2018届四月调考复习专题—圆综合
例1如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，弦CA 、BD 的延长线交于S ，?=∠m APD 2，?+?=∠15m PAC . （1）求∠S 的度数；
（2）连AD 、BC
，若
3=AD
BC
，求m 的值.
（1）解 ∵∠APD=2m o, ∠P AC= m o+15o ∠APD =∠B +∠PDB =∠B +∠P AC ∴∠B=2m o-( m o+15o)= m o-15o
…………2分 ∠P AC =∠B+∠S
∴∠S =∠P AC-∠B=30o
…………4分 (2) 作DT ⊥CS 于T
∵∠S =30o 易证△SDA △SCB ………………………5 分
∴ AD BC =SD
CS
=3
易证, ST=CT …………7分
∴∠ACD =∠S=30o=∠ABD = m o-15o
∴m=45 ………………8分
例2． （本题8分）RT △ABC 中，∠ACB ＝90°, AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O.
(1) 求证：AB 为⊙O 的切线;
(2) 已知AO 的延长线交⊙O 于点E,延长AO 交⊙O 于D,若tan ∠D ＝1
2，
AC=4，求⊙O 的半径
（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，∵AO 平分∠BAC,又∴∠ACB=090，∴OH=OC, ∴AB 为⊙O 的切线。---------------------------------------------------（4分）
（2）连接CF ，∵DF ⊙O 为直径，∴∠FCD=0
90,易证△ACF ∽△ADC,
∴
AF AC CF
AC AD DC
==
又∵tan ∠D 12=，AC=4,∴41
42
AF AD ==,∴AF=2，AD=8，即
DF=6，∴OD=3，即⊙O 的半径为3.----------------------------------------------
E D
O
C
B
（8分）
例3．在△P AE 中，∠P AE ＝90°，点O 在边AE 上，以OA 为半径的⊙O 交AE 于B ，OP 平分∠APE
(1) 求证：PE 是⊙O 的切线 (2) 设⊙O 与PE 相切于点C ，若
4
3
EC EB ，连接PB ，求tan ∠APB 的值
例4．如图，BC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，D 为弧BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，AD 交BC
于点F ，tanB ＝
2
1 (1) 求证：DE ＝2AE (2) 求sin ∠BFD 的值
5．如图，AC 为⊙O 的直径，DAB 为⊙O 的割线，E 为⊙O 上一点，弧BE ＝弧CE ，DE ⊥AB 于D ，交AO 的延长线于F (1) 求证：DF 为⊙O 的切线 (2) 若AD ＝
4
5
，CF ＝3，求tan ∠CAE 的值
6如图，△ABC 内接于⊙O ，D 为直径AC 延长线上一点，若∠DCB ＝∠ABD (1) 求证：DB 为⊙O 的切线
(2) 已知AC ＝7，CD ＝9，求AB 的长
7．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．
（1）证明：连结OD，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠ODB，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴
∵，BC=6，∴CD=4，
∵CE，BE是⊙O的切线∴BE=DE，BE⊥BC ∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE2解得：BE=．
8如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB 、DC 、DF (1) 求证：DF 是⊙O 的切线
(2) 若AC ＝
52DE ，求tan ∠ABD 的值
证明：(1) 连接OD 、OF
∵AC 为⊙O 的直径 ∴∠ADC ＝90°
在Rt △CDE 中，F 为CE 的中点 ∴FD ＝FC
可证：△ODF ≌△OCF （SSS ） ∴∠ODF ＝∠OCF ＝90° ∴DF 是⊙O 的切线 (2) 设DE ＝1，AC ＝52 由射影定理，AC 2＝AD ·AE ∴20＝AD ·(AD ＋1)，解得AD ＝4 ∴CD ＝2
∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝2
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点A 、C 、D 在⊙O 上，过D 作PD//AC 交AB 于E ，且∠BPD=∠ADC.(1)求证：直线BP 为⊙O 的切线.
(2)若点E 为PD 的中点，AC=2，BE=1,求tan ∠BAD 的值
1)略 2）
作DH ⊥AB 于H ，ABC EPB
AB=2DE=2R,DE=OD;DE=PE →BE=EH=HO,tan BAD=
2
2；
10．（本题8分）如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F (1) 求证：直线EF 是⊙O 的切线 (2) 若CF ＝
23，cos ∠CAB ＝5
3
，求tan ∠CBA
证明：(1) ∵OA ＝OC ，DB ＝DC
∴OD ∥AB ∵DE ⊥AB ∴OD ⊥EF
∴直线EF 是⊙O 的切线 (2) 设⊙O 的半径为r ∵cos ∠CAB ＝cos ∠FOD ＝
5
3
2
3=
+r r ，解得49=r
∴AB ＝
2
9
∵OD ∥AB ∴
AF
OF
AE OD = 即6415
49=AE ，AE ＝518
∴BE ＝
10
9
51829=
- 在Rt △ACG 中，sinA ＝54=AC CG ，CG ＝5
18
∴DE ＝
21CG ＝5
9
∴tan ∠CBA ＝
2
1
11.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且弧DA ＝
弧DC ，连接AC 、AD ，延长AD 交BM 于点E (1) 求证：△ACD 是等边三角形 (2) 连接OE ，若DE ＝2，求OE 的长
：(1)y=2x-5,x y 12
(4分);(2)8（2分）作图2分
解答： （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线，
∴AB ⊥BE ，
∵CD ∥BE ，∴CD ⊥AB ，∴
∵=，∴，∴AD=AC=CD ，∴△ACD 是等边三角形；
(2）解：连接OE ，过O 作ON ⊥AD 于N ，由（1）知，△ACD 是等边三角形，
∴∠DAC=60°∵AD=AC ，CD ⊥AB ，∴∠DAB=30°，∴BE=AE ，ON=AO ，
设⊙O 的半径为：r ，∴ON=r ，AN=DN=
r ，∴EN=2+
，BE=AE=
，
在R t △DEF 与R t △BEO 中， OE 2=ON 2+NE 2=OB 2+BE 2，即
=r 2+
，∴r=2
，∴OE 2=
+25=28，
∴OE=2．