主动成长
夯基达标
1.下列函数式同时成立的是( ) A.sinθ=cosθ=
2
1
B.sinθ=0.35,cosθ=0.65
C.cosθ=0,sinθ=-1
D.sinθ=cosθ=1 解析:若sinθ=cosθ=
21,则sin 2θ+cos 2θ=2
1
≠1,排除A;同理可排除B,D.本题虽然给出的是三角函数值,但主要还是运用同角三角函数基本关系式.
答案:C
2.若sinα=54
,则tanα的值等于( ) A.34 B.43 C.±43 D.±3
4 解析:因为sinα=5
4
＞0,所以α是第一,二象限角.
所以cosα=±α2-sin 1=±5
3
.
所以tanα=ααcos sin =±3
4
.
答案:D 3.已知α∈(
4
3π
,π),且sinα·cosα=-43,则sinα-cosα的值是( ) A.±
231+ B.232+ C.-231+ D.2
3
2+
解析:因为α∈(
4
3π
,π),所以cosα＜0＜sinα. 所以sinα-cosα=.2
31cos sin 21)cos (sin 2
+=-=-αααα 熟练掌握(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα这一恒等式是解本题的关键. 答案:D
4.若tanα=t(t≠0),且sinα=
2
1t
t +-,则α在( )
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限 解析:由条件sinα·tanα＜0知α必为第二,三象限角. 熟练掌握符号问题可以省去不必要的计算. 答案:B 5.若
x x cos sin 1+=-21,则1
sin cos -x x
的值是( )
A.
21 B.-2
1
C.2
D.-2 解析:sin 2x-1=-cos 2x,
所以当cosx≠0时,有1
sin cos cos sin 1--
=+x x
x x . 所以x x x x cos sin 11sin cos +-
=-=2
1. 答案:A
6.设sin
2α=54,且α是第二象限角,则tan 2α
等于( ) A.34 B.43 C.±34 D.±4
3 解析:∵α是第二象限角,
∴2
α
是第一,三象限角. 又∵sin 2α=54
＞0,
∴2
α
是第一象限角. ∴cos
2
α
=5325161=-
. ∴tan 2α
=3
45
354=.
答案:A
7.已知cosθ=54,且23π＜θ＜2π,那么θ
tan 1的值为( ) A.43 B.-43 C.35 D.3
4- 解析:cosθ=54,且2
3π
＜θ＜2π,
∴sinθ=5
3
25161-=-
-. ∴tanθ=
434553cos sin -=?-=θθ. ∴
3
4
tan 1-=θ. 答案:D
8.如果tanθ=2,那么1+sinθcosθ的值为( ) A.
35 B.45 C.57 D.3
7
解析:1+sinθcosθ=θθθ
θθθ2
222cos sin cos sin cos sin +?++ =
57
142141
tan tan 1tan 22=+++=+++θθθ. 答案:C
9.化简sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°的结果是( ) A.89 B.
289 C.45 D.2
45
解析:sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°
=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°
=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+sin 245°=44+21=2
89. 答案:B
10.若tanθ=-1,则sinθ-cosθ=_____________.
解析:tanθ=-1,则sinθ=-cosθ.又因为sin 2θ+cos 2θ=1,
所以???????-==,22cos ,22sin θθ或???
????=-=.22cos ,22sin θθ 所以sinθ-cosθ=±2.
本题也可利用特殊角的三角函数值,可知θ=kπ+4
3π
,k ∈Z ,也可求解. 答案:±2
11.求证：α
α
α2
44cos 2cos sin 3--=1+tan 2α+sin 2α. 证法一:作差.
因为ααα2
44cos 2cos sin 3---(1+tan 2α+sin 2α) =ααα244cos 2cos sin 3---(1+αα
α
22
2sin cos sin +) =ααααααα2
222244cos 2cos sin 2sin 2cos 2cos sin 3----- =α
ααααα2
22222cos 22
2cos 2)cos (sin 2)cos (sin 3-=+-+-=0,
所以α
αα2
44cos 2cos sin 3--=1+tan 2α+sin 2α. 证法二:左边=ααααα22222cos 2]
cos sin 2)cos [(sin 3-+-
αααα2
222cos 1cos 2cos sin 22=+=+sin 2α =α
αα2
22cos cos sin ++sin 2α =1+tan 2α+sin 2α =右边.
所以原等式成立. 12.一束光线以45°的入射角穿过折射率为1.5,厚度为1 cm 的一块玻璃,那么光线在玻璃内的行程是多少?(折射率=β
α
sin sin ,其中α为入射角,β为折射角) 解:如图,因为α=45°,
所以1.5=
βsin 45sin ?
. 所以sinβ=
3
2. 故cosβ=β2
sin 1-≈0.881 9.
而cosβ=
AB
AB AD 1
=
, 所以AB≈1.134(cm).
答:光线在玻璃中的行程约为1.134 cm. 走近高考
13.(2006重庆高考)已知s inα=
552,2
π
＜α＜π,则tanα=_________________. 解析:∵sinα=
552且2
π
＜α＜π,
∴cosα=α2sin 1--=5
5-. ∴tanα=α
α
cos sin =-2. 答案:-2
14.(2005湖北高考)若sinα+cosα=tanα(0＜α＜2
π
),则α属于( ) A.(0,6π) B.(6π,4π) C.(4π,3π) D.(3π,2
π)
解析:在(0,4π)上sinα+cosα＞1,而tanα在(0,4π
)上小于1,故排除选项A,B;因为sinα+cosα≤2,
而在(3π,2
π
)上tanα＞3,sinα+cosα与tanα不可能相等,故排除D,所以选C.
答案:C
15.(2006福州质检)已知sinα=
55(2
π
＜α＜π),则tanα=_____________. 解析:∵sinα=
55,2π
＜α＜π, ∴cosα=2551-
-=-5
52.
∴tanα=
ααcos sin =55×525-=-2
1. 答案:-
2
1 16.(2006武汉模拟)已知tanα=3,则sinα·cosα=_______________. 解析:sinα·cosα=10
3
913tan 1tan cos sin cos sin 2
22=+=+=+?αααααα. 答案:10
3
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识： （1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1， 1tan sec 22=-αα， 1cot csc 22=-αα， 商式关系： sin α cos α =tan α， αα αcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1， ααcos 1sec = ααsin 1csc = （2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。 二、例题分析： 例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) ． 解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2 )，求cos θ－sin θ的值． 解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34 ． ∵θ∈(π4 ，π2 )，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 3 2 ． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．
变式2 已知cos θ－sin θ= － 3 2 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 例3 已知tan θ=3．求（1） α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值． 例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α 1－tan α
第1课时§1.1 任意角 【教学目标】 一、知识与技能 1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的 概念；终边相同角的表示方法． 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角 终边相同的角(包括α角)的表示方法． 二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】 【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步 印象． 【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组 成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而 成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)． 讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的 始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1 角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角 2．“象限角及轴线角” 建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于 _______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________） 3．终边相同的角 (1)在平面直角坐标系中作出30 , 390 ， 330 角 ⑴观察：390 ， 330 角，它们的终边都与________角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到360 的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390 =______+____360 330 =______+_____360 ⑶结论：所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合： }{__________==ββS 例题分析： 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012'-??-? 例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在360~720-??间的角写出来：（1）60? （2）21-? （3）36314?'。
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .
【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．
1.2.2同角三角函数的基本关系（3） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα =． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα． 2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+． 解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。 例10．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
第一、任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角， 与角 终边相同的角的集合}{ |2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距 离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角 为自变量，以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号： 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：2 2 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 * 正弦 : 余弦 & 正切 》 4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ? ?±=±?? ±=?? ±?±=??
5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα? ?=?=-=-=-???= -? 余弦二倍角公式变形： 222cos 1cos2,2sin 1cos2αααα=+=- 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知sinα= 5 3 ,α∈（0,π），则tanα的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±3 4 解析：由sin 2 α+cos 2 α=1，α∈（0,π）， ∴cosα=±α2sin 1-=±5 4 . ∴tanα=ααcos sin =±4 3 . 答案：C 2.已知cosθ= 5 4 ，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（ ） A.43 B.43- C.35 D.3 4 - 解析：由sin 2 θ+cos 2 θ=1，得sinθ=±θ2cos 1-. 因为 23π＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =3 4 -. 答案：D 3.若tanα=t（t≠0），且sinα=2 1t t +- ，则α是（ ） A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第三、四象限角 D.第一、四象限角 解析：由tanα= ααcos sin 得cosα=αα tan sin ，所以cosα=211t +-＜0，故α是第二、三象 限角. 答案：B 4.若tanα=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2 α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组 ? ?? ??==+,2cos sin ,1cos sin 22α α αα 由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos 2 α=1，cos 2 α=5 1. （2）由（1）得sin 2 α=1-51=5 4,
任意角的三角函数 1.已知sin α=45 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)4 3 (D)4 3- 2.若θ是第三象限角，且02 cos <θ，则2 θ是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限 3.设是第二象限角,则sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ=3 1,π<θ<32 π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±3 10 (B) 3 10 5 若α 是三角形的一个内角，且sin α+cos α=3 2 ,则三角形为 （ ） (A) 钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 6.已知α的终边经过P （ππ6 5cos ,6 5sin ），则α可能是 （ ） A ．π6 5 B ． 6 π C ．3 π- D ．3 π 7．如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （ ） A ．)(] 22 ,22 [Z k k k ∈++-ππππ B ．)() 22 3,22 (Z k k k ∈++ππππ C ．)(] 22 3,22 [Z k k k ∈++ππππ D ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ 8.1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ） A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 9. 扇形的周期是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是______________
2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案 苏教版必修4 典题精讲 例1 已知sin α=t 且|t|<1,求角α的余弦值和正切值. 思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况. 解:∵sin α=t 且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x 轴上的轴线角. (1)当α为第一、四象限或x 轴正半轴上的角时, 有cos α=221sin 1t -=-α,tan α=ααcos sin =21t t -. (2)当α为第二、三象限或x 轴负半轴上的角时, 有cos α=221sin 1t --=--α, tan α=ααcos sin =-21t t -. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论. 变式训练 1 (2006重庆高考卷，文13) 已知sin α=5 52，2π≤α≤π，则tan α等于______. 思路解析:由sin α=552，2π≤α≤π?cos α=5 5-,所以tan α=-2. 答案:-2 变式训练 2 sin2α>0且cos α<0,试确定α所在的象限. 思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cos α<0得出α的范围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2k π<2α<2k π+π(k∈Z ). ∴k π<α 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 《同角三角函数的基本关系》教学设计 与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵． 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin 24π+cos 24π=1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ+2 ，k ∈Z ． 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根． 1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明． 2．同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明． 3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法． 教学重点：课本的三个公式的推导及应用． 教学难点：课本的三个公式的推导及应用． & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 三角函数习题课 【教学目标】 进一步研究三角函数的简单性质，会运用三角函数的图象与性质解题。 【教学重点】 三角函数的性质运用。 【教学难点】 三角函数性质的综合运用。 【教学过程】 一、基础训练 1.已知函数),23sin( x y -=π则函数在[]0,π-上的单调递减区间是___________. 2.若,4π ≤x 则函数1cos sin )(2++=x x x f 的最小值为_________. 3.已知集合{}[]4,4,1sin 2-=-==B x y x A ，则=?B A _______________. 4.已知函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间,34ππ??-???? 上的最小值是-2，则ω的最小值是_______.若函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间??? ??- 4,3ππ上单调递增，则ω的取值范围是__________. 5.已知函数215cos( )(),36k y x k N ππ+=-∈对任意实数a ，在区间[]3,+a a 上要使函数值4 5出现的次数不少于4且不多于8，则k 的值为________. 二、例题选讲 例1、已知,0>a 函数,2)62sin(2)(b a x a x f +++-=π当?? ????∈2,0πx 时，.1)(5≤≤-x f （1）求常数b a ,的值； 鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 鑫达捷 （2）设)2()(π +=x f x h ，且0)(lg >x h ，求)(x h 的单调增区间. 例2、已知函数.2 1)43sin(2)(+++-=m x x f π （1）写出函数)(x f 的最小正周期T 及单调递增区间；（2）若]3 ,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2，求此时函数)(x f 的最大值，并指出x 取何值时)(x f 取到最大值。 例3、函数x x a a x f 2 sin 2cos 221)(---=的最小值为).)((R a a g ∈ （1）求);(a g （2）若,2 1)(= a g 求a 及此时)(x f 的最大值. 三、作业： 《数学之友》T1.14 补充练习： 1、若函数x x f sin 2)(=对任意的,R x ∈都有),()()(21x f x f x f ≤≤则||21x x -的最小值是___________. 2、已知α是第三象限角，是否存在这样的实数,m 使得ααcos ,sin 是关于x 的方程 012682=+++m mx x 的两根？若存在，求出实数;m 若不存在说明理由。 3、已知,3 1sin sin =+y x 求2sin cos u x y =+的最大值与最小值。 4、当实数m 在什么范围内取值时，对于任意角θ能使14cos 2sin 2-++=m m y θθ恒 为正数？ 三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 三角函数的概念及公式 教学目标 1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积； 2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值； 3、同角三角函数的基本关系； 4、掌握诱导公式及应用。 重瞬占分析 重点:''1、角度、弧度的转化； 2、同角三角函数基本关系； 3、诱导公式。 难点：1、角度的表示； 2、同角三角函数值的求解； 3、诱导公式的变换。 知识点梳理 1、角度槪念：角可以看成是平而内一条射线绕着端点从一个位宜旋转到另一个位置所成的图形。 2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角：若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。 3、彖限角：角的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。 4、终边相同的角：所有与角&的终边相同的角，连同Q在内，可构成一个集合S=___________________ , 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 6、弧度制与角度制的换算关系式：兀弧度=180°. 7、在弧度制下，弧长公式为l = a?R、扇形而积公式为S = -l?R.(α为圆心角，R为半径) 2 8、一般的，设角Q终边上任意一点的坐标为(x, y),它与原点的距离为厂，那么 (1)上叫做α的正弦，记作Sina； r (2)艺叫做a的余弦，记作COSa ； (3)上叫做α的正切，记作tana。 X 9、同角三角函数关系的基本关系式 (I)平方关系：sin2 x + cos2 x = l (2)商数关系：UmX =竺上 COSX 10、同角三角函数基本关系式的常用变形 (1) sin2a = ______________ ； cos2a ≡_____________ ； (2)(Sina+ cosa)2=_________________ ；(Sina_cos&)'=_________________ (3)Sina COSa= =_________________ 。 注意：用同角三角函数的基本关系式求值时应注意 (1)注意“同角”，至于角的形式无关重要，如siι√4a+cos2 4a = 1等： (3)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如: CoSa = ±√l-sin2a,开方时要注意正负。 11、诱导公式：奇变偶不变、符号看彖限。 §1.2.2 同角三角函数的基本关系式 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C)3 (D)± 2 3 3.设是第二象限角,则 2 sin 1 1cos sin ααα - ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ= 3 1,π<θ<3 2π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±3 10 (B) 3 10 10 (D)± 10 5.已知 sin cos 2sin 3cos αα αα-+=5 1,则tan α的值是 （ ） (A)±83 (B)83 (C)83- (D)无法确定 * 6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=3 2 ,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 二.填空题 7.已知sin θ－cos θ=12 ,则sin 3θ－cos 3θ= ; 8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ; 9.1cos 1cos 1cos 1cos αα αα +--+α为第四象限角）= ; * 10.已知cos (α+ 4π)=1 3 ,0<α<2π,则sin(α+4π)= . 三.解答题 11.若sin x = 35m m -+,cos x =425 m m -+,x ∈(2π,π),求tan x 三角函数的周期性 班级_______姓名______学号_________成绩_________ [基础过关] 1、若函数)(x f y =满足)3()1(-=+x f x f ，则此函数是周期函数，则（ ）为其一个 周期。 A ．1 B 。3 C 。－3 D 。４ 2、函数)6 52cos(3π-=x y 的最小正周期为（ ） A ．52π B 。2 5π C 。π2 D 。π5 3、在函数|sin ||,|sin x y x y ==,)32sin(π +=x y , )3 22cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数有（ ） A ．１个 B 。２个 C 。３个 D 。４个 4、由函数? ??++∈+∈=)22,12[1)12,2[0)(n n x n n x x f （)Z n ∈的图象，可知此函数的周期为（ ） A ． 2k B ．2 3k C ．kD ．2k （以上k 0,≠∈k Z ） 5.已知|sin |x y ω=的周期是x y 4sin =周期的４倍，则正数ω的值为（ ） A ． 2 1 B 。１ C 。２ D 。４ 6、已知函数)53sin(2π+=kx y 的周期为23π，则ｋ的值为 。 7、函数|)62sin(|π+=x y 的周期为 。 8、已知函数7)3 4sin(3++=πx k y 的最小正周期不小于４，则正整数ｋ的最小值为 。 9、)(x f 是以2π为周期的奇函数，且1)2(-=-πf ，那么)2 5(πf = 。 10.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，()()()61,21+=+=x f x f f ,求 ()()()5.224100f f f ++的值； 11、已知()()x f x f -=+2，当[]6,4∈x 时()12-=x x f ，求 ()x f 在[]2,0上的表达式。 12、已知定义域为R 的奇函数()x f 满足()()x f x f -=+11， 当 ()0,1-∈x 时,()512+=x x f ,求()20 2log f 的值； §04． 三角函数 知识要点 １. ①与α（0°≤α<360°)终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =ｘ轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:３60°=２π 18０°=π 1°=0.０１745 1=57.３０°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1r ａd=π 180°≈57.３０°=５7°18ˊ． １°＝180 π≈０.01 ７４5(ｒad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式:211 ||22 s lr r α= =?扇形 ４、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点Ｐ(x,ｙ）P 与原点的距离为ｒ,则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ; y x =αcot ； x r =αsec ；. =αcsc 5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 SIN \COS 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1） 【教学目标】 一、知识与技能： 会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法 从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用 三、情感态度价值观： 培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活 教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾 1、 回顾课本 “三角函数的周期性” 2、 求函数的解析式 3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解： 一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。 三、例题分析： 例1、 （教材P42例1） 点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出。 例2、 （教材P43例2） 点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐 sin()y A x k ω?=++sin()y A x k ω?=++ 标系，将几何问题代数化 已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图 例3、如图所示，求函数的一个解析式。 例4、已知函数（，，）的最小值是，图象上 相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点 ，求这个函数的解析式。 sin()y A x ω?=+0A >0ω>cos()y A x ω?=+0A >0ω>0?π<<5-4 π 5(0,)2- 高一数学三角函数测试试卷（1） 一．选择题（每小题4分，共计48分） 1．6α=，则α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．把角18π7 - 化成2πk α+的形式，其中02πk α<∈Z ≤，，正确的是（ ） A ．11ππ7-- B ．4π2π7-- C ．3π3π7 -+ D ．10π4π7 -+ 3．角α的终边过()43P a a -，()0a <，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin 5 α= B ．4cos 5 α= C ．4tan 3 α=- D ．3tan 4 α= 4．若5sin 13 θ= ，12tan 5 θ=-，则θ的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()5f x f x +=，()175f =，则()2f -=（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1 5 6．函数sin y x =π2π3 3x ?? ??? ≤≤ 的值域为（ ） A ．[]11-， B ．1 12?????? ， C ．122???? D ．12? ??? 7．函数π3sin 24y x ? ? =+ ??? 的对称轴方程为（ ） A ． π4 x =- B ．π4 x = C ．π8 x =- D ．π8 x = 8．若αβ，的终边关于y 轴对称，则必有（ ） A ．(21)πk k αβ+=+∈Z ， B ．π2 αβ+= C ．2πk k αβ+=∈Z ， D π2π2k k αβ+=+∈Z ， 9．下列关系式中，不正确．．．的是（ ） A ．4π2πsin sin 55 < B ．cos πcos 3< C ．tan 1sin 1> D ．sin 1cos1< 10．函数()π 2sin 2[0π]6y x x ?? =-∈ ??? ，为增函数的区间是（ ） A ．π03? ? ??? ?， B ．π 7π1212?? ? ??? ， C ．π 5π3 6?????? ， D ．5ππ6?? ? ??? ， 11．若π02αβ??∈ ?? ? ，，，且sin cos 0αβ-<，则（ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．π2 αβ+< D ．π2 αβ+> 12．若2sin 1log x θ=-，则x 的取值范围是（ ） A ．[]14， B ．114?? ? ??? ， C ．[]24， D ．1 44?? ? ??? ， 二．填空题（每小题6分，共计30分） 13．与1680?角终边相同的最大负角是 ． 14．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为 ． 15．若函数()πsin 5f x kx ? ?=+ ???的最小正周期为2π3 ，则正数k = ． 16．已知α的终边经过点()392a a -+，，且s i n 0c o s 0αα>，≤，则α的取值范围是 __________． 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 同步练习 1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 解析：选A.∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35 ， ∴tan α＝sin αcos α＝4 5－35 ＝－43. 2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 解析：选B. 1－sin 2160°＝cos 2160°＝－cos160°. 3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.54 解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34 . 4．若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________. 解析：∵cos α＝－817 <0， ∴α是第二或第三象限角． 若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158 . 若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0. ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158 . 答案：1517或－1517 －158或158 一、选择题 1．若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
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