1 设一阶采样离散控制系统的差分方程为
()()()1c k bc k r k +-=
已知输入信号()k
r k a =，初始条件为()00c =，求系统的输出响应()c k 。
解：对差分方程两边进行Z 变换，得 ()()()()0zC z zc bC z R z --=
()k
z R z Z a z a ??==??-
代入初始条件()00c =，得：
()()()
z
C z z a z b =
--＝
1
z
z a b z a z b ??-??---??
查表得
()()1
k
k
c k a b
a b
=
--
2. 求解差分方程
()()()()2413x k x k x k k δ+-++=
已知()0x k =，0k ≤，
()1,000k k k δ=?=?
≠?，
解：对差分方程两端作z 变换，得
()()()()()()2
2
014031z X z z x zx zX z zx X z ----+=????
已知x (0)=0，将k =-1代入差分方程得
x (1) = 0
将x (0)=0，x (1) = 0代入z 变换式，得：
()()()
2
11
43
31X z z z z z =
=
-+--
()()
()
1
1
2
2
1
3
lim 1lim 343
43
k k z z z
z
x k z z z z z z --→→=-+--+-+
＝1
0.50.53k --+?
3. 求差分方程
()()()2 1.510.50f k f k f k -+-+=的解。已知初始条件为()0.5f T -=-, ()20.75f T -=。
解：差分方程为二阶齐次差分方程，对方程两边取Z 变换。
()()()()()()2
1
1
2 1.50.50z F z z
f T f T z F z f T F z ---??+-+-++-+=??
整理得：
()()()()
1
2
1
1.521.50.5
z
f T f T F z z
z
---+-+-=-
++
代入初始条件得
()12
1
0.51.50.5
z F z z
z ---=
++ 2
32
z z z =
++
＝
1
2
z z z z -
++
求Z 反变换得
()()()()12,0n
n
f nT n =---≥
4. 求差分方程
()()()()()()()711621230,00,11,23y k y k y k y k y y y --+---===-=-。
已知：()()2
3
2
7161232λλλλλ-+-=-- 解：
差分方程为二阶齐次差分方程，其特征方程为：
()()2
3
2
7161232λλλλλ-+-=--
特征根：1,232,3λλ==
故，其齐次解为：()012223k
k
k
y k C C k C =++
代入初始条件：
()()()00001202111
012012222012012020230
121232231222234893
y C C C C C y C C C C C C y C C C C C C ?=+??+=+=??=+??+=++=-??=+??+=++=-?? 解之得：0121,1,1C C C =-=-= ∴ 方程的解为
()223k
k
k
y k k =--?+，其中：k = 0 , 1, 2, …
5. 设控制系统闭环传递函数为
()()
()
5o i X s K X s s s =
+，试求其离散化差分方程。
解：
()()
()
55
o i X s K a b X s s s s
s =
=
+
++
∴ ()5a s bs K ++=
05
55K a a b a K K
b ?=?+=????
?=??=-?? ∴()()
()
555o i X s K K X s s s =-
+
∴Z 变换：
()()
()()()
()
()()
5012
55012
155551551T
o T
T
i K z e
X z b z b K K K z K z Z X z s s z a z a z a z e
z z e ----??+=-=-=
=
??+-++---?? 其中：
()501
1,0T
b K e
b
-=-=，()55012
5,51,5T
T
a a e
a
e
--==-+=
∴ 差分方程为： ()()()()()01201211o o o i i a x k a x k a x k b x k b x k ++++=++
6. 用Z 变换法，求解下列差分方程： ()()()()()
25160
[00,11]
x k x k x k
x x ++++===。 解： ()()()23120Z x k x k x k ++++=????
()()()23120Z x k Z x k Z x k ++++=????????????
()()()()()()2
2
015060z X z z x zx zX z zx X z --+-+=????
∵ ()()00,11x x == ∴ ()()()2
560z X z z zX z X z -++=
即：
()()()
2
56
23z z
X z z z z z =
=
++++＝
2
3
z z z z -
++
∴ ()()()23k
k
x k =---，k = 0，1，2，…
7. 求解差分方程
()()()()()24130,00,1c k T c k T c kT c c T ++++===????????
解：
对差分方程两端取Z 变换，
()()()()()()2
2
044030z C z z c zc T zC z zc C z --+-+=
将()()00,1c c T ==代入：
()()2
43z
z C z z ++=
∴ ()2
43
z C z z z =++＝
0.50.51
3
z z z z -
++
∴ ()()()0.510.53,0,1,2,k
k
c kT
k =---=
8. 设某控制系统，其闭环传递函数为()()
()()
3
12Y s s U s s s +=
++，试求其离散化方程——差分方程。
解：该系统的Z 变换为：
()
()()()()()2
222323
12T
T
T T T
z e e z Y z s Z U z s s z e e z e -----+-??+==??++-++?? ＝
2
012
012
b z b z a z a z a +++
()2011,2T
T
b b e
e
--==-，()230
12
1,,T
T
T
a
a e
e
a
e
---==-+=
则其离散化方程——差分方程为：
()()()()()012012121a y k a y k a y k b u k b u k ++++=+++
9. 求解差分方程()()()()2618x k x k x k u k +-++=，已知()()1u t t =，()00x =，()10x =。
解：对方程两边进行z 变换。 ()()()()()()()2
2
016608z X z z x zx zX z zx X z U z ----+=
∵()()1u t t =∴()1
z U z z =
-
将()00x =，()10x =代入：
()2
1
681z
X z z z z =
-+-＝1112264
31
z
z
z
z z z -
+
+
---
∴ ()111
24263
k k x k =-++，k= 0,1,2,…
10.求解差分方程()()()51620,y n y n y n --+-=已知y(0)=2,y(1)=1。
解： 差分方程为二阶齐次差分方程，其特征方程为：
()()2
5632λλλλ-+=--
特征根：122,3λλ==
故，其齐次解为：()1223k
k
y k C C =+
代入初始条件：
()()00
121211
1202321231
y C C C C y C C ?=+=+=??=+=??
解之得：125,3C C ==- ∴ 方程的解为
()1
523
k
k y k +=?-，其中：k = 0 , 1, 2, …
11. 求解差分方程()()()()()25160,[00,11]x k x k x k x x ++++===。 解：方法一
差分方程为二阶齐次差分方程，其特征方程为：
()()2
5632λλλλ++=++
特征根：122,3λλ=-=-
故，其齐次解为：()()()1223k
k
y k C C =-+- 代入初始条件：
()()()()()()00121211
12120230
123231
y C C C C y C C C C ?=-+-=+=?
?=-+-=--=??
解之得：121,1C C ==- ∴ 方程的解为 ()()()23k k
y k =---，其中：k = 0 , 1, 2, …
方法二：
对差分方程两端取Z 变换，得： ()()()()()()2
2
015060z X z z x zx zX z zx X z --+-+=????
将已知条件()()00,11x x ==代入，整理得
()()2
56z
z X z z ++=，
∴ ()2
56
z X
z z z =
++＝
2
3
z z z z -
++
∴ 方程的解为
()()()23k
k
y k =---，其中：k = 0 , 1, 2, …
12. 求解差分方程()()()()240,[00,11]x k x k x x +-===。 解：对差分方程两边取Z 变换，得：
()()()()2
2
0140z X z z x zx X z ---=
将已知条件()()00,11x x ==代入，整理得
()()2
40z X z z X z --=
∴ ()2
4
z X
z z =
-
()()()*
112
22
2
2244n n z z z z x
t z z z z z z --==-??
??
=-++????
--??
??
()
()1
11
1111
2
222,1,2,3,2
2
2n n n n n ----??=
+
-=
+-=?
? 12. 求解差分方程()()2310,x k x k +++=其中()()00,11x x ==。 解：对差分方程两边取Z 变换，得： ()()()()()22013300z X z z x zx zX z zx ??--+-=??
????
将已知条件()()00,11x x ==代入，整理得
()()2
30z X z z zX z -+=
∴ ()13
X
z z =
+
()()3,0,1,2,k
x k k =-=
13 用Z 变换法，求解下列差分方程： ()()()()()
23120
[00,11]
x k x k x k
x x ++++===。 解：
()()()23120Z x k x k x k ++++=????
()()()23120Z x k Z x k Z x k ++++=????????????
()()()()()()2
2
013020z X z z x zx zX z zx X z --+-+=????
∵ ()()00,11x x == ∴ ()()()2
320z X z z zX z X z -++=
即：
()()()
2
32
12z z
X z z z z z =
=
++++＝
1
2
z z z z -
++
∴ ()()()12k
k
x k =---，k = 0，1，2，…
14求下列系统的响应x(k)。
()()()()2312x k x k x k u k +-++=
式中，()()00x k k =≤，()01u =，()()00u k k =≠
解： 将k = －1代入方程：
()()()()130211x x x u -+-=-
∴ ()10x =
对差分方程两边取Z 变换，得：
()()()2
32z
z X z U z -+=
而 ()()0
n
n U
z u n z ∞
-==∑＝1
∴ ()()()
2
11
32
12X
z z z z z =
=
-+--＝
112
1
z z -
--
采用留数法，求()x k 。
()()1
n x k res X z z
-??=
??
∑＝
()
()()1
1
1112n z z z z z -=??-??--??
+()()()1
2
1212n z z z z z -=??-??
--??＝
－1 + 2n -1 ，n ＝ 1，2，3，…
1、常系数线性差分方程的解 方程（ 8）其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程（9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如的解，带入方程中可得： （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解： ， （2）若（10）有m重根，则通解中有构成项： （3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项： （4）若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为： 如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解： + （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 例1设差分方程，求 解：解法1：特征方程为，有根： 故：为方程的解。 由条件得： 解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：
由条件得 由F（z）在中解析，有 所以， 3、二阶线性差分方程组 设，，形成向量方程组 （12）则 （13）（13）即为（12）的解。 为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有： （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。 （2）将A 分解成为列向量，则有 从而，
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为
创新项目论文 一种基于三阶Adams 格式的求解声波方程的多步算法 China University of Mining & Technology-Beijing
摘要 一个准确、高效、低数值频散的正演算法能够提高反演精度、加快反演收敛速度，因此研究地震波场正演模拟技术具有重要意义。区别于传统的空间离散方法，利用空间插值, 用网格点处的函数值及其梯度共同逼近空间高阶偏导数的方法称为近似解析离散化方法。声波方程通过变换，并采用近似解析离散化方法进行空间离散，从而转变成为一个半离散化的常微分方程组，再利用三阶显式Adams格式进行时间推进，求解半离散化的常微分方程组，从而得到了一个新的求解声波方程的有限差分方法（AD-STEM）。对AD-STEM进行了理论误差和数值误差分析、计算效率比较和数值波场模拟。研究表明，与传统方法AD-LWC比较，AD-STEM方法数值精度更高，数值频散更低，更高效，且与解析解匹配更好。AD-STEM方法能够通过压制数值频散而提高计算效率。在无可见数值频散的条件下，AD-STEM的计算速度是AD-LWC的1.88倍，而存储量只有其72%，更适合在粗网格下进行大规模地震波场数值模拟。 关键词：近似解析离散化方法；三阶Adams格式；数值频散；有限差分
目录 1 绪论 (1) 1.1选题背景和研究意义 1.2粘弹性介质国内外研究现状 1.3有限差分国内外研究现状 1.4本文主要研究内容 2 粘弹性介质的基本模型 (6) 3方法介绍....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 3.1 Stereo-modeling方法简介 (10) 3.2 Lax-Wendroff correction方法简介 ...................................................................... 错误！未定义书签。 4 粘弹性介质中的波场数值模拟..................................................................................... 错误！未定义书签。 4.1 波场快照 (11) 4.2 波形图.................................................................................................................. 错误！未定义书签。 4.3 SEG模型的地表地震记录 (14) 5 结论 (18) 6 参考文献 (20)
题目：使用Ricker 子波，刚性边界条件，并且初值为零，在均匀各向同性介质条件下，利用交错网格法求解一阶二维声波方程数值解。 解： 一阶二维声波方程： 22222221z P x P t P c ??+??=?? (1) 将其分解为： 21P c t P x P z x z x z V V x z V t V t ????=+????????=???????=???? (2) 对分解后的声波方程进行离散，可得到： 1 12211,-1,,,122[]N n n n n m i m j i m j xi j xi j m t V V c P P h + -+---=?=+-∑ 1 1 221 1,1,,,122 []N n n n n m i j m i j m zi j zi j m t V V c P P h +-++---=?=+-∑ 111121 2222,,m 1,,,,11 []N n n n n n n i j i j m xi j xi m j zi j m zi j m m tc P P c V V V V h +++++++-+--=?=+-+-∑ h z x =?=? 针对公式(1)，使用二阶中心差商公式： 2P(,,1)2(,,)(,,1)i j n P i j n P i j n t +-+-?222(1,,)2(,,)(1,,)(,1,)2(,,)(,1,)P i j n P i j n P i j n x c P i j n P i j n P i j n z +-+-??+?????=??+-+-??????? (3) 变形： P(,,1)=2(,,)(,,1)i j n P i j n P i j n +--
第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
Open Journal of Natural Science 自然科学, 2020, 8(4), 258-263 Published Online July 2020 in Hans. https://www.doczj.com/doc/7618386959.html,/journal/ojns https://https://www.doczj.com/doc/7618386959.html,/10.12677/ojns.2020.84034 2D Acoustic Wave Equation Forward Modeling in the Frequency Domain Kun Han, Xiangchun Wang* School of Geophysics and Information Technology, China University of Geosciences (Beijing), Beijing Received: Jun. 23rd, 2020; accepted: Jul. 6th, 2020; published: Jul. 13th, 2020 Abstract Forward modeling in frequency domain plays an important role in the numerical simulation of seismic waves. Compared with time domain forward modeling, frequency domain forward mod-eling has many advantages, such as suitable multi shot parallel operation, no time dispersion, flexible frequency band selection and small error. The coefficient matrix of different frequencies is relatively independent in the frequency domain forward modeling, which is suitable for the acce-leration of parallel computing and greatly improves the computing efficiency. In this paper, for the optimal 9-point difference scheme of frequency domain acoustic equation, the implicit expression and sparse matrix solution are studied, and the seismic wave field is simulated forward. The ac-curacy and validity of the method are verified by model calculation. Keywords Frequency Domain, Forward Modeling, Acoustic Equation, Parallel Computing 二维频率域声波方程正演模拟 韩坤，王祥春* 中国地质大学(北京)，地球物理与信息技术学院，北京 收稿日期：2020年6月23日；录用日期：2020年7月6日；发布日期：2020年7月13日 摘要 频率域正演在地震波数值模拟中占有十分重要的地位。相比于时间域正演，频率域正演具有适合多炮并*通讯作者。
例题：已知差分方程51 (2)(1)()(+1)+0.5()66 x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1， x (1)=2。 (1) 试由迭代法求其全解的前5项； (2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解； (3) 用Z 变换法求解差分方程。 解：注：解题过程中出现的下标“zi ”和“zs ”分别表示零输入条件和零状态条件。 1. 迭代法 题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。 (1) 零输入初始条件 本题已给出零输入时的两个初始条件x zi (0)=1，x zi (1)=2。 (2) 零状态初始条件 取k =-2时，则51 (0)(1)(2)(1)0.5(2)66x x x r r --+-=-+-，得x zs (0)=0； 取k =-1 时，则51 (1)(0)(1)(0)0.5(1)66 x x x r r -+-=+-，求得x zs (1)=1。 (3) 全解初始条件 x (0)= x zi (0)+ x zs (0)=1； x (1)= x zi (1)+ x zs (1)=3。 (4) 根据求出的全解x (0)和x (1)，利用迭代法求解 取k =0时，则51(2)(1)(0)(1)0.5(0)66x x x r r -+=+，求得23(2)6x =； 取k =1时，则51(3)(2)(1)(2)0.5(1)66x x x r r -+=+，求得151 (3)36x =； 取k =2时，则51(4)(3)(2)(3)0.5(2)66x x x r r -+=+，求得941 (4)216 x =。 2. 古典法 (1) 零输入解 令输入为零，则得齐次方程 51 (2)(1)()066 x k x k x k +-++= (a) 根据差分方程定义的算子()()n d x k x k n =+，可得它的特征方程251 066 d d -+= 求得特征根为： 112d = ，21 3 d =
FDMOD –声波方程有限差分正演模拟（二维） 格式： fdmod
第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02 211=++++--k k k k a a a λ λλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 () 0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为
第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ )...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
毕业论文 题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0802 学生王丹丹 学号20080901045 指导教师王宣欣 二〇一二年五月二十五日
摘要 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。 第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系 数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。 第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。 关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例
ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application
第五章 常微分方程的差分方法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的数值解法。 二、教学内容及学时分配 本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下： 讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。 三、教学重点难点 1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。 2. 教学难点：收敛性与稳定性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 五、正文 基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式 引 言 1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解: 00()(,)()y x f x y y x y '=??=? 微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程: xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。 于是可得一阶常微分方程的初始问题 24(1)3y y x y ?'=+???=-?。 显然函数y(x)=x 2-4x 满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。
3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解： 设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进行划分得一系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 如果计算y n 时，只利用y n-1，称这种方法为单步法；如果在计算y n 时不仅利用y n-1，而且还要利用y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种方法为r 步方法，也称多步法。 §5.1 欧拉方法 §5.1.1 欧拉格式 方程()(,)n n n y x f x y '=中，1()()()n n n y x y x y x h +-'≈ 1()()(,())n n n n y x y x hf x y x +≈+?1(,)n n n n y y hf x y +=+ 称为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式，也称显示欧拉公式。 欧拉公式的几何意义非常明显，因为微分方程的解在xoy 平面上表示一族积分曲线。用欧拉公式求数值解的几何意义如图： 容易验证，该折线各个顶点的纵坐标(1,2...)n y n =就是欧拉公式算得的近似值解，所以，欧拉方法又称为折线法。 算例：P98
1 设一阶采样离散控制系统的差分方程为 ()()()1c k bc k r k +-= 已知输入信号()k r k a =，初始条件为()00c =，求系统的输出响应()c k 。 解：对差分方程两边进行Z 变换，得 ()()()()0zC z zc bC z R z --= ()k z R z Z a z a ??==??- 代入初始条件()00c =，得： ()()() z C z z a z b = --＝ 1 z z a b z a z b ??-??---?? 查表得 ()()1 k k c k a b a b = -- 2. 求解差分方程 ()()()()2413x k x k x k k δ+-++= 已知()0x k =，0k ≤， ()1,000k k k δ=?=? ≠?， 解：对差分方程两端作z 变换，得 ()()()()()()2 2 014031z X z z x zx zX z zx X z ----+=???? 已知x (0)=0，将k =-1代入差分方程得 x (1) = 0 将x (0)=0，x (1) = 0代入z 变换式，得： ()()() 2 11 43 31X z z z z z = = -+-- ()() () 1 1 2 2 1 3 lim 1lim 343 43 k k z z z z x k z z z z z z --→→=-+--+-+ ＝1 0.50.53k --+? 3. 求差分方程 ()()()2 1.510.50f k f k f k -+-+=的解。已知初始条件为()0.5f T -=-, ()20.75f T -=。
微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组
常微分方程与微分方程数值方法比较 1. 微分方程数值方法的有关概念 首先回顾微分方程的定义与分类。含有自变量、未知函数及其导数（微分或偏导数）的方程称为微分 方程；如果未知函数只含有一个变量，则称为常微分方程；如果未知函数含有若干个变量，则称为偏微分方程。微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶次称为微分方程的阶。例如：微分方程 (,)du f t u dt =是一阶常微分方程， 而2 22u u a t x ??=??是二阶偏微分方程。 所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在 n 阶微分方程中，将微分方 程的含有 n 个任意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而需要的条件称为定解条件；定解条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。 根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为： 2(0)1dy x y dx y y ?=-? ??=? 若定解条件描述了函数在至少两点（或边界）处状态的称为边值问题，例如： 2 22(0,)(,)0(,0)()u u a t x u t u L t u x f x ???=????? ==??=??? 2.常微分方程数值方法 有限差分法是常微分方程中数值解法中通常有效的方法，建立差分算法的两个基本的步 骤： 1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分；b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）. 2.差分格式求解，将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解，一般常用递推算法。 差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”，差分形式如下：