一．介绍
龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加
开始
计算步长h
计算初值
f(a)、f(b)、
R(1,1)
R矩阵迭代计算
No
误差达到精度要
求
Yes
输出R(j+1,j+1)
结束三．源码
1.
f=inline('1/(x+1)');%输入函数
a=0;b=1;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),7)
2.
f=inline('log(x+1)/(x^2+1)');%输入函数
a=0;b=1;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),7)
3.
f=inline('log(x+1)/x');%输入函数
a=0;b=1;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(1+log(2))/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),7)
4.
f=inline('sin(x)/x');%输入函数
a=0;b=pi/2;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(1+2/pi)/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),8)
四．结果
数值分析课程的大作业，教材《数值分析》李乃成.梅立泉 clear clc format long f=input('请输入原函数f=','s'); a=input('积分下限a='); b=input('积分上限b='); eps1=input('精度eps1='); T(1)=double((b-a)/2*(limit(sym(f),findsym(sym(f)),a)+limit(sym(f),findsym(sym(f)),b))); for k=2:4 sum1=0; for i=1:2^(k-2) sum1=sum1+subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1))); end T(k)=1/2*T(k-1)+(b-a)/(2^(k-1))*sum1; end for k=1:3 S(k)=T(k+1)+1/(4-1)*(T(k+1)-T(k)); end for k=1:2 C(k)=S(k+1)+1/(4^2-1)*(S(k+1)-S(k)); end R(1)=C(2)+1/(4^3-1)*(C(2)-C(1)); k=3; while 1 T(1)=T(2); T(2)=T(3); T(3)=T(4); sum2=0; for i=1:2^k sum2=sum2+subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k+1))); end T(4)=1/2*T(4)+(b-a)/2^(k+1)*sum2; S(1)=S(2); S(2)=S(3); S(3)=T(4)+1/(4-1)*(T(4)-T(3)); C(1)=C(2); C(2)=S(3)+1/(4^2-1)*(S(3)-S(2)); R(2)=C(2)+1/(4^3-1)*(C(2)-C(1)); if abs(R(2)-R(1)) 数值分析 实 验 报 告 专业：信息与计算科学 班级： 10***班 学号： 1008060**** 姓名： ****** 实验目的： 用龙贝格积分算法进行积分计算。 算法要求： 龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。 1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，… 对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精 度时停止计算。 其中： T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b = 程序代码： #include while(t!=n) { t*=2; ++i; } return i; } float t(int n) { float g,h,q=0; if(1==n) { h = (float)fabs(b-a); q = (f(a)+f(b))*h/2; } else { float x = a; g = 0; h = (float)fabs(b-a)*2/n; x = x+h/2; while(x #include if(i>=j) printf("%10.8f\t",t[i][j]); printf("\n"); } } } void main() { printf("please input a= ,b= ,eps= \n"); scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&eps); romberg(a,b); } 运行结果： please input a= ,b= ,eps= 0.0 1.0 0.00000001 k=0 0.92073549 k=1 0.93979328 0.94614588 k=2 0.94451352 0.94608693 0.94608300 k=3 0.94569086 0.94608331 0.94608307 0.94608307 k=4 0.94598503 0.94608309 0.94608307 0.94608307 0.946083 07 Press any key to continue 目录 《机械设计基础A》 (1) 《机械设计基础B》 (8) 《**模型设计概论》 (15) 阅后删除：请以学部下设学院为单位将全部课程编辑在同一个文档内 《机械设计基础A》教学大纲 （学分4 学时64） 一、课程说明(200字以内，简单说明本课程的地位及教学内容等，阅后删除红色字体） 本课程是工科近机械类（包括机械类某些专业）和非机械类专业大类课程之一，是工科学生学习和掌握各种类型的机械中常用机构和通用机械零件的基本知识和基本设计方法的技术基础课。该课程也是工科学生将来学习专业机械设备课程的理论基础。本课程在教学内容方面着重基本知识、基本理论和基本设计方法的讲解；在培养实践能力方面着重设计构思和基本设计技能的基本训练。 二、课程目标（对应毕业要求：1-○1、1-○2、1-○3） 1. 学习机械工程基础知识和基本理论知识，掌握常用机构的结构、特性等基本知识，了解各种机械的传动原理，具有分析、选用和设计机械设备中基本机构的能力（对应毕业要求：1-○1）； 2. 通用机械零件的设计原理、方法和机械设计等的一般规律，具有设计机械传动装置和简单机械的能力（对应毕业要求：1-○1）； 3. 掌握基本的机械设计创新方法，培养学生追求创新的态度和意识（对应毕业要求：1-○1）； 4. 培养学生树立正确的设计思想，了解机械设计过程中国家有关的经济、环境、法律、安全、健康、伦理等政策和制约因素（对应毕业要求：1-○1）； 5. 培养学生的工程实践学习能力，使学生掌握典型零件的实验方法，获得实验技能的基本训练，具有运用标准、规范、手册、图册和查阅有关技术资料的能力（对应毕业要求：1-○1）； 6. 了解机械设计的前沿和新发展动向（对应毕业要求：1-○1）。 三、教学内容、基本要求与学时分配 序号教学内容教学要求学时教学方式对应课程目标 1 一、基本概念 1. 研究的对象、内容； 2. 机械设计的基本要 求和一般设计过程。 1. 了解本课程研究的对象、内 容 2. 了解机械设计的基本要求、 一般设计过程。 2 讲授2、4 2 二、平面机构的自由度 和速度分析 1. 机构运动简图 2. 平面机构自由度 1. 了解平面机构运动简图的 绘制。 2. 掌握平面机构自由度的计 算以及机构具有确定运动的条 3 讲授、上 机 1、5 数值分析与实验课程设计 班级： 姓名： 学号： 08级应用数学《数值分析与实验(实践)》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验(实践)》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、利用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方 程组； 8、利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； （8个中选取1个） 三、设计时间 2011—2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日 前言 数值计算方法是一种利用计算机解决数学问题的数值近似解方法，特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。 大连理工大学本科生成绩管理办法（试行）为加强和规范本科生课程考核与成绩管理工作，特制定本管理办法。 一、课程考核与成绩记载 1．凡学生所选本科专业培养计划规定的课程和教学环节均必须进行考核。考核成绩合格才能获得学分。考核成绩一律记入学生成绩档案。 2．课程和教学环节的考核可以采取闭卷、开卷、笔试、口试、论文、大作业等方式或组合方式进行。成绩采用百分制评定（60分为及格），个别环节（如第二课堂等）可以采用二级分制评定（通过、不通过）。成绩以百分制记载时，一律取整数。 3．考试成绩评定，以学期末考试成绩与平时考试成绩相结合。开课初，任课教师应当向学生说明考试方式和平时成绩占该课程成绩的比例。各项成绩的评定须有依据及相关辅证材料。 4．包含实验的课程，学生必须按时完成实验（包括实验报告）方可参加考试。至期末尚未完成实验者，取消其考试资格，记为旷考。 5．选课后未正式办理退课手续，又不参加课程学习和考核，记为旷考。 6．培养计划规定的必修课程，在长学期开学第一周设有补考，考核成绩不合格的可以参加补考，补考成绩按实际成绩记载，并在成绩后注明“补考”字样。 7．学生因病或其它原因不能参加考试时，必须在考前向所在学部（学院）教务办公室提出缓考书面申请，请病假须有医院证明，经教务处批准后方能生效。因事一般不准缓考。在考试过程中因病不能坚持考试的学生，在征得监考教师同意后，立即赴校医院就医，并凭当日医疗证明到所在学部（学院）教务办公室补办缓考手续。考试后补交的病假证明无效。申请体育课缓考必须于考试前办理。办理缓考手续的课程记为“申请缓考”，补考通过后，成绩按第一次考试处理。 8．学生考试作弊或旷考，除按学校规章制度处理外，成绩记为0分或不通过，未通过原因记为“作弊”或“旷考”，作弊或旷考者不能参加补考。 9．考核成绩不合格的课程可以参加重修，重修后的成绩按实际成绩记载，并在成绩后注明“重1”或“重2”字样；考核成绩合格的课程可以参加复修，复修后的成绩按实际成绩记载，并在成绩后注明“复1”或“复2”字样。 10．由于课程变动或其它特殊原因造成重修的课程，重修次数的标注，以替代后的累计次数为准，课程学分，以实际所修学分数记载。 二、课程成绩管理 1．教学记录：任课教师应于学生选课补退选结束后及时打印教学记录表，此表用于日常教学记录及记录期中和期末的考试成绩。课程成绩录入完成后，任课教师应将教学记录与 Romberg龙贝格算法实验报告 2017-08-09 课程实验报告 课程名称： 专业班级： CS1306班学号： U201314967 姓名：段沛云指导教师：报 告日期： 计算机科学与技术学院 目录 1 实验目的 (1) 2 实验原理 (1) 3 算法设计与流程框图 (2) 4 源程序 (4) 5 程序运行 (7) 6 结果分析 (7) 7 实验体会 (7) 1 实验目的 掌握Romberg公式的用法，适用范围及精度，熟悉Romberg算法的流程，并能够设计算法计算积分 31 得到结果并输出。 1x 2 实验原理 2.1 取k=0,h=b-a,求T0= 数)。 2.2 求梯形值T0( b-a ),即按递推公式（4.1）计算T0。 k 2 h [f(a)+f(b)]，令1→k,(k记区间[a，b]的二分次2 2.3 求加速值，按公式(4.12)逐个求出T表的第k行其余各元素Tj(k-j) (j=1,2,….k)。 2.4 若|Tk+1-Tk| n-1 11T2n=[Tn+hn∑f(xi+)] 22i=0 1 Sn=T2n+(T2n-Tn) 31 Cn=S2n+(S2n-Sn) 151 Rn=C2n+(C2n-Cn) 63 3 算法设计与流程框图 算法设计：(先假定所求积分二分最大次数次数为20) 3.1 先求T[k][0] 3.2 再由公式T (k)m 4m(k+1)1)=mTm-1-mTm(k-1(k=1,2,) 求T[i][j] 4-14-1 3.3 在求出的同时比较T[k][k]与T[k-1][k-1]的大小，如果二者之差的绝对 值小于1e-5，就停止求T[k][k]；此时的k就是所求的二分次数，而此时的T[k][k]就是最终的结果 3.4 打印出所有的T[i][j]；程序流程图 龙贝格算法 一、问题分析 1.1龙贝格积分题目 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y(x)=l sin(tx),则给定雨篷的长度后，求所需要平板材料的长度）。 二、方法原理 2.1龙贝格积分原理 龙贝格算法是由递推算法得来的。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。 在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。设将求积区间[a ，b]分为n 个等 分，则一共有n+1个等分点,k x a kh =+,0,1,b a h k n -== ，n 。这里用n T 表示复化梯形法求得的积分值，其下标n 表示等分数。 先考察下一个字段[1,k k x x +]，其中点()1 12 1 2 k k k x x x ++= +，在该子段上二分前后两个积分值 ()()112 k k h T f x f x += +???? ()()21124k k k h T f x f x f x ++? ??? = ++?? ??????? 显然有下列关系 2112122 k h T T f x +?? =+ ??? 将这一关系式关于k 从0到n-1累加求和，即可导出下列递推公式 12102122n n n k k h T T f x -+=? ?=+ ??? ∑ 需要强调指出的是，上式中的b a h n -= 代表二分前的步长，而 12 12k x a k h + ? ?=++ ?? ? 梯形法的算法简单，但精度低，收敛速度缓慢，如何提高收敛速度以节省计 算量，自然式人们极为关心的。 根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，既有 211 14 n n T T -≈- 将上式移项整理，知 221 1()3 n n n T T T -≈- 由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计 法。 按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3 n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种 补偿，可以期望，所得的 ()222141333 n n n n n T T T T T T =+ -=- 应当是更好的结果。 按上式，组合得到的近似值T 直接验证，用梯形二分前后的两个积分值n T 和2n T 按 式组合，结果得到辛普生法的积分值n S 。 24133 n n n S T T =- 再考察辛普生法。其截断误差与4h 成正比。因此，若将步长折半，则误差相 应的减至十六分之一。既有 21 16 n n I S I S -≈- 由此得 大连理工大学大学生创业训练项目 申报书 项目类别：□创业训练项目□创业实践项目项目名称： 项目成员： 学部（学院）： 指导教师： 立项时间：2017年1月 教务处制表 项目名称 负 责 人 姓名学部（院）学号班级电话邮箱 项 目 成 员 指导教师 姓名单位 职称联系电话 企业导师 姓名单位 职称联系电话 项目来源□前期创新项目成果□导师的科研项目□创新性的课题□已有产品的继续研发□企业的需求□竞赛获奖作品□科技计划资助□其他 项目技术成熟度□发明专利□实用新型（设计）专利□著作权利 □科技成果鉴定□成熟的设想□初步测试成功□其他 创业 团队 介绍 （团队各成员的知识背景，分工，指导教师，企业导师情况。） （产品介绍，产品技术水平，产品的新颖性、先进性和独特性，产品的竞争优势。） 项目 的基 本情 况及 创新 内容 （行业历史与前景，市场规模及增长趋势，行业竞争对手，未来市场销售预测。） 行业 背景 市场 前景 （生产方式，生产材料，劳动力需求，设备需求，质量保证，生产成本。） 产品 制造 （资金需求量、用途、使用计划，融资途径。） 项目 投资 预算 融资 计划 （合作计划，实施方案，机构设置，人员管理，销售策略等。） 项目 运营 模式 （项目实施可能出现的风险及拟采取的控制措施。） 项目 风险 预测 应对 措施 （未来三年或五年的销售收入、利润、资产回报率等。） 财务 预测 （从项目可行性、可操作性和成效性加以评价。） 指导 教师 意见 指导教师签字：年月日 学部 学院 评审 意见 负责人签字：（盖章）年月日 学校 评审 意见 签章：年月日 作业三——龙贝格算法的matlab实现程序流程图： 程序源代码： 文件f.m function fx = f(x) if x == 0 fx = 1; else fx = sin(x) / x; end end 文件longbeige.m clc clear all; format long a=input('请输入你要求得积分的下限:'); b=input('请输入你要求得积分的上限:'); e=input('请输入你要求得积分的结束精度:'); k=input('请输入你要求得积分的最大次数:'); fx=@(x)sin(x)/x; lbg(@f,a,b,k,e) 文件lbg.m function lbg(fx,a,b,k,e) T=zeros(k,k); T(1,1)=(b-a)*(1+fx(b))/2; for i=1:k m=0; for j=1:2^(i-1) m=m+fx(a+(2*j-1)*(b-a)/(2^i)); end T(i+1,1)=0.5*T(i,1)+(b-a)*m/2^i; for n=1:i T(i+1,n+1)=(4^n*T(i+1,n)-T(i,n))/(4^n-1); end if abs(T(i+1,i+1)-T(i,i))<=e & i>=4 break; else ; end end for i=1:k if T(i,1)==0 j=i; break; else ; end end if j==k error('所求次数不够或不可积') else ; end T=T(1:j-1,1:j-1) disp('所求的积分值为：') disp(T(j-1,1)) 多种数值积分求积公式的分析比较 吴春晖 （中国海洋大学海洋环境学院山东青岛 266100） 摘要： 对于运用牛顿-莱布尼茨积分公式不能较好解决的定义在区间[a,b]上的可积函数，原函数并不能简单地用初等函数来表达，故需要构造定积分的近似计算公式。在本文中，主要构建了抛物线求积公式及其复化抛物线公式。在对抛物线类的求积公式进行应用检验后，再运用Gauss求积公式，构建Gauss-Laguerre求积公式，对相同的问题进行运用，并比较截断误差。之后再对求积过程进行优化，在限定误差范围的情况下，利用龙贝格算法，对求积加速收敛。 关键词：抛物线求积复化求积Gauss-Laguerre加速收敛 引言： 对于一些较为复杂的函数，在一定的误差要求下，需要通过构造的方式求给定函数的定积分。基本的替代法主要有梯形面积及抛物线近似代替曲边梯形。并通过划分更小的区间，减少截断误差从而提出了复化梯形及抛物线公式。为了提高运算效率，有加速收敛的Richardson外推法和Romberg求积公式。之后，针对节点数固定情况下，提出了Gauss公式，使其获得最大的精度。本文主要研究的是抛物线求积法与Gauss-Laguerre公式。 目录 第一章抛物线求积公式及应用 (3) 1.1抛物线求积公式的算法 (3) 1.2抛物线求积公式的matlab程序 (3) 1.3复化抛物线求积公式的应用 (4) 第二章Gauss-Laguerre求积公式及应用 (5) 2.1 Gauss-Laguerre的算法 (5) 2.2Gauss-Laguerre公式的matlab程序 (5) 2.3 Gauss-Laguerre求积公式的应用 (6) 第三章龙贝格算法与算法优化 (7) 3.1龙贝格算法及程序 (7) 3.2利用龙贝格算法优化求积 (7) 3.3 龙贝格算法的应用 (8) 第四章数值积分的分析总结 (9) 大连理工大学本科生选课操作指南 一、登录：进入大连理工大学教务处主页（https://www.doczj.com/doc/757366103.html, ），可以看到 “本科生选课入口X ”，任意点击后进入本科生综合教务系统登录界面，输入帐号(即学生本人的学号)和密码，然后点击“登录”按钮进入综合教务管理系统。 附：密码如有遗忘，请及时与本学院教务员老师联系。 密码更改：进入综合教务管理系统后，依次点击“个人管理”、“个人信息”，可以看到“密码：更改密码”。 二、选课步骤 1、选择课程：依次点击“选课管理”---“选课方案” ---“选择相应的培养 方案名称”--- “网上选课”---“自由选择”，如下： 课程号可以从学生本人专业培养计划中“指导性教学计划课程设 置一览”表内查询，也可以从“课程清单”处查询，课程清单在教务处主页左侧教务专栏内的"选课安排"或者"课程安排"中 输入课程号，点击“确定”按钮 附：介绍一下标签项“本学期指导性教学计划课程”、“通识、综合素质和公共个性课程”和“重修、复修课程”页面。 建议：选择“本学期指导性教学计划课程”+“通识、综合素质和公共个性课程”即可完成大部分课程的选择。 依次点击“选课管理”或“选课方案”---“选择相应的培养方案名称”---“网上选课”，进入选课界面，默认显示为“方案课程”页面。 确定好自己想要选择的课程，点击最左端“选择”标签，按“确定”按钮，若成功，将提示“选课成功！”， 请同学们注意！ 课序号：同一门课程的不同课序号，意味着有可能任课教师、上课时间和地点的不同。 在“开课系”也可以模糊输入开课院系名，如输入一个字“人”，就会显示包含“人”字院系（如人文学院）的所有开课课程；或者模糊输入课程名 实验八数值积分 信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 1、掌握数据积分算法设计及程序实现 二、实验内容： 1、p290-1、p301-2 三、实验要求： 主程序： 复合梯形公式： function [I,step,h2] = CombineTraprl(f,a,b,eps) %f 被积函数 %a,b 积分上下限 %eps 精度 %I 积分结果 %step 积分的子区间数 if(nargin ==3) eps=1.0e-4; end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; h2=(b-a)/n; function [I,step,h] = IntSimpson(f,a,b,type,eps) %type = 1 辛普森公式 %type = 2 辛普森3/8公式 %type = 3 复合辛普森公式 if(type==3 && nargin==4) eps=1.0e-4; %精度为0.0001 end I=0; switch type case 1, I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 2, I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+ ... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 3, n=2; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(x+x1)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; end 1.(1) a = 0 b = 1 n = 100 i = 1 h = 1 T1 = 1.3591 i = 2 h = 0.50000 T2 = 0.99734 S1 = 0.87674 i = 3 h = 0.25000 T2 = 0.84726 S2 = 0.79723 C1 = 0.79193 i = 4 T2 = 0.78012 S2 = 0.75774 C2 = 0.75511 R1 = 0.75452 h = 0.062500 T2 = 0.74854 S2 = 0.73801 C2 = 0.73669 R2 = 0.73640 h = 0.031250 T2 = 0.73324 S2 = 0.72815 C2 = 0.72749 R2 = 0.72734 h = 0.015625 T2 = 0.72572 S2 = 0.72321 C2 = 0.72289 R2 = 0.72281 h = 0.0078125 T2 = 0.72199 S2 = 0.72075 C2 = 0.72058 R2 = 0.72055 h = 0.0039062 T2 = 0.72013 S2 = 0.71951 C2 = 0.71943 R2 = 0.71941 h = 0.0019531 T2 = 0.71921 S2 = 0.71890 C2 = 0.71886 R2 = 0.71885 h = 9.7656e-04 T2 = 0.71874 S2 = 0.71859 C2 = 0.71857 R2 = 0.71856 h = 4.8828e-04 T2 = 0.71851 S2 = 0.71844 C2 = 0.71843 R2 = 0.71842 h = 2.4414e-04 T2 = 0.71840 S2 = 0.71836 C2 = 0.71835 R2 = 0.71835 h = 1.2207e-04 T2 = 0.71834 S2 = 0.71832 C2 = 0.71832 R2 = 0.71832 h = 6.1035e-05 T2 = 0.71831 S2 = 0.71830 C2 = 0.71830 R2 = 0.71830 h = 3.0518e-05 T2 = 0.71830 S2 = 0.71829 C2 = 0.71829 R2 = 0.71829 h = 1.5259e-05 T2 = 0.71829 S2 = 0.71829 C2 = 0.71829 R2 = 0.71829 h = 7.6294e-06 T2 = 0.71829 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036239 h = 3.8147e-06 T2 = 0.71828 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036241 h = 1.9073e-06 T2 = 0.71828 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036241 h = 9.5367e-07 T2 = 0.71828 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036241 h = 4.7684e-07 T2 = 0.71828 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036242 h = 2.3842e-07 T2 = 0.71828 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036242 h = 1.1921e-07 T2 = 0.71828 S2 = 0.71828 C2 = 0.71828 R2 = 0.71828 tol = 0.036242 大连理工大学优秀教学成果奖评选办法 为推动教学改革的深入发展，不断提高教学质量，学校设立优秀教学成果奖，并制定本办法。 设立优秀教学成果奖，旨在奖励在教学改革与建设工作中取得优秀教学成果的集体和个人，鼓励引导全校教师及教学管理人员全面贯彻党的教育方针，积极开展教育教学的理论研究和实践探索，深化教学改革，不断提高教学水平和教育质量。同时，通过评奖工作，充分肯定广大教育工作者的辛勤劳动和教学成果，调动广大教育工作者的积极性，进一步强化 教学工作的中心地位。 优秀教学成果奖主要奖励在教书育人、教学改革、专业建设、实验室建设等方面做出突出贡献的本科教学一线教师。 三、成果内容 优秀教学成果是指反映教育教学规律，具有独创性、新颖性和实用性，对提高教学水平和质量有明显效果的教育教学方案，以及运用现代教育和教学手段，改进教学方法，经过一年以上教育教学实践检验，明显提高教学水平和教学质量的教学成果。其内容包括：（一）针对人才培养要求，运用现代教育和教学手段，在加强思想道德教育，开展课程、教材、实验实习基地建设等方面，坚持教书育人、探索教学规律、更新教学内容、改进教学方法、 （二）根据教学要求，教育环境和教育教学规律组织教学工作，推动教学改革，开展教学评估，加强专业（学科）教师队伍和学风建设，促进产学研相结合，实现教学管理现代 （三）结合自身特点，推广、应用已有的教学成果，并在实践中进一步创新和发展， （四） 四、等级设置和评审标准 校级优秀教学成果奖设立一等、二等和三等共三个等级，每年的奖励数额为： 一等奖3-5项，二等奖12-15项，三等奖20-25项，必要时，另设特等奖1-2项。 各奖励等级的评审标准如下: 一等奖：理论上有较大创新，实践上取得显著效果，对提高教学水平和质量，实现培养 数值分析与实验课程设计 班级: 姓名: 学号: 08级应用数学《数值分析与实验（实践）》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验（实践）》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、禾U用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯-赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 \ 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程组； &利用幕法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； \ （8个中选取1个） 二、设计时间 2011 —2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日 、八 刖 数值计算方法是一种利用计算机解决数学 .言 问题的数值近似解方法， 特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计 算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。 二、R o m b e r g 积分法 1.变步长Romberg 积分法的原理 复化求积方法对于提高精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要事先估计出部长。若步长过大，则精度难于保证；若步长过小，则计算量又不会太大。而用复化公式的截断误差来估计步长，其结果是步长往往过小，而且''()f x 和(4)()f x 在区间[,]a b 上的上界M 的估计是较为困难的。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半（也就是把步长二等分），直到达到某种精度为止，这种方法就是Romberg 积分法的思想。 在步长的逐步分半过程中，要解决两个问题： 1. 在计算出N T 后，如何计算2N T ,即导出2N T 和N T 之间的递推公式； 2. 在计算出N T 后，如何估计其误差，即算法的终止的准则是什么。 首先推导梯形值的递推公式，在计算N T 时，需要计算1N +个点处的函数值在计算出N T 后，在计算2N T 时，需将每个子区间再做二等分，共新增N 个节点。为了避免重复计算，计算2N T 时，将已计算的1N +个点的数值保留下来，只计算新增N 个节点处的值。为此，把2N T 表示成两部分之和，即 由此得到梯形值递推公式 因此 由复化梯形公式的截断误差有 若''()f x 变化不大时，即''''12()()f f ηη≈，则有 式（2）表明，用2N T 作为定积分I 的近似值，其误差大致为21 ()3 N N T T -，因 此其终止条件为 其中ε是预先给定的精度。 积分公式 将上述方法不断推广下去，可以得到一个求积分的序列，而且这个序列很快收敛到所求的定积分。记 (0)N N T T =，将区间N 等分的梯形值。(1)N N T S =，将区间N 等分的Simpson (2)N N T C =，将区间N 等分的Cotes 。(3)N N T R =，将区间N 等分的Romberg 。 由其可构造一个序列(){}k N T ，次序列称为Romberg 序列，并满足如下递推关系： 以上递推公式就是Romberg 积分递推公式。 积分程序 1. 置1N =，精度要求ε，1h b a =-； 2. 计算(0)1[()()]2 b a T f a f b -=+； 3. 置22 N N h h =，并计算(0) (0)211((21))222N N N k b a b a T T f a k N N =--=++-∑； 4. 置,2,1;M N N N K === 5. 计算(1)(1) 2441 k k k k M M M k T T T ---=-； 6. 若 1M =，则转（7）；否则置2 M M = ，1k k =+转（5）； 7. 若()(1)11k k T T ε--≤，则停止计算（输出()1k T ），否则转（3）。 积分法的应用 function [T,n] = romb(f,a,b,eps) double R ; 龙贝格算法 一、问题分析 1、1龙贝格积分题目 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y（x)=l sin （tx），则给定雨篷得长度后，求所需要平板材料得长度）. 二、方法原理 2、１龙贝格积分原理 龙贝格算法就是由递推算法得来得。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式. 在变步长得过程中探讨梯形法得计算规律.设将求积区间［ａ，b]分为ｎ个等分，则一共有n+1个等分点，n.这里用表示复化梯形法求得得积分值，其下标n 表示等分数。 先考察下一个字段[]，其中点,在该子段上二分前后两个积分值 显然有下列关系 将这一关系式关于k从０到n－１累加求与，即可导出下列递推公式 需要强调指出得就是,上式中得代表二分前得步长，而 梯形法得算法简单，但精度低,收敛速度缓慢,如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心得. 根据梯形法得误差公式，积分值得截断误差大致与成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一,既有 将上式移项整理,知 由此可见，只要二分前后两个积分值与相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果得误差很小，这种直接用计算结果来估计误差得方法称作误差得事后估计法。 ?按上式,积分值得误差大致等于，如果用这个误差值作为得一种补偿，可以期望,所得得 应当就是更好得结果。 ?按上式，组合得到得近似值直接验证，用梯形二分前后得两个积分值与按式组合，结果得到辛普生法得积分值。 再考察辛普生法。其截断误差与成正比.因此,若将步长折半,则误差相应得减至十六分之一。既有 由此得 不难验证,上式右端得值其实就等于,就就是说,用辛普生法二分前后得两个积分值与，在按上式再做线性组合,结果得到柯特斯法得积分值，既有 重复同样得手续，依据斯科特法得误差公式可进一步导出龙贝格公式 应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式得范畴. 在步长二分得过程中运用公式加工三次，就能将粗糙得积分值逐步加工成精度较高得龙贝格,或者说,将收敛缓慢得梯形值序列加工成熟练迅速得龙贝格值序列，这种加速方法称龙贝格算法。 三、算法设计 3、1龙贝格积分算法 就就是求出,再走一遍求出，根据求出,再走一遍求出，根据求出，根据求出，再走一遍程序求出，根据得出，根据得出,再根据得出,再走一边程序，得出，根据得出,根据得出，再由得出。再根据相减得绝对值小于其精度。那其中为求出得值. 龙贝格算法应用 目录 一(试验名称 (2) 二(试验目的 (2) 三(方法原理 (2) 四(算法设计 (4) 五(实例分析 (6) 六(总结 (6) 七(附录 (9) 1 一(试验名称 龙贝格算法的应用 二(试验目的 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题(塑料雨篷曲线满足函数 y(x)=sin(tx),l则给定雨篷的长度后，求所需要平板材料的长度)。 三(方法原理 (1)实际计算中常采用变步长的计算方案，即在步长逐步减半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。 1.梯形法的递推化 我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。设将求积区间[a,b]分为 ba,h,n等分，则一共有n+1个等分点,,k=0,1...,n。这里用表示用xakh,，Tknn 复化梯形法求得的积分值，其下标n表示等分数。 11x，xx先考虑一下子段[]，其中点=,，在该子段上二分前后xx,，，kkk，1kk，122 的两个积分值 h,，，，Tfxfx ，，，，11kk，，，2 h，，2 ,，，Tfxfxfx，，，，211kk，，，k，,,24，， 显然有下列关系 1h,， TTfx 211，，k，222 将这一关系式关于k从0到n-1累加求和，即可导出下列递推公式 n,11h,， TTfx,，21nn，k，222k,0 ba,h,需要强调指出的是，上式中的代表二分前的步长，而 n 1,,xakh ,，，1,,k，22,, 2 2.龙贝格公式 梯形法的算法简单，单精度低，收敛的速度缓慢。 2 根据梯形法的计算公式(21)，积分值的截断误差大致与成正比，因hTn 1此步长减半后误差将减至，既有 4 1,T12n ,14,Tn 将上式移项整理，知 1,,,TTT (25) 1，，22nnn3 与相当接近，就可以保证计算结由此可见，只要二分前后两个积分值TT2nn果的误差很小。 T2n 1TT,按式(25)，积分值的误差大致等于，如果用这个误差值作为TT，， 2nn2n2n3数值分析—龙贝格算法
龙贝格求解积分
教学大纲-大连理工大学教务处
数值分析与实验复化辛卜生公式龙贝格算法
大连理工大学本科生成绩管理办法(试行)
Romberg龙贝格算法实验报告.
龙贝格算法
大连理工大学大学生创业训练项目
龙贝格算法的matlab实现
多种数值积分的分析比较(Gauss 抛物线 龙贝格)
大连理工大学本科生选课操作指南
龙贝格公式和辛普森公式和复合梯形公式
[2]龙贝格积分[数据]
大连理工大学优秀教学成果奖评选办法-大连理工大学教务处
数值分析与实验复化辛卜生公式龙贝格算法
龙贝格积分实验报告
龙贝格算法
龙贝格算法应用
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