西安交通大学学报
JOURNAL OF XI’AN JIAOTONG
UNIVERSITY
1999年 第33卷 第5期 Vo33 №5 1999
用直接解法计算外掠后台阶层流流动
何伯述 李彦鹏 许晋源
摘要：求解不可压流体耦合方程的直接解法(CELS算法)在许多计算问题中体现了其优越性．多重网格法在加速数值计算的收敛速度方面也表现出了其有效性．作者将CELS 算法在多重网格下实施，对控制方程采用指数格式和虚拟时间步法进行离散，用原始变量对外掠后台阶的层流流动进行了数值计算．结果显示，外掠后台阶层流流动中，主涡、主涡下游的底部二次涡和上部二次涡开始出现的Re数和位置均与Armaly等人的实验数据符合良好．表明这种结合是很有效的．
关键词： CELS算法；多重网格法；Navier-Stokes方程
中国图书资料分类法分类号： TK124；O242．1
Numerical Analysis of Backward-Facing Step Laminar
Flow by Direct Solver
He Boshu, Li Yanpeng, Xu Jinyuan
（Xi′an Jiaotong University，Xi′an 710049，China）
Abstract：Coupled equation line solver algorithm is adopted using the simultaneous direct solution for both pressure and velocity. Multigrid technique enhances solution convergence. An example is provided for the laminar flow in a pipe with an abrupt-enlargement and backward-facing step. The field equations are discretized by an exponential scheme with pseudo-time step. Good agreements were found with the measurements of Armaly et al and the numerical results of Stella and Guj who used a vorticity-velocity formulation.
Keywords： CELS;multigrid method;Navier-Stokes equations
求解不可压流体流动的Navier-Stokes方程有许多方法，其中以压力修正算法(SIMPLE)应用最广，并且在解决大量的工程计算问题中，已经发挥和仍将发挥其强大的作用．但SIMPLE及其系列算法在解决某些实际问题时，收敛速度较慢，精度也难如人愿．Galpin的实践表明［1］，对同样的计算对象，直接解法(CELS算法)显示出了比SIMPLE及其系列算法更快的收敛速度和更高的精度．许多数值研究者的工作也证实多重网格法对加速数值计算的收敛速度是有效的，对计算精度的提高也是有效的．
鉴于目前国内对CELS算法，特别是在多重网格下实施CELS算法的研究尚少，作为这方面的初步尝试，本文把CELS算法和多重网格技术结合，使用原始变量法和交错网
格系统，以二维对称突扩通道和外掠后台阶的层流流动为例，进行了数值计算，并与其他研究者的计算和实验结果进行了比较，结果显示了这种尝试是有益的．
1 Navier-Stokes方程及其离散形式
二维不可压粘性流体(计算中粘性取为常数)的定常层流流动，忽略质量力时，Navier-Stokes方程和连续性方程可写为
(1)
使用控制容积积分法对微分方程(1)在交错网格上进行离散，可以得到以下离散方程
(2)
离散方程(2)中系数的具体表达形式与离散微分方程(1)所使用的差分格式和对求解区域的网格划分情况有关．本文使用指数格式，在均匀网格系统下采用虚拟时间步法离散微分方程(1)，对得到的离散方程式(2)使用CELS算法，在多重网格下求解．
2 CELS算法
CELS算法采用交错网格系统，以箭头离开的点为基准进行编号［1］．通过各种替代，把u、v、p方程转化为只含一个变量(u、v或p）的方程，然后在一条线上求解所得到的方程．由于变换过程将引入远邻点的值，对二维问题，最终求解将不是3对角矩阵，而至少是5对角矩阵，给程序的编制带来一定的麻烦，特别是当求解的是三维问题时更是如此．Galpin等人对CELS算法就二维问题进行的实践表明［1］，其鲁棒性和收敛特性都比SIMPLEC和SIMPLER好．
作为把CELS算法与多重网格方法结合的初步尝试，本文先使用二阶中心差分及指数格式，采用虚拟时间步法对微分方程在均分网格上进行离散．对离散方程采用图1所示的线盒迭代及5层多重网格技术，在给定的初始边界条件下，对求解区域进行数值求解．
迭代收敛的判别条件为：式(2)的最大残余偏差R不大于10－7，即
R＝max（Ru，Rv，Rm）≤10－7
式中：Ru、Rv、Rm分别为式(2)各方程的残差，即方程左、右端项的差值．另外，为了尽量减少在计算过程中由于数值截断引入新的误差，程序中使用双精度变量．
图1 近似线盒迭代示意图
为了继承CELS算法的优点，同时也希望最终求解的仍然是3对角矩阵，并且要有利于方便地处理三维流动问题，本文也采用交错网格系统，但编号时以箭头指向点为基准进行（如图1所示)，同时引入多重网格技术以加速收敛．为此，首先把式(2)的前两式在求解区域上化为3对角矩阵形式，在给定的初始边界条件下求出u和v，这时的u、v和p已经初步满足动量方程，但尚不满足连续性方程，必须对u、v和p进行修正，假定修正量分别为ε、δ、γ(如图1所示)．为叙述方便，假设主流方向为x方向，另一方向为y方向．为了对各向异性问题也能获得较快的收敛速度，本文采用如图1所示的近似线盒迭代，即沿x方向扫描，同时求解y方向所有节点的方程．把式(2)用于图中的每个控制体，最后可以得到一个关于δ的3对角矩阵
（3）
式中 a为主对角线上的元素； b为上对角线上的元素； c为下对角线上的元素； Rm 为连续性方程残余．
求出δ以后， ε和γ的值也能顺利求出，从而完成了对u、 v和p的修正．为了避免更新压力时有可能出现的失耦问题，可以从动量方程出发构造出压力方程
∑fnbpnb－fCpC＝Sp
（4）式中 Sp＝REu－RCu＋RNv－RCv
而Ru和Rv可由式(2)写出，如
直接由更新后的速度求解压力方程(4)，可有效地避免失耦问题的出现．
3 多重网格方法
代数方程的求解一般是在一套固定的网格下进行的，迭代次数较多．许多计算实践表明［2～6］，在迭代开始时收敛很快，随着迭代的进行，收敛速度会越来越慢． 多重网格方法就是为了克服上述缺点而发展起来的．其基本思路是：先在最细的网格上进行迭代，消除误差的短波分量；再在较粗的网格上进行迭代，以消除误差的次短波分量；如此进行下去，直到最粗的网格层时，已基本消去了误差的各种分量；再依次返回到细网格上去．上述循环一直进行至得到满足精度要求的解为止．
本文使用5层网格，实施多重网格方法．
4 算例考核
4．1 二维轴对称突扩通道流动
为了验证上述算法的有效性，首先对图2所示的二维轴对称突扩通道流动作了计算(网格为34×34），得出了回流区相对长度(x／d）与Re数的关系，并与文献［3］提供的结果一同列于表1中．
图2 对称突扩通道及其边界条件
从表中可以看出，采用本文的算法所得的结果，除了与一些成熟算法所得结果一致外，与实验结果也是相符的，这说明本文的算法是有效的．
4．2 二维外掠后台阶流动
在上述计算的基础上，对图3所示的外掠后台阶二维流动进行了数值计算．计算时网格先取为34×34，在计算的Re数范围内(Re＝50～800），台阶后的主涡很明显；Re ＝600以后，顶部二次涡不明显，底部(主涡下游)二次涡尚未出现．网格加密为34×66后，结果相同；Re＝800时(网格取为34×66），顶部二次涡已明显，主涡下游也出现了二次涡．再把网格加密为66×130，计算结果同网格为34×66的结果．网格为34×66
的结果绘于图4和5中．
表1 二维突扩通道流动计算结果
格式
Re
50100150200
UDS2．154．206．268．34
HDS2．264．436．618．82
QUICKE2．204．326．458．60
QUICKER2．204．326．458．60本文2．114．216．458．66实验结果［7］2．24．36．58．8
图3 外掠后台阶流动及其边界条件
图4中同时绘出了Stella［8］(网格取为40×101）、Orlandi［9］(网格取为20×50）等用涡量?速度法的计算结果，以及Armaly等［10］的实验数据．从图4中可以看到，本文的计算结果与Armaly等的实验数据相符，与Stella、 Orlandi等用涡量?速度法的计算结果也相同．图4绘出的回流区相对长度为主涡的相对长度(x1／s）．
图4 回流区相对长度与Re数的关系
图5为Re＝800时的流场矢量图．从图5可以看到，在主涡的下游，除出现了明显的上部二次涡外，还出现了较明显的底部(主涡下游)二次涡．这一点与Armaly等［10］的实验现象相同，说明数值计算是成功的．
图5 Re＝800时的流场矢量图
图6给出了网格取34×66、 Re＝600、分别采用CELS算法和CELS算法与多重网格结合时程序的收敛历史，本文构造的CELS算法程序，在长城MPC 166 型微机上运行，每轮迭代所需时间CELS为0.44 s，加入多重网格的CELS为1.15 s，但达到收敛指标时的总迭代时间t仍是后者较前者少．由此可以看出，采用CELS算法与多重网格结合时的程序收敛速度远比仅使用CELS算法时的收敛速度快．
图6 程序收敛历史
5 讨 论
对圆管突扩通道和外掠后台阶二维层流流动进行的数值计算表明，本文使用的
CELS算法与多重网格技术结合的算法是有效的．对外掠后台阶二维层流流动进行数值计算的结果(图4～图6)表明：
（1）在计算的Re数范围内得到的主涡长度，与Stella、Orlandi等用涡量?速度法得到的结果一致，与Armlay等的测量数据也是相吻合的；
（2）计算得到的主涡下游的顶部二次涡和底部二次涡开始出现的Re数及其位置，与Armlay等的测量数据也是相符合的；
（3）从图6所示的程序的收敛历史可见，引入多重网格技术能大大加快程序的收敛速度；
（4）计算时网格取34×66比较经济．
作者简介： 男，1964年2月生，能源与动力工程学院热能工程系，讲师，博士生
作者单位： 西安交通大学， 710049， 西安
参考文献：
［1］ Galpin P F, Van Doormaal J P, Raithby G D. Solution of the incompressible mass and momentum equations by application of a coupled equation line solver. Int J Numer Methods Fluids, 1985, 5（7）: 615～625.
［2］ 刘超群.多重网格法及其在计算流体力学中的应用.北京：清华大学出版社，1995．
［3］ 陶文铨.数值传热学.西安：西安交通大学出版社，1988．
［4］ Wesseling P. An introduction to multigrid methods. New York: John Wiley & Sons Inc,1992.
［5］ Braaten M E, Shyy W. Study of pressure correction methods with multigrid for viscous flow calculations in nonorthogonal curvilinear coordinates. Numer Heat Transfer, 1987, 11 (4):417～442．
［6］ Liu C, Liu Z. High order finite difference and multigrid methods for spatially-evolving instability. J Comput Phys, 1993,106（1）: 92～100．
［7］ Macagno E O, Hung T K. Computational and experimental study of a captive annular eddy． J Fluid Mech, 1967,28(1): 43～61．
［8］ Stella F, Guj G. Vorticity-veloctity formulation in the computation of flows in multiconnected domains. Int J Numer Methods Fluids, 1989, 9(10／11）: 1 285～1298． ［9］ Orlandi P. Vorticity-velocity formulation for high Reynolds number flows. Comput Fluids, 1987,15(2):137～149．
［10］ Armaly B F, Durst F, Pereira J C F, et al. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow. J Fluid Mech, 1983, 127： 473～496．
编辑 蒋慧姝
收稿日期： 1998-05-26
用直接解法计算外掠后台阶层流流动
作者：何伯述， 李彦鹏， 许晋源， He Boshu， Li Yanpeng， Xu Jinyuan
作者单位：西安交通大学,710049,西安
刊名：
西安交通大学学报
英文刊名：JOURNAL OF XI'AN JIAOTONG UNIVERSITY
年，卷(期)：1999,33(5)
参考文献(10条)
1.Orlandi P Vorticity-velocity formulation for high Reynolds number flows[外文期刊] 1987(02)
2.Stella F;Guj G Vorticity-veloctity formulation in the computation of flows in multiconnected domains[外文期刊]
1989(10/11)
3.Macagno E O;Hung T K Computational and experimental study of a captive annular eddy[外文期刊] 1967(01)
4.Armaly B F;Durst F;Pereira J C F Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow[外文期刊] 1983
5.Liu C;Liu Z High order finite difference and multigrid methods for spatially-evolving instability[外文期刊] 1993(01)
6.Braaten M E;Shyy W Study of pressure correction methods with multigrid for viscous flow calculations in nonorthogonal curvilinear coordinates[外文期刊] 1987(04)
7.Wesseling P An introduction to multigrid methods 1992
8.陶文铨数值传热学 1988
9.刘超群多重网格法及其在计算流体力学中的应用 1995
10.Galpin P F;Van Doormaal J P;Raithby G D Solution of the incompressible mass and momentum equations by application of a coupled equation line solver[外文期刊] 1985(07)
本文链接：https://www.doczj.com/doc/736354639.html,/Periodical_xajtdxxb199905010.aspx