福建省泉州市
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2020年秋季高三期中联考数学试卷
考试科目：数学 满分150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请把答案填在答题卡的相应位置．
1．已知集合{|08}U x x =∈< )U A B ?=（ ） A ．{2,3,4,5} B ．{3,4,5,6} C ．{2,3,4,5,6} D ．{3,4,5,6,7} 2．若复数11mi z i += +（i 为数单位）在复平面内对应的点在第三象限、，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)-∞- 3．在ABC 中，“03A π<< ”是“1 cos 2 A >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特 征．如函数函数()() 22 2 2 1ln 21x y x x +=-?+的部分图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知数列{}n a 为等比数列，且45664a a a =-，则37tan 3a a π??? = ??? （ ） A B ． C ． D ．3 - 6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=+，则ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7 ．已知函数( ()ln 1f x x =++，若正实数a ，b 满足：(2)(1)2f a f b +-=，则1 b a b +的最小值 为（ ） A ．4 B ．5 C ．1+ D ．3+8．已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，123a = ，()12(24)5626n n n n a a n n a n ++=++++，则9S =（ ） A ． 1011 B ．111 C ．8255 D ．72 55 二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请把答案填在答题卡的相应位置． 9．已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论正确的是（ ） A ．截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过65000人 B ．从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数 C ．从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，累计确诊人数上升幅度一直在增加 D ．2月15日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50% 10．已知向量(1,1)a b +=，(3,1)a b -=-，(2,2)c =，设,a b 的夹角为θ，则（ ） A ．a c ⊥ B ．||||a b = C ．//b c D ．135θ=? 11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则2 2 ac bc < B ．若a b >， 11 a b >，则0a >，0b < C ．若0c a b >>>，则 a b c a c b >-- D ．若0a b <<，则2a b b a +≥ 12 ．已知函数22 ()2sin cos 2cos f x x x x x =+?-，x ∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数3y f x π?? =+ ?? ? 的图象关于原点对称 B ．在区间,62ππ?? ? ??? 上，()f x 的最大值为4 C ．将()f x 的图象向左平移 4 π 个单位，得到()g x 的图象，若A ，B ，C 为两个函数图象的交点，则ABC 面 积的最小值为 D ．若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数 ()y g x =-6 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题为多填题，第一空2分，第二空3分，满分20分请把答案写在答题卡的相应位置． 13．设变量x ，y 满足约束条件5 211 x y x y x +≤?? -≤-??≥? ，则y z x =的最小值为_______． 14．已知5 (1)ax +的展开式的所有项系数之和为1-，则展开式中含x 的项的系数是________． 15．在梯形ABCD 中，//AD BC ，222BC AB AD ===，90BAC ∠=?，若2BD BE =，则AE BC ?的值为______． 16．已知函数()y g x =的图像与函数()x f x a -=（其中0a >且1a ≠）的图像关于y x = 对称，则 g =_______；若方程()()f x g x =有解，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知 222sin sin sin sin sin B C A B C +=+?． （1）求角A ； （2）若2AB =，D 为BC 边的中点，且ABC 的面积为AD ． 18．（本小题12分）从条件①2(1)n n S n a =+(2)n a n =≥，③0n a >，2 2n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 2n n n a b += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， //AB CD ，90DAB ∠=?，M 为侧棱PD 上一点，已知11 122 AB AD CD DP ====． （1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）若1 2 DM DP = ，求二面角A BM C --的大小． 20．（本小题12分）已知函数2 ()ln 1,f x x mx m R =-+∈． （1）若1m =，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的零点个数． 21．（本小题12分）2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联（FIVB ）举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA -V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布( )2 270,10 N ．比赛赛制采取单循环 方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前3名分别为中国队、美国队和塞尔维亚队，中国队积26分，美国队积22分，塞尔维亚队积20分 （1）如果比赛准备了10000排球，估计质量指标在(260,290)内的排球个数； （2）第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为 3 4 ，解决下列问题． （ⅰ）在第10轮比赛中，设中国队所得积分为X ，求X 的分布列及期望； （ⅱ）已知第10轮美国队积2分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多且不可以积分相同）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由． 参考数据：()2 ~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈， (33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈． 22．（本小题12分）已知函数()sin f x x =，2 ()21g x x =-． （1）求函数()2()2F x f x g x π?? =-+ ??? 的单调区间； （2）当0x ≥时，若22x x g e ax ??≤+- ??? 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0x ≥时，证明：21 (2)2()()2 x x e f x f x f x ?+ ≥+． 福建省泉州市 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2020年秋季高三数学期中联考试卷参考答案 一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分． 1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分． 9．ABD 10．AD 11．BCD 12．BC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题为多填题，第一空2分，第二空3分，满分20分． 13．23 14．10- 15．12 16．12 1,1(1,)e e -???+∞???? 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）因为222 sin sin sin sin sin B C A B C +=+?， 由正弦定理可得2 2 2 b c a bc +=+ 2分 由余弦定理可得，2221 cos 22 b c a B bc +-= = 4分 ∵(0,)A π∈，∴3 A π = ． 5分 （2）因为3 A π = ，2AB =， 所以11sin 22222 ABC S AB AC A AC AC = ???=???=， 6分 又ABC S =4AC =． 7分 由已知可得2 2 22 ()244AB AC AB AC AB AC AD +++?== 2212422424 ++???= 7=， 所以AD = 10分 注：该题方法较多，答案没有问题都给满分． 18．解：若选择①， 因为2(1)n n S n a =+，* n N ∈，所以112(2)n n S n a ++=+，* n N ∈， 1分 两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 2分 即 11n n a a n n +=+，*n N ∈． 3分 所以n a n ?? ? ? ?? 为常数列．111n a a n ==，所以n a n =． 6分 （或由 11 n n a n a n ++=，利用相乘相消法，求得n a n =） 若选择②， (2)n a n +=≥ 1n n S S -=-， 1分 = ， 2分 易知0n S > 1=， 3分 所以 11a == n =，2 n S n =， 4分 ∴121(2)n n n a S S n n -=-=-≥， 5分 又1n =时，11a =也满足上式， 所以21n a n =-． 6分 若选择③， 因为( )2 * 2n n n a a S n N +=∈，所以21 112(2)n n n a a S n ---+=≥， 1分 两式相减得2 2 111222(2)n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥， 2分 整理得()()111(2)n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥， 4分 因为0n a >，11(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列， 5分 所以1(1)1n a n n =+-?=， 6分 （2）选择①，③，因为数列11 22 n n n n a n b ++= =， 7分 所以2 3 1111234(1)2222n n S n ???? ?? =?+?+?+ ++? ? ? ???????， 8分 2 3 4 1 11111234(1)22222n n S n +?????? ?? =?+?+?+++? ? ? ? ? ???????? ， 9分 则2 3 1 1111111(1)222222n n n n n S S S n +????????-==+++ +-+? ? ? ? ????? ???? ， 111111133421(1)122212 n n n n n +-+?? - ?+?? ??=+-+?=- ???-， 11分 故3 32n n n S +=- ． 12分 选择②，12122n n n n a n b ++= =，同理可得1 23 52n n n S ++=-． 19．解：（Ⅰ）证：易得2 2 2 BD BC CD +=，∴BC BD ⊥ 2分 又PD ⊥平面ABCD ，∵BC ?平面ABCD ，∴BC PD ⊥， 3分 而PD BD D ?=故，BC ⊥平面PBD 4分 ∵BC ?平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD 5分 （Ⅱ）以,,DA DC DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C M 6分 (0,1,0)AB =，(1,1,0)BC =-，(1,1,1)BM =--，设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z =，则 111 1110 000n AB y x y z n BM ??==???? ?--+=?=??? 令11x =，则11z =，∴1(1,0,1)n =是平面AMB 的一个法向量 8分 设平面BMC 的一个法向量为()2222,,n x y z =， 2222 2220 000n BC x y x y z n BM ??=-+=???? ?--+=?=???令21x =，则21y =，22z =， ∴2(1,1,2)n =是平面BMC 的一个法向量 10分 1212212 cos ,1n n n n n n ?<>= = = 11分 又二面角A BM C --为钝二面角，其大小为 56 π ． 12分 20．解：（1）当1m =时，函数2 ()ln 1f x x x =-+， 可得函数1 ()2f x x x '= -， 1分 所以(1)1f '=-，又1x =时，(1)0f =， 3分 曲线()y f x =则1x =处的切线方程；1y x =-+； 4分 （2）由2 ()ln 10f x x mx =-+=得2 ln 1 (0)x m x x += >， 5分 设2ln 1()(0)x g x x x += >，则3 2ln 1 ()x g x x +'=-， 6分 令()0g x '=，则x = ， 则当00x << 时，32ln 1()0x g x x +'=->，所以()g x 在? ? 上为增函数． 则当x > 时， 32ln 1()0x g x x +'=- <，所以()g x 在?+∞?? 上为减函数． 8分 又因为0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →， 9分 又 2e g =，结合图像（如图） ，可知 ①当2 e m > 时，函数()f x 无零点； ②当2 e m = 时，函数()f x 有且仅有一个零点； ③当02 e m << 时，函数()f x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()f x 有且只有一个零点； 11分 综上所述，当2e m > 时，函数()f x 无零点；当2 e m =或0m ≤时，函数()f x 有且仅有一个零点；当02 e m << 时，函数()f x 有两个零点． 12分 注：函数2 ()ln 1f x x mx =-+直接求导，然后分类讨论也按步给分． 21．解：∵( )2 ~270,10 N ξ， ∴0.95450.6827 (260290)(2)0.95450.81862 P P ξμσξμσ-<<=-<≤+≈- = 所以质量指标在(260,290)内的排球个数约为100000.81868186?= 3分 （2）（ⅰ）X 的可能取值为3，2，1，0． 3223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-= ，222 481(2)(1)512 P X C p p p ==-=， 22 3427(1)(1)512P X C p p ==-= ，313 313(0)(1)(1)256 P X p C p p ==-+-=， X 的分布列为 1898127131323 ()3210256512512256512 E X = ?+?+?+?= 8分 （ⅱ）若3X =，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第11轮积3分，则11轮过后的总积分是27分，2927>，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为189 (3)256 P X ==． 若2X =，则中国队10轮后的总积分为28分，美国队即便第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是27 分，2827>，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为81(2)512 P X == ． 所以提前一轮夺得冠军概率为：18981459 (3)(2)256512512 P X P X =+== +=． 12分 22．解：（1）由已知可得2 ()cos221F x x x =+-，则()2sin24F x x x '=-+， 1分 令()()x F x ?'=，则()4cos240x x ?'=-+≥，所以()x ?在R 上单调递增， 又(0)0?=，所以0x <时，()(0)0x ??<=，函数()F x 单调递减；0x >时， ()(0)0x ??>=，函数()F x 单调递增． 所以，()F x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞． 3分 （2）由条件可得21102x e x ax - +-≥恒成立，令21 ()1(0)2 x G x e x ax x =-+-≥， 则()x G x e x a '=-+，又()1x G x e ''=-， 所以0x ≥时，()0G x ''≥，函数()G x '单调递增，所以，()(0)1G x G a ''≥=+ 5分 ①当1a ≥-时，()(0)10G x G a ''≥=+≥，所以函数()G x 单调递增，()(0)0G x G ≥=，不等式显然成立． ②当1a <-时，函数()G x '单调递增，又(0)10G a '=+<，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得()00G x '=成立， 当00x x <<时，()0G x '<，函数()G x 单调递减，又(0)0G =，显然()0G x ≥不恒成立．所以综上所述 [1,)a ∈-+∞． 7分 （3）证明：要证21 sin 22sin sin 2 x xe x x x + ≥+，即证2sin (2cos )sin x xe x x x ≥-+． ①当x π≥时，3x xe e π π≥>，而2 sin (2cos )sin 3x x x -+≤ （以[,2]x ππ∈为例，sin 0,2cos [1,3]x x ≤-∈，故sin (2cos )0x x -≤，所以 2sin (2cos )sin 3x x x -+≤）所以不等式成立． 8分 ②当0x π<<时，sin 0x >，由（1）知：0x ≥时，2 cos212x x ≥-，所以2 21cos 12122x x x ?? ≥-=- ??? ， 212cos 12x x -≤+ 所以只需证221sin 1sin 2x xe x x x ?? ≥++ ??? ． 8分 令()sin (0)p x x x x =-≥，则()cos 10p x x '=-≤，所以()p x 在[0,)+∞单调递减，所以 ()(0)0p x p ≤=，即sin x x ≤． 故只需证22 112x xe x x x ??≥+ + ?? ? ， 即证：2 112 x e x x ≥+ +． 由（2）知，上述不等式成立． 11分 ③当0x =时，不等式等号显然成立， 综上，当0x ≥时，21 sin 22sin sin 2 x xe x x x + ≥+． 12分
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