221

0000081201391004

4

8

100000100000

10G ---??

?- ? ?-

?=-- ?

?- ? ?- ? ?-?

?

所以方程组的通解为

1234231220001028100913100484000100010000001k k k k ξ--??????-??

?? ? ? ? ? ?- ? ? ? ?

? ? ? ?- ?

? ? ? ? ? ?=+++-+- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ?

? ? ? ? ?

?- ? ? ? ? ? ? ? ?????

-?????? 4.算法分析

事实上,本算法是约当消元法的推广,因为若()()

==时,最简形矩阵

r A r A n

n?矩阵,且为B的最后一列B的前n列为n阶单位矩阵,所以由B得D时,D为1

所构造成的矩阵,由D构

造H时,不断增加行,由H得到G时,不需交换行,即G H D

==,因而方程组的解向量为G,这也是约当消元法的结果也就是说约当()()

==消元法是本

r A r A n

算法当时的特殊情形,由于本算法的所有加法和乘法都在把增广矩阵化为行最简形矩阵的着一过程中,所以有以下结论:

1)算法的计算量与约当消元法的计算量相等;

2)算法所需的存贮空间略多于约当消元法所需的存贮空间;

3)在求方程组的通解时,其稳定性与精度和约当消元法的完全一致.另外,由于

本算法从输入方程组到输出通解(或唯一解),中间的所有运算都是对矩阵进行的,所以算法简单,容易在计算机上实现,当然,由于本算法包含约当消元法,因而它除了有与约当消元法相同的缺点以外,它还有一个缺点:有时需要移动大量的元素,特别是当未知数的个数与方程的个数都很大时,元素的移动量可能更大.

总之,本算法在约当消元法的基础上,不需增加乘法和加法运算,即可得到方程组的通解,因而本算法有一定的适用价值.

参考文献

[1]徐士良计算机常用算法[M] 北京: 清华大学出版社,1995.12

[2]同济大学线性代数[M] 北京: 高等教育出版社, 2002.1

[3]邓建中等计算方法[M] 西安: 西安交通大学出版社,2001.8

[4]刘仲奎高等代数[M] 北京: 高等教育出版社,2003.8

[5]浙江大学线性代数[M] 北京: 科学出版社,2001

作者简介:

王雪娇(1984.10.03) ,女,现就读于陇东学院数学系04级专科(1)班

(注:本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。请预览后才下载,期待您的好评与关注!)

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ,有时为了强调矩阵的行数和列数,也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ,或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义:对于矩阵()ij m n a ?=A ,称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ,

a b+

21 2 n m m mn a a a ????,转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律(这里k 为常数,A 与B 为同型矩阵)阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???,m b = ? ??? β,有:

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义,该线性方程组可以用矩阵形式来表示:=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ,21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ,的行数相同、列数相同,则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ,都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行,记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素,记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去,记作。 初等列变换:把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵,就称矩阵与等价。 等价关系的性质 (1)反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;()对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C ()传递性若则。(课本P59) 行阶梯形矩阵:可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵:行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型:对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵,称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵,那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵,使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵,及阶可逆矩阵,使 初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵,则 (1)对A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵; ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵,使 (2)对A 施行一次初等列变换,相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵; 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,及阶可逆矩阵,使 (4)方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 (5)~r A A E 可逆的充分必要条件是。(课本P ? ) 初等变换的应用 (1)求逆矩阵:()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 (2)求A -1B :A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行,则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为

总结求线性方程组的方法

总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称:线性代数 专业班级: 成员组成: 联系方式: 2014年12月31日

摘要:线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性,二次型,这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构,然后应用克拉莫法则,高斯消元法来来求解。 关键词:线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则; Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.

直接法解线性方程组

直接法解线性方程组 实习题目: 仿照三对角方程组的追赶法解五对角方程组,其中系数矩阵为A,右端向量为:r。将A分解为LU。其中L为下三角,U为单位上三角。A为7*7阶的矩阵,其中对角元为4 5 6 7 8 9 10。上下次三角对角线元素为1 2 3 4 5 6 ;上下第二条对角线元素为1 2 3 4 5;右端项为:1 2 3 4 5 6 7. 要求:输出系数矩阵A,右端向量r,下三角矩阵L,单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y,单位上三角方程组Ux=y的解(即最终的解向量。保留七位小数。 实现方法:通过MATLAB编程实现。建立MATLAB脚本文件。 首先通仿照三对角方程组的追赶法得到五对角矩阵的实现算法。 然后又MATLAB编程实现。 实验结果(MATLAB截图):

结果分析: 通过提供的计算数据得到最终的解向量x及中间过程产生的下三角矩阵L,单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y。 同时为了确保算法的正确性,我还通过MATLAB的左除运算检验得使用此算法的计算结果正确。 这里由于是用MATLAB,最终结果为分数形式,考虑到精确解一般比近似解更好,因此未化成七位小数形式。 算法实现分析: 首先计算L和U的元素。由于已知L和U的特定形式(及除了对角线和上下次对角线和上下第二条对角线外,其余为0。故通过矩阵的乘法即可得到LU中元素的计算公式。(具体算法见MATLAB程序) 算法优劣点:

1.解此题时看上去要用较多的存储单元,但实际上只需存储系数矩阵A的不为0的元素。 2.A分解为LU计算完成后,后续计算x和y的“追赶过程”运算量一般来说计算量比较小。 3.此题也可用之前的LU算法求解。但此处算法与一般的LU分解的解线性方程组的算法,相比计算量小了不少。 4.对于此处特定的对称的系数矩阵A,算法还可以进一步优化。 5.由于我在此算法中A.L U的各对角值均用一个列向量表示,一个缺点在于输出A,L,U时要重新组成矩阵形式。不过优点在于减少了存储单元。 6.另一缺点是,未能将结果封装成一个文件。 后附MATLAB代码: c=[4,5,6,7,8,9,10];d=[1,2,3,4,5,6,0];b=[0,1,2,3,4,5,6];e=[1,2,3,4,5,0,0];a=[0,0,1,2,3,4,5]; r=[1 2 3 4 5 6 7]; w=zeros(7,1);x=zeros(7,1);y=zeros(7,1);m=zeros(7,1);n=zeros(7,1);h=zeros(7,1); w(1)=c(1);m(1)=d(1)/c(1);n(1)=e(1)/c(1); h(2)=b(2);w(2)=c(2)-h(2)*m(1);m(2)=(d(2)-b(2)*n(1))/w(2);n(2)=e(2)/w(2); for k=3:5 h(k)=b(k)-a(k)*m(k-2); w(k)=c(k)-a(k)*n(k-2)-h(k)*m(k-1); m(k)=(d(k)-h(k)*n(k-1))/w(k); n(k)=e(k)/w(k); end h(6)=b(6)-a(6)*m(4); w(6)=c(6)-a(6)*n(4)-h(6)*m(5); m(6)=(d(6)-h(6)*n(5))/w(6); h(7)=b(7)-a(7)*m(5); w(7)=c(7)-a(7)*n(5)-h(7)*m(6); y(1)=r(1)/w(1);y(2)=(r(2)-h(2)*y(1))/w(2); for k=3:7 y(k)=(r(k)-a(k)*y(k-2)-h(k)*y(k-1))/w(k); end x(7)=y(7); x(6)=y(6)-x(7)*m(6);

第三章知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行,记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素,记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去,记作。 初等列变换:把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵,就称矩阵与等价。 等价关系的性质 (1)反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;()对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C ()传递性若则。(课本P59) 行阶梯形矩阵:可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵:行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型:对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵,称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵,那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵,使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵,及阶可逆矩阵,使 初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵,则 (1)对A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵; ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵,使

第三章 解线性方程组的直接方法

习题 3.1 1. 求下列方阵的秩: (1)??? ?? ??--340313021201;(2)????? ??----174034301320;(3)??????? ? ?---------12433023221453334 311 ;(4)??????? ??------34732038234202173132. 2. 求下列方阵的逆矩阵: (1) ?? ? ?? ? ?323513123; (2) ????? ?? ??-----1210232112201023. 3. 解下列矩阵方程 (1) 设 ???? ? ??--=????? ??--=1322 31,113122214B A ,求X 使B AX =; (2) 设 ??? ? ??-=? ???? ??---=132 321,433312120B A ,求X 使B XA =; (3) ?? ??? ??-=????? ??-=????? ??-=112510324, 123011113,1120111111C B A ,求X 使C AXB =. 4. 求下列行列式 (1)? ? ? ??? ??????71 1 0251020214214 ;(2)????????????-260523211213 141 2;(3)?? ? ???????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4) ????????????---d c b a 100110011001. 5. 判断下列线性方程组解的情况,如果有唯一解,则求出解. ???????=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ???????=+=++=++=++=+;15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x (3) ? ?? ??=-++=-+-=-+-;3222, 2353, 132432143214321x x x x x x x x x x x x (4) ?????=---=--+=+++.034,0222,022432143214321x x x x x x x x x x x x 习题 3.2 1. 用回代法解上三角形线性方程组 (1)??? ????==+-=-+=++;63,3,6333,8484443432321x x x x x x x x x (2)?? ???? ?-=-=+--=+--=-+.63,1032,92,9244343242 1x x x x x x x x x 2. 用回代法解下三角形线性方程组

矩阵分解与线性方程组求解

一、 用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组: ?????? ?-=+--=++---=--+=--+36 15531495102210762133421342143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x 程序: function x=gaussa(a) m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1 [c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end for i=k+1:n a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end for j=n:-1:1 x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end 执行过程: >> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a = -10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10 -22 1 13 -2 -34 13 -3 -5 0 15 -36 >> gaussa(a) a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 1.0000 13.0000 -2.0000 -34.0000 13.0000 -3.0000 -5.0000 0 15.0000 -36.0000 a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 0 12.9000 -1.5000 -33.1000 14.4000 -3.0000 -5.0000 0 15.0000 -36.0000 a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 0 12.9000 -1.5000 -33.1000 14.4000 0 -4.7000 -1.5000 12.3000 -40.2000

线性方程组的矩阵求法

线性方程组的矩阵求法 摘要: 关键词: 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法,通过对线性方程组的系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换得到其解,并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1:一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1:初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2:定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件: (1)B的任一非零行向量的第一个非零分量(称为的 一个主元)为1; (2)B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1.对一个线性方程组施行一个初等变换,相当于对它的增广矩

阵施行一个对应的行初等变换,而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵,因此,我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便,而且能给我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例,给出其解法: (1) 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= L L L L L L L L L L L L L L L 根据方程组可知其系数矩阵为: (2) 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L 其增广矩阵为: (3) 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L L L L 根据(2)及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组,并很容易得到其解。 定理2:设A是一个m行n列矩阵

线性方程组与矩阵

高代小练习 专业课研究部 一、填空题 1.设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ,则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成. 2.向量组123,,ααα线性无关,则122331(,,)rank αααααα+++=__3____. 3.设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关,则r __<=___s (填大小关系). 4.在数域K 上的4维向量空间K 4内,给定向量组α1 =(1,-3,0,2)α2 =(-2,1,1,1)α3 =(-1,-2, 1,3),则此向量组的秩是_2____. 5.若V={(a+bi ,c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘,在复数域上是__2____维的,而在实数域上是__4_____维的. 6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解,则秩A ?>=??秩B. 7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量,则 =+++t λλλ 21______。 8.设任意一个n维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量,则=)(A r ______。 9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系,那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+- 10.在三维几何空间中,用V 1表示通过原点的直线,V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面,试求 21V V ?=_原点____,和21V V ?=_整个空间R 3 ____。 二.解答题 1.在4维向量空间中, (1)求基 到基 的过渡矩阵。

线性代数习题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、

习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、

3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

线性方程组AX=B的数值计算方法实验

线性方程组AX=B的数值计算方法实验 【摘要】在自然科学与工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题,船体数学放样中建立三次样条函数问题,用最小二乘法验数据的曲线拟合问题,解非线性方程组的问题,用差分法或者有限元法解常微分方程,偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类:直接法和迭代法。 关键字高斯消元法、三角分解法、高斯-赛德尔迭代、稀疏矩阵 一、实验目的 1.掌握高斯消元法、三角分解法、高斯—赛德尔迭代发的编程技巧。 2.掌握线性方程组AX=B的数值计算方法。 3.掌握矩阵的基本编程技巧。 二、实验原理 1.高斯消元法

数学上,高斯消元法是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解。高斯(Gauss )夏鸥按法其实是将一般的线性方程组变换为三角形(上三角)方程组求解问题(消元法),只是步骤规,便于编写计算机程序。 一般高斯消元法包括两过程:先把方程组化为同解的上三角形方程组,再按相反顺序求解上三角方程组。前者称为消去或消元过程,后者称回代过程。消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。 对一般的n 阶方程组,消去过程分n-1步:第一步消去11a 下方元素。第二步消去22a 下方元素,......,第n-1步消去1-n 1-n a ,下方元素。即第k 步将第k 行的适当倍数加于其后各行,或可说是从k+1~n 行减去第k 行的适当倍数,使它们第k 列元素变为零,而其余列元素减去第k 行对应列元素的倍数。 2.三角分解法 三角分解法是将原正方 (square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵,这样的分解法又称为LU 分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程,求 反矩阵,和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一,还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵,此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。

线性方程组和矩阵知识总结.doc

线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. 线性方程组的解法 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 (1)、写出线性方程组的增广矩阵。 (2)、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。 (3)、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是,则方程组无解;反之方程组有解。 (4)、在有解的情况下,找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。如果r=n ,则方程组有唯一解;如果r

矩阵与线性方程组

第1 章矩阵与线性方程组 矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本 概念,归纳了向量和矩阵的基本运算。 1.1 主要理论与方法 1.1.1 矩阵的基本运算 一、矩阵与向量 a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢+ a1n x n = b1 a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢+ a2n x n = b2 ... a m1x1 + a m2x2 + ¢ ¢ ¢+ a mn x n = b m 9> >>>=>>>>; (1.1) 它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量 形式简记为 Ax = b (1.2) 式中 A =26664 a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n ... ... ... a m1 a m2 ¢ ¢ ¢ a mn 37775 (1.3) 称为m £ n矩阵,是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合;而 x =26664 x1 x2 ... x n 37775 ; b =26664 b1 b2 ... b m 37775 (1.4) 分别为n £1向量和m£1向量,是按照列方式排列的复数或实数集合,统称列向量。类似地,按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量,例如 a = [a1; a2; ¢ ¢ ¢ ; a n] (1.5) 是1 £ n向量。 二、矩阵的基本运算 1. 共轭转置:若A = [a ij ]是一个m£ n矩阵,则A的转置记作A T,是一个n £m矩阵, 定义为[A T]ij = a ji;矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji;复共轭转置记作A H,定义 为 A H =26664 a¤11 a¤21 ¢ ¢ ¢ a¤m1 a¤12 a¤22 ¢ ¢ ¢ a¤m2 ...

矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1.已知121011251-?? ? = ? ?-??A ,求()R A . 2.已知3210 1032 100000200000-?? ?- ? = ?- ? ?? ?B ,求()R B . 3.若矩阵,,A B C 满足=A BC ,则( ). (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D) ()max{(),()}R R R ≥A B C 4. 设矩阵X 满足关系2=+AX A X ,其中423110123?? ? = ? ?-??A ,求X . 5. 设矩阵101210325?? ?= ? ?--?? A ,求1 ()--E A . 6.A 是m n ?矩阵,齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 . 7.若非齐次线性方程组=Ax b 中方程个数少于未知数个数,那么( ). (A) =Ax b 必有无穷多解; (B) 0=Ax 必有非零解; (C) 0=Ax 仅有零解; (D) 0=Ax 一定无解. 8. 求解线性方程组 (1)12312312312333332x x x x x x x x x +-=??+-=??-+=?, (2)72315 532151011536 x y z x y z x y z ++=?? -+=??-+=? (3)123412341 23420 202220 x x x x x x x x x x x x ++-=?? ++-=??+++=?

9.若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-?? -=-??-=--+-? 有无穷多解,则λ= . 10.若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解,则=A ( ). (A)()2,1,1- (B)201011-?????? (C)102011-????-?? (D)011422010-?? ??--?? ???? 3.4.2 提高练习 1.设A 为5阶方阵,且()3R =A ,则* ()R A = . 2.设矩阵12332354445037a a -????=-?? ??-?? A ,以下结论正确的是( ). (A)5a =时,()2R =A (B) 0a =时,()4R =A (C)1a =时,()5R =A (D) 2a =时,()1R =A 3.设A 是43?矩阵,且()2R =A ,而102020103?? ? = ? ?-??B ,则()R =AB . 4.设12243311t -?? ? = ? ?-??A ,B 为3阶非零矩阵,且0=AB ,则t = . 5.设12312323k k k -?? ? =-- ? ?-?? A , 问k 为何值,可使 (1)()1R =A (2)()2R =A (3)()3R =A . 6.设矩阵111111111111k k k k ?? ? ? = ? ? ??? A ,且()3R =A ,则k = .

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法 线性方程组形式如下: 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯(Gauss)消元法的基本思想是:通过一系列的加减消元运算,也就是代数中的加减消去法,将方程组化为上三角矩阵;然后,再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下: (一)消元过程 第一步:将(1)/3使x 1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零,即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x

由(3)-4×(1)(1) 得 第二步:将(2)(1) 除以2/3,使x 2系数化为1,得 再将(3)(1) 式中x 2系数化为零,即 由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ,得 第三步:将(3)(2) 除以18/3,使x 3系数化为1,得 经消元后,得到如下三角代数方程组: (二)回代过程 由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以,本题解为[x]=[1,2,-1]T (三)、用矩阵演示进行消元过程 第一步: 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步:然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 (1) 将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x

(2)将某行加入到另一行 (3)将任意两行互换 第三步:将增广矩阵变换成上三角矩阵,即主对角线全为1,左下三角矩阵全为0,形式如下: 示例: (四)高斯消元的公式 综合以上讨论,不难看出,高斯消元法解方程组的公式为 1.消元 (1)令 a ij(1) = a ij , (i,j=1,2,3,…,n) b i(1) =b i , (i=1,2,3,…,n) (2)对k=1到n-1,若a kk(k)≠0,进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , (i=k+1,k+2,…,n) a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), (i,j= k+1,k+2,…,n) b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), (i= k+1,k+2,…,n) 2.回代 若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),(i = n-1,n-2,…,1),( j = i+1,i+2,…,n ) (五)高斯消元法的条件 消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲,a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式D i(i=1,2,…,n),在消元的过程中不变,这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i

求解线性方程组的几种方法

§1 消元法 引例 求解线性方程组 ?????=++=++=++288338 219432321321321x x x x x x x x x (1.1) 解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程,采用消元法求解此线性方程组: 方程组(1.1)???→??21r r ?????=++=++=++2883319 43282321321321x x x x x x x x x ?? ???==+=++??????→?--423 0823,23323211312x x x x x x r r r r (1.2) ?????===???????→?÷+-23 12),(3213321x x x r r r r (1.3) 由于方程组(1.1)与(1.3)同解,从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义 以下变换1,2,3称为线性方程组的初等变换。 1. 将某一方程乘以一个非零的倍数; 2. 将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去; 3. 对调两方程的位置。 命题 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。 用消元法求解线性方程组的过程:首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数,那么方程组无解,否则有解。在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数,那么方程组有唯一的解;如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数,那么方程组有无穷多个解。 定理 在齐次线性方程组 111122121122221122000 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 中,如果s

线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿

线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线 性方程组

习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵 将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A

习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值,可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ; ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n

3.从矩阵A中划去一行,得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵,且A2A,试证: R(A) R(A E) n

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系 数学系数052 蒋春 摘要:通过对二元线性方程组,三元线性方程组,四元线性方程组有关系数矩阵,增广矩阵的秩的分析,对其列,行向量的线性相关性分析,初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。 关键词:线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性 引言:判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用,体现了几何与代数的完美结合,虽在解析中给出了两条判定定理,但在实际应用中这两条定理是不够用的,本文用方程组系数矩阵,增广矩阵的秩,对其列,行向量的线性相关性作出系统研究,并给出了一些非常有用的结论。 1:二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系 设线性方程组:1111 2 222a x b y c l a x b y c l +=?????????+=???????? 因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系: ○1:相交的充分必要条件是(不重合): ()11 22 1a b a b ≠??????? ○2平行的充分必要条件是: ()111 222 2a b c a b c =≠??????? ○3重合的充分必要条件是: ()111222 3a b c a b c ==??????? 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为 1122a b A a b ??=????,111222a b c B a b c ??=???? 现记线性方程组增广矩阵的列向量 112a a α??=????,122b b α??=????,132c c α?? =???? 则

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