第一章晶体结构
1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？
解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：
晶格点阵＋基元＝实际晶体结构
3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？
解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。
解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。
从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（b）“边心”立方不是布喇菲格子。
从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复
式格子属于简立方布喇菲格子。
（c ）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。
从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （d ）“面心四方”
从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。
设一种晶体的正格基矢为1a 、2a 、3a ，根据倒格子基矢的定义：
?????????
Ω?=
Ω?=Ω
?=
][2][2][2213132321a a b a a b a a b πππ
式中Ω是晶格原胞的体积，即][321a a a ??=Ω，由此可以唯一地确定相应的倒格子
空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。 7.为什么说晶面指数（
3
21h h h ）和Miller 指数（hkl ）都能反映一个平行晶面族的方向？
解：晶面指数（321h h h ）是以固体物理学原胞的基矢1a 、2a 、3a 为坐标轴来表示面指数的，而Miller 指数（hkl ）是以结晶学原胞的基矢a 、b 、c 为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。 8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。
些对称操作？
解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。
晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。
正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。
各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？
解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：
晶体结构
配位数
晶体结构
配位数
面心立方 六角密积 12 氯化钠型结构 6 体心立方 8 氯化铯型结构 8 简立方
6
金刚石型结构
4
11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为
（1）简单立方6π
；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π （4）六角密积62π；（5）金刚石163π。
解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：
6)
2(34134133
33π
ππα=?=?=R R a R
（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：
83)
3/4(34
23423
3
33πππα=?=?=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：
6
2)
22(34
23443
3
33π
ππα=?=?=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，
R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：
6
2)3/64(4
)2(3634643634623
23π
ππα=??=??=R
R R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：
163)3/8(3483483
33
33πππα=?=?=R R a R 12.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：
???
?
?
????-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a
根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：
???
?
?????+=Ω?=+=Ω?=+=Ω?=)(2][2)(2][2)(2][2213132
321
j i a a b k i a a b k j a a b a a a
ππππππ 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒
格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 13. 对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为
j i a a a 2
321+=
j i a a a 2322+-=
k a c =3
试求倒格子基矢。
解：根据倒格子基矢的定义可知：
][2321321a a a a a b ???=π)]()2
3
2[()232()
()232(2k j i j i k j i c a a a a c a a ?+-?+?+-=π c a ac
ac 22
32232j i +=π
＝)3
2(2j i +a π
][2321132a a a a a b ???=π)]()2
3
2
[()232()23
2()(2k j i j i j i k c a a
a a a a
c ?+-?++
-?=π c a ac
ac 22
32232j i +-=π
＝)3
2(2j i +-a π
][2321213a a a a a b ???=π)]()2
3
2[()232()
232()232(2k j i j i j i j i c a a a a a a a a ?+-?++-?+=π c a a 2
2
2
3232k
π==k c π2 14. 一晶体原胞基矢大小m a 10
10
4-?=，m b 10106-?=，m c 10108-?=，基矢间夹角
90=α， 90=β， 120=γ。试求：
（1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积；
（3） 正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：
ai =1a
)23
21(2j i a +-=b
k a c =3
由此可知：
]
[23213
21a a a a a b ???=π
=abc bc 2
3)2123(
2j i +π
=)3
1(2j i +a π
]
[23211
32a a a a a b ???=π
=abc ac 2
32j π
=
j 3
22?b π
][2321213a a a a a b ???=π=abc ab
2
3
232k
π=k ?c π2 所以
1b ＝
22)31
(12+?a π＝
110108138.134-?=m a π 2b ＝2)3
2
(2?b π＝
110102092.134-?=m b π 3b ＝
212?c π＝110107854.02-?=m c
π (2) 正格子原胞的体积为：
][321a a a ??=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ?+-?＝328106628.12
3
m abc -?=
倒格子原胞的体积为：
][321b b b ??=Ω*
＝)](2)3
2(2[)31(2k j j i c b a π
ππ??+＝
3303104918.1316-?=m abc π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：
h h d K π2=
=3210122b b b ++π=j i )3434(42b
a a π
πππ
++ =
m b
a a 1022104412.1)3131()1(1
42-?=++?π
π
15.如图1.36所示，试求：
（1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数；
（2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。
为晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为
1:1:11
1
:11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）
。 晶面FGIH 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为
1:0:21
1
:1:2/11=∞，故该晶面的密勒指数为（201）
。 晶面MNLK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，-1和∞，则其倒数之比为
1
:11:2/11∞
-（3
16.矢量a ，b
222)()()(1
c
l b k a h d hkl ++=
解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：
???
??===k a j a i a c b a 3
21 由此可求得其倒格子基矢为：
???
?
?
?
???==???===???=
==???=k k a a a a a b j j a a a a a b i i a a a a a b c ab abc b ac abc a bc abc πππππππππ2)(2][][22)(2][][22)(2][][2321213321132321321
根据倒格子矢量的性质有：
3
2122b b b K l k h d hkl hkl ++==
π
π 222)()()(1
2222c
l
b k a h l c
k b h a ++=
++=
k j i ππππ
17.设有一简单格子，它的基矢分别为i a 31=，j a 32=，)
(5.13k j i a ++=。试求：
（1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 该晶体的倒格子基矢；
（3） 密勒指数为（121 （4） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （5） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？
解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知：
???
?
??
???=?=???=-=-?=???=-=-?=???=k
k a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132
321321
πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为
3
211
121122122b b b K -+?=
=
π
πd
10
3030
352(3
22=
=
-+=
k j i π
π （4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。对布喇菲格子，ρ等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距321h h h d 应为最大值，所以有
3
32211223
21321b b b K h h h d h h h h h h ++=
=
π
π
max )2(3
])2([3
222132121321=--++=
--++=
k
j i k j i h h h h h h h h h h π
π
由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距2/3，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。 （5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为
3
213213213211
11111111111)
()(arccos
a a a a a a a a a a a a R R R R -+?++-+?++=
??=α
53.485.15.15.15.15.45.4)
5.15.15.1()5.15.45.4(arccos
=-+?++-+?++=k
j i k j i k j i k j i
18.已知半导体GaAs 具有闪锌矿结构，Ga 和As 两原子的最近距离d ＝2.45×10-10m 。试求：
(1) 晶格常数；
(2) 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢； (3) 密勒指数为(110)晶面族的面间距；
(4) 密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。
解：(1)由题意可知，GaAs 的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga 原子和一个As 原子，其中Ga 原子处于面心立方位置上，而As 原子则处于立方单元体对角线上距离Ga 原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示： 由此可知：
a d 4
3=
故 m d a 101045.23
43
4-??=
=
=m 101059.5-?
(2)由于GaAs 的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：
2b
???
?
?????+?=+=+?=+=+?=+=---)(10795.2)(2)(10795.2)(2)(10795.2)(2103102
10
1j i j i a i k i k a k j k j a a a a 其倒格子基矢为：
???
?
?
????-+?=-+=+-?=+-=++-?=++-=--)(10124.1)(2)(10124.1)(2)(10124.1)(2103102101
k j i k j i b k j i k j i b k j i k j i b a a a πππ
(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：
m a d 1032111011010795.22
01122-?==?+?+?==
b b b K ππ (4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢110K 和111K 之间的夹角，设为α，则有：
3
213213213211
11110111110111011)
111()011(arccos
b b b b b b b b b b b b K K K K ?+?-???+?+??+?-???+?+?=
??=α
＝
55.107)3015.0arccos(=- 19. 如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a ，试求： (1) 正格子基矢和倒格子基矢；
(2) 画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。
解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使1a 的方向和i 的方向相同，于是有：
??
?
??+==j i a i a 23221a a a 那么有： ???
????=????=-=????=j k a a a k b j i k a a k a b a a 34)(2)31(2)(221122121ππππ (2)根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示：
上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为：
图1.37
a
r 322
2π=
=
b
20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条件。
解：（1）在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为
000，
21210，21021，0
212
1
由此可知，其几何结构因子为
)
(22j j j j
lw kv hu n i j
j i
j
j hkl e
f e
f F ++?∑∑==πλ
π
R S []
)()()(1l k n i l h n i k h n i e e e f ++++++=πππ
∴[]{
2
22
)(cos )(cos )(cos 1l k n l h n k h n f F hkl
++++++=πππ
[]}
2
)(sin )(sin )(sin l k n l h n k h n ++++++πππ 由于
h 、k 、l 和n 都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有
[]2
22
)(cos )(cos )(cos 1l k n l h n k h n f F hkl
++++++=πππ
由此可知，当nh 、nk 和nl 奇偶混杂时，即nh 、nk 和nl 不同为奇数或偶数时，此时
02
=hkl
F ，即出现衍射相消。
（2）在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为
000和
21212
1
由此可知，其几何结构因子为
)
(22j j j j
lw kv hu n i j
j i
j
j hkl e
f e
f F ++?∑∑==πλ
π
R S []
)(1l k h n i e f +++=π
∴[][]{}
2
2
22
)(sin )(cos 1l k h n l k h n f F hkl ++++++=ππ
由于
h 、k 、l 和n 都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有
[]2
22
)(cos 1l k h n f F hkl
+++=π
由此可知，当)(l k h n ++为奇数时，此时有02
=hkl
F ，即出现衍射相消。
（3）在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为
000，
414141，21210，21021，02121，414343，434341，43414
3
由此可知，其几何结构因子为
)
(22j j j j
lw kv hu n i j
j i
j
j hkl e
f e
f F ++?∑∑==πλ
π
R S
?
?????+++++++=+++++++++++)33(2)33(2)33(2)
()()()(21l k h n i l k h n i l k h n i l k n i l h n i k h n i l k h n i e e e e e e e f πππππππ[]
)()()
()(211l k n i l h n i k h n i l k h n i e e e
e f ++++++++??
????+=ππππ
∴[{+++??
??????????????+++??????+++=)(cos 1)(2sin )(2cos 12
222
k h n l k h n l k h n f F hkl
πππ
][]}
2
2
)(sin )(sin )(sin )(cos )(cos l k n l h n k h n l k n l h n ++++++++++πππππ 由于
h 、k 、l 和n 都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有
[]2
2
22
)(cos )(cos )(cos 1)(2cos 1l k n l h n k h n l k h n f F hkl
++++++??
????+++=ππππ
由此可知，当nh 、nk 和nl 奇偶混杂时，即nh 、nk 和nl 不同为奇数或偶数时或者当nh 、nk 和nl 全为偶数，且)12(4)(+=++m l k h n （其中m 为整数）时，有有02
=hkl F ，
即出现衍射相消。 21.用钯靶
α
K X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶
胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm3。求：
X 射线的波长；阿伏加德罗常数。
解：（1）由题意可知NaCl 晶胞的晶胞参数1010
1064.510
82.22--?=??=a m ，又应
为NaCl 晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为
1010
2
221111026.33
1064.5111--?=?=
++=
a d m
又根据布拉格定律可知：
91011110702.69.5sin 1026.32sin 2--?=??== θλd m
（2）由题意有以下式子成立
NaCl A M a N =?ρ4
3
∴ 23
6
310310038.610
16.2)1064.5(5.5844?=????==
-ρa M N NaCl A
第二章 晶体的结合
1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。
解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。 2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？
解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的N 个原子在自由时的总能量之差，即0E E E N b -=。（其中b E 为结合能，N E 为组成这晶体的N 个原子在自由时的总能量，0E 为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。 3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？
解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，0)(
解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 5.有一晶体，在平衡时的体积为0
V ，原子之间总的相互作用能为0U
，如果原子间相互作用
能由下式给出：
n
m
r r r u β
α
+
-
=)(，
试证明弹性模量可由[])9/(00V mn U 给出。
解：根据弹性模量的定义可知
022V V dV U d V dV dP V K ????
??=???
??-= (1)
上式中利用了dV
dU
P -
=的关系式。 设系统包含N 个原子，则系统的内能可以写成
)(2)(2n m r
r N r u N U β
α+-==
(2)
又因为可把N 个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r 的函数，即
3r N Nv V β== (3)
上式中β为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，2/2=β）。
又因为
211231
2)(31)(
r N r n r m N dr dU Nr dV dU n m R ββαβ???? ??-==++ ………………（4）0
011222(231)(r r n m V r n r m N r N dr d dV dr dV U d =++????????????-?=βαβ ??
????+-+-?=n m n m r n r m r n r m N V 0002022033291βαβα……………（5） 考虑平衡条件0)(
0=r dV
dU
，得n m r n r m 00βα=，那么（5）式可化为
??
?
???+-?=??????+-?=n m n m V r n n r m m N V r n r m N V dV U d 00200202222291291)(00βαβα )(92929102
000200020U V mn
r r N V mn r m n r n m N V n m m n -=??????+-?-=??????+-?=βααβ ……（6） 将（6）式代入（1）式得：
[])9/(90002
0V mn U U V mn
V K =-?
= 6.上题表示的相互作用能公式中，若2=m ，10=n ，且两原子构成稳定分子时间距为
10103-?m ，离解能为4eV ，试计算α和β之值。
解：在平衡位置时有
K E r
r
r u -=+
-
=100
20
)(β
α
(1)
0102)(110
30=-=r r dr r du β
α (2)
将离解能4=k E eV 和10
010
3-?=r m 0
3A
=代入（1）和（2）式可得：
19105.4-?=αeV ·m 2，96109.5-?=βeV ·m 10。
7. 设某晶体每对原子的势能具r B r A -9的形式，平衡时m r 100108.2-?=，结合能为J U 19108-?=，试计算A 和B 以及晶体的有效弹性模量。
解：由题意有以下方程成立：
???????=+-=-=-0
9)(201000
900
r B
r A dr
du U r B
r A r 把0r ，U 的具体数值代入上述方程组，即得：
???????
=?+?-?-=?-?-----0)108.2()
108.2(910810
8.2)108.2(210101019
10910B
A B A 由此可得：9105
10
0578.1m J A ??=-，m J B ??=-281052.2
该晶体的有效弹性模量为：
0)(220V dV
u
d V K =又∵ 3r N Nv V β==
（上式中N 表示晶体中所含的原子个数，β表示与晶体结构有关的因子）
故 0)(91220r dr
u
d Nr K β=＝
)290(91301100r B r A Nr -β＝11102797.391??N β 8.KCl 晶体的体弹性模量为1.74×1010Pa ，若要使晶体中相邻离子间距缩小0.5%，问需要施
加多大的力。
解：设KCl 晶体内包含N 个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内能可以写成
??
?
???+-=n r B r A N U (1)
此外，由于KCl 每个原胞体积为3
2r ，则晶体的总体积为
3
2Nr V = (2)
其中（1）和（2）式中的r 都指KCl 晶体中相邻K ＋和Cl －
之间的距离。 根据体弹性模量的定义有：
022V V dV U d V dV dP V K ????
??=???
??-= …………………（3） 设平衡时晶体内相邻离子间的距离为0r ，则平衡体积3
002Nr V =，那么平衡时的体弹性
模量为0
22V dV U d V K ???? ??=。又根据KCl 晶体内能表达式（1）式及平衡条件0)(0=V dV dU
，可得
01020=-+n r nB r A 或1
01-=n r n
A B 。 将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得
033302
r r n r B r A dr d dr d r K =???
??
???? ??+-??? ??=
0022020181118r r n r r n r r B r A dr d r r B r A dr d r dr d r ==???
??+-+??? ??+-??? ??= 上式中的前一项由于平衡条件而等于0，后一项求微商后利用平衡条件化简得 4
020300
18)1()1(2181r A
n r B n n r A r K n -=??
????++-=
+ 由此知1
184
0-=n Kr A
当使晶体中相邻离子间距缩小0.5%时，即使相邻离子间距变为
00195.0%)5.01(r r r =-=，此时需施加的外力为
)195.01(95.01
20211211
-=+-
=-
=-+=n n r r r A r nB r A dr
du F )195
.01
()1(95.0181
220--=-n n Kr 查书中表2.2及表2.5可知，0.9=n ，10
01014.3-?=r m ，代入上式可得
9
1017.2-?=F N
9.由N 个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成3
r N Nv V β==。式中v 为每个原子（离
子）平均所占据的体积；r 为粒子间的最短距离；β为与结构有关的常数。试求下列各种结
构的β值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵； NaCl 点阵；
解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积3
3
r a v ==，故1=β；
（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33
3
22)2(4
14
1
r r a v =
==，故2
2=β； （3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积3
33934)32(
212
1
r r a v ===，故934=β； （4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积3
339
38)34(818
1
r r a v ===，故938=β； （5）在NaCl 点阵中，每个原子平均所占据的体积333)2(8
1
81r r a v ===
；故1=β。 10.对于由N 个惰性气体原子组成的一维单原子链，设平均每2个原子势为：
??????-=6120)(2)()(x x
u x u σσ
。
求：（1）原子间的平均距离0x ； （2）每个原子的平均晶格能； （3）压缩系数k 。
解：（1）在平衡时，有下式成立
06212)
(7
061301200
=??
?
????+-==x x u dx
x du x x σσ ……………（1） 由上式可得σ=0x
（2）设该N 个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为)(x U ，那么有
???
?
????-=
∑611210)(2)(2
)(j j j x x u N
x U σσ ………………（2） 设X 为2个原子间的最短距离，则有X a x j i =1，那么（2）式可化为 ??????-=
612
0)()(2
)(X B X
A Nu X U σσ ………………（3） 其中（3）式中00048.2)31
211(2112
1212≈+++?==
∑ j j
a A ， 07809.4)31
211(2212666≈+++??==∑
j
j
a B 。
那么每个原子的平均晶格能为 06120
0)(07809.4)(00048.22
)(u u
N x U ≈?????
?
--=-
=σσσσε （3）根据压缩系数的定义可知 )(1
)(1112
22
dX dU dX N d Nx dV U d V dV dP V dP dV V k ==??
? ??-=?-
= ……（4） 将（3）式代入（4）式得：
086
141202707607809.4131200048.221u X X Nu N NX k X σσσσ≈????
?
??
???
????????????-???== 11.若NaCl 晶体的马德隆常数Μ=1.75，晶格常数a=5.640
A ，幂指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：离子间距增加多少？负压强的理论值是多大？
解：（1）设该NaCl 晶体的含有N 个离子，则其相互作用势能为
???
?
??+-=n r B r Mq N r U 0242)(πε ………………（1） 上式中的r 指NaCl 晶体中相邻两离子间的距离。
又设NaCl 晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为0r ，则有a r 2
1
0=。 由平衡条件可知
042
)(0
1202=???
???-==+=r r n r r r nB r Mq N dr
r dU πε ……………（2） 由（2）式可得：1
0024-=n r n
Mq B πε。
当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有
0)1(422
)
(1
1
2
3022
2=???
???++-==+=r r n r r r B n n r Mq N dr r U d πε ……（3） 将1
0024-=n r n
Mq B πε代入（3）式可得
45.32
64
.5219211
91
01
1
1=??
?
? ??+=?
?
?
??+=--r n r n 0A
因而离子间距增加了63.082.245.301=-=-=?r r r 0
A
（2）由（1）问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为
1
1r r dr dU N P =???
??-=???
? ???--=-+100211210241421n n r Mq r r Mq πεπε
???
?
???????????-???????-=+--------191012191021921012219)1045.3(10854.814.34)1082.2()109.1(75.1)1045.3(10854.814.34)109.1(75.12191091.1-?-=Pa
12.已知有N 个离子组成的NaCl 晶体，其结合能为：
)
4(2)(02n r r e N r U β
πεα--=。
若排斥项n
r β
由ρ
r
ce
-
来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡献相同。试
求出n 和ρ的关系。
解：由平衡条件可知 0)4(2)(1
20020=+--=+n r r n r e N dr r dU β
πεα………（1） 由（1）式可求得1
1
2
004-??
?
??=n e n r αβπε (2)
又由题意有
ρ
β
r n ce
r
-
= (3)
将（2）式代入（3）式可得：
00ln ln ln r n C r ---=βρ?
?
?
??---??? ??-
=-201
1
2
04ln 1ln ln 4e n n n C e n n αβπεβαβπε 13.假定在某个离子晶体中，某离子间的空间能够被一种介电常数为ε的均匀流体渗满而不
至于影响离子间的排斥作用，但库仑相互作用减少为原来的ε/1。计算这种情况下NaCl 的点阵常数和结合能。
解：由题意可知，当NaCl 晶体被介电常数为ε的均匀流体渗满时，其相互作用势能为：
)4(2)(02n r
B
r Mq N r U --=επε …………………
（1） 由平衡条件可知有 0)4(2)(1
020020=+--=+n r r nB
r Mq N dr r dU επε (2)
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格 的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
固体物理练习题 1.晶体结构中，面心立方的配位数为 12 。 2.空间点阵学说认为 晶体内部微观结构可以看成是由一些相同的点子在三维空间作周期性无限分布 。 3.最常见的两种原胞是 固体物理学原胞、结晶学原胞 。 4.声子是 格波的能量量子 ，其能量为 ?ωq ，准动量为 ?q 。 5.倒格子基矢与正格子基矢满足 正交归一关系 。 6.玻恩-卡曼边界条件表明描述有限晶体振动状态的波矢只能取 分立的值 ， 即只能取 Na 的整数倍。 7.晶体的点缺陷类型有 热缺陷、填隙原子、杂质原子、色心 。 8.索末菲的量子自由电子气模型的四个基本假设是 自由电子近似、独立电子近似、无碰撞假设、自由电子费米气体假设 。 9.根据爱因斯坦模型，当T→0时，晶格热容量以 指数 的形式趋于零。 10.晶体结合类型有 离子结合、共价结合、金属结合、分子结合、氢键结合 。 11.在绝对零度时，自由电子基态的平均能量为 0F 5 3E 。 12.金属电子的 B m ,23nk C V = 。 13.按照惯例，面心立方原胞的基矢为 ???? ?????+=+=+=)(2)(2) (2321j i a a k i a a k j a a ，体心立方原胞基矢为 ???? ?????-+=+-=++-=)(2)(2) (2321k j i a a k j i a a k j i a a 。 14 .对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢k a j a i a R ???22++=正交的倒格子晶面族的面
指数为 122 , 其面间距为 a 32π 。 15.根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为 7大晶系 ，对应的只有14种 布拉伐格子。 16.按几何构型分类，晶体缺陷可分为 点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷 。 17. 由同种原子组成的二维密排晶体，每个原子周围有 6 个最近邻原子。 18.低温下金属的总摩尔定容热容为 3m ,bT T C V +=γ 。 19. 中子非弹性散射 是确定晶格振动谱最有效的实验方法。 1.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ 原子间存在相互作用力。 2.简述倒格子的性质。 P29~30 3. 根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献而在低温时必须考虑？ 4.线缺陷对晶体的性质有何影响？举例说明。 P169 5.简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：P9组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：P9将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 6.为什么许多金属为密积结构?
第十一章固体中的元激发 什么是元激发，举出三种元激发，并加以简要说明，以及所满足的统计特性 元激发：能量靠近基态的低激发态与其他激发态相比，情况比较简单，这种低激发态可以看出是独立的基本激发单元的集合，这些基本激发单元称为元激发（准离子）。 分为集体激发的准离子和单粒子激发的准粒子。 声子：晶体中原子振动的简正坐标是一系列格波，格波表示原子的一种集体运动，每个格波的能量取值是量子化的，体系的激发态可以看成是一些独立基本激发单元的集合，激发单元就是声子。声子是玻色型准粒子。 磁振子：铁磁材料在T=0K时基态的原子磁矩完全平行排列，基态附近的低激发态相应于少数自旋取向的反转，由于原子之间的相互耦合，自选反转不会局限在个别原子上，而是在晶体内传播形成自选波，自选波表示自旋系统的集体激发，能量是量子化的，体系激发态可以表示成一些独立基本激发单元的集合，即磁振子。遵循玻色统计。 金属中电子和空穴：系统激发态可以看成电子能量和空穴能量之和。电子和空穴都是单粒子元激发。金属中电子系统的激发态可以看成是电子、空穴准粒子的集合。 半导体中电子空穴对：半导体中电子从价带激发到导带形成电子空穴对。费米型元激发。激子：电子和空穴之间由于库伦作用形成激子。玻色型元激发。 极化激元：离子晶体长光学波与光学波形成的耦合振动模，其元激发称为极化激元。 在相互作用电子系统中可能存在玻色元激发吗？举一例说明 等离激元：电子气相对于正电背景的等离子体振荡，振荡的能量是量子化的，元激发即等离激元。玻色型元激发。 第十二章晶体中的缺陷和扩散 分析说明小角晶界的角度和位错间距关系，写出表达式。 相互有小角度倾斜的两部分晶体之间的小角晶界可以看成是一系列刃位错排列而成， D=b/θ，D是小角晶界位错相隔的距离，θ是两部分倾角，b是原子间距。 简述晶体中位错种类及位错方向和滑移方向的关系，哪种位错对体生长有重要影响。 刃位错：位错方向与晶体局部滑移方向垂直。 螺位错：位错方向与晶体局部位移方向平行。螺位错对晶体生长有重要影响。 简述晶体中主要缺陷类型（至少回答三种） 空位：空位是未被占据的原子位置。晶体中的原子围绕其平衡位置做热振动，原子可能获得较大的能量脱离平衡位置，在晶体中形成一个空位 间隙原子：间隙原子是进入点阵间隙的原子。杂质的半径较小可以在点阵中形成间隙原子，格点上的原子也可能获得能量离开而进入晶格形成间隙原子。 位错：由于晶体局部的滑移或者位移，在一定区域原子的排列是不规则的，这个原子错配的过渡区域就是位错。 解释具有点缺陷的离子晶体的导电机制。 离子晶体中的点缺陷（空位和间隙原子）是带有一定的电荷，正空格点、负空格点、正填隙原子、负填隙原子，原来晶体是电中性的，格点失去一个电子而形成空位，使该处多了一个相反的电荷。在没有外电场时，这些缺陷做无规则的布朗运动，不产生宏观电流，有外电场
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
《固体物理学》部分习题解答 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。 解 由倒格子定义2311232a a b a a a π?=??v v v v v v 3121232a a b a a a π?=??v v v v v v 12 3123 2a a b a a a π?=??v v v v v v 体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+v v v v v v v v v v v v 倒格子基矢231123022()()22 a a a a b i j k i j k a a a v ππ?== ?-+?+-??v v v v v v v v v v v v 202()()4 a i j k i j k v π=?-+?+-v v v v v v 2()j k a π=+v v 同理31212322()a a b i k a a a a ππ?== +??v v v v v r r r 32()b i j a π=+v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢 123()/2 ()/2()/2 a a j k a a k i a a i j =+=+=+v v v v v v v v v 倒格子基矢23 11232a a b a a a π?=??v v v v v v 12()b i j k a π=-++v v v v 同理22()b i j k a π=-+v v v v 32()b i j k a π=-+v v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为0 3 (2)v π，其中0v 为正格子原胞体积 证 倒格子基矢23 11232a a b a a a π?=??v v v v v v 31 21232a a b a a a π?=??v v v v v v 12 31232a a b a a a π?=??v v v v v v 倒格子体积*0 123()v b b b =??v v v
一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=??
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
固体物理经典复习题及答案
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1 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空 间无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶 体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢
固体物理总复习题 一、填空题 1．原胞是 的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含 个原子。 2．在三维晶格中，对一定的波矢q ，有 支声学波， 支光学波。 3．电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 形式，式中 在晶格平移下保持不变。 4．如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 ；能带的表示有 、 、 三种图式。 5．按结构划分，晶体可分为 大晶系，共 布喇菲格子。 6．由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为 格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。 7．电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为 ；没有任何电子占据的能带，称为 ；导带以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为 ；最下面的一个空带称为 ；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 。 8.基本对称操作包 括 ， ， 三种操作。 9.包含一个n 重转轴和n 个垂直的二重轴的点群叫 。 10.在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为 。 11.具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为 。 12.在自由电子近似的模型中， 随位置变化小，当作 来处理。 13.晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作 处理。这是晶体中描述电子状态的
模型。 14.固体可分 为，， 。 15.典型的晶格结构具有简立方结 构，，，四种结构。 16.在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在 K= 处 断开，能量的突变为。 17.在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电 子共有化运动的轨道称为，表达式 为。 18．爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动，忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。 19．固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在即存在于。 20．晶体的五种典型的结合形式是、、、、。 21．两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是 的电子。 22．固体能带论的三个基本假设是：、、 。 23．费米能量与和因素有关。 二、名词解释 1．声子；2.；布拉伐格子；3. 布里渊散射；4. 能带理论的基本假设. 5．费米能；6. 晶体的晶面；7. 喇曼散射；8. 近自由电子近似。 9.晶体；10. 布里渊散射；11. 晶格；12. 喇曼散射； 三、简述题 1．试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。 2．什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？
《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010） 正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原着、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。
4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1，单斜2，正交 4，四角 2，立方3，三角1，六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能 量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 6.惰性气体晶体：惰性气体所形成的晶体是最简单的晶体，其晶态原子的电子分布非常接近于自由态原子的电子分布，在晶体中，这些惰性气体原子尽可能紧密地堆积在一起。惰性气体原子具有闭合电子壳层，电荷分布是对称的。 7.德拜模型：德拜模型是德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。
第一章 晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。 （1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R ， 所以 ()33 344330.526 2n R R K V R πππ?==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4 个原子半径，所以a = 33 3 44 2330.68n R R K V ππ??===? ?? （3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a, 所以a = 33 3 444330.74n R R K V ππ??====? ?? (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线 1 4 长，体对角线为8R = 33 3 448330.34n R R K V ππ??===? ?? 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 210991803
3、证明：倒格子原胞体积为()3 * 2c v v π= ，其中v c 为正格子原胞的体积。
4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111 速度，生长速度等就不一样。 解：（1FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 () 321h h h 332211b h b h b h K h ++=