习题课（六）
内容： 不定积分的概念及积分方法
基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。
2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。 3．掌握不定积分的积分方法。
4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。 内容与方法精讲：
一． 原函数与不定积分的概念
1． 原函数定义：在区间I 上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数)
(x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。
2． 原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I 上连续。则)(x f 在区间I 上有原函数。 3． 不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上
的不定积分，记作
?+=C x F dx x f )()(.
4． 不定积分与导数的关系：
（1） 先积分再求导（或微分）
?=')(])([x f dx x f ，或 ?
=dx x f dx x f d )(])([； （2） 先求导（或微分）再积分
C x F dx x F +='?)()(，或 ?+=C x F x dF )()(. 5． 不定积分的线性性：
（1）?
?
=dx x f k dx x kf )()(；
（2）?
??±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.
二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法
1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分
公式中的积分，从而进行积分。（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。 2． 凑微分法：
C x F x d x f dx x x f +=='??)]([)()]([)()]([?????.
主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。 要熟练常用的几个凑微分式子：
（1）
?
?
++=
+)()(1
)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； （2）)0()()(1
)(1111
≠++=
+----?
μμ
μμμμa b ax d b ax f a dx b ax f x
；
（3）
??=x d x f dx x
x f ln )(ln )
(ln ； （4）x x x
x de e f dx e f e )()(?
?
=
；
（5）??
=+x d x f dx x
x f arctan )(arctan 1)
(arctan 2
； （6）
??
=-x d x f dx x
x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2
；
（7）??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ； （8）??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ； （9）
??=x d x f xdx x f tan )(tan sec
)(tan 2
；
（10）
??=x d x f xdx x x f sec )(sec tan sec )(sec ；
（11）
.)(ln )
()
()()(C x f x f x df dx x f x f +=='??
多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：
4． 分部积分法：dx x v x u x v x u dx x v x u ?
?'-=')()()()()()( 或)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ?
?-=
主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好)(x u 与)(x v '的
选取，原则是)(x v '好找原函数，)(x u 的导数简单，积分dx x v x u ?
')()(积分?'dx x v x u )()(容易（至少不难）。要掌握以下几种常见类型的分部积分：
四．几类特殊函数的积分
例题精讲
1．若
C e
x dx x f x
+-=?)1()(，求函数).(x f
解：（本题考核导数与积分的关系。给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导） 对等式两边同时求导，有.)1()(x x x xe e x e x f =-+=
2．若函数)(x f 满足x x f 22sec )(tan ='，且1)0(=f ，求函数).(x f
解：（本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。
本题要注意积分变量是x 2
tan ，或先将式子x x f 22sec )(tan ='改写为x x f +='1)(，再
两边求积分）
对等式两边同时求积分，有
.
)(tan 2
1
tan tan )tan 1(tan sec tan )tan ()(tan 222
2222222C x x x d x x d x x d x f x f ++=+=='=???
所以，221)(x x C x f +
+=，由1)0(=f ，得1=C ，于是.2
1
1)(2x x x f ++= 3．设函数??
?≥<-=.
0,
sin ,
0,
)(x x x x x f 求不定积分?.)(dx x f 解：（这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数?=
.)()(dx x f x F 在分界点处应连续）
当0 2 )()()(2 ； 当0≥x 时，1 cos sin )()(C x xdx dx x f x F +-=== ??. 有)0()0()0(F F F ==+ - ，有11C C +-=，得C C +=11. 所以，??????≥+-<+-=. 0, cos 1,0,2)(2x C x x C x dx x f 4．若)(x f 的一个原函数为x 2 ln ，求不定积分? '.)(dx x f x 解：（尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与)(x f 的导数)(x f '乘积的形式，因此首先要进行分部积分） 由)(x f 的一个原函数为x 2 ln ，即 ? -=C x dx x f 2ln )(，所以x x x f ln 2)(= . 于是，.ln ln 2)()()(2 C x x dx x f x xf dx x f x +-=- ='?? 5．设函数)(x F 是)(x f 在0≥x 时的一个原函数，满足2 )1(2)()(x xe x F x f x +=，且 1)0(=F ，0)(>x F . 求函数)(x f . 解：（本题还是考核原函数概念。由于在条件2 )1(2)()(x xe x F x f x +=中同时出现了) (x f 与)(x F ，为方便都统一于)(x F ，然后再积分） 由)(x F 是)(x f 的一个原函数及2)1(2)()(x xe x F x f x +=，有2 ) 1(2)()(x xe x F x F x +='，对上式两边同时求积分，得 =2)(2x F )11(21) 1(2)()(2x d xe dx x xe dx x F x F x x +-=+='??? C x e dx x e x x xe x x x ++=++-+-=?) 1(2)1)1(1(21. 由1)0(=F 及0)(>x F ，得0=C ，且x e x F x +=1)(， 所以，2 /32 /) 1(2)1()()(x xe x e dx d x F x f x x +=+='=. 6．求下列不定积分（本例都是典型的、常见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分） （1） ?+dx x x x ln 1ln ； （2）? -+4 )(x x e e dx ； （2） ? -2 2 arcsin 4x x dx ； （4） dx x x ? +2 11arctan ； （5） dx x x ? cos tan ； （6）dx x x x ?cos sin tan ln . 解：（1） )ln 1(ln 11 )ln 1(ln 1ln x d x x dx x x x ++-+=+?? C x x x d x x ++-+= ++- +=? ln 12)ln 1(3 2 )ln 1(]ln 11ln 1[2/3. （2） )1() 1(1)1(21)1()(24 224244++-+=+=+???-x x x x x x x e d e e e dx e e e dx )1(])1(1)1(1[2124 232++-+= ?x x x e d e e C e e C e e x x x x ++--=++++-=3 223222)1(1231)1(161)1(141. （3） C x d d x dx x x x x x x x +==-=-?? ? 2 arcsin ln arcsin arcsin arcsin )(1arcsin 4222 2 2 2 2 . （4） )(])(1[arctan ])(1[arctan 1arctan 1 2 112 12 12 1x x x x d dx x dx x ?? ? +-=+=+ C x d x +-=-=? 2)2 1 (arctan 211arctan 1arctan . （5） C x x d x dx x x x dx x x += -=?=?? ? - cos 2cos ) (cos cos cos sin cos tan 2 3 . （6） x d x x dx x x x dx x x x tan tan tan ln cos tan tan ln cos sin tan ln 2???== ?+==C x x xd tan ln 2 1tan ln tan ln 2 . 7．求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分式） （1）?+-dx x x 1133； （2）?+23)1(x x dx ； （3）?+) 1(28x x dx . 解：（1）(本题除了利用部分分式，没有太好的办法。) .3 12a r c t a n 32)1(1ln 31)(arctan 1)1ln(311ln 32)()()(1)12(311ln 32)123211321(112 22321232 2 212 23212233C x x x x x C x x x x x x x d x x dx x x x dx x x x x dx x x +--++-+=+--+-++-=-+--+--++-=+--?++?-=+-???? （2）(本题属于?dx x x R n )(型, 可以凑成?n n n dx x x R )(型) .)1 1 1(l n 31]1 1 1)1([31])1()1()1([31)1()1(31)1(31)1(333333332333333 23333233323C x x x x x x d x dx x x d x x dx dx x x x x x x dx x x dx ++++=++++-=++-+=+-+=+=+??????? （3）(本题由于分母的幂次相对于分子的幂次较高, 因此应当用到代换.) 令t x 1=, 则2 t dt dx - =, 于是 .1 arctan 1315171)arctan 37( )111(1)1(3573 5 7 22 462828C x x x x x C t t t t t t dt t t t t dt t t x x dx +-+-+-=++-+--=++-+--=+-=+??? 8．求下列不定积分（本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的，尽量不用万能代换，通常都可以用凑微分求解） （1）dx x x x ?+4sin 1cos sin ； （2）dx x x x ?+4 2cos tan sin ； （3） ?+x x dx cos 22sin ； （4）dx x x x ?+cos sin sin . 解：（1）（本题属于 ?xdx x f cos )(sin 型） .)arctan(sin 2 1)(sin 1sin 21sin sin 1sin sin 1cos sin 2 22244C x x x d x d x x dx x x x +=+=+=+??? （2）（本题属于? dx x x x R )tan ,cos ,(sin 2 2型，可作代换t x =tan . 也可以直接凑微 分） . 2 t a n 3t a n 4t a n t a n )t a n t a n (t a n t a n )t a n s e c (t a n c o s t a n s i n 2342 32 242 C x x x x d x x x x d x x x dx x x x +++=++=+=+??? （3）（本题有两个关键点，一是要统一角度，二是要将分母上的两项之和化为一项） .)tan sec ln cos 1sin (41sec 41)tan sec ln tan (sec 41sec sec 21 )tan sec ln tan (sec 41)tan sec (sec 21cos sin 121)1(sin cos 21cos 22sin 2 2233C x x x x C x x x x x x xd x x x x dx x x x dx x x x x dx x x dx +++-=+-++=-++=-=-=+=+????? （4）（本题解法很多，下面仅介绍几种有代表型的解法） 方法一：本题可以通过拆项的方法求解 .)cos sin ln (2 1]cos sin )cos (sin [21)cos sin cos sin 1(21cos sin )cos (sin )cos (sin 21cos sin sin C x x x x x x x d x dx x x x x dx x x x x x x dx x x x ++-=++-=+-+=+-++=+???? 方法二（伴侣型积分）：记dx x x x I ?+= cos sin sin 1，dx x x x I ?+=cos sin cos 2. 则 . c o s s i n ln cos sin ) cos (sin cos sin cos sin . cos sin cos sin 2121C x x x x x x d dx x x x x I I C x dx dx x x x x I I ++-=++-=+-=-+==++=+???? 两式相加，得 dx x x x ?+cos sin sin .)cos sin ln (2 1 1C x x x I ++-== 方法三：为将分母化为一项，分子、分母同乘x x sin cos -，则 C x x x x dx x x dx x x x dx x x x x x dx x x x ++--=-+=+-=--=+????)2sec 2tan ln 21 2cos ln 21(21)2sec 2tan 1(212cos 2cos 12sin 21sin cos sin cos sin cos sin sin 222 .)cos sin ln (2 1 C x x x ++-= 方法四：分子、分母同乘2/2，通过两角和公式将分母唤为一项，则 ).2ln 2 1(.)cos sin ln (21))4/sin(ln (21 )4/()4/(cot (21) 4/sin() 4/cos()4/sin(21cos sin sin 11+=++-=++-=++-=++-+=+????C C C x x x C x x x d x dx dx x x x dx x x x ππππππ 方法五：分子、分母同除x cos ，然后令x t tan =，则t x arctan =，2 1t dt dx += ，于是 .)cos sin ln (2 1 )1ln )1ln(21(arctan 21)11 11(21)1)(1(tan 1tan cos sin sin 222C x x x C t t t dt t t t t t tdt dx x x dx x x x ++-=++-++= +-++=++=+=+???? 方法六：用万能代换，令u x =2 tan ，则 .]2 t a n 2t a n 21ln )2tan 1ln([2121ln 2 1)1ln(21arctan )211111()21)(1(4cos sin sin 222 222222C x x x x C u u u u du u u u u u u u u u udu dx x x x +-+-++=+-+-++=-+--+++=-++=+??? 9．求下列不定积分（本例都是无理函数积分，如果能够通过凑微分求解，当然最好；如果不能用凑微分求解，就要设法去根号） （1）dx x x 23 4-? ； （2）? -1 2 x x dx ； （3） dx x x ? -1； （4）? +32 1x xdx . 解：（1）本题属于? xdx x f )(2类型，直接凑微分即可，当然也可以用三角代换t x sin 2= 方法一： 2 222 34)]4(4[214dx x x dx x x ---=-? ? .)4(3 4 )4(51)4(])4(4)4([(2 1 2/322/5222/122/32C x x x d x x +---=----= ? 方法二：令t x sin 2=，则t dx cos 2=，于是 .)4(3 4 )4(51c o s 332cos 532cos )cos (cos 32cos sin 3242/322/5235242323 C x x C t t t d t t tdt t dx x x +---=+-=-==-??? （2）方法一：0>x 时，令)2/0(sec π<<=t t x ， .1 a r c c o s t a n s e c t a n s e c 1 2C x c t dt dt t t t t x x dx +=+===-? ?? 0 arccos 1 2C x x x dx +=-? 方法二：本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。 当0>x 时，令=x ch t （0>t ），（当0 .1x a r c t a n C s h t )a r c t a n (sh 1sh ch ch 1 2 222C t t d dt t t x x dx +-=+=+==-?? ? 方法三：本题特别，作代换t x =-12，也可以达到去根号的目的。 当0>x 时，令t x =-12，则21t x +=，2 1t tdt dx += ，于是 .1a r c t a n a r c t a n 1)1(1 2222C x C t t dt t t tdt x x dx +-=+=+=+=-?? ? 当0 方法四：由于分母上x 的幂次比分子上x 的幂次高一些，因此可考虑倒代换， 令t x 1 =，则2 t dt dx -=. 于是，当0>x 时，有 C x C t t dt x x dx +-=+-=--=-? ?1 arcsin arcsin 11 22. 当0 C x C t t dt x x dx +=+=-=-? ?1 arcsin arcsin 11 22. （3）本题解法也较多，各种解法的目的都是取根号。 方法一：按dx d cx b ax x R n ), (++? 类型作。 令t x x n =-1，则2 22 2 )1(2, 1t tdt dx t t x += +=，于是 ???? +++-=+-=+=-2222221111)1(21t dt t t t td t dt t dx x x .1arctan 1arctan 2 2 C x x x x C t t t +---=++- = 方法二：分子、分母同乘x ，转化为dx c bx ax x R ), (2++? 型 .)12a r c s i n (21])()2/1()2/1()2/1([21] 21[21122 222222C x x x x x x x d x x d dx x x x x x dx x x xdx dx x x +---=------=----=-=-?????? （注：转化为 ? -2 x x xdx 后，也可以用代换t x sin 2 1 21=- 求解） 方法三：令t x 2 sin =，则tdt t dx cos sin 2=，于是 . a r c s i n 2 2s i n )2c o s 1(c o s c o s s i n 2122 C x x x C t t dt t dt t t t dx x x +--=+-=-==-??? （4）本题不是常见的典型题，这里出现了复合函数，当一时看不到解法时，可以考虑用中间变量作代换进行试解。如该题可考虑的换元有：32x t =、3x t =、321x t += 或3 21x t + =，通过试解，发现第二和第四种换元更好一些。 方法一：不妨设0≥x （0 3=，于是 .13)1(2)1(5 3 13)1(2)1(53 )1(11)1(2)1(23131322/3322/53222/322/5222 2222532 C x x x C t t t t d t t t t dt t x xdx ++++-+=++++-+= ++++-+=+=+?? ? （注：转化为? +2 513 t dt t 后，也可以再作代换u t tan =求解） 方法二：令3 21x t + =，则32)1(-=t x ，dt t t dx ?-=132，于是 .13)1(2)1(5 3 )3 25(3)1(31322/3322/5323 52 2 32 C x x x C t t t dt t x xdx ++++-+=++-=-=+?? 10．求下列不定积分（本例都属于分部积分类型） （1） dx x x x ?3sin cos ； （2）?+dx x x x 2/32)1(ln ； （3）dx x x ?-1arcsin ； （4）dx x x x ?+)1(arctan 22； （5）?-1 x x e dx xe ， （6）dx e e x x ?+)1ln(. 解：（1）本题属于幂函数（正整数次幂）×三角函数类型的积分，要试图先将三角函数凑 到微分号后面，即先求出三角函数部分的积分。 . )cot sin (21)sin sin (21sin 1 21sin sin sin cos 222233C x x x x dx x x x xd x x xd dx x x x ++-=--=-==???? （2）本题属于幂函数（非正整数次幂）×对数函数类型的积分，要试图先将幂函数凑 到微分号后面，微分号外面只留对数函数。 . 11ln 1ln )1 11ln(1ln ) /1(1)/1(1ln 11ln 11ln )1()1(ln 21)1(ln 2 222 2 2 2 2 22/3222/32C x x x x C x x x x x x d x x x x dx x x x xd x x xd dx x x x +++-+-=+++-+- =+-+- =+++-=+-=++=+? ???? （3）本题属于幂函数（非正整数次幂）×反三角函数类型的积分，要试图先将幂函数凑 到微分号后面，微分号外面只留反三角函数。 C x x x x dx x x dx x x x x x x d x dx x x ++--=+--=?--+--=--=-? ? ?? 2arcsin 12arcsin 12)(11arcsin 121arcsin 21arcsin 2 （4）本题也属于幂函数（非正整数次幂）×反三角函数类型的积分，直接将幂函数凑到 微分号后面有一定困难，可以先单独进行这部分的积分。因为 C x x dx x x x x dx +--=+-=+??arctan 1)111()1(2 222， 所以 ?????++-++-=++++-=+-=+x xd dx x x x x x x x dx x x x x x x x xd dx x x x arctan arctan )11()arctan arctan (1)arctan 1()arctan arctan ()arctan 1 (arctan )1(arctan 2 22 222 .1ln 212arctan arctan 2 2 2C x x x x x +++--= （5）本题属于幂函数（正整数次幂）×指数函数类型的积分，要试图先将指数函数凑到 微分号后面。 )11(2121 )1(1 ??? ? ---=-=--=-dx e e x e xd e e xd e dx xe x x x x x x x 对积分 ? -dx e x 1，令t e x =-1，则)1ln(2t x +=，2 12t tdt dx += ，于是 . 2/)1arctan 1(22)arctan (2)111(21212 2 2C e e C t t dt t t dt t dx e x x x ----=--=+-=+=-??? .)1arctan 41)2(21 C e e x e dx xe x x x x +-+--=-? （6）本题比较特殊，困难在于含有对数函数，这时可以先将对数以外的东西凑到微分号 内，微分号外只留对数函数，通过分部积分进行试解。 .)1ln()1ln()111()1ln()1()1ln()1ln()1ln(C e e e x de e e e e e e dx e e e de e dx e e x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+-=+-++- =+++-=+-=+????- 11．求下列不定积分（本例又是一种积分类型。在这种积分中，其中有一部分是不能进行 积分的（即原函数不能用初等函数表示），这一部分暂时不要管它，先对其它部分进行积分，在积分过程中会产生出不能进行积分的部分的相反的值，从而将那部分抵消掉） （1） dx x x ?-2ln 1ln ； （2）dx x e x 2 2)tan 1(+?. 解：（1）?????---=-=-x dx dx x x x x x x dx x dx dx x x 2222ln 1)ln 1(ln ln ln ln 1ln .ln ln ln ln 22C x x x dx x dx x x +=-+= ?? （2）dx x x e dx x e x x )tan tan 21()tan 1(2 222++=+? ? . tan tan 2tan 2tan tan 2tan )tan 2(sec 22222222C x e xdx e xdx e x e xdx e x d e dx x x e x x x x x x x +=+-=+=+=? ???? 同步练习: 1．求 dx x x ? --1 1 3 .. ( C x x x +++4 35 43 53 ) 2．求dx x x x ?-2 ln 1. ( C x x +--2 ln 2 11 ) 3．求dx x x x ? ++sin cos 1. ( C x x ++sin ln ) 4．求 ?+x x x dx . ( C x ++14 ) 5．求 dx x x x ? -2 arcsin . ( C x +23 )(arcsin 34 ) 6．求 dx x x x ?+2 )ln (ln 1. ( C x x +-ln 1 ) 7．求 ?+)1(24x x dx . ( C x x x ++-arctan 3113 ) 8．求dx x x ?-18. ( C x x x +-+-222arctan 4 1 11ln 81 ) 9．求dx x x ?-100 2 )1(. ( C x x x +------999897)1(991)1(491)1(971 ) 10．求dx x x x x ?+44cos sin cos sin . ( C x +)arctan(tan 2 1 2 ) 11．求?x x dx 3 cos sin . ( C x x ++tan ln sec 212 ) 12．求dx x x ? -sin 1sin . （ C x x x +-+t a n s e c ） 13．求 dx x x x ? ---2 182. ( 5 12arcsin 9122+----x x x ) 14．求 ?-x x x dx 22. ( C x x +-2 ) 15．求 dx x x x x ?+) ( 33 . ( C x x ++-)1ln(6ln 6 ) 16．求 dx e x ? +1. ( 2C e e e x x x +++-+++1 111ln 1 ) 17．求dx x x ? +2arcsin . ( x C x x x x ++-+2 arctan 222arcsin ) 18．求dx x e x ?2 sin . ( C x x e e x x ++-)2sin 22(cos 10 2 ) 19．求 ?-+dx x x x 2 )1ln( （ C x x +--)1l n ()1 1( ） 20．求dx x x x ?+22)1(ln . ( C x x x x ++++-22 21ln 41)1(2ln ) 21．求 dx x x x ?++cos 1sin . ( C x x +2 tan ) 22．若函数)(x f 有连续导数，且x x x f ) 1ln()(+='，求)(x f . （ C x x x +++- a r c t a n 2) 1l n (2 ） 23．若?+=C x dx x xf arcsin )(，求 ? ) (x f dx . （ C x +--32)1(31 ） 24．若x x x f sin )(sin 2 = ，求dx x f x x )(1?-. （ C x x x ++--2a r c s i n 12 ） 25．已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，当0≥x 时，)(x F x x f 2sin )(2=，且1)0(=F ，0)(≥x F ，求)(x f . （ 4 4s i n 44c o s 1+--x x x ） 不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分 1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos ( 不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______. 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分） 不定积分内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ?? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 计算题（共 200 小题） 1、 ??+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、 ?'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、 .d x x ?求 4、 .)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ? ??>≤= 5、 已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、 .d x x ?求 7、 ? -233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ? 9、 .0,,d >?a a x e a x x 是常数其中求 10、 .d tan csc 22x x x ??求 11、 ? ?x x x d cot sec 22求 12、 ?+22d x x 求 13、 ? +82d 2x x 求 14、 ?-9d 2x x 求 15、 ? -.63d 2x x 求 16、 ?+232d x x 求 17、 .d 2432x x x x ?-求 18、 x x x d ??求 19、 .d )1(23 x x x ?+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ?+ 21、 ?x x d cot 2求 22、 .d 11)(3x x x ?++求 23、 .d x x x x ?求 24、 ?+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、 [].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ?+++求 26、 ??.d 2 sin 22x x 求 27、 第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。 48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec 15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[] 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ? 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=?一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =?、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=??????、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κ??=+==-====???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]()()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+????、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______11 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+?、设则： 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。 作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222高数不定积分例题
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